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二次根式 单元综合测试精选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）.
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥ B．x≥－ C．x＞ D．x≠
6．下列二次根式中，化简后能与 合并的是
A． B． C． D．
7．如果一个三角形的三边长分别为 、k、 ，则化简 ﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
8．设 =a， =b，用含a，b的式子表示 ，则下列表示正确的是（ ）
A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2 D．0.1a2b
9．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
10．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的结果为 ．
12．等式 成立的条件是 .
13．若 ，则 .
14．把根式a 根号外的a移到根号内，得 ．
15．设 ， ， ，则 , , 从小到大的顺序是 .
16．若规定符号“*”的意义是，则的值是 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）计算：.
（2）已知，求的值.
18．若矩形的长a＝ ，宽b＝ ．
（1）求矩形的面积和周长；
（2）求a2＋b2﹣20＋2ab的值．
19．解答下列各题：
（1）计算：
（2）设实数 的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(2a-b)的值.
20．已知x=2+，y=2-，求下列各式的值：
（1）x2+y2+3xy；
（2）．
21．化简
（1） ；
（2）
22．
（1）已知a为实数，求代数式： 的值.
（2）已知m是 的小数部分.①求m2+2m+1的值；②求 的值.
23．计算下列各式：
（1）（ ﹣4 ）﹣（3 ﹣2 ）
（2） ．
24．观察下列等式：
① .
② .
③ .
根据上述等式的规律解次下列问题：
（1）完成第4个等式：
（2）写出你猜想的第 个等式(用含 的代数式表示），并证明其正确性.
25．某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
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二次根式 单元综合测试精选卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】最简二次根式应满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含开得尽方的因数4；B选项中的被开方数含开得尽方的因式 ；D选项中的被开方数含开得尽方的因式 .故答案应选择C．
【分析】最简二次根式应满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据这两个条件可判断。
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A． ，不符合题意；
B． ，符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，不符合题意。
【分析】（1）根据算术平方根的性质可得，；
（2）根据算术平方根的性质可得，；
（3）根据绝对值的意义可得，;
（4）根据平方的意义可得，.
3．在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据 这一性质即可确定.
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，∴A不符合题意；
∵ 被开方数不相同，不是同类二次根式，∴两者不能合并，B不符合题意；
∵3为有理数， 为无理数，两者不能合并，∴C不符合题意；
∵ ，∴D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的加减计算逐项判定即可。
5．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥ B．x≥－ C．x＞ D．x≠
【答案】C
【解析】【解答】由题意得
2x-1＞0，
∴x＞ .
故答案为：C.
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可
6．下列二次根式中，化简后能与 合并的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 、 ，不能与 合并，故本选项不符合题意；
、 ，能与 合并，故本选项符合题意；
、 ，不能与 合并，故本选项不符合题意；
、 ，不能与 合并，故本选项不符合题意．
故答案为： ．
【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式后，若被开方数是2的即可合并.
7．如果一个三角形的三边长分别为 、k、 ，则化简 ﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为 、k、 ，
∴ ﹣ ＜k＜ + ，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝ ﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中三边的关系可得k的取值范围，根据k的范围，结合二次根式以及绝对值的性质进行化简即可。
8．设 =a， =b，用含a，b的式子表示 ，则下列表示正确的是（ ）
A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2 D．0.1a2b
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ =0.3 ， =a， =b，
∴ =0.3ab．
故答案为：A
【分析】把化为，再把已知代入可得.
9．若二次根式 有意义，且关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
【答案】D
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，解得，x＝ ，
∵关于x的分式方程 +2＝ 有正数解，
∴ ＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时， ＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵ 有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故答案为：D．
【分析】此题考查分式方程的解法，以及二次根式有意义的定义；重点要注意排除增根的情况.
10．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】【解答】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
【分析】根据根号下的数是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．计算的结果为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：.
故答案为：3.
【分析】根据二次根式的乘法法则：得出结果.
12．等式 成立的条件是 .
【答案】a＞3
【解析】【解答】解：要想等式成立,需要每个二次根式有意义且分母不为0,则有
等式
解得a＞3
【分析】利用二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可。
13．若 ，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ .
故答案为： .
【分析】先由非负数的性质求出a和b的值，然后把求得的a和b的值代入 计算即可.
14．把根式a 根号外的a移到根号内，得 ．
【答案】-
【解析】【解答】：∵ 有意义，
∴ ≥0，即a＜0，
∴原式=﹣
=﹣ ；
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，判断出a＜0，再根据异号两数相乘积为负判断出积的符号，由二次根式的性质将根号外的因式移到根号内，利用分式乘法法则将被开方数化简即可。
15．设 ， ， ，则 , , 从小到大的顺序是 .
【答案】a＜ c ＜ b
【解析】【解答】解：c= = ，b=2+ ，
所以显然有c＜b.
c =2+3+2 =5+2 ＞5+2=7=a ，显然有c＞a.
