第01讲 任意角和弧度制、三角函数
的概念与诱导公式
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第4题,5分 三角函数的化简、求值 同角三角函数基本关系 用和、差角的余弦公式化简、求值
2024年新I卷，第13题,5分 同角三角函数基本关系 用和、差角的正切公式化简、求值
2023年新I卷，第6题,5分 三角函数求值 余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长问题
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分 特殊角的三角函数值 由图象确定正(余)弦型函数解析式
2021年新I卷，第6题,5分 正、余弦齐次式的计算 三角函数求值 二倍角的正弦公式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-11分
【备考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题
3..理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值
4.能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考
知识讲解
角的定义
平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边
角的分类
按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）
按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
轴线角
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴上：，，终边落在轴上：，
终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，
终边落在上：，或：，
β，α终边相同 β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于x轴对称 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于y轴对称 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于原点对称 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
终边相同的角
与终边相同的角的集合为：，
角度与弧度的关系
，
扇形的弧长、周长及面积公式
角度制 弧度制
弧长公式
面积公式
周长公式
是扇形的半径，是圆心角的度数 是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长
三角函数的定义
，正弦线：
，余弦线：
，正切线：
三角函数在各象限内的符号
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函数值
度
弧度 0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 不存在 0 不存在 0
两角互余的三角函数关系
互余，，
已知，则：
两角互补的三角函数关系
互补，，，
已知，则：，
常见三角不等式
若，则；
若，则.
.
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
推导公式：
诱导公式
诱导类型
或，，
或，，
或，，
诱导方法：奇变偶不变，符号看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若为奇数，变函数名；，
若为偶数，不变函数名；，，
象限指的是原函数名的象限，再判断符号
规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）
诱导公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考点一、扇形的弧长及面积计算
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
2．（2024·广西来宾·模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南长沙·一模）“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为（ ）
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米
3．（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
考点二、定义法求三角函数值
1．（全国·高考真题）已知角的终边经过点，则=
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）
A． B．－
C． D．－
3．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知，且为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江金华·三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为角终边上的一点，则 ．
考点三、三角函数值的大小比较
1．（北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州遵义·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（新疆喀什·期末）如果，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
2．（22-23高一下·北京延庆·期中）设，，，则
A． B． C． D．
3．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考点四、同角三角函数的基本关系之平方关系
1．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
4．（2020·全国·高考真题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·新疆·三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
考点五、同角三角函数的基本关系之商数关系（含弦切互化）
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A． B．7 C． D．
3．（2024·四川·模拟预测）已知为第一象限角，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
考点六、诱导公式的综合应用
1．（2024·四川自贡·三模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高一上·北京·期末）已知，且，化简并求的值.
4．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·三模）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（22-23高一下·甘肃天水·期末）化简
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知．
(1)求的值；
(2)已知，求.
1．（2024·上海奉贤·三模）在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分永件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合中的最大负角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
6．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．2
7．（2024·广东茂名·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角的终边经过点，则的值为 .
10．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知，，
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值.
