第01讲 平面向量的概念、线性运算及其坐标运算
（5类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 向量垂直的坐标表示 利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 数量积及向量夹角的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分 坐标计算向量的模 数量积的坐标表示 逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式
2020年新Ⅱ卷，第3题,5分 向量加法的法则 向量减法的法则 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习
知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点 ＝(＋)．
4.向量的坐标运算
两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
向量的加减法
，，
向量的数乘运算
，则：
向量的模
，则的模
相反向量
已知，则；已知
单位向量
向量的平行关系
，，
考点一、平面向量基本概念的综合考查
1．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的
【答案】B
【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.
【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A错误，B正确；
速度和位移都有方向和大小，是向量，C错误；
零向量方向任意，D错误.
故选：B
2．下列结论正确的是：（ ）
A．若与都是单位向量，则．
B．若与是平行向量，则．
C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合
D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A、B，只有当与的方向相同且模长相等时才有，故A、B均错误；
对于C，若向量，又因为A是公共点，所以M与N重合，故正确；
对于D，因为轴与轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故D错误；
故选：C.
3．（多选）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．与同向，且，则
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误.
故选：BCD.
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【分析】由向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；
由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；
长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错；
向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.
故选：D.
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
【答案】C
【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得.
【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确；
对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.
故选：C
3．下列说法错误的是（ ）
A．
B．，是单位向量，则
C．若，则
D．两个相同的向量的模相等
【答案】C
【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，是单位向量，则，故B正确；
对于C，若，则不能比较大小，故C错误；
对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确.
故选：C.
4．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
【答案】AC
【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，因为与的方向可能不同，故错误；
对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；
对于C，因为x轴、y轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；
对于D，假设点M与点N重合，则向量，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确；
故选：AC
考点二、相等向量及其应用
1．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.
【详解】因为，故同向.
对于A:，方向相反,A选项错误；
对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；
对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；
对于D:,不能确定的方向，D选项错误.
故选：C．
2．（2024高三·上海·专题练习）已知向量，不共线，实数，满足，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】由已知结合平面向量基本定理可求，，进而求出答案.
【详解】由，不共线，实数，满足，
得，解得，，
所以.
故选：A
1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
2．已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为 ．
【答案】（1，5）
【分析】设出点D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，求出点的坐标．
【详解】设D（x，y）则
在平行四边形ABCD中
∵
又∵
∴解得
故答案为：（1，5）
【点睛】本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同．
考点三、平面向量线性运算的综合考查
1．（广东·高考真题）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得，再由，即可得到答案.
【详解】由于是边上的中点，则.
.
故选：B.
2．（海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意可得
．
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的坐标得出，设点，得出，根据列出方程组求解即可．
【详解】因为，，
所以，
设，则，
又，
所以，解得，
所以点的坐标为．
故选：B．
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量坐标的线性运算求解即可.
【详解】由题意得，，
设点B的坐标为，则，所以点B的坐标为.
故选：A.
2．（山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结，则为的中位线，
，
故选：A
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.
【详解】如图，
因为，所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形是平行四边形，，，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.
【详解】在中，，，，，
所以.
故选：A
考点四、平面向量共线定理与点共线问题
1．（2022·四川绵阳·二模）已知平面向量a，b不共线，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】D
【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.
【详解】对A，与不共线，A错误；
对B，则与不共线，B错误；
对于C，则与不共线，C错误；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.
故选：D.
2．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线则判断即可.
【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；
对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；
对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；
对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.
故选：C
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知向量三点共线，则 .
【答案】/
【分析】由点共线可得，再利用两角和的正切公式即可求得结果.
【详解】因为三点共线，所以，
所以，
可得
故答案为：
1．已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】A
【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.
【详解】因为，所以三点共线，
故选：A．
2．（2024·辽宁·二模）（多选）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【详解】
，
因为点为的重心，
所以，所以，
所以三点共线，故A正确，B错误；
，
因为，
所以，即，故C正确；
因为，
所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；
故选：AC．
考点五、平行向量（共线向量）求参数
1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，解得．
故答案为：15．
2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出.思路二：由共线向量基本定理即可得解.
【详解】方法一：由已知有，，解得.
方法二：设，由题意，解得.
故选：B.
3．（23-24高一下·广东河源·期中）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 .
【答案】
【分析】根据向量共线可设，进而对比系数列式求解即可.
【详解】因为是两个不共线的向量，，
若与是共线向量，设，则，
则，解得.
故答案为：.
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可.
【详解】由题意得，
．
又，
所以，
解得．
故答案为：.
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用向量平行得到方程，求出答案.
【详解】，故，解得.
故选：D
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为，且，
所以，即，
又，不共线，
所以，解得.
故选：A
3．（2024·江苏·二模）已知非零向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两个向量平行的性质可得，化简可得，利用齐次式即可得到答案.
【详解】因为，为非零向量，所以，即
因为，所以，则，
即，
即，由于，所以两边同除，
可得：，解得：或(舍去),
所以.
