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第二十七章 相似 单元专项培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
2．若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
3．若9x=5y，则 =（ ）
A． B． C． D．
4．如图，两个三角形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为A（2，－3），B（－1，b），则b的值为（ ）
A．－6 B．6 C． D．
5．如图，在 中， ， ， 与 交于 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，若 与 是位似图形，则位似中心可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD的值为（ ）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
8．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（ ）
A．4 m B． m C．5m D． m
9．下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
10．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对； B．6对； C．4对； D．2对．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 ，则 的值为 .
12．在中，，点D、E分别在边AC、BC上，，且，若，则边BC的长为 ．
13．△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，则△ABC的面积为 .
14．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子里看到楼的顶部，如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛距地面1.50m.同时量得LM＝30cm，MS＝2m，则这栋楼高 m.
15．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，点C在以 为直径的半圆上， ， ，点D在线段 上运动，点E与点D关于 对称， 于点D，并交 的延长线于点F.有下列结论：
① ；②线段 的最小值为 ；③当 时， 与半圆相切；④若点F恰好落在弧 上，则 ；⑤当点D从点A运动到点B时，线段 扫过的面积是 ，其中正确结论的序号是 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连结BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，则EM：MF的值为
18．如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，为上一点，且．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的长．
19．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知，．
（1）求；
（2）若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求的值．
20．如图，为半圆O的直径，为切线，交半圆O于点D，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连接．
（1）求证∶；
（2）若，，求的长．
21．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC＝2∠C.
（1）
求证：△ABC∽△ADB.
（2）
已知AB＝5，AD＝4，求BD.
22．如图，在 的网格图中， 三个顶点坐标分别为 、 、 .
（1）以O为位似中心，将 放大为 ，使得 与 的位似比为2：1，请在网格图中画出 ；
（2）直接写出（1）中点 、 、 的坐标.
23．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
（1）求证：BD2＝AD CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长.
24．已知正方形与正方形，正方形绕点A旋转一周.
（1）如图①，连接，求的值；
（2）当正方形旋转至图②位置时，连接，分别取的中点M、N，连接，试探究：与的关系，并说明理由.
25．一抽纸纸筒被安装在竖直墙面上，图1是其侧面示意图，其中于点D，于点A，于点B，，是以点E为圆心，长为半径的圆上的一段弧，//．
（1）求所在圆的半径；
（2）如图2．当一卷底面直径为的圆柱形纸巾恰好能放入纸筒内时，求纸筒盖要打开的最小角的大小．（参考数据：）
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第二十七章 相似 单元专项培优卷
（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3：4.5= ，
∴它们的相似比为 .
故答案为：A.
【分析】两个相似多边形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例.
2．若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】D
【解析】【分析】先根据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解答】∵△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，
∴=（)2=．
故选D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
3．若9x=5y，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵9x=5y，
∴.
故答案为：B.
【分析】将等积式转化为比例式即可.
4．如图，两个三角形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为A（2，－3），B（－1，b），则b的值为（ ）
A．－6 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵两三角形关于原点位似，B点横坐标是A点横纵标的﹣ ，
∴b的值为： .
故答案为：D.
【分析】由A、B的坐标可得：B点的横坐标是A点横坐标的，然后根据位似图形的性质解答即可.
5．如图，在 中， ， ， 与 交于 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴ ，故②不符合题意；
∵
∴
∴ ，故①不符合题意；
∴ ，故③符合题意；
∵
∴
∴
设 和 的 和 边上的高为 ，则有：
，故④符合题意，
所以，正确的结论有2个，
故答案为：B．
【分析】证明 可对②进行判断，证明 可对①③④进行判断
6．如图，若 与 是位似图形，则位似中心可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】如图所示，连接CF和BE并延长，相交于O1点，
∴可能的位似中心为O1点，
故答案为：A．
【分析】根据位似中心的定义判断即可．
7．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD的值为（ ）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
∴AO：OD= .
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积与△DEF的面积之比==
可求解.
8．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（ ）
A．4 m B． m C．5m D． m
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABM∽△CDM，
∴
∴
∵AB∥MH，
∴△MCH∽△ACB，
∴
∴
解之：.
故答案为：B.
【分析】由题意可知AB∥CD∥MH，可证得△ABM∽△CDM，△MCH∽△ACB，利用相似三角形的对应边成比例，可求出MC与AC的比值，同时可证得，代入计算可求出MH的长.
9．下列说法不一定正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似
C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似
【答案】C
【解析】【解答】A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．
故选C．
【分析】 利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．
10．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对； B．6对； C．4对； D．2对．
【答案】B
【解析】【分析】根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，
∴△GAB∽△BCF，
还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），
∴共有6对．
故选：B．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵ , ∴7a-7b=3b，
则7a=10b，则 =
故答案为：
【分析】直接利用已知条件，将原式变形化简求出答案.根据分比性质，可得答案.
