第01讲 函数及其性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（12类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数 判断指数函数的单调性 判断对数函数的单调性
2024年新I卷，第8题,5分 求函数值 抽象函数的关系 比较函数值的大小关系
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数奇偶性的应用 根据函数零点的个数求参数范围 求余弦(型)函数的奇偶性
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 函数对称性的应用 函数单调性、极值与最值的综合应用 利用导数研究函数的零点 判断零点所在的区间
2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 函数的单调性求参数值
2023年新I卷，第11题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数极值点的辨析
2023年新Ⅱ卷，第4题,5分 函数奇偶性的应用 奇偶性求参数
2022年新I卷，第12题,5分 抽象函数的奇偶性 函数对称性的应用 函数与导函数图象之间的关系
2022年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 抽象函数的周期性求函数值
2021年新I卷，第13题,5分 由奇偶性求参数 无
2021年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的周期性的定义与求解
2021年新Ⅱ卷，第14题,5分 函数奇偶性的定义与判断 基本初等函数的导数公式
2020年新I卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 复合函数的单调性 对数函数单调性
2020年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识讲解
函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
单调性的常见运算
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
考点一、根据函数解析式判断函数单调性
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断.
【详解】对于A：函数的定义域为R，
又，所以是偶函数，故A错误；
对于B：由幂函数的图象可知，在上单调递增，故B错误；
对于C：函数的定义域为，
又，所以是奇函数，
又幂函数都在上单调递减，
所以函数在上单调递减，故C正确；
对于D：因为对数函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故D错误.
故选：C.
1．（2024·全国·一模）下列函数中在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合常见函数的图象和性质进行判断.
【详解】对于A，因为是周期函数，在上不单调，故A错误；
对于B，在上是，单调递增，故B错误；
对于D，是二次函数，图象是开口向上的抛物线，对称轴为轴，
所以它在上为增函数，故D错误；
对于C，只有这个函数在上单调递减，故C正确.
故选：C
2．（2024·吉林·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用奇函数的定义，即可判断四个选项的奇偶性，只有是奇函数，又正切函数在上不是单调递增函数，而函数的导函数恒大于零，所以只有C正确.
【详解】对于A，，为偶函数，故A错误；
对于B，，为奇函数，又在不满足单调递增定义，所以B错误；
对于C，，为奇函数，， 在区间上单调递增，故C正确；
对于D，是非奇非偶函数，所以D错误.
故选：C.
考点二、根据函数的单调性（含分段函数）求参数值
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围.
【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，
因为函数在定义域内是增函数，则满足，
解得，即实数的取值范围为.
故选：C．
考点三、根据函数单调性解不等式
1．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.
【详解】由，可得，
因为是奇函数，且，所以，
因为在上单调递增，所以，
故不等式的解集为．
故选：D
2．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
3．（2024·四川南充·二模）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，说明其单调性和奇偶性, 转化为解不等式即可求解.
【详解】，
设，
又易知，为上的奇函数，
又，
在上单调递增，
又，
，
，
，又为上的奇函数，
，又在上单调递增，
，
，
故满足的的取值范围是．
故选：C．
1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由，故在上单调递增，
由，有，即.
故选：A.
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】，定义域为，又，故为偶函数；
又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；
又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；
，即，则，即，，
也即，解得.
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设，，则，所以为奇函数．
又，
则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，
所以图象的对称中心为，所以．
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
因为，
所以，所以，解得，
故满足的的取值范围为．
故选：B
考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系
1．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
2．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
3．（2024·宁夏银川·二模）定义域为的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.
【详解】当时，恒成立，
即当时，，函数在上单调递增，
又为偶函数，即，所以函数关于对称，
则函数在上单调递减，
所以
因为，所以
所以，
所以，即，
故选：D.
1．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用导数求得函数的单调性，结合对数的运算性质，进而求得的大小关系，得到答案.
【详解】因为函数，可得，
当时，；当时，；
当时，，
所以在和上递增，在上递减，
因为，可得，所以，
又因为，，
所以，所以，即，所以.
