2025年高考数学核心考点归纳第72讲、垂直弦问题(学生版+解析)

文档属性

名称 2025年高考数学核心考点归纳第72讲、垂直弦问题(学生版+解析)
格式 zip
文件大小 3.2MB
资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-02-24 10:28:45

文档简介

第72讲 垂直弦问题
知识梳理
1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦,.若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点.
2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦,.若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点.
3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦,.若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点.
4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦,.若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点.
5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在轴上.
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在轴上.
8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点,
9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
必考题型全归纳
题型一:椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
例1.(2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习)已知点,动点P满足:∠APB=2θ,且|PA||PB|cos2θ=1.(P不在线段AB上)
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q,试问直线PQ是否经过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
【解析】(1)①当点P在x轴上且在线段AB外时,
设,则,,
由,
所以,故;
②当点P不在x轴上时,在△PAB中,
所以,
∴,即动点P在以A、B为两焦点的椭圆上,
方程为:且;
由①②知:动点P的轨迹C的方程为:;
(2)显然两直线斜率存在,设AP:y=kx+1,代入椭圆方程得,
所以,代替k同理可得,
直线PQ:,化简得;
令x=0,得,故直线PQ过定点.
例2.(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C的两个焦点分别为,,短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)M,D分别为椭圆C的左 右顶点,过M点作两条互相垂直的直线MA,MB交椭圆于A,B两点,直线AB是否过定点?并求出面积的最大值.
【解析】(1)由题意得:

故可知
椭圆方程为:,离心率为:
(2)M,D分别为椭圆C的左 右顶点
又由(1)可知: 设直线AB的方程为:,,
联立方程可得:
有韦达定理可知:,


展开后整理得:,解得:或(舍去)
直线恒过定点


由对勾函数的单调性可知:
所以,当且仅当,即时取等号
此时的最大值为:
例3.(2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习)已知为圆上一动点,过点作轴的垂线段为垂足,若点满足.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,过点作曲线的两条互相垂直的弦,两条弦的中点分别为,过点作直线的垂线,垂足为点,是否存在定点,使得为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意得,设点,则点,
因为,所以,则,
因为点在圆上,所以,则,即,
所以点轨迹方程为.
(2)①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在,则可设直线,
联立,得,
设直线与曲线两交点的坐标分别为,则,

直线,
同理可得:,
设直线与轴交于点,
则当直线斜率存在时,由得,
,即直线恒过点;
当直线斜率不存在时,由得,则,
则直线恒过点;
②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在,则直线为轴,恒过,
综上:直线恒过点
在以中点为圆心,为直径的圆上,
取,则为定值;
存在点,使得为定值.
变式1.(2024·上海青浦·统考一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆,过右焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD中点分别为,.
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率;
(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点坐标;
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求面积的最大值.
【解析】(1)由椭圆方程可知:,,所以
右焦点坐标,该椭圆的离心率;
(2)证明:斜率均存在,
设,直线AB方程为,
则,
联立,
则有,
将上式中换为,可得,
若,则直线MN斜率不存在,此时直线MN过点,
下证动直线MN过定点,
若直线MN斜率存在,则,
直线MN方程为,
令得,所以此时直线MN也过定点,
当两条直线其中一条斜率不存在,一条直线斜率为0时,
不妨设斜率不存在,斜率为0,
此时,
则直线的方程为,过点,
综上,动直线MN过定点;
(3)由(2)可知直线MN过定点,

令,

因为,所以在上递减,
所以时,取得最大值,此时.
变式2.(2024·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)设分别是椭圆的左 右焦点,是上一点,与轴垂直.直线与的另一个交点为,且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设是椭圆的上顶点,过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点,证明直线过定点,并求出定点坐标.
【解析】(1)由题意知,点在第一象限,是上一点且与轴垂直,
的横坐标为.当时,,即.
又直线的斜率为,所以,
即,即
则,解得或(舍去),
即.
(2)已知是椭圆的上顶点,则,
由(1)知,解得,
所以,椭圆的方程为,
设直线的方程为,
联立可得,
所以,
又,

化简整理有,得或.
当时,直线经过点,不满足题意;.
当时满足方程中,
故直线经过轴上定点.
变式3.(2024·全国·高二专题练习)设分别是圆的左 右焦点,M是C上一点,与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N,且直线MN的斜率为
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设是椭圆C的上顶点,过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A B两点,过点D作线段AB的垂线,垂足为Q,判断在y轴上是否存在定点R,使得的长度为定值?并证明你的结论.
【解析】(1)由题意知,点在第一象限.是上一点且与轴垂直,
的横坐标为.当时,,即.
又直线的斜率为,所以,
即,即,
则,解得或(舍去),即.
(2)已知是椭圆的上顶点,则,椭圆的方程为,
易得直线AB的斜率必然存在,设直线的方程为,
由可得
所以,
又,.

