第04讲 椭圆方程及其性质
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第16题,15分 根据椭圆过的点求标准方程 求椭圆的离心率 椭圆中三角形(四边形)的面积 根据韦达定理求参数
2024年新Ⅱ卷，第5题,5分 求椭圆的标准方程 轨迹方程
2023年新I卷，第5题,5分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 由椭圆的离心率求参数的取值范围 无
2023年新Ⅱ卷，第5题,5分 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 求椭圆中的参数及范围 圆中三角形 (四边形)的面积
2022年新I卷，第16题,5分 求椭圆的标准方程 椭圆中焦点三角形的周长问题
2022年新Ⅱ卷，第16题,5分 根据弦长求参数 由中点弦求弦方程
2021年新I卷，第5题,5分 椭圆定义及辨析 基本不等式求积的最大值
2021年新Ⅱ卷，第20题,12分 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的弦长 椭圆中的直线过定点问题 根据弦长求参数
2020年新I卷，第9题,5分 判断方程是否表示椭圆 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 判断方程是否表示双曲线
2020年新I卷，第22题,12分 根据椭圆过的点求标准方程 椭圆中存在定点满足某条件问题 椭圆中的定值问题
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分 判断方程是否表示椭圆 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 判断方程是否表示双曲线
2020年新Ⅱ卷，第21题,12分 根据椭圆过的点求标准方程 求椭圆的切线方程 椭圆中三角形 (四边形)的面积 求椭圆中的最值问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.熟练掌握椭圆的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握椭圆的几何性质，并会相关计算
3.能熟练计算椭圆的离心率
4.会求椭圆的标准方程，会椭圆方程简单的实际应用
5.会求椭圆中的相关最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练
知识讲解
椭圆的定义
数学表达式
椭圆的标准方程
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
椭圆中，，的基本关系
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标 ， ， ， ，
长轴 长轴长，长半轴长
短轴 短轴长，短半轴长
焦点 ， ，
焦距 焦距，半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为
离心率
离心率对椭圆的影响 越大，椭圆越扁 越小，椭圆越圆 ，圆
通径
（过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长）
通径长：，
半通径长：
椭圆中的两个周长问题
考点一、椭圆的定义及其应用
1．（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义可得，求解即可.
【详解】由椭圆，可得，所以，
因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，
所以，又，所以.
故选：C.
2．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．16 D．25
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，取到最大值.
故选：D.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得经过椭圆的右焦点，结合椭圆定义计算即可得.
【详解】由，故经过椭圆的右焦点，
故的周长.
故选：D.
1．（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】A
【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案.
【详解】由椭圆的定义可知，.
故选：A.
2．（2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】先根据条件得，再利用基本不等式求最值.
【详解】由已知可得为椭圆的焦点，
根据椭圆定义知，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
3．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ．
【答案】
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，，依题意可得为等边三角形，从而得到直线过，再根据线段垂直平分线的性质及椭圆的定义计算可得.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，，
依题意可得长半轴长，半焦距，且，
所以为等边三角形，则直线过，
所以
，即的周长为.
故答案为：
考点二、椭圆的标准方程
1．（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.
【详解】由题意得，，，，所以．
故选：D．
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据方程表示椭圆列不等式组，即得实数的取值范围.
【详解】由题意知表示椭圆，则，
解得.
故选：A.
3．（23-24高二上·广东汕头·期末）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出当命题为真命题时实数的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论.
【详解】若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，，解得，
因此，使命题成立的充分必要条件是.
故选：B．
4．（2024·海南海口·二模）已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（ ）
A． B． C．7 D．5
【答案】A
【分析】根据题意求出椭圆的两个焦点，列式求出的值.
【详解】根据题意，椭圆的两个焦点为，，
椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点，
所以椭圆的两个焦点为，，
，且，解得.
故选：A.
5．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；
(2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出，再由焦点位置得出椭圆方程；
（2）由题意求出，根据焦点在x轴写出方程.
【详解】（1）由题意得：，，
故，
因为焦点在轴上，故椭圆方程为.
（2）如图，
由题意得：，，
所以，，
结合焦点在轴上，故椭圆方程为：.
1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得.
【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得．
故选：B.
2．（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解.
【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故选：D.
3．（23-24高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线，则（ ）
A．当时，是圆
B．当时，是焦距为4的椭圆
C．当是焦点在轴上的椭圆时，
D．当是焦点在轴上的椭圆时，
【答案】AB
【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确；
对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确；
对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误；
对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误，
故选：AB.