故选：D.
2．（2024·北京·模拟预测）函数，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得是上的偶函数，由复合函数单调性可知关于在上单调递减，进一步比较对数、指数幂的大小即可求解.
【详解】注意到定义域为全体实数，且，
所以是上的偶函数，
从而，
因为在上单调递增，
所以关于在上单调递减，
而，
所以.
故选：B.
3．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数的单调性以及对数运算判断处，再结合的奇偶性以及单调性，即可得答案.
【详解】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，则，所以，
因为在上单调递增，所以，
即，
故选：A．
考点五、根据函数的奇偶性求参数值
1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
3．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义可得，结合对数的运算性质计算即可求解.
【详解】因为为R上的奇函数，所以，
即，
整理得，解得.
故选：C
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用偶函数可得，可求的值.
【详解】因为函数是偶函数，所以，
即，
所以，所以，即，故A正确.
故选：A.
3．（2024·上海奉贤·三模）若函数为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】利用函数是奇函数得到，然后利用方程求解，即可得解．
【详解】因为函数为奇函数，
所以，
当时，则，
则，
即，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
考点六、抽象函数奇偶性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A． B．14 C． D．7
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解.
【详解】因为为奇函数，
故，
，
，
，
故.
故选：C.
3．（2024·河南·三模）（多选）定义在上的函数满足，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．单调递增
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可求及，故可判断各项的正误，也可以由题意得，结合条件推出的解析式，进而即可求解判断ABCD四个选项.
【详解】法1：令，则，
令，则，
若或，
若，则即，
由的任意性可得不恒成立，故不成立，故，
故A错误，B正确.
令，则，
故为奇函数，且，它为上的增函数，
故CD正确.
法2：由条件，得
，
由的任意性得为常数，
故代回去得：
，
所以由的任意性只能，即，为增函数，
所以，为奇函数，
故A错，BCD对.
故选：BCD.
1．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．函数是奇函数 C． D．的一个周期为3
【答案】AC
【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.
【详解】令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；
，令，则，
令，则，所以，
所以，因为，所以，，C选项正确；
令，则，
所以，，所以，的一个周期为6，D选项错误.
故选：AC．
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以
,即函数关于对称，C正确;
由函数关于对称可知,
又因为为偶函数，所以
，即函数关于对称，
则,
所以,即,
所以,所以是周期为4的周期函数，
所以,又,
所以,所以,所以,B正确;
是偶函数，A错误;
对任意的,且,都有,不妨设,
则,由单调性的定义可得函数在上单调递增，
又由函数关于对称，所以在上单调递增
又,,
所以,得，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可．
考点七、函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知函数对任意的，，都有，且，，则（ ）
A． B．是奇函数 C．的周期为4 D．，
【答案】ACD
【分析】令，即可判断A；令，即可判断B；令，求出，再令，即可判断C；根据C选项可求出，再根据函数的周期性即可判断D.
【详解】由，
令，则，
又，所以，故A正确；
令，则，
所以，所以是偶函数，故B错误；
令，则，所以，
令，则，
所以，即，
所以，所以的周期为4，故C正确；
由，得，
所以
，故D正确.
故选：ACD.
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知可导函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，恒有，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】先根据题意，利用赋值法，结合函数奇偶函数的定义得出：是上的奇函数，周期为，是上的偶函数，周期为；再逐项分析即可解答.
【详解】因为是上的奇函数，
所以，
则，即是上的偶函数.
令，由得：，①
令取，得，
结合是上的奇函数，是上的偶函数，得，②
结合，由①②可得：，即.
所以，
又因为是上的奇函数，
所以，
则，
所以函数，是周期为的函数.
对于选项A：因为，，
所以令，得，
所以，故选项A正确；
对于选项B：因为是上的奇函数，周期为，
所以，故选项B正确；
对于选项C：因为，
所以，故选项C错误；
对于选项D：因为是上的偶函数，周期为，
所以.
令，，由得：，解得：，
所以，故选项D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质.