故选：D
一、单选题
1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
2．（22-23高一下·贵州遵义·阶段练习）在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是平行四边形 B．四边形是矩形
C．四边形是菱形 D．四边形是正方形
【答案】A
【分析】由推出，再根据向量相等的定义得且，从而可得答案.
【详解】因为，故，即，
故且，故四边形一定是平行四边形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.
故选：A.
3．（2024高三·全国·专题练习）设分别为的三边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算可得结果.
【详解】
，
故选：A.
4．（2021·全国·二模）已知向量和不共线，向量，，，若 三点共线，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据A、B、D共线的条件得到，进而得到，根据平面向量基本定理中的分解唯一性，得到关于的方程组，求解即得.
【详解】因为 三点共线，
所以存在实数λ，使得，
，
所以，
∴，解得.
故选：A.
5．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.
【详解】由题意，所以，
从而与向量同方向的单位向量为.
故选：A.
7．（22-23高一下·江西九江·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
【详解】因为，所以同向共线，所以，
因为，所以同向共线，此时不一定成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
二、多选题
8．（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】ACD
【分析】根据零向量的定义与性质，判断出A项的正误；根据共线向量与相等向量的定义，判断出B、D两项的正误；根据单位向量的定义，判断出C项的正误．
【详解】解：对于A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故A项正确；
对于B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故B项错误；
对于C，根据单位向量的定义，可知C项正确；
对于D，方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D项正确．
故选：ACD．
三、填空题
9．（22-23高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量共线的向量 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据共线向量定理求解即可
【详解】与向量共线的向量为.
取，可得出一个与向量共线的向量为
（答案不唯一，满足即可）.
故答案为：（答案不唯一）
10．（2024·陕西西安·一模）已知平面向量，若与共线，则实数 ．
【答案】2
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
【详解】，
若与共线，则，
解得.
故答案为：.
一、单选题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
③（为实数），则必为零.
④为实数，若，则与共线.
其中正确的命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若（为实数），则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A．
2．已知，，则与共线的单位向量是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】利用求得与共线的单位向量
【详解】，故与共线的单位向量为，即或，故选B.
【点睛】本小题主要考查单位向量的知识，考查共线向量的坐标表示，属于基础题.
3．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】求出的坐标，除以，再考虑方向可得．
【详解】由得，即，，
，
，
，
与同向的单位向量为，反向的单位向量为．
故选：C．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则与的方向相反
D．若，则
【答案】B
【分析】对于A：利用向量不能比较大小直接判断；对于B：利用向量的线性运算法则直接判断；对于C：由，可以得到与的方向相同或与中有零向量.对于D： 的方向不确定.即可判断.
【详解】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；
对于B：.故B正确；
对于C：若，则与的方向相同或与中有零向量.故C错误；
对于D：若，但的方向不确定.故D错误.
故选：B
5．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案.
【详解】由题意有，
所以．
故选：A
6．（2023·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】先利用向量的线性运算得到，再利用三点共线的充要条件，得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
二、填空题
7．（2024·青海西宁·二模）若向量不共线，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】根据题意，可设为一组基向量，利用向量共线定理和向量基本定理运算求解.
【详解】因为不共线，所以可设为一组基向量，
因为，所以，使得，
所以，所以，消去，得．
故答案为：1.
8．（2022·广西柳州·三模）已知平面向量，，若，则 .
【答案】
【分析】由向量平行可得，再由向量线性运算的坐标表示可得，最后应用向量模长的坐标运算求.
【详解】由题设，，即，则，
所以，故.
故答案为：.
9．（2024·山西·三模）如图，函数的图象经过点A，B，点T在x轴上，若，则点B的纵坐标是 ．
【答案】/
【分析】设，计算出，，再设，根据中点公式得到的坐标，将其代入三角函数解析式并结合二倍角的余弦公式得到，解出即可.
【详解】由题意设，则，，
设，，因为，
所以为线段的中点，所以，，
又点在函数图象上，所以，
又，，
所以即，所以（负舍），
则点B的纵坐标是.
故答案为：.
10．（2022高三·全国·专题练习）设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可得，且，整理得，结合三角函数和二次函数性质求出范围，即可得范围，同时将代换成关于表达式，即可求解.
【详解】∵2＝，，
∴，且，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得≤m≤2，
∴，又∵λ＝2m－2，
∴，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
一、单选题
1．（四川·高考真题）如图，正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将平移到，平移到，
故，
故选D.
本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算
考点：向量的加法.
2．（安徽·高考真题）若，, 则（ ）
A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
【答案】B
【详解】试题分析：因为向量，，所以．故选B．
考点：向量减法的坐标的运算．
3．（辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.
考点：向量运算及相关概念.
4．（山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】由题意，．
故选：B
5．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知得，
而所以，选D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
7．（山东·高考真题）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点
C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以,所以A，C，D三点不共线，故A错误；
对于B，因为，
所以,所以A，B，C三点不共线，故B错误；
对于C，因为
所以，
所以，又是与的公共点，
所以A，B，D三点共线，故C正确；
对于D，因为，
所以,所以B，C，D三点不共线，故D错误.