化简整理有,得或.
当时,直线经过点,不满足题意;
当时满足方程中,故直线经过轴上定点.
又为过点作线段的垂线的垂足,故在以为直径的圆上,取的中点为,则为定值,且
变式4.(2024·云南昆明·高二统考期中)已知椭圆,直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点(点不同于椭圆的右顶点),证明:直线过定点.
【解析】(1)根据题意,设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限,
又长为,∴,∴
∴,故的标准方程为
(2)显然直线的斜率存在且不为0,
设,由得,
∴,同理可得
当时,,
所以直线的方程为
整理得,所以直线
当时,直线的方程为,直线也过点
所以直线过定点.
题型二:双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
例4.(2024·高二课时练习)已知双曲线C:经过点,且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA,PB与双曲线C交于A,B两点(A,B两点均与点P不重合),设直线AB:,试求和之间满足的关系式.
【解析】(1)已知双曲线C:经过点,
则,
右顶点为,不妨取渐近线为,即,
则,
从而可解得,
所以双曲线C的方程为;
(2)设,
联立,消得,
则,
则,


因为,则,
即,
即,
即,
整理得,
所以.
例5.(2024·江苏南京·高二校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中,动点Р与定点F(2,0)的距离和它到定直线l:的距离之比是常数,记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设过点A(,0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M,N(异于点A),求证:直线MN过定点.
【解析】(1)设P(x,y),
因为P与定点F(2,0)的距离和它到定直线l:的距离之比是常数,
所以,
化简得,
所以曲线E的方程为.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
当直线MN斜率不存在,直线AM,AN分别为,,
分别联立,解得M(,),N(,-),
此时直线MN的方程为,过点(,0);
当直线MN斜率存在时设其方程为,()
由,消去y得,
所以,即,
,,
因为AM⊥AN,
所以,即,
即,
即,
将,代入化简得:,
所以或,
当时,直线MN方程为(不符合题意舍去),
当时,直线MN方程为,MN恒过定点(,0),
综上所述直线MN过定点(,0).
例6.(2024·全国·高三专题练习)已知双曲线,经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C,直线OB OC(O为坐标原点)的斜率都存在且它们的乘积为.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点A作(D为垂足),请问:是否存在定点E,使得为定值?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设 ,线段AM AN的中点分别为 ,
由已知,得;
两式相减,得,即①
根据中点坐标及斜率公式,得
,,,.代入①,
得②同理,得③,②③相乘,得.
∵,,∴④
由,与④联立,得,,
双曲线的方程为:.
(2)①当时,设,,,,
由AM AN互相垂直,得,
由解得(此时无实数解,故舍去),或(此时M N至少一个点与A重合,与条件不符,故舍去).综上,此时无符合条件的解.
②当不成立时,设直线,
代入得,且

∴,即,
解得:或.
当时,过点,与条件不符,舍去.
∴ ,,过定点
∴ AP中点,由于(D为垂足),故.
综上所述,存在定点,使得为定值.
题型三:抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
例7.(2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习)已知抛物线C:的焦点为F,斜率为1的直线l经过F,且与抛物线C交于A,B两点,.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点(异于点P),证明:直线恒过定点,并求出该定点坐标.
【解析】(1)设,
由题意知,则直线l方程为,
代入,得,,
∴,
由抛物线定义,知,,
∴,∴,
∴抛物线的方程为.
(2)证明:在抛物线上,,
由题意,直线的斜率不为0,设直线的方程为,
设,
由,得 ,
则,且,
又,

由题意,可知, ,
故,
故,
整理得 ,即,
或,即或.
若,则 ,
此时直线过定点,不合题意;
若,则,
此时直线过定点,符合题意,
综上,直线过异于P点的定点.
例8.(2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习)已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)是抛物线上横坐标为的点,过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点,证明直线恒经过某一定点,并求出该定点的坐标.
【解析】(1)由已知得,设,则中点为,
关于直线对称,
点R在直线l上,
,解得,即.
又由,得直线的斜率,
,解得,
∴.
(2)证明:设直线的方程为,、均不与M重合,
由得,
,.
由(1)得,
,,
又由得,即,
∴,
∴,
∴,∴,
∴,∴,
直线的方程为,即,
∴直线恒过定点.
例9.(2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习)已知抛物线,O是坐标原点,F是C的焦点,M是C上一点,,.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设点在C上,过Q作两条互相垂直的直线,分别交C于A,B两点(异于Q点).证明:直线恒过定点.
【解析】(1)由,可得,
代入.
解得或(舍),
所以抛物线的方程为:.
(2)解:由题意可得,直线的斜率不为0,
设直线的方程为,设,
由,得,从而,
则.
所以,

∵,
∴,
故,
整理得.即,
从而或,
即或.
若,则,过定点,与Q点重合,不符合;
若,则,过定点.
综上,直线过异于Q点的定点.
变式5.(2024·浙江·高三专题练习)已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,如图,过点任作两条互相垂直的直线,,分别交抛物线于,,,四点,,分别为,的中点.
(1)求的值;
(2)求证:直线过定点,并求出该定点的坐标;
(3)设直线交抛物线于,两点,试求的最小值.
【解析】(1)椭圆的焦点坐标为,
由于抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,
故,即,;
(2)由(1)知,抛物线的方程为,
设,,,,
由题意,直线的斜率存在且
设直线的方程为,
代入可得,
则,
故,
故的中点坐标为,
由,设直线的方程为,
代入可得,
则,
故,
可得的中点坐标为,
令得,
此时,
故直线过点,
当时,,
所以,,,三点共线,
所以直线过定点.
(3)设,
由题意直线的斜率存在,设直线的方程为,
代入可得,
则,,