1．（2024·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题意，推得，得到是周期为2的周期函数，结合，即可求解.
【详解】由是定义域为的奇函数，则，且，
又由满足，即，
则有，可得，即函数是周期为2的周期函数，
故.
故选：B.
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则 .
【答案】
【分析】通过赋值法解出，由解出；进而求出，再证明函数为偶函数，进而证出，结合偶函数得出函数周期，求出最后求解即可.
【详解】令，得，
再令，得，
所以，因为，所以，
令，得，
所以，即，
若，则代入中，，
由，所以，即，且，
令，得，
由，，所以，
所以为偶函数，所以，，
令，得，
所以，即，
因为，所以，
所以为周期函数，周期为4，
所以，
，
所以
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：该题刚开始的关键是通过赋值法求得的值，这也是抽象函数求函数值的常用方法，另一个关键点是从所求出发：求多个函数值和，联想到这种类型的求和大概两种：一种转化成某个数列求和，另一种利用周期性求和，所以接下来的关键就是借助奇偶性求函数的周期.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（ ）
A． B．
C．是周期为3的函数 D．
【答案】ACD
【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.
【详解】对于A：令，得，
因为，所以，A正确；
对于B：令，得 ①，
所以，
因为是奇函数，，
所以，即是偶函数，
所以②，
由①②，得，
即，
所以，
所以，是周期为3的函数，
所以，所以B错误，C正确；
对于D：因为，
在①中令得，，
所以，，
所以D正确．
故选：ACD．
考点八、函数对称性的综合应用
1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过分析函数，得出最大值与最小值的和，得出函数的表达式，利用对勾函数的对称点即可得出函数的对称点.
【详解】由题意，
在中，，
∴，
∵最大值与最小值分别为和，
∴
在对勾函数中，对称轴为，对称点为，
在中，，
∴即，对称轴为，
函数为对勾函数向下平移1个单位得到，
∴函数对称点为，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查.函数的性质，构造函数，对称中心，函数的最值（和），考查学生的分析和处理问题的能力，计算能力，具有一定的综合性.
1．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增 B．函数值域为
C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【详解】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，
所以函数的值域为，故B正确；
，，
所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：C.
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
【答案】C
【分析】可以分别说明的对称中心为，从而两个函数的图象交点关于对称，即应为6的倍数，由此即可逐一判断.
【详解】因为函数满足，所以的对称中心为，
注意到
，
所以的对称中心也是，
故两个函数的图象交点关于对称，
故应为6的倍数，对比选项可知C选项符合题意.
故选：C.
考点九、周期性对称性的综合应用
2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
3．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果.
【详解】由题意可得，两式相减可得①，
所以的图象关于点成中心对称，故A错误；
由②，②式两边对求导可得，
可知是偶函数，以替换①中的可得，
可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，可知也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，故C正确；
因为，令，则，即，
又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数，
则，由可得，
所以，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍.
1．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（ ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为
D．若且，，则n的最小值为2
【答案】D
【分析】由已知可推得关于直线对称，.又有.进而得出，即有，即可得出B项；根据的周期可得出的周期为4，结合的对称性，即可得出A项；由的对称中心，即可得出关于点对称，结合的性质，即可得出C项；根据的周期性以及对称性可得，，然后分讨论求解，即可判断D项.
【详解】由可得，所以关于直线对称，
所以关于直线对称，即关于直线对称，
所以关于直线对称，所以关于直线对称，
所以有，所以有，所以.
又由可得，，所以关于点对称，
所以.
对于B项，因为，，
所以，，所以，
所以，的周期为，故B项正确；
对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4.
因为关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确；
对于C项，关于点对称，所以关于点对称，
所以关于点对称，所以.
又关于直线对称，所以，
所以，所以有，
所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确；
对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称，
所以，，，所以.
又的周期为4，所以对，.
因为，
则当时，有.
因为，所以，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意.
故n的最小值为3，D错误.