1．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·山东济南·三模）若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，，则（）
A． B． C． D．
5．（2024·河北·三模）已知点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江西·二模）已知，求（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖南邵阳·三模）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
9．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ．
10．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
3．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
4．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
5．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
7．（2020·全国·高考真题）若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
8．（2020·全国·高考真题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
10．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 任意角和弧度制、三角函数
的概念与诱导公式
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第4题,5分 三角函数的化简、求值 同角三角函数基本关系 用和、差角的余弦公式化简、求值
2024年新I卷，第13题,5分 同角三角函数基本关系 用和、差角的正切公式化简、求值
2023年新I卷，第6题,5分 三角函数求值 余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长问题
2023年新Ⅱ卷，第16题,5分 特殊角的三角函数值 由图象确定正(余)弦型函数解析式
2021年新I卷，第6题,5分 正、余弦齐次式的计算 三角函数求值 二倍角的正弦公式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-11分
【备考策略】1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化
2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能利用三角函数的定义解决相关问题
3..理解并掌握同角三角函数的基本关系式（平方关系+商数关系），够利用公式化简求值
4.能借助单位圆的对称性利用三角函数定义推导出诱导公式，能够运用诱导公式解决相关问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查三角函数化简求值或特殊角求三角函数值，需加强复习备考
知识讲解
角的定义
平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边
角的分类
按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）
按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））
象限角
第Ⅰ象限角：，或，
第Ⅱ象限角：，
第Ⅲ象限角：，
第Ⅳ象限角：，
或，
轴线角
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴正半轴上：，
终边落在轴负半轴上：，
终边落在轴上：，，终边落在轴上：，
终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，
终边落在上：，或：，
β，α终边相同 β＝α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于x轴对称 β＝－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于y轴对称 β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
β，α终边关于原点对称 β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
终边相同的角
与终边相同的角的集合为：，
角度与弧度的关系
，
扇形的弧长、周长及面积公式
角度制 弧度制
弧长公式
面积公式
周长公式
是扇形的半径，是圆心角的度数 是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长
三角函数的定义
，正弦线：
，余弦线：
，正切线：
三角函数在各象限内的符号
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
特殊角的三角函数值
度
弧度 0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 不存在 0 不存在 0
两角互余的三角函数关系
互余，，
已知，则：
两角互补的三角函数关系
互补，，，
已知，则：，
常见三角不等式
若，则；
若，则.
.
同角三角函数的基本关系
平方关系：
商数关系：
推导公式：
诱导公式
诱导类型
或，，
或，，
或，，
诱导方法：奇变偶不变，符号看象限
奇偶指的是或中的奇偶，
若为奇数，变函数名；，
若为偶数，不变函数名；，，
象限指的是原函数名的象限，再判断符号
规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）
诱导公式
， ，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
， ，
，，
考点一、扇形的弧长及面积计算
1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】C
【分析】根据侧面展开的弧长与圆锥的底面周长相等，求得底面半径，进而即可得解.
【详解】设圆锥的底面半径为r，
则根据弧长公式＝π，解得r＝，
所以该圆锥的底面面积为π×()2＝3π．
故选：C．
2．（2024·广西来宾·模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形分析，利用扇形的圆心角、半径、弧长的关系，即可求解.
【详解】由已知，．
得，
则莱洛三角形的周长是
故选：A．
3．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.
【详解】显然为等腰三角形，，则，，
即，于是，
所以璜身的面积近似为.
故选：C
4．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
1．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆面积公式求出圆锥的底面面积，再由扇形侧面积公式求出圆锥侧面积，即可得到圆锥的表面积.
【详解】因为底面半径，所以底面积，底面周长，圆锥母线长，圆锥侧面积，故圆锥的表面积为．
故选：C.
2．（2024·湖南长沙·一模）“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，，则的弧长的近似值的计算公式：.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为，则伞的弧长大约为（ ）
A．5.3米 B．6.3米 C．8.3米 D．11.3米
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合垂径定理计算即可得解.
【详解】依题意，点共线，，，
所以（米）.
故选：B
3．（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出劣弧的长，再利用扇形面积公式计算即得．
【详解】由圆与圆外切，得，
又圆，圆与轴分别相切于原点和点，则，
所以劣弧长等于，
所以劣弧对应的扇形面积为.
故选：B
考点二、定义法求三角函数值
1．（全国·高考真题）已知角的终边经过点，则=
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.
考点：三角函数的概念.
2．（全国·高考真题）已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）
A． B．－
C． D．－
【答案】B
【分析】根据同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号即可解出．
【详解】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数平方关系式以及三角函数值在各象限的符号的应用，属于容易题．
3．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.
【详解】由题设知，
即，且，
即，且，
解得，
故答案为：.
1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角函数的定义计算即可.