4．（2024·广东肇庆·模拟预测）（多选）已知曲线的方程为，则（ ）
A．当时，曲线表示双曲线
B．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，曲线表示圆
D．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
【答案】AC
【分析】根据双曲线，椭圆以及圆的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，当时，表示焦点在轴双曲线，故A正确，
对于B，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B错误，
对于C, 当时，,表示圆，C正确，
对于D,当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D错误，
故选：AC
5．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；
(2)经过点，离心率为，焦点在x轴上；
(3)经过两点，.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可；
(2)根据椭圆的几何性质列出方程组，求解即可；
(3)若椭圆过两点坐标，可把标准方程设为的形式，再把两点坐标代入求解即可.
【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为：，
所以由题设有：，解得，
故椭圆的标准方程为：.
（2）根据题意可设椭圆的标准方程为：，
所以由题设有：，解得，
故椭圆的标准方程为：.
（3）根据题意可设椭圆的标准方程为：，
所以由题设有：，解得，
故椭圆的标准方程为：.
考点三、椭圆的几何性质
1．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）（多选）关于椭圆 ，下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为4 B．短轴长为1
C．焦距为 D．离心率为
【答案】ACD
【分析】结合椭圆的几何性质依次判断即可.
【详解】因为椭圆，所以，，.
长轴长为4 ，故 A正确；
短轴长为，故B 错误；
焦距为，故C正确；
，故 D正确.
故选：ACD.
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知椭圆（）与椭圆有相同的焦点，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为椭圆（）与椭圆有相同的焦点，
所以，解得或（舍去）.
故选：B
3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助椭圆定义与勾股定理计算即可得.
【详解】由，结合题设有，，
由，则，
化简得，故的长轴长与焦距的比值为.
故选：D.
1．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】求出点的坐标，由求出点的轨迹方程，与椭圆方程联立求解判断即可.
【详解】椭圆的右焦点为，设，由，得，
由消去得，，而，解得，
当时，对应的值有2个，所以上满足的点有2个.
故选：B
2．（2024·陕西西安·模拟预测）若椭圆的长轴长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，求出值，依题得到的值，利用二倍角公式计算即得的值.
【详解】由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，即，
于是，.
故选：B.
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解.
【详解】由题意知，，且圆在椭圆内，
当与圆相切时，取得最小值，
此时，
所以，
所以的最小值为.
故选：A
考点四、椭圆的离心率
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解.
【详解】由椭圆的短轴长为2，知，，即，，
因此，
又椭圆的离心率，
故选：A.
2．（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率的定义以及椭圆中三者的关系即可求解.
【详解】由题可知离心率，则，
又，所以，即，所以.
故选：D.
3．（2024·山东烟台·三模）若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由离心率相等列出关于的方程求解即可.
【详解】若椭圆与椭圆（）的离心率相同，
则，解得满足题意.
故选：A.
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆焦半径公式求出，结合条件列式运算得解.
【详解】根据题意，，所以直线的倾斜角为，
由椭圆焦半径公式得，，
，，即，
化简得，.
故选：D.
5．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，则，由点差法求解离心率即可.
【详解】设，则，
则，两式相减可得，
，即，
即，，故.
故选：B
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，
不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知，
因为，可得，即，
可得，所以，
所以的面积为，可得，解得，
又因为，可得，即，
将点代入椭圆的方程，可得，整理得，
因为，可得，即，
解得和（舍去），即椭圆的离心率为.
故选：D.
1．（2024·广西·二模）已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据离心率定义与基本量关系求解即可.
【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即.
故选：C
2．（2024·浙江绍兴·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由离心率得到的关系式，代入的值，即可求得短轴长.
【详解】由可得（*），
因，即，代入（*）解得，
故短轴长为
故选：B.
3．（2024·西藏拉萨·二模）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】由椭圆的几何性质求解．
【详解】依题意，得，解得，
又离心率，
整理，得，
解得（舍去）或.
故选：D.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设椭圆的左右焦点分别为，，由题意可是，利用椭圆在处的切线方程为，可得，求解即可.
【详解】设椭圆的左右焦点分别为，
点，且，设，
则有，解得，
由，所以，又，所以，
又椭圆在处的切线方程为，
所以，所以，所以，
所以，所以，解得,
所以椭圆的离心率为.
故选：B.
5．（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率.