故选：D
【点睛】关键点睛：根据已知关系式可得出的对称轴，进而根据的关系，即可推得的对称轴，结合的对称中心，即可得出的周期.
2．（2024·河南新乡·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．是周期函数 D．
【答案】BCD
【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数及对称轴，再逐项分析计算得解.
【详解】由，得，
则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确；
令，得，则，因此，A错误；
由，得，则，
因此的图象关于直线对称，B正确；
由，得的图象关于直线对称，
因此直线及均为图象的对称轴，
从而，令，得，
即，则，
故
，D正确.
故答案为：BCD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
3．（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是的对称中心
C．2是的周期 D．
【答案】BD
【分析】利用已知恒等式证明，从而得到B正确；再推知及，从而计算出D的结果；利用反证法即可说明A和C错误.
【详解】对于A，由已知有，所以是偶函数.
假设是奇函数，那么必有，故，矛盾.
所以不是奇函数，A错误；
对于B，由已知有，故.
所以，故是的对称中心，B正确；
对于C，由已知有.
所以.
假设2是的周期，那么，从而.
但，故，矛盾.
所以不以2为周期，C错误；
对于D，由于，，
故.
所以，即.
再由可得，即.
这就得到
，
故D正确.
故选：BD.
考点十、周期性奇偶性的综合应用
1．（2024·重庆·模拟预测）已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】A
【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.
【详解】因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，
又函数为奇函数，所以，所以函数的图象关于对称，
所以，所以，即，
所以，则函数的一个周期为4，
令，则，所以，
令，，又，所以，
，
所以.
故选：A
2．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.
【详解】由函数的图象关于原点对称，，
即，即①，
由函数的图象关于y轴对称，可得②，
由可得，又得，
两式相加，，将①式代入，得，
则得，将②式代入得，，则，
于是，即的周期为12.
又，由①可得，得，
又由可得，即得.
因，可得，，
于是，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题.
解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式：①和②，再由利用消元思想，转化为关于的关系式是最关键之处，其次是利用的关系式求得的周期是第二关键，之后赋值求得即可得解.
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】先根据为偶函数，为奇函数，求出函数的周期，再根据函数的周期求解即可.
【详解】因为为偶函数，
所以，即，所以，
因为为奇函数，
所以，
所以，即，
所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
所以，
又，所以，
即.
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
2．（2024·江苏南通·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可.
【详解】为偶函数，则则关于对称，
为奇函数，则，
即，则关于点对称，
则由其关于对称有，则，
则，作差有，
为周期函数，且周期为4，因为，，则，
因为，，则，
，则，
，，
故选：C.
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .
【答案】4048
【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解.
【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，
所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，
因为，所以，则，
因为关于直线对称，所以，
又因为关于点对称，所以，
又因为，又因为，所以，
所以.
故答案为：4048.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内的值，最后求和即可.
考点十一、奇偶性对称性的综合应用
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数性质对函数依次赋值即可求解.
【详解】由题为奇函数，则，
所以，
所以关于对称，
所以，
故选：D.
2．（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【分析】构造函数，证明为奇函数，从而得到，即可求出的值.
【详解】令，定义域为，
因为在上的最大值和最小值分别为，，
所以在上的最大值和最小值分别为，，
因为，
所以为奇函数，的图象关于原点对称，
所以的最大值和最小值互为相反数，即，
所以，
故选：A.
1．（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【答案】C
【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.
【详解】函数为奇函数，图象关于对称，
将函数向左平移一个单位可得函数，
则函数关于对称，
所以函数的图象关于对称.
故选：C.
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象也关于直线对称 B．的图象关于中心对称
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，由函数图象的对称性可得，，由此分析可得由此分析选项，即可得答案.
【详解】设关于直线对称，
所以， ，
所以或，
当时，，的图象关于直线对称，
此时，，
∴，
当时，,
∴，∴，
又∵是一个定值，而随的不同而不同，
∴此等式不成立，即不成立,
∴，即，所以的图象关于中心对称，B正确；
∴，，即，C正确.