【详解】点到原点的距离为，
所以由三角函数定义可知，
故选：C.
2．（21-22高一上·安徽宿州·期末）已知，且为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数平方关系计算可得.
【详解】因为,
所以，
因为为第二象限角，
所以.
故选：C.
3．（2024·浙江金华·三模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为角终边上的一点，则 ．
【答案】
【分析】根据余弦的定义可得出答案.
【详解】为角终边上的一点，则.
故答案是：.
考点三、三角函数值的大小比较
1．（北京·高考真题）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
2．（2023·贵州遵义·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据时，求解.
【详解】由时，可知，，
即，
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，可证，，得结论.
【详解】先证明：当时，.
如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T，
则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线，
设弧长，
由图形可知：，即，
所以，即.
则，所以．
而，所以，
所以.
故选：D．
1．（新疆喀什·期末）如果，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别作出角的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.
【详解】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，
很容易地观察出，即.
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
2．（22-23高一下·北京延庆·期中）设，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由结合三角函数单调性即可比较大小.
【详解】因为，所以，即.
故选：C.
3．（21-22高一下·河南南阳·阶段练习）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先证明当0＜x＜时，，从而可得，再利用正切函数和余弦函数的单调性可得答案.
【详解】先证明：当0＜x＜时，
如图，角x终边为OP，其中点P为角x的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴，交x轴与点M，
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，AT⊥x轴，交角x终边于点T，
则有向线段MP为角x的正弦线，有向线段AT为角x的正切线，设弧PA＝l＝x×1＝x，
由图形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即
所以＜＜，即
所以
又由函数在上单调递增，所以
又由函数在上单调递减，则
所以
所以，即
故选：C．
考点四、同角三角函数的基本关系之平方关系
1．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
3．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
4．（2020·全国·高考真题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
1．（2024·新疆·三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接代入二倍角公式，然后因式分解，最后根据解方程组即可得出答案.
【详解】，
因为，所以，，，所以，
又，解方程组得：.
故选：D
2．（2024·湖北荆州·三模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】由，可得，
可得
则，
因为，所以与异号，可得为第二或第四象限，
当为第二象限角时，可得；
当为第四象限角时，可得.
故选：C.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二倍角公式可得，即可由求解.
【详解】由可得，
解得，或（舍去）
故，故，
故选：A
考点五、同角三角函数的基本关系之商数关系（含弦切互化）
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
3．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】因为，
所以
.
故选：B.
2．（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】B
【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可.
【详解】因为，
整理得，
所以，
又.
故选：B
3．（2024·四川·模拟预测）已知为第一象限角，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】C
【分析】由可得，借助二倍角公式将弦化切计算即可得.
【详解】由为第一象限角得，所以，
则原式.
故选：C.
考点六、诱导公式的综合应用
1．（2024·四川自贡·三模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式结合充分必要条件求解即可.
【详解】因为所以或
所以或者
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B.
【详解】利用诱导公式化简：
已知角的终边经过点，可得，且.
分子分母同时除以：
.
故选：B
3．（22-23高一上·北京·期末）已知，且，化简并求的值.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.
【详解】解：因为，且，则，
所以，，
故.
4．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由诱导公式化简即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案；
（3）由已知求出，结合的范围，由诱导公式即可求出的值.
【详解】（1）
（2）因为，所以为第三象限角或第四象限角.
当为第三象限角时，；
当为第四象限角村，.
（3）因为，所以.
因为，所以.
故.
因此.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式、二倍角公式化简所求式即可得出答案．
【详解】由得，
则．
故选：A.
2．（2024·辽宁·三模）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.
【详解】，
故选：D.
3．（22-23高一下·甘肃天水·期末）化简
【答案】
【分析】应用诱导公式化简后，根据同角三角函数的关系得解.
【详解】原式．
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知．
(1)求的值；
(2)已知，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简，然后代值求解即可；
（2）利用二倍角公式和弦切互化公式求解即可.