故,当即直线垂直轴时,取得最小值.
变式6.(2024·四川绵阳·高二校考阶段练习)已知抛物线:的焦点为,点在抛物线上,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和,试问直线是否过定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
【解析】(1),解得:
故抛物线C的方程为:..
(2)由题可得,直线的斜率不为
设直线:,,
联立,得:,
,..
由,则,即
于是
,所以
或.
当时,
直线:,恒过定点,不合题意,舍去.
当,,直线:,恒过定点
综上可知,直线恒过定点.
变式7.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为,与抛物线的交点为,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和,试问直线是否过定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
【解析】(1)设,代入得:,即
由得:,解得:或(舍去)
故抛物线C的方程为:.
(2)由题可得,直线的斜率不为
设直线:,,
联立,得:,
,,
由,则,即.
于是
,所以

当时,
直线:,恒过定点,不合题意,舍去.
当,,直线:,恒过定点
综上可知,直线恒过定点
变式8.(2024·云南曲靖·高二校考期末)已知点与点的距离比它的直线的距离小2.
(1)求点的轨迹方程;
(2)是点轨迹上互相垂直的两条弦,问:直线是否经过轴上一定点,若经过,求出该点坐标;若不经过,说明理由.
【解析】(1)(1)由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2,
即动点到的距离与它到直线的距离相等,
由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线,
则点的轨迹方程为;
(2)(2)法一:由题意知直线的斜率显然不能为0,
设直线的方程为,,
联立方程,消去,可得,即,
,,
由题意知,即,则,
故, ,,直线的方程为,
故直线过定点,且定点坐标为;
法二:假设存在定点,设定点,
, , 故,
在抛物线上,即代入上式,可得,
故,三点共线, ,,
假设成立,直线经过轴的定点,坐标为.
题型四:椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例10.(2024·福建龙岩·统考一模)双曲线:的左右顶点分别为,,动直线垂直的实轴,且交于不同的两点,直线与直线的交点为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点作的两条互相垂直的弦,,证明:过两弦,中点的直线恒过定点.
【解析】(1)因为,
设 则且①,
因为动直线交双曲线于不同的两点,所以且,
因为直线的方程为②,
直线的方程为③,
②③得,
把①代入上式得,化简得,
所以点的轨迹的方程为.
(2)依题意得直线与直线斜率均存在且不为0,
设直线的方程为,则直线的方程为,
联立得,
则,设,
,,
所以的中点,
同理的中点,
所以直线的斜率为,
所以直线的方程为,
整理得,
所以直线恒过定点,即过两弦中点的直线恒过定点.
例11.(2024·全国·高二期末)已知椭圆的左右焦点分别为,抛物线与椭圆有相同的焦点,点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A,B和C,D,线段AB的中点为M,线段CD的中点为N,证明:直线过定点,并求出该定点的坐标.
【解析】(1)抛物线焦点坐标为,故.
设,由抛物线定义得:点P到直线的距离为t.
,由余弦定理,得.
整理,得,解得或(舍去).
由椭圆定义,得,

∴椭圆的方程为;
(2)设,
联立,
即,
,代入直线方程得,

同理可得,


令,得,
所以直线MN过定点.
例12.(2024·上海闵行·高二闵行中学校考期末)在平面直角坐标系中,为坐标原点,,已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过作互相垂直的两条直线、,与动点的轨迹交于、,与动点的轨迹交于点、,、的中点分别为、;证明:直线恒过定点,并求出定点坐标;
(3)在(2)的条件下,求四边形面积的最小值.
【解析】(1)
取点,则有,所以四边形是平行四边形,
所以,因为,所以,
所以动点的轨迹为椭圆(左右顶点除外),所以,,
所以,所以动点的轨迹方程为.
(2)当垂直于轴时,的中点,
直线为轴,与椭圆,无交点,不合题意,
当直线不垂直于轴时,不妨设直线的方程为,
,,
由,得,
所以△,
所以,,
所以,
所以,
因为,以代替,得,
所以直线的斜率为,
所以直线的方程为,
由椭圆的对称性得,若存在这样的定点必在轴上,
令,则,
所以,
所以直线恒过定点,
当时,,,
所以直线恒过定点,
综上所述,直线恒过定点.
(3)由(2)得,,
所以

同理可得,
所以四边形的面积,
令,则,
所以,
因为,所以,
当,即时,,所以,
所以四边形的面积最小值为.
变式9.(2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习)已知椭圆的离心率为,椭圆截直线所得线段的长度为.过作互相垂直的两条直线、,直线与椭圆交于、两点,直线与椭圆交于、两点,、的中点分别为、.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:直线恒过定点,并求出定点坐标;
(3)求四边形面积的最小值.
【解析】(1)由题意得椭圆过点,