与关于对称，
∴，即，即，
∴，D正确，
又，则，即，
，而，
若A选项成立，则时，，所以
但此时，，
所以由可得，但这与已知矛盾，
所以的图象不可能关于直线对称，A错误.
故选：BCD.
考点十二、函数性质的全部综合应用
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（ ）
A． B．函数的一个周期为4
C． D．
【答案】BC
【分析】根据奇函数的性质得到，利用赋值法判断A，令，结合，即可得到为偶函数，推出的周期，即可判断B、C，再由利用并项求和判断D.
【详解】因为为定义域为R上奇函数，所以，即，
在，令，可得，故A错误；
令，因为，所以，即，
所以为偶函数，
又为奇函数，所以，
即，所以，
所以，即，
所以，则，所以，
所以是以为周期的周期函数，
所以，则，故B、C正确；
由与得，
所以，
所以，，，
，，
，，
，，
，
所以
，故D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，利用赋值法及所给条件一一计算.
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知定义在上的函数满足，的导函数为，则（ ）
A． B．是单调函数
C． D．为偶函数
【答案】ACD
【分析】对于A：利用赋值法分析可得，；对于B：根据结合单调性的定义分析判断；对于C：分析可得，即可得结果；对于D：对求导，结合偶函数的定义分析判断.
【详解】因为，且的定义域为，
对于选项A：令，则，可得；
令，则，可得，故A正确；
对于选项B：由选项A可知，所以不是单调函数，故B错误；
对于选项C：令，可得，
即，所以，故C正确；
对于选项D：由选项C可知，
对两边求导得，即，
所以为偶函数，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
3．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
【答案】CD
【分析】由可知，. 结合,可得，且是奇函数就可以判断A项.根据, 可知是周期为4的函数，以及和图象得对称点，可以判断B选项不正确. 利用赋值法，找到规律，即可判断C项正确. 根据，及周期性可以知道，，即可判断D项正确.
【详解】因为，所以（，）.
又因为，所以，.
则，所以.
于是可得，令，
则，所以.
所以，所以，
又因为，所以，即①
因为是奇函数，所以②，
，，所以A错误.
由①②得，所以函数是周期为4的周期函数.
因为，因此函数也是周期为4的函数.
又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确.因为，令，得，
即，所以；
令，得，所以，
所以，所以，所以C选项正确.
因为，所以，
，，
，
则有，
可得，所以D选项正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过导数的关系和奇函数的性质推导函数间的关系.采用赋值法，找到周期函数的周期，再借助图象关于某点对称推出另一个函数的对此点再根据平移变换进行解答.
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，若，有，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．4为函数的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解.
【详解】根据题意，，
取，得，因为，所以，A正确;
取，得，所以，B错误;
取，得，即，
所以为偶函数，C正确;
取，得，所以，
即4为函数的一个周期，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解.
2．（2024·河南郑州·二模）（多选）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
【答案】ACD
【分析】令，可判断A；令，可判断B；由函数图象的变换可得的图象关于对称，结合奇偶性可得周期性，即可判断C；根据周期性和赋值法求得，然后可判断D.
【详解】令，得，即，A正确；
令，得，
又，所以对任意恒成立，
因为，所以不恒为0，
所以，即，B错误；
将的图象向左平移1个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象，
因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，
所以，
又为奇函数，
所以，
所以，所以4为的周期.
由可得，C正确；
因为，，，
所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】难点点睛：本题难点在于合理赋值，利用对称性求得周期，然后即可求解.
3．（2024·山东临沂·二模）（多选）已知定义在上的函数满足，，且，则（ ）
A．的最小正周期为4 B．
C．函数是奇函数 D．
【答案】AB
【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.
【详解】对于A，因为，
所以，，
所以，故的最小正周期为4，A正确；
对于B，因为，
令，则，
所以，
由A可知，，故B正确；
对于C， 因为，①
令，则，
所以，
所以，②
由①②，所以，即，故为奇函数，
若函数是奇函数，则，
所以，即，
所以，
所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D，因为为奇函数，且，所以，
又因为的最小正周期为4，所以，
因为
所以，，
所以，
，
以此类推，
所以，故D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数，
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为.