【详解】（1）原式
，
（2）由可知即；
.
1．（2024·上海奉贤·三模）在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分永件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数值及充分条件、必要条件的定义即可得出结论.
【详解】在中，若，则；
反之，若，且，
所以或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角的集合.
【详解】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．
故选：B．
3．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合中的最大负角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用任意角的定义与集合所表示的角即可得解.
【详解】因为，
所以集合中的最大负角为.
故选：C.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据半角公式求出，再分别求出弦长和矢长，再根据弧田的面积公式即可得解.
【详解】由，可得，
故弦长为，矢长为，
所以所求弧田面积为.
故选：A.
5．（2022·广东·一模）为解决皮尺长度不够的问题，实验小组利用自行车来测量A，B两点之间的直线距离.如下图，先将自行车前轮置于点A，前轮上与点A接触的地方标记为点C，然后推着自行车沿AB直线前进（车身始终保持与地面垂直），直到前轮与点B接触.经观测，在前进过程中，前轮上的标记点C与地面接触了10次，当前轮与点B接触时，标记点C在前轮的左上方（以下图为观察视角），且到地面的垂直高度为0.45m.已知前轮的半径为0.3m，则A，B两点之间的距离约为（ ）（参考数值：）
A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m
【答案】D
【分析】由题意，前轮转动了圈，根据圆的周长公式即可求解.
【详解】解：由题意，前轮转动了圈，
所以A，B两点之间的距离约为，
故选：D.
6．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据切弦互化法计算即可求解.
【详解】因为，
所以．
故选：B．
7．（2024·广东茂名·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.
【详解】由，得，则，
所以.
故选：D
8．（2024·河南·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由条件推知，然后对表达式变形即可求解.
【详解】由，可得，所以.
故.
故选：D.
9．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知角的终边经过点，则的值为 .
【答案】
【分析】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求解结果．
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以，则，
故答案为：.
10．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知，，
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据诱导公式进行化简;
(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.
【详解】（1）
∴
（2）∵
∴
∵为第三象限角，
∴
∴的值为.
1．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集.
【详解】
根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，；
为第三象限角时，；
综上，角的取值集合是.
故选：D.
2．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】当时，代入可得，由正弦函数性质，可验证充分性，为偶函数时，得到，可验证必要性.
【详解】函数，当时，
，
则为奇函数，所以充分性不成立，
当为偶函数时，，所以必要性不成立，
故“，”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
3．（2024·山东济南·三模）若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：B
4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知，，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.
【详解】因为，，
所以，，
解得或（舍，
则
.
故选：A.
5．（2024·河北·三模）已知点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由题意，，
所以.
故选：B.
6．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积.
【详解】
延长与交于点．由，，得，．
因为所对的圆心角为直角，所以，．
所以该梅花砖雕的侧面积，
扇环的面积为，
则该梅花砖雕的表面积．
故选：C．
7．（2024·江西·二模）已知，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由诱导公式将条件式化简为，再利用两角和与差公式化简运算得解.
【详解】根据题意，，
由诱导公式，可得，
所以，
则
.
故选：D.
8．（2024·湖南邵阳·三模）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
【答案】ABC
【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D.
【详解】因为角的终边过点，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，
所以角的集合是，故A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因为，所以C选项正确；
设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，
所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．
故选：ABC
9．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可得，将表达式利用平方和关系为1化简可得结果.
【详解】由可得，即；
所以
将代入计算可得；
即.
故答案为：
10．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
【答案】
【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，
由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，
则，又，则∽，有，
即有，因此步道长，，
求导得，由，得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，
所以步道的最大长度为百米.
故答案为：
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
2．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
3．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
4．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
5．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵，∴，即，
又，将代入得，解得，
则.
故答案为：；.
6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
【答案】（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
7．（2020·全国·高考真题）若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．（2020·全国·高考真题）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
9．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ．
【答案】
【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
10．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
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