【详解】不妨设，，，则，．
又，所以，化简得，
显然，所以，解得，，所以，，
故，解得，故的离心率为．
故选：D
考点五、椭圆中的最值问题
1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围.
【详解】解法一：
由题意知，，设.
则.
因为，所以，所以，
所以．
解法二：
由题意知，．
设，取线段AF的中点N，则，连接MN.
则.
因为，所以，所以，
所以．
故选：D．
2．（2023·全国·二模）已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义，结合点A在椭圆内的条件，列出不等式组求解作答.
【详解】依题意，，设C的左焦点为，则，
因为，且，则，即，
于是，解得，而，点为椭圆C内一点，
即有，，整理得，又，解得，
所以a的取值范围是.
故选：D
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知为椭圆的两焦点，P为椭圆C上一点，若的最大值为3，且焦距为2，则椭圆C的方程为
【答案】
【分析】根据椭圆的性质，即可列式求解.
【详解】设椭圆C的焦距为2c，由题意知，从而
又因为的最大值为，所以，解得，则，
从而椭圆C的方程为
故答案为：
4．（2023·海南海口·模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等面积法求出内切圆的半径的表达式，代入三角形的面积公式，可得所求的三角形的面积．
【详解】由椭圆的方程可得，，，
设内切圆的半径为，则，
可得，
而，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，即．
故选：C．
1．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【答案】C
【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解.
【详解】椭圆的方程为，则，，，
连接，，
则由椭圆的中心对称性可知，
可知为平行四边形，则，
可得的周长为，
当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为，
所以周长为．
故选：C.
2．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为 .
【答案】3
【分析】根据题意画出示意图，可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同，换算出关系式，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.
【详解】设过点P分别作直线，由题意，画示意图如下：
设，，.则，，
由题意可知四边形为平行四边形，
所以，即，
又因P为椭圆上任意一点，所以，即，
所以，
因为，所以，
所以由函数性质知：当时，有.
故答案为：3
【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系.
3．（2024·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可知，的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于的不等关系，即可求解.
【详解】
因为椭圆：，所以，，所以，
所以，，
因为点 在上，所以，所以，，
又，，所以，
又，，
所以，
因为大于，所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：.
4．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据题意可得曲线M的方程为，设出，利用两点间距离公式并由二次函数性质可求得，进而利用点与圆的位置关系求解即可.
【详解】根据题意，曲线，
则曲线M上的点到点和距离之和为，
根据椭圆定义知曲线M的是以和为焦点的椭圆，
其中，则，所以曲线M的的方程为，
设点满足且，可得，
圆的圆心为，半径为1，
则，
又函数在单调递减，所以，
所以的最小值是.
故选：C
考点六、椭圆的简单应用
1．（2023·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案.
【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，
设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为，
依题意，，整理得，即，
而，解得，
此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为.
故选：C
2．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率.
【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为，
则由已知可得，
两式相加可得，两式相减可得，
则，，
所以离心率.
故选：A.
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得
【详解】由已知得，，
由椭圆定义可得，
根据光的反射定理可得为的角平分线，
由正弦定理，
所以，，又
所以
即.
故选：D.
1．（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图象可知可判断A；根据图象可知，结合由不等式的性质可判断B，C；对两边同时平方化简可判断D.
【详解】如图可知，，，，A不正确；
，，；B不正确；
由，可知，C不正确；
，可得，故，
即，，，即，D正确，
故选:D.
2．（2024·黑龙江·三模）（多选）加斯帕尔 蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆与椭圆有相同的焦点
C．椭圆的蒙日圆方程为
D．矩形的面积最大值为50
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，可判定A、B正确，结合椭圆的性质和蒙日圆的方程，可判定C错误，结合基本不等式和圆的性质，可得判定D错误.
【详解】由椭圆，可得，则，
所以椭圆的离心率为，所以A正确；
由椭圆，可得，则，
故椭圆的焦点与椭圆相同，所以B正确；
因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上，
可得半径，可得椭圆的蒙日圆方程为，所以错误；
设矩形的边长分别为和，则有，
所以矩形的面积等于，当且仅当时取等号，所以D正确.
故选：ABD.
3．（2024·新疆·一模）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 .
【答案】/0.5
【分析】由题意得到，由椭圆定义和双曲线定义得到方程，求出，进而求出离心率的比值.
【详解】由得，
由椭圆定义可得，
由椭圆和双曲线定义得，，
故
，
故，解得，
设椭圆T与双曲线S的公共焦点为，
故，所以
故答案为：
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标.