一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值．
【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得，
即，整理得，所以.
故选：A
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由已知可得，进而求得，计算即可.
【详解】由条件得，故，
所以，解得.
故选：B.
3．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值.
【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，
故函数的图象关于直线对称，∴，故，
∴，∴是周期为4的周期函数．
则．
故选：A．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解.
【详解】令，得，所以；
令，，得，
又，所以；令，得；
令，，得.
故选：D.
5．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据条件得到的对称中心，再根据对称得到的对称中心.
【详解】因为为奇函数，所以，
即，
故的对称中心为，即，
由于函数与的图象关于直线对称，
且关于的对称点为，
故的对称中心为.
故选：D
6．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
且，所以为偶函数，
当时，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
则在上单调递减，不等式，
即，等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得到的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.
【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数，
所以，，又由函数为定义在上的奇函数，则，，
当时，，则，则，
所以；
故选：B．
8．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递减，
解得.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·江苏泰州·模拟预测）定义在上的函数满足，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．单调递增
【答案】BCD
【分析】A和B项，令后进行分类讨论即可得出结论；C项，令即可得出的表达式，进而得出奇偶性；D项，由C项得出表达式，即可得出单调性.
【详解】由题意，
在中，
A和B项，当时，，
解得：或，
当时，则，
由于具有任意性，故不成立，
∴，A错误，B正确；
C项，当时，，
∵，
∴为奇函数，且，C正确；
D项，由C项可知，故为增函数，D正确.
故选：BCD.
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C．不存在零点 D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，令，可得，
因为，所以，所以A正确；
对于B中，函数的定义域为全体实数，由，显然不符合，
所以函数不是奇函数，所以B不正确；
对于C中，由，令，可得，
即，解得或，
所以函数没有零点，所以C正确；
对于D中，由，
令，可得，所以，即，
所以D正确.
故选：ACD．
一、单选题
1．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】依题意可得的奇偶性、对称性与周期性，即可得到的图象，即可得到，，解得即可.
【详解】因为，所以为奇函数；
又因为，所以关于直线对称；
由知的一个周期为.
因为当时，，所以在上单调递增，
函数的图象如图所示，
根据图象可知，若，则，，
解得，，
所以实数的取值范围是，.
故选：D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】根据题意，当时，，可得在上递增，
要使得函数 是上的单调函数，
则满足，且，解可得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
二、多选题
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是偶函数
C． D．的图象关于对称
【答案】BCD
【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.
【详解】因为，，
令可得，解得或，
又当时，恒成立，所以，故A错误；
令，，则，即，
所以为偶函数，故B正确；
令，，则，所以，
令，，则，所以，故C正确；
令可得，
令，可得，又，
所以，即，
所以，
所以的图象关于对称，故D正确.
故选：BCD
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（ ）
A．为偶函数 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A：令，可判断A；对于B：令，进而计算可判断B；对于C：为奇函数，可得为偶函数；进而可得关于对称，可判断C；对于D：令，可得，令，则，两式相加可判断D.
【详解】对于A：令，则，
为奇函数，故选项A不正确；
对于B：令，则，令，则
为奇函数，
，
的周期为4，，故选项B正确；
对于C：为奇函数，为偶函数；
的周期为4，
为偶函数，，
关于对称，
所以，令，可得，令，可得，
所以，故，
，故选项C正确；
对于D：令，则，即①，
令，则②，
由①+②得，
故选项D正确.
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，进而求得一个周期内的函数值，即可求解.
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知是定义在上的函数，且满足：①；②，则（ ）
A． B．为奇函数
C．在上单调递增 D．在处取得极小值
【答案】AB
【分析】对于A：令，即可得结果；对于B：令，可得，结合奇函数的定义分析判断；对于CD：举反例，即可判断.