解得,,,

(2)当直线、斜率均存在且不为0时,
设,,
则,,,
由,,
得,,

由,,
得,,
可得,
① 当时,
直线的斜率为,
直线的方程为,
化简得,过定点,
② 当时,
直线的方程为,过点,
当直线、斜率一个不存在一个为0时,、的中点坐标分别为、时.直线的方程为,过点,
综上,直线恒过定点;
(3)当直线或斜率一个不存在一个为0时,,
当直线、斜率均存在时且不为0时,
由(2)得



当且仅当即时等号成立,
综上,四边形面积的最小值为.
变式10.(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为,且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为的左顶点,过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点,证明:直线经过定点,并求这个定点的坐标.
【解析】(1)由椭圆定义知:,解得:,
又离心率,,,
椭圆的标准方程为:.
(2)由(1)知:;
当直线斜率存在时,设,,,
由得:,
则,解得:,
,,
,,
即,

即,
整理可得:,或;
当时,直线恒过点,不合题意;
当时,直线,恒过定点;
当直线斜率不存在且恒过时,即,
由得:,,满足题意;
综上所述:直线恒过定点.
题型五:双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例13.(2024·高二课时练习)已知双曲线C的右焦点F,半焦距c=2,点F到直线的距离为,过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点的坐标.
【解析】(1)依题意,c=2,,解得,
所以双曲线的方程为:.
(2)点,当直线AB不垂直于坐标轴时,设直线AB的方程为:,,,
由消去x并整理得:,显然,
则,有,于是得弦AB中点,
因,同理可得点,
当直线MN不垂直于x轴时,直线MN的斜率,
因此,直线MN的方程为:,化简得,
于是得直线MN恒过定点,
当直线MN垂直于x轴时,由得,直线MN:过定点,
则当直线AB不垂直于坐标轴时,直线MN恒过定点,
当AB垂直于x轴,即k=0时,则弦AB的中点M与F重合,弦CD的中点N与原点重合,此时MN为x轴,直线MN过,
当AB垂直于y轴时,则弦AB的中点M为原点,弦CD中点N与F重合,此时直线MN为x轴,直线MN也过点,
所以直线MN恒过定点.
例14.(2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模)在平面直角坐标系中,已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为.记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,.交曲线于,两点,交曲线于,两点,线段的中点为,线段的中点为.证明:直线过定点,并求出该定点坐标.
【解析】(1)设,根据题意可得,
化简得曲线的方程为.
(2)证明:设,,
①若直线,都存且不为零,
设直线的方程为,则直线的方程为,
由,得,
当时,这个方程变为只有一解,
直线与曲线只有一个交点,不合题意,
当时,,
直线与曲线恒有两个交点,
由韦达定理, ,
故线段的中点为,
同理,线段的中点为,
若,则,
直线的方程为,
即,
此时,直线恒过点.
若,则,或,,直线的方程为,
此时直线也过点,
②若直线,中其中一条的斜率为,另一条的斜率不存在,
不妨设的斜率为,则直线:,:x=2,
此时,直线的方程为,
此时,直线也过点,
综上,直线恒过点.
例15.(2024·山西大同·高三统考阶段练习)已知双曲线:的右焦点为,半焦距,点到右准线的距离为,过点作双曲线的两条互相垂直的弦,,设,的中点分别为,.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)证明:直线必过定点,并求出此定点坐标.
【解析】(1)由题设可得,,所以,.
所以双曲线的标准方程为.
(2)证明:点,设过点的弦所在的直线方程为,,,
则有.
联立,可得.
因为弦与双曲线有两个交点,所以,
所以,所以.
(1)当时,点即是点,此时,直线为轴.
(2)当时,将上式点坐标中的换成,同理可得.
①当直线不垂直于轴时,
直线的斜率,
其方程,化简得,
所以直线过定点;
②当直线垂直于轴时,,此时,,直线也过定点.
综上所述,直线过定点.
变式11.(2024·贵州·校联考模拟预测)已知双曲线的一条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程;
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦(斜率均存在)、.两条弦的中点分别为、,那么直线是否过定点 若不过定点,请说明原因;若过定点,请求出定点坐标.
【解析】(1)设双曲线的焦点坐标为,
依题意渐近线方程为,即,
有,
解得,

(2)由(1)可知右焦点,
设直线:,,,
由联立直线与双曲线,
化简得,,
故,,

又,则,
同理可得:


化简得,
故直线过定点.
题型六:抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例16.(2024·全国·高二专题练习)已知抛物线:焦点为,为上的动点,位于的上方区域,且的最小值为3.
(1)求的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线和,交于,两点,交于,两点,且,分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是,求出该定点坐标;若不是,说明理由.
【解析】(1)抛物线:焦点为,准线为,
设到的距离为,因为位于的上方区域,
根据抛物线的定义可知(当且仅当时取等号),
又的最小值为,所以,解得,
所以抛物线:.
(2)依题意直线和的斜率均存在且不为,
设直线的方程为,则直线的方程为,,,
联立方程得,消去并整理得,
则,则,,
所以,
因为为的中点,所以,同理,
所以直线的方程为,
整理得,所以直线恒过点.
例17.(2024·全国·高三专题练习)已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线和,交抛物线于、两点,交抛物线于,两点,若线段的中点为,线段的中点为,证明:直线过定点.
【解析】(1)由对称性可知等边三角形的顶点在上,
代入得:,解得:,
所以抛物线方程为:;
(2)由题意知和斜率均存在,,设直线方程为,
则直线方程为,
由联立得:,
设,则,
故,同理得
故直线MN方程为
整理得:,故直线MN过定点
例18.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:的焦点为F,过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H,I两点,O为坐标原点,的周长为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB,DE,设弦AB,DE的中点分别为P,Q,试判断直线PQ是否过定点?若过定点.求出其坐标;若不过定点,请说明理由.
【解析】(1)由题意,在中代入,得,解得,
所以.
由勾股定理得|,
则的周长为,解得,
故抛物线C的方程为.
(2)由题意可知,直线AB的斜率存在,且不为0.
设直线AB的方程为,,.
联立消去x,得,,
则,从而.
因为P是弦AB的中点,所以,同理可得.
当,即时,直线PQ的斜率,
则直线PQ的方程为,即.
故直线PQ过定点;
当,即时,直线PQ的方程为,也过点.
综上所述,直线PQ过定点.
变式12.(2024·山西·高二校联考期末)已知抛物线C:(),过点作两条互相垂直的直线和,交抛物线C于A,B两点,交抛物线C于D,E两点,抛物线C上一点到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若线段AB的中点为M,线段DE的中点为N,求证:直线MN过定点.
【解析】(1)到焦点F的距离为3,则准线为,,
抛物线方程为.
(2)由题意知和斜率均存在,,设直线方程为,
则直线方程为,
由联立得,
设,则,
故,同理得
故直线MN方程为
整理得,故直线MN过定点
变式13.(2024·全国·高三专题练习)动圆P与直线相切,点在动圆上.
(1)求圆心P的轨迹Q的方程;
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN必过定点.
【解析】(1)设,根据题意,有,化简,得,
即圆心P的轨迹Q的方程为.
(2)由题意,知直线AB的斜率存在且不为0.
设直线,
代入,得,所以.
因为M是线段AB的中点,所以.
因为,所以将点M坐标中的k换成,即得.
当,即时,直线;
当时.直线.
整理,得,所以直线MN过定点.
综上所述,不论k为何值,直线MN必过定点.
变式14.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线的焦点为F,点M在抛物线C上,O为坐标原点,是以为底边的等腰三角形,且的面积为.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦,,设弦,的中点分别为P,Q,试判断直线是否过定点.若是,求出所过定点的坐标;若否,请说明理由.
【解析】(1)由题意可知.
因为是以为底边的等腰三角形,所以.
因为的面积为,所以,解得.
故抛物线C的方程为.
(2)由题意可知,直线的斜率存在,且不为0.
设直线的方程为,,.
联立,整理得,,
则,从而.
因为P是弦的中点,所以,
同理可得.
当,即时,直线的斜率,
则直线的方程为,即.
故直线过定点.
当,即时,直线的方程为,且过点.
综上,直线过定点.
变式15.(2024·安徽滁州·高二校考开学考试)在平面直角坐标系中,设点,直线,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,也是PF的中点.,.
(1)求动点Q的轨迹的方程E;
(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M,N.求直线MN过定点R的坐标.
【解析】(1)∵直线的方程为,点R是线段FP的中点且,
∴RQ是线段FP的垂直平分线,
∵, ∴是点Q到直线l的距离,
∵点Q在线段FP的垂直平分线,∴,
则动点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,但不能和原点重合,
即动点Q的轨迹的方程为.
(2)设,,由题意直线AB斜率存在且不为0,设直线AB的方程为,
由已知得,两式作差可得,即,则,
代入可得,即点M的坐标为,
同理设,,直线的方程为,
由已知得,两式作差可得,即,
则,代入可得,即点的坐标为,
则直线MN的斜率为,
即方程为,整理得,
故直线MN恒过定点.
变式16.(2024·福建福州·高二校考期中)在平面直角坐标系 xOy中,O为坐标原点,已知点,P是动点,且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过F作倾斜角为60°的直线L,交曲线C于A,B两点,求△AOB的面积;
(3)过点任作两条互相垂直的直线,分别交轨迹 C 于点A,B和M,N,设线段AB,MN的中点分别为E,F.,求证:直线EF恒过一定点.
【解析】(1)设点P的坐标为,则,
由,得,整理得点P的轨迹的方程为:
(2)设,由得:

(3)证明:设点A,B的坐标为,则点E的坐标为.
由题意可设直线的方程为,
由,消去y得,
,∵直线与抛物线交于A,B两点,

∴点E的坐标为,由题知,直线的斜率为,同理可得F的坐标为.
当时,有.此时直线EF的斜率为:
∴直线EF的方程为,
整理得,恒过定点,当时,直线EF的方程为,也过点.
综上所述,直线EF恒过定点.
变式17.(2024·宁夏银川·高二银川一中校考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、,抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,点为抛物线与椭圆在第一象限的交点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、,线段的中点为,线段的中点为,证明:直线过轴上一定点,并求出该定点的坐标.
【解析】(1)抛物线焦点为,故,易知点,
设点,其中,,且,
,整理可得,
即,,解得,所以,,
所以,,则,,
因此,椭圆的方程为.
(2)设直线的方程为,其中,设点、,
联立,
,所以,,
,故点,
同理可得点,
所以,,
所以,直线的方程为,即,
因此,直线过定点.
变式18.(2024·湖南·高三阶段练习)如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴正半轴上,准线与轴的交点为.过点作圆的两条切线,两切点分别为,,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如图,过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线,,分别交抛物线于,两点和,两点,,分别为线段和的中点,求面积的最小值.
【解析】(1)由对称性知,轴,设与轴的交点为,则.在中,;(2)设直线的斜率为,由过:.代入点
,同理可得点:过定点的面积:(当且仅当时取等号)的面积的最小值为.
试题解析:(1)由对称性知,轴,设与轴的交点为,则.
连,则中,,则
因为为圆的切线,则.由射影定理,得,则
因为圆心的坐标为,则,所以,即,得.
所以抛物线的标准方程为
(2)设直线的斜率为,因为过焦点,则直线的方程为.代入,得
.设点,,则.因为为线段的中点,则点
因为,则直线的方程为.同理可得点
直线的方程为,即,显然过定点
设的面积为,与轴的交点为,则
,当且仅当时取等号.所以的面积的最小值为
题型七:内接直角三角形范围与最值问题
例19.(2024·江西·高二校联考开学考试)设椭圆的两焦点为,,为椭圆上任意一点,点到原点最大距离为2,若到椭圆右顶点距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为、,过作两条互相垂直的直线交椭圆于、,问直线是否经过定点?如果是,请求出定点坐标,并求出面积的最大值.如果不是,请说明理由.
【解析】(1)∵点到原点最大距离为2,故,
∵到椭圆右顶点距离为,∴,
解得:或5(舍去5),
∴椭圆的方程为.
(2)设:,联立,
得:,
∴,,
∵,∴,


利用韦达定理代入化简得:,
解得:(舍去)或,
∴直线过定点,
此时,,

令,上式①,
而,∴①,
∴面积的最大值为.
例20.(2024·上海·高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆,过右焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD中点分别为,.
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率;
(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点坐标;
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求面积的最大值.
【解析】(1)由椭圆的方程,可得,可得,所以,即右焦点的坐标为,离心率,所以椭圆右焦点的坐标为,离心率.
(2)证明:当直线AB,CD的斜率存在且不为0时,
设直线AB的方程为,
设联立,
整理可得:,
可得,,
所以AB的中点,
同理可得的坐标,即,
当,的横坐标不相等时,则,
所以MN的方程为,
整理可得
所以直线恒过定点.
当,的横坐标相等时,,即时,则轴,
且此时MN的方程为,显然也过,
可证得直线MN必过定点.
(3)由(2)可得直线MN必过的定点,
可得