故选：C.
8．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
【答案】D
【分析】由，求得，再利用向量的坐标运算求解.
【详解】解：因为，，且，
所以m=-4，，
所以=（-4，-8），
故选：D
9．（海南·高考真题）平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量
C．， D．存在不全为零的实数，，
【答案】D
【解析】根据，共线的定义得到向量，共线的充要条件
【详解】由，共线的定义，
若，均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数，使得；
若，则由两向量共线知，存在，使得，
即，符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题.
二、填空题
10．（全国·高考真题）已知向量，且，则___________.
【答案】
【分析】由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
11．（上海·高考真题）已知点和向量，若，则点的坐标为 ．
【答案】
【详解】试题分析：设点，，因此，得，得点．
考点：平面向量的坐标表示．
12．（全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
【答案】
【详解】因为向量与平行，所以，则所以．
考点：向量共线．
13．（全国·高考真题）已知向量，，．若，则 ．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得
,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
14．（浙江·高考真题）已知，若平面内三点A（1，），B（2，），C（3，）共线，则 ．
【答案】/
【详解】，，
(舍负)．
故答案为：.
15．（陕西·高考真题）已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝
【答案】-1
【分析】先求出（1，m﹣1），再由（）∥，能求出m．
【详解】解：∵向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），
∴（1，m﹣1），
∵（）∥，
∴，
解得m＝﹣1．
【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 平面向量的概念、线性运算及其坐标运算
（5类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 向量垂直的坐标表示 利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分 平面向量线性运算的坐标表示 数量积及向量夹角的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分 坐标计算向量的模 数量积的坐标表示 逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式
2020年新Ⅱ卷，第3题,5分 向量加法的法则 向量减法的法则 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习
知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点 ＝(＋)．
4.向量的坐标运算
两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
向量的加减法
，，
向量的数乘运算
，则：
向量的模
，则的模
相反向量
已知，则；已知
单位向量
向量的平行关系
，，
考点一、平面向量基本概念的综合考查
1．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的
2．下列结论正确的是：（ ）
A．若与都是单位向量，则．
B．若与是平行向量，则．
C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合
D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
3．（多选）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．与同向，且，则
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
3．下列说法错误的是（ ）
A．
B．，是单位向量，则
C．若，则
D．两个相同的向量的模相等
4．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
考点二、相等向量及其应用
1．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·上海·专题练习）已知向量，不共线，实数，满足，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为 ．
考点三、平面向量线性运算的综合考查
1．（广东·高考真题）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形是平行四边形，，，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
考点四、平面向量共线定理与点共线问题
1．（2022·四川绵阳·二模）已知平面向量a，b不共线，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
2．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知向量三点共线，则 .
1．已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
2．（2024·辽宁·二模）（多选）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
考点五、平行向量（共线向量）求参数
1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
15．2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（23-24高一下·广东河源·期中）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 .
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则 ．
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
3．（2024·江苏·二模）已知非零向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（22-23高一下·贵州遵义·阶段练习）在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是平行四边形 B．四边形是矩形
C．四边形是菱形 D．四边形是正方形
3．（2024高三·全国·专题练习）设分别为的三边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·二模）已知向量和不共线，向量，，，若 三点共线，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高一下·江西九江·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
8．（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
三、填空题
9．（22-23高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量共线的向量 .
10．（2024·陕西西安·一模）已知平面向量，若与共线，则实数 ．
一、单选题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
③（为实数），则必为零.
④为实数，若，则与共线.
其中正确的命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知，，则与共线的单位向量是（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C．或 D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则与的方向相反
D．若，则
5．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A． B． C．3 D．9
二、填空题
7．（2024·青海西宁·二模）若向量不共线，且，则的值为 ．
8．（2022·广西柳州·三模）已知平面向量，，若，则 .
9．（2024·山西·三模）如图，函数的图象经过点A，B，点T在x轴上，若，则点B的纵坐标是 ．
10．（2022高三·全国·专题练习）设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是 .
一、单选题
1．（四川·高考真题）如图，正六边形中，（ ）
A． B． C． D．
2．（安徽·高考真题）若，, 则（ ）
A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
3．（辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为
A． B． C． D．
4．（山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
6．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A． B． C． D．
7．（山东·高考真题）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点 B．A，B，C三点
C．A，B，D三点 D．B，C，D三点
8．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
9．（海南·高考真题）平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量
C．， D．存在不全为零的实数，，
二、填空题
10．（全国·高考真题）已知向量，且，则___________.
11．（上海·高考真题）已知点和向量，若，则点的坐标为 ．
12．（全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
13．（全国·高考真题）已知向量，，．若，则 ．
14．（浙江·高考真题）已知，若平面内三点A（1，），B（2，），C（3，）共线，则 ．
15．（陕西·高考真题）已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝_________
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