【详解】因为，
A：令，可得，故A正确；
B：令，可得，则，即，
若，可得；若，则，满足；
综上所述：，所以为奇函数，故B正确；
C、D：例如，显然不恒为0，且，
，即，
所以符合题意，但在上单调递减，无极值点，故C、D错误；
故选：AB.
6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．关于中心对称
C．是周期函数 D．的解析式可能为
【答案】ACD
【分析】对于A：根据题意赋值即可；对于C：根据题意结合偶函数以及周期性的定义分析判断；对于B：举反例说明即可；对于D：将代入题意关系式检验即可.
【详解】由，且函数的定义域为，
对于选项A：令，，可得，
且，可得，故A正确；
对于选项C：令，则，
则，即，可知为偶函数，
令，则，
可知，，
可得，则，
所以，可知周期为6，故C正确；
对于选项B：因为由于为偶函数且周期为6，
则，不满足，
所以不关于中心对称，故B错误；
对于选项D：因为的定义域为，
且，
即符合题意，所以的解析式可能为，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由为偶函数，得，两边求导化简后可得 为奇函数，然后逐个赋值分析判断即可.
【详解】对于，∵为偶函数，则
两边求导得: , ∴ ， 为奇函数，,
令，则，，所以不正确
对于，令，可得，则, 所以正确;
对于，，
可得，，两式相加的
令，即可得，所以正确;
对于，∵，则，
又，可得，所以是以为周期的函数，
所以，所以正确.
故选：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性和周期性的应用，考查导数的应用，解题的关键是根据已知条件判断 为奇函数，考查计算能力，属于较难题.
8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据所给条件，利用赋值法和递推法进行推导判断即可.
【详解】对于A，因为的定义域为，且，
令，则，故，则，
令，则，
又令,结合得，所以不是偶函数，故A错误．
对于B，令，则．
而，，所以，故B正确．
对于C，由选项B可知，，
令，则，所以．
又因为为奇函数，所以，所以，故C正确．
对于D，由选项B以及，可得，
所以，，
令得
,
结合递推可得，．
因为，故，故D错误．
故选：BC
【点睛】抽象函数问题，常常要取恰当的特殊值并结合递推关系得到进一步的结论.
9．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数及其导函数，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的关系式，采用赋值，赋变量的方法，结合函数的对称性和周期性，即可判断选项.
【详解】因为，所以的图像关于直线对称.令，得，故A项正确；
因为.所以，即，
所以，因为，所以，
即，所以，则的一个周期为4.
因为的图像关于直线对称，所以是的一个极值点，
所以，所以，则.故B项错误；
由，得，即.
所以，故C项正确；
设为常数），定义域为，
则，
又，所以，显然也满足题设，
即上 下平移均满足题设，显然的值不确定，故D项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，以及抽象函数的导数问题，，即可正确得到.
三、填空题
10．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】要先证明函数的中心对称性，即，这样原不等式就可以化为，再用求导来证明单调递增，从而就可以解出结果.
【详解】由已知得：，
所以，即
则不等式等价于，
再由，
可得在上单调递增，所以，解得，
故答案为：.
1．（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可求参数.
【详解】因为是奇函数，故即，
故，
故答案为：.
2．（2024·上海·高考真题）已知则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，
故答案为：.