故答案为a＜c＜b.
【分析】将c分母有理化再进行比较即可．
16．若规定符号“*”的意义是，则的值是 .
【答案】
【解析】【解答】解： =2（-1）-（-1）2= =
故答案为：.
【分析】根据规定符号的意义列式子，进而根据二次根式混合运算的运算顺序：先根据单项式乘多项式法则及完全平方公式计算，再计算有理数的加减法及合并同类二次根式即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）计算：.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：∵，，
∴
.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的除法法则、乘方的意义、0次幂的运算性质、绝对值的性质可得原式=-3+1-+2-，然后根据二次根式的减法法则以及有理数的加减法法则进行计算；
（2）对a、b分母有理化可得a=+2，b=-2，待求式可变形为，然后代入计算即可.
18．若矩形的长a＝ ，宽b＝ ．
（1）求矩形的面积和周长；
（2）求a2＋b2﹣20＋2ab的值．
【答案】（1）解：∵矩形的长a＝ ，宽b＝ ．
∴矩形的面积为：（ ）（ ）
＝6﹣5
＝1；
矩形的周长为：2（ + ）＝4
（2）解：a2+b2﹣20+2ab
＝（a+b）2﹣20
＝（ + + ﹣ ）2﹣20
＝（2 ）2﹣20
＝24﹣20
＝4
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式和周长公式计算求解即可；
（2）利用完全平方公式，将a和b的值代入计算求解即可。
19．解答下列各题：
（1）计算：
（2）设实数 的整数部分为a，小数部分为b，求(2a+b)(2a-b)的值.
【答案】（1）解：原式=
（2）解：
∴ 的整数部分为a=2，小数部分为b= 2，
【解析】【分析】（1）先根据二次根式乘法法则和除法法则及二次根式性质化简计算，然后再合并同类二次根式得到答案.
（2）先求出a、b，然后再利用平方差公式化简原式，最后代入即可求出答案.
20．已知x=2+，y=2-，求下列各式的值：
（1）x2+y2+3xy；
（2）．
【答案】（1）解：∵x=2+，y=2-，
∴x+y=4，xy=4-3=1，
x2+y2+3xy=(x+y)2+xy=
（2）解：
【解析】【分析】（1）将x=2+，y=2-代入x2+y2+3xy，再利用完全平方公式计算即可；
（2）将x=2+，y=2-代入，再利用分式的混合运算求解即可。
21．化简
（1） ；
（2）
【答案】（1） = = =4-2=2；
（2） .
【解析】【分析】（1）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的混合运算计算即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减计算即可。
22．
（1）已知a为实数，求代数式： 的值.
（2）已知m是 的小数部分.①求m2+2m+1的值；②求 的值.
【答案】（1）解：由 ，得， ，
则 .
（2）解：①m＝ ﹣1：
原式＝（m+1）2＝2；
②原式＝|m﹣ |＝| ﹣1﹣ ﹣1|＝2.
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得：-a2≥0，则a=0，代入原式化简即可；
（2）①由题意可得m=-1，则m2+2m+1=(m+1)2，代入计算即可；
②由m=-1，可得=+1.则原式=|m-|，代入计算即可.
23．计算下列各式：
（1）（ ﹣4 ）﹣（3 ﹣2 ）
（2） ．
【答案】（1）解：原式=4 ﹣ ﹣ +
=3
（2）解：原式=（2 +4 ）（ ﹣2 ）﹣（2﹣2 +3）
=2（ +2 ）（ ﹣2 ）﹣（5﹣2 ）
=2×（2﹣12）﹣5+2
=﹣20﹣5+2
=﹣25+2
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
24．观察下列等式：
① .
② .
③ .
根据上述等式的规律解次下列问题：
（1）完成第4个等式：
（2）写出你猜想的第 个等式(用含 的代数式表示），并证明其正确性.
【答案】（1）7×9
（2）解：第n个等式： .
证明：
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：7×9；
【分析】（1）根据平方差公式将被开方数写成两个数的和与这两个数的差的积，进而根据二次根式的性质化简即可得出答案；
（2）通过数据变化规律，发现等式左边是一个二次根式，其被开方数是两个数的平方差，被减数的底数是（2n）2+1，减数的底数就是（4n），等式的右边是两个连续奇数的乘积，第一个奇数是（2n-1），第二个奇数是（2n+1，），根据总结的规律写出结论，进而根据（1）的解法进行证明即可.
25．某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【解析】【分析】）（1）已知长方形ABCD的长和宽，对二次根式进行化简，然后求出周长即可；
（2）首先计算出长方形花坛的面积，然后用长方形花坛的面积减去长方形绿地的面积再乘以 50元每平方米 即可求出答案.
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