设,则,
在上单调递减,所以,
所以面积的最大值为.
例21.(2024·江苏南通·高三统考阶段练习)已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为A,,上顶点为,坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过A点作两条互相垂直的直线,与椭圆交于,两点,求面积的最大值.
【解析】(1)由已知可得,解得,,,,
所以椭圆的方程为.
(2)设的直线方程为,,,
联立方程整理得,
所以,
因为,
所以,
即.
所以.
整理得,解得或(舍去),
所以
所以,
令,
则,
此时最大值为.
题型八:两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
例22.(2024·新疆·统考二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线G的准线方程为.
(1)求抛物线G的标准方程;
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线和,与抛物线交于P,Q两点,与抛物线交于C,D两点,M,N分别是线段PQ,CD的中点,求△FMN面积的最小值.
【解析】(1)设抛物线标准方程为,其中,
由题意得,解得,则焦点,
故抛物线标准方程为.
(2),由题意知直线的斜率都存在且不为,
设直线的方程为,
则直线的方程为,
由得,则,
所以,
所以,
所以.
用替换可得,所以.
所以
,当且仅当,即时等号成立,
所以面积的最小值为16.
例23.(2024·广东珠海·高三校考开学考试)已知抛物线,点为其焦点,直线与抛物线交于两点,为坐标原点,.
(1)求抛物线的方程;
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线,与抛物线分别相交于点和,点分别为的中点,求的最小值.
【解析】(1)
直线方程为,将其代入抛物线可得,
由已知得,解得,
故抛物线的方程为.
(2)
因为,若直线分别与两坐标轴垂直,
则直线中有一条与抛物线只有一个交点,不合题意,
所以直线的斜率均存在且不为0.设直线的斜率为,
则直线的方程为.
联立,得,则,
设,
则,设,则,则,
所以,同理可得,
故,
当且仅当且,即时等号成立,
故的最小值为6
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第72讲 垂直弦问题
知识梳理
1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦,.若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点.
2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦,.若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点.
3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦,.若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点.
4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦,.若弦,的中点分别为,,那么直线恒过定点.
5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在轴上.
7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点,且定点在轴上.
8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点,
9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
必考题型全归纳
题型一:椭圆内接直角三角形的斜边必过定点
例1.(2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考阶段练习)已知点,动点P满足:∠APB=2θ,且|PA||PB|cos2θ=1.(P不在线段AB上)
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P、Q,试问直线PQ是否经过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
例2.(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C的两个焦点分别为,,短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率;
(2)M,D分别为椭圆C的左 右顶点,过M点作两条互相垂直的直线MA,MB交椭圆于A,B两点,直线AB是否过定点?并求出面积的最大值.
例3.(2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习)已知为圆上一动点,过点作轴的垂线段为垂足,若点满足.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,过点作曲线的两条互相垂直的弦,两条弦的中点分别为,过点作直线的垂线,垂足为点,是否存在定点,使得为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
变式1.(2024·上海青浦·统考一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆,过右焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD中点分别为,.
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率;
(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点坐标;
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求面积的最大值.
变式2.(2024·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)设分别是椭圆的左 右焦点,是上一点,与轴垂直.直线与的另一个交点为,且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设是椭圆的上顶点,过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点,证明直线过定点,并求出定点坐标.
变式3.(2024·全国·高二专题练习)设分别是圆的左 右焦点,M是C上一点,与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N,且直线MN的斜率为
(1)求椭圆C的离心率.
(2)设是椭圆C的上顶点,过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A B两点,过点D作线段AB的垂线,垂足为Q,判断在y轴上是否存在定点R,使得的长度为定值?并证明你的结论.
变式4.(2024·云南昆明·高二统考期中)已知椭圆,直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线.分别交椭圆于两点(点不同于椭圆的右顶点),证明:直线过定点.
题型二:双曲线内接直角三角形的斜边必过定点
例4.(2024·高二课时练习)已知双曲线C:经过点,且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA,PB与双曲线C交于A,B两点(A,B两点均与点P不重合),设直线AB:,试求和之间满足的关系式.
例5.(2024·江苏南京·高二校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中,动点Р与定点F(2,0)的距离和它到定直线l:的距离之比是常数,记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设过点A(,0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M,N(异于点A),求证:直线MN过定点.
例6.(2024·全国·高三专题练习)已知双曲线,经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C,直线OB OC(O为坐标原点)的斜率都存在且它们的乘积为.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点A作(D为垂足),请问:是否存在定点E,使得为定值?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
题型三:抛物线内接直角三角形的斜边必过定点
例7.(2024·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习)已知抛物线C:的焦点为F,斜率为1的直线l经过F,且与抛物线C交于A,B两点,.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过抛物线C上一点作两条互相垂直的直线与抛物线C相交于两点(异于点P),证明:直线恒过定点,并求出该定点坐标.
例8.(2024·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习)已知抛物线的焦点关于直线的对称点恰在抛物线的准线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)是抛物线上横坐标为的点,过点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于两点,证明直线恒经过某一定点,并求出该定点的坐标.
例9.(2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习)已知抛物线,O是坐标原点,F是C的焦点,M是C上一点,,.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设点在C上,过Q作两条互相垂直的直线,分别交C于A,B两点(异于Q点).证明:直线恒过定点.
变式5.(2024·浙江·高三专题练习)已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,如图,过点任作两条互相垂直的直线,,分别交抛物线于,,,四点,,分别为,的中点.
(1)求的值;
(2)求证:直线过定点,并求出该定点的坐标;
(3)设直线交抛物线于,两点,试求的最小值.
变式6.(2024·四川绵阳·高二校考阶段练习)已知抛物线:的焦点为,点在抛物线上,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和,试问直线是否过定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