12．在中，，点D、E分别在边AC、BC上，，且，若，则边BC的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，
∵∠C+
∠CDE＝45°
∴2∠C+∠CDE＝90°，
∴∠ADB+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
作DF⊥BC于F，如图所示：
则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，
∴，
设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，
∴BC＝8x，DE＝
x，
∴CD＝BD＝2
x，AC＝6+2
x，
∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴，即
，
解得：x＝
，
∴BC＝8
；
故答案为：8
．
【分析】作DF⊥BC于F，根据△DEF∽△BED∽△BDF，可得
，设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，则BC＝8x，DE＝
x，再证明△CDF∽△CBA，可得
，即
，求出x的值即可。
13．△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，则△ABC的面积为 .
【答案】25
【解析】【解答】解：∵ ， ，
， ，
∵ ， ，
，
，
，
，
.
故答案为：25.
【分析】利用平行可证得△EFC∽△ADE，△EFC∽△ABC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC与AE的比值，即可得到EC与AC的比值，进而可求出△ABC的面积.
14．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子里看到楼的顶部，如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛距地面1.50m.同时量得LM＝30cm，MS＝2m，则这栋楼高 m.
【答案】10
【解析】【解答】解：如图，
根据题意， ，
， （反射角等于入射角），
，
，即 ，
所以这栋大楼高为 .
故答案为：10.
【分析】将实际问题转化为数学问题，可知KL，LM的长，利用有两组角分别相等的两三角形相似，可证得△KLM∽△TSM，利用相似三角形的对应边成比例可求出TS的长.
15．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：设，，则
由题意知，
∴
∴
∴
解得
∴
∴
故答案为：5.
【分析】设A（a，），F（0，m），则B（，），由题意知∠BEF=∠DOF=90°，∠BFE=∠DFO，证明△BEF∽△DOF，根据相似三角形的性质可得m=，则EF=，然后根据三角形的面积公式进行计算.
16．如图，点C在以 为直径的半圆上， ， ，点D在线段 上运动，点E与点D关于 对称， 于点D，并交 的延长线于点F.有下列结论：
① ；②线段 的最小值为 ；③当 时， 与半圆相切；④若点F恰好落在弧 上，则 ；⑤当点D从点A运动到点B时，线段 扫过的面积是 ，其中正确结论的序号是 .
【答案】①②④⑤
【解析】【解答】解：①连接 CD ，如图1所示
∵点E与点D关于 AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴结论①正确；
②当 CD⊥AB 时，如图2所示；
∵ AB是半圆的直径，
∴
∵ ， ，
∴ ， ， .
∵ ， ，
∴ .
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时， CD 的最小值为 .
∵ ，
∴ ，
∴线段EF的最小值为 ，
∴结论②正确.
③当 时，连接OC ，如图3所示.
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ OC不垂直于EF ，
∵经过半径OC 的外端，且OC不垂直EF ，
∴ EF与半圆不相切，
∴结论③错误.
④当点F恰好落在 上时，连接FB 、AF ，如图4所示.
∵点E与点D关于AC 对称，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴
∵ ，
∴
∴ .
∴ .
∴
∵ AB是半圆的直径，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴结论④正确.
⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM 与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB 与AB关于BC对称，
∴ EF扫过的图形就是图5中阴影部分，
∴ ，
∴ 扫过的面积为 ，
∴结论⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
【分析】连接CD，由轴对称的性质可得CE=CD，根据等腰三角形的性质可得∠E=∠CDE，由等角的余角相等可得∠F=∠CDF，推出CD=CF，据此判断①；当CD⊥AB时，由圆周角定理可得∠ACB=90°，易得AC、BC、CD的值，根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD的最小值，然后根据CE=CD=CF可得EF=2CD，据此得到EF的最小值，进而判断②；当AD=3时，连接OC，易得△OAC是等边三角形，得到CA=CO，∠ACO=60°，根据轴对称的性质可得∠ECA=∠DCA，推出OC不垂直于 EF，据此判断③；当点F恰好落在上时，连接FB、AF，证明△FHC∽△FDE，由相似三角形的性质可得FH=FD，推出FH=DH，易得BF=BD，∠FBD=60°，∠FAB=30°，求出FB，DB，进而得到AD，据此判断④；易知EF扫过的图形的面积=2S△ABC，据此判断⑤.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连结BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形．
（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，则EM：MF的值为
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形；
（2）解：
【解析】【解答】
（2）解：设OM=2a，
∵EF⊥AB， tan∠MBO=，
∴BM=5a，
又∵AC⊥BD，
∴∠AOM=∠OBM，
∴△AOM△OBM，
∴，
∴AM=，
∵AD//BC，
∴△AEM△BFM，
∴EM：MF=AM：BM=，
故答案为：.
【分析】（1）先求出∠AEO=∠CFO，再利用全等三角形的判定方法求出△AEO≌△CFO，最后利用平行四边形的判定方法证明即可；
（2）先求出BM=5a，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
18．如图，在中，，以为直径作，交于点，作交延长线于点，为上一点，且．
（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线.
（2）解：如图，连接，
∵为的直径，
∴.
∵，，
∴.
∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出，可得，再结合BC为圆的直径，可证为的切线；
（2）连接BM，先证明，可得，再将数据代入求出即可。
19．如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知，．
（1）求；
（2）若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求的值．
【答案】（1）解：过点D作DF⊥BC交BC于点F
∵，AH为△的高，
∴∠
∵∠
∴△
∴
∴
∵
∴
设，则
∴
∵
∴
∴
∴
∵∠
∴△
∴
∴
∴
（2）解：以H为圆心，HB为半径作圆，如图，
∵
∴BC是⊙O的直径
∴∠
由（1）知，
∵
∴设
∴
∴
在中，
在中，
∴
∴
∵
∴
在中，
【解析】【分析】（1）做辅助线，得到三角形相似，再利用相似求比各线段的比例
（2）根据圆的性质可知∠BDC为90°，根据（1）的相似比，以及勾股定理得出线段长度关系比，求出cosB
20．如图，为半圆O的直径，为切线，交半圆O于点D，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连接．
（1）求证∶；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
为半圆的直径，
，
为切线，
，
，，
∴，
，
，
（2）解：，
，
在和中，
，
，
，
，，
∴，
．
在中，由勾股定理得，
由（1）知，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接BD，先利用等角的余角相等的性质可得，再结合，可得，即可证明；
（2）先利用“ASA”证明，可得，利用勾股定理求出AE的长，再证明，可得，将数据代入求出即可。
21．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且∠ABC＝2∠C.
（1）
求证：△ABC∽△ADB.
（2）
已知AB＝5，AD＝4，求BD.
【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠C＝ ∠ABC，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB.
（2）解：∵△ABC∽△ADB，
∴ ，
∵AB＝5，AD＝4，
∴AC＝ ＝ ，
∴CD＝AC﹣AD＝ ﹣4＝ ，
∵∠DBC＝ ∠ABC，∠C＝ ∠ABC，
∴∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD＝ ，
∴BD的长为 .
【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，再由∠ABC＝2∠C，进而得∠C＝∠ABD，再结合∠A为公共角，即可证明△ABC∽△ADB；
（2）根据三角形相似性质得 ，求得AC= ，进而求得CD= ；由∠DBC＝ ∠ABC，∠C＝ ∠ABC，得∠DBC＝∠C，进而得BD＝CD，即可求出BD的长.
22．如图，在 的网格图中， 三个顶点坐标分别为 、 、 .
（1）以O为位似中心，将 放大为 ，使得 与 的位似比为2：1，请在网格图中画出 ；
（2）直接写出（1）中点 、 、 的坐标.
【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：点 的坐标为 的坐标为 的坐标为 .
【解析】【分析】（1）连接OA并延长使OA'=2OA，连接OB并延长使OB'=2OB，连接OC并延长使OC'=2OC，然后顺次连接即可；
（2）根据位置分别写出坐标即可.
23．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.
（1）求证：BD2＝AD CD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长.
【答案】（1）证明：∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD
∴
∴BD2＝AD CD
（2）解：∵BM∥CD ∴∠MBD＝∠BDC
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA ∴BM＝MD＝AM＝4
∵BD2＝AD CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12
∴MC2＝MB2+BC2＝28 ∴MC＝2
∵BM∥CD ∴△MNB∽△CND
∴ ，且MC＝2
∴MN＝
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可证得∠ADB＝∠CDB，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABD∽△BCD；然后利用相似三角形的对应边成比例，可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证得∠MBD＝∠BDC，利用已知条件求出BD2，利用勾股定理求出BC2及MC的长；再由BM∥CD，可推出△MNB∽△CND，利用相似三角形的对应边成比例可求出MC的长，继而可求出MN的长.
24．已知正方形与正方形，正方形绕点A旋转一周.
（1）如图①，连接，求的值；
（2）当正方形旋转至图②位置时，连接，分别取的中点M、N，连接，试探究：与的关系，并说明理由.
【答案】（1）解：如图①，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
理由如下：如图②，连接，过点C作，交直线于H，连接，设与交点为P，与交点为R，
∵，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，点N是中点，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）连接AF、AC，根据正方形的性质得∠CAB=∠GAF=45°，推出∠CAF=∠BAG，由等腰直角三角形的性质得 推出△CAF∽△BAG，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）BE=2MN，且MN⊥BE，理由如下： 连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF与AD交点为P，CF与AG交点为R，利用ASA判断出△CMH≌△FME，得CH=EF，ME=HM，再利用SAS证明△BCH≌△BAE，得BH=BE，∠CBH=∠ABE ，进而根据三角形的中位线定理即可解决问题.
25．一抽纸纸筒被安装在竖直墙面上，图1是其侧面示意图，其中于点D，于点A，于点B，，是以点E为圆心，长为半径的圆上的一段弧，//．
（1）求所在圆的半径；
（2）如图2．当一卷底面直径为的圆柱形纸巾恰好能放入纸筒内时，求纸筒盖要打开的最小角的大小．（参考数据：）
【答案】（1）解：如图1，过点作于点，
四边形是矩形
，
中，
解得
即所在圆的半径为cm
（2）解：连接，如图2，
由旋转可得
【解析】【分析】（1）过点作于点，证出四边形是矩形，在中，利用勾股定理得出CD的值，再证出，得出，由，得出DE的值，代入求解即可；
（2）连接，由旋转可得，得出，由，得出，代入求解即可。
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