3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
5．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
6．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
7．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
【答案】 /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
8．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
9．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
10．（2021·全国·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 函数及其性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（12类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数 判断指数函数的单调性 判断对数函数的单调性
2024年新I卷，第8题,5分 求函数值 抽象函数的关系 比较函数值的大小关系
2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数奇偶性的应用 根据函数零点的个数求参数范围 求余弦(型)函数的奇偶性
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 函数对称性的应用 函数单调性、极值与最值的综合应用 利用导数研究函数的零点 判断零点所在的区间
2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 函数的单调性求参数值
2023年新I卷，第11题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数极值点的辨析
2023年新Ⅱ卷，第4题,5分 函数奇偶性的应用 奇偶性求参数
2022年新I卷，第12题,5分 抽象函数的奇偶性 函数对称性的应用 函数与导函数图象之间的关系
2022年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 抽象函数的周期性求函数值
2021年新I卷，第13题,5分 由奇偶性求参数 无
2021年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的周期性的定义与求解
2021年新Ⅱ卷，第14题,5分 函数奇偶性的定义与判断 基本初等函数的导数公式
2020年新I卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 复合函数的单调性 对数函数单调性
2020年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识讲解
函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(3)函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
单调性的常见运算
单调性的运算
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称
偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的运算
周期性（差为常数有周期）
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
考点一、根据函数解析式判断函数单调性
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·全国·一模）下列函数中在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
考点二、根据函数的单调性（含分段函数）求参数值
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数在上单调递减，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点三、根据函数单调性解不等式
1．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川南充·二模）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四、根据函数单调性比较函数值大小关系
1．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·宁夏银川·二模）定义域为的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·模拟预测）函数，记，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·宁夏石嘴山·三模）若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考点五、根据函数的奇偶性求参数值
1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
3．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·上海奉贤·三模）若函数为奇函数，则 ．
考点六、抽象函数奇偶性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A． B．14 C． D．7
3．（2024·河南·三模）（多选）定义在上的函数满足，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．单调递增
1．（2024·广东茂名·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．函数是奇函数 C． D．的一个周期为3
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图象关于对称 D．
考点七、函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知函数对任意的，，都有，且，，则（ ）
A． B．是奇函数 C．的周期为4 D．，
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）（多选）已知可导函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，恒有，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·重庆·三模）已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则 .
3．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为R，若是奇函数，，且对任意，，则（ ）
A． B．
C．是周期为3的函数 D．
考点八、函数对称性的综合应用
1．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在存在最大值与最小值分别为和，则函数，函数图像的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数单调递增 B．函数值域为
C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知的定义域为，函数满足，图象的交点分别是，，则可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
考点九、周期性对称性的综合应用
2．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．
C． D．
1．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（ ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为
D．若且，，则n的最小值为2
2．（2024·河南新乡·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且，若，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．是周期函数 D．
3．（2024·河北邢台·二模）（多选）已知函数，的定义域均为，且，，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是的对称中心
C．2是的周期 D．
考点十、周期性奇偶性的综合应用
1．（2024·重庆·模拟预测）已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
2．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·江苏南通·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 .
考点十一、奇偶性对称性的综合应用
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为奇函数，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
2．（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
1．（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
2．（2024·江西南昌·三模）（多选）已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象也关于直线对称 B．的图象关于中心对称
C． D．
考点十二、函数性质的全部综合应用
1．（2024·山东·模拟预测）（多选）已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（ ）
A． B．函数的一个周期为4
C． D．
2．（2024·江西·模拟预测）（多选）已知定义在上的函数满足，的导函数为，则（ ）
A． B．是单调函数
C． D．为偶函数
3．（2024·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，若，有，，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．4为函数的一个周期
2．（2024·河南郑州·二模）（多选）已知函数的定义域为，且，为偶函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
3．（2024·山东临沂·二模）（多选）已知定义在上的函数满足，，且，则（ ）
A．的最小正周期为4 B．
C．函数是奇函数 D．
一、单选题
1．（2024·江苏南通·模拟预测）若函数是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（ ）
A．2 B． C．0 D．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．1 B． C． D．
8．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江苏泰州·模拟预测）定义在上的函数满足，则（ ）
A． B．
C．为奇函数 D．单调递增
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C．不存在零点 D．
一、单选题
1．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是偶函数
C． D．的图象关于对称
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（ ）
A．为偶函数 B．
C． D．
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知是定义在上的函数，且满足：①；②，则（ ）
A． B．为奇函数
C．在上单调递增 D．在处取得极小值
6．（2024·湖北荆州·三模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．关于中心对称
C．是周期函数 D．的解析式可能为
7．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C． D．
9．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数及其导函数，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 .
1．（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ．
2．（2024·上海·高考真题）已知则 ．
3．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
6．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
8．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ．
9．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
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