变式7.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为,与抛物线的交点为,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线上一点作两条互相垂直的弦和,试问直线是否过定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由.
变式8.(2024·云南曲靖·高二校考期末)已知点与点的距离比它的直线的距离小2.
(1)求点的轨迹方程;
(2)是点轨迹上互相垂直的两条弦,问:直线是否经过轴上一定点,若经过,求出该点坐标;若不经过,说明理由.
题型四:椭圆两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例10.(2024·福建龙岩·统考一模)双曲线:的左右顶点分别为,,动直线垂直的实轴,且交于不同的两点,直线与直线的交点为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点作的两条互相垂直的弦,,证明:过两弦,中点的直线恒过定点.
例11.(2024·全国·高二期末)已知椭圆的左右焦点分别为,抛物线与椭圆有相同的焦点,点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A,B和C,D,线段AB的中点为M,线段CD的中点为N,证明:直线过定点,并求出该定点的坐标.
例12.(2024·上海闵行·高二闵行中学校考期末)在平面直角坐标系中,为坐标原点,,已知平行四边形两条对角线的长度之和等于4.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过作互相垂直的两条直线、,与动点的轨迹交于、,与动点的轨迹交于点、,、的中点分别为、;证明:直线恒过定点,并求出定点坐标;
(3)在(2)的条件下,求四边形面积的最小值.
变式9.(2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习)已知椭圆的离心率为,椭圆截直线所得线段的长度为.过作互相垂直的两条直线、,直线与椭圆交于、两点,直线与椭圆交于、两点,、的中点分别为、.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:直线恒过定点,并求出定点坐标;
(3)求四边形面积的最小值.
变式10.(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为,且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为的左顶点,过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点,证明:直线经过定点,并求这个定点的坐标.
题型五:双曲线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例13.(2024·高二课时练习)已知双曲线C的右焦点F,半焦距c=2,点F到直线的距离为,过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点的坐标.
例14.(2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考三模)在平面直角坐标系中,已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为.记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,.交曲线于,两点,交曲线于,两点,线段的中点为,线段的中点为.证明:直线过定点,并求出该定点坐标.
例15.(2024·山西大同·高三统考阶段练习)已知双曲线:的右焦点为,半焦距,点到右准线的距离为,过点作双曲线的两条互相垂直的弦,,设,的中点分别为,.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)证明:直线必过定点,并求出此定点坐标.
变式11.(2024·贵州·校联考模拟预测)已知双曲线的一条渐近线方程为,焦点到渐近线的距离为.
(1)求的方程;
(2)过双曲线的右焦点作互相垂直的两条弦(斜率均存在)、.两条弦的中点分别为、,那么直线是否过定点 若不过定点,请说明原因;若过定点,请求出定点坐标.
题型六:抛物线两条互相垂直的弦中点所在直线过定点
例16.(2024·全国·高二专题练习)已知抛物线:焦点为,为上的动点,位于的上方区域,且的最小值为3.
(1)求的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线和,交于,两点,交于,两点,且,分别为线段和的中点.直线是否恒过一个定点 若是,求出该定点坐标;若不是,说明理由.
例17.(2024·全国·高三专题练习)已知一个边长为的等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线和,交抛物线于、两点,交抛物线于,两点,若线段的中点为,线段的中点为,证明:直线过定点.
例18.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:的焦点为F,过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H,I两点,O为坐标原点,的周长为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB,DE,设弦AB,DE的中点分别为P,Q,试判断直线PQ是否过定点?若过定点.求出其坐标;若不过定点,请说明理由.
变式12.(2024·山西·高二校联考期末)已知抛物线C:(),过点作两条互相垂直的直线和,交抛物线C于A,B两点,交抛物线C于D,E两点,抛物线C上一点到焦点F的距离为3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若线段AB的中点为M,线段DE的中点为N,求证:直线MN过定点.
变式13.(2024·全国·高三专题练习)动圆P与直线相切,点在动圆上.
(1)求圆心P的轨迹Q的方程;
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN必过定点.
变式14.(2024·全国·高三专题练习)已知抛物线的焦点为F,点M在抛物线C上,O为坐标原点,是以为底边的等腰三角形,且的面积为.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦,,设弦,的中点分别为P,Q,试判断直线是否过定点.若是,求出所过定点的坐标;若否,请说明理由.
变式15.(2024·安徽滁州·高二校考开学考试)在平面直角坐标系中,设点,直线,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,也是PF的中点.,.
(1)求动点Q的轨迹的方程E;
(2)过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M,N.求直线MN过定点R的坐标.
变式16.(2024·福建福州·高二校考期中)在平面直角坐标系 xOy中,O为坐标原点,已知点,P是动点,且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过F作倾斜角为60°的直线L,交曲线C于A,B两点,求△AOB的面积;
(3)过点任作两条互相垂直的直线,分别交轨迹 C 于点A,B和M,N,设线段AB,MN的中点分别为E,F.,求证:直线EF恒过一定点.
变式17.(2024·宁夏银川·高二银川一中校考期末)已知椭圆的左、右焦点分别为、,抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,点为抛物线与椭圆在第一象限的交点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过作两条斜率不为且互相垂直的直线分别交椭圆于、和、,线段的中点为,线段的中点为,证明:直线过轴上一定点,并求出该定点的坐标.
变式18.(2024·湖南·高三阶段练习)如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴正半轴上,准线与轴的交点为.过点作圆的两条切线,两切点分别为,,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如图,过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线,,分别交抛物线于,两点和,两点,,分别为线段和的中点,求面积的最小值.
题型七:内接直角三角形范围与最值问题
例19.(2024·江西·高二校联考开学考试)设椭圆的两焦点为,,为椭圆上任意一点,点到原点最大距离为2,若到椭圆右顶点距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆的上、下顶点分别为、,过作两条互相垂直的直线交椭圆于、,问直线是否经过定点?如果是,请求出定点坐标,并求出面积的最大值.如果不是,请说明理由.
例20.(2024·上海·高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆,过右焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD中点分别为,.
(1)写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率;
(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点坐标;
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求面积的最大值.
例21.(2024·江苏南通·高三统考阶段练习)已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为A,,上顶点为,坐标原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过A点作两条互相垂直的直线,与椭圆交于,两点,求面积的最大值.
题型八:两条互相垂直的弦中点范围与最值问题
例22.(2024·新疆·统考二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线G的准线方程为.
(1)求抛物线G的标准方程;
(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线和,与抛物线交于P,Q两点,与抛物线交于C,D两点,M,N分别是线段PQ,CD的中点,求△FMN面积的最小值.
例23.(2024·广东珠海·高三校考开学考试)已知抛物线,点为其焦点,直线与抛物线交于两点,为坐标原点,.
(1)求抛物线的方程;
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线,与抛物线分别相交于点和,点分别为的中点,求的最小值
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