【详解】，可得焦点坐标为和.
故选：B
2．（2024·内蒙古·三模）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的方程，结合离心率的定义和求法，列出方程，即可求解.
【详解】由椭圆，可得，，则，
所以，解得.
故选：B.
3．（2024·福建泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距.
【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，
若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，
所以该椭圆的焦距为或.
故选：D
4．（22-23高二上·全国·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆方程特点可求范围.
【详解】由题意得，，解得.
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据离心率公式求得椭圆和椭圆离心率，列式求解求得，进而可得解.
【详解】因为椭圆，
所以椭圆离心率为，
椭圆的离心率，
则由题意可知，解得.
所以的长轴长为.
故选：D.
6．（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】
利用椭圆的定义，结合垂直关系列式求解即得.
【详解】依题意，，令椭圆的半焦距为c，
由，得，即，
因此，即，所以，即.
故选：B
7．（2024·江西九江·三模）已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到，, ,设，其它边全部用t表示,运用面积为构造方程求出t.再用椭圆定义求出a,进而求出c,b即可.
【详解】如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴, 轴.
在中, ,设,则的面积为,
,
,则C的方程为.
故选：D.
二、填空题
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：的焦距为，则的离心率为 .
【答案】
【分析】根据焦距定义得到，再利用椭圆离心率公式即可得到答案.
【详解】因为焦距，所以，
所以，离心率为.
故答案为：.
9．（2024·云南大理·模拟预测）椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于 .
【答案】
【分析】求出直线的方程为：，根据点到直线距离得到方程，求出，求出离心率.
【详解】依题意，，，，所以直线的方程为：，
又直线与以为圆心半径为的圆相切，故，
即，，
方程两边同除以得，解得或，
又椭圆的离心率，所以.
故答案为：
三、解答题
10．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的离心率可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程；
（2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．
【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得，
可得，设椭圆的方程为：，，
又因为椭圆经过点，所以，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设与直线平行的直线的方程为，
联立，整理可得：，
，可得，则，
所以直线到直线的距离．
所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】由题可得，可得，即可求解.
【详解】设椭圆的中心为，长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则在等腰三角形中，，，．
因为椭圆的离心率为，所以在直角三角形中，，故，．
故选：D
2．（2024·四川遂宁·模拟预测）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，两点在上，且关于坐标原点对称，，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】利用对称性可判断为平行四边形，在中利用余弦定理，结合椭圆定义联立求解可得，然后在中利用余弦定理可解.
【详解】由题知，长轴长为8，焦距等于，
如图，由椭圆的对称性可知，，
所以四边形为平行四边形，
因为，所以，
记，在中，由余弦定理得：，
由椭圆定义得，联立求解可得，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：C
3．（2024·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆的离心率得，表示点的坐标，进而可得直线的斜率及直线的方程，求出得直线的方程，联立两条直线的方程，可得交点的坐标，根据中垂线的性质可得，，将的周长转化为，由椭圆的定义可得的周长为，即可求解．
【详解】因为椭圆的离心率，可得，
所以，即，可得，
则点，右焦点，所以，
由题意可得直线的斜率，
所以，即，
由题意设直线的方程为，
直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立，可得，，
则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，
即，，
的周长为，可得，
所以，，
所以椭圆的方程为：.
故选：C．
4．（2024·浙江金华·三模）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意画出图象，由角平分线的性质可得点到直线与的距离相等，进而利用直线的方程可得点的坐标，然后列方程求点的坐标，从而可得.
【详解】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：
设，又，
由题意可知，直线的斜率一定存在，
所以，直线，即，则点，
直线，化为一般形式得，
因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
于是，化简得，
即，
又点在椭圆上，所以，得，
因此，，即，
解得或，点在第一象限，所以，，
则点，
所以.
故选：C.
【点睛】思路点睛：首先设点的坐标，再求出直线，直线的表达式以及点的坐标，最后再根据点到角两边的距离相等以及点在椭圆上，解出点的坐标，最后再求线段的长度.
5．（2024·四川·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到，再求短轴长度即可.
【详解】
如图，连接在和中，
利用角平分线定理可得
由等比定理可得从而.
故椭圆的短轴长为，故B正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到，再求解短轴长度即可．
6．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，首先证明，结合题意算得解得，即可得三角形为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，，，即是的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解.
【详解】
我们首先来证明一个引理：若，则，
证明如下：设，则由余弦定理有
，即，
所以，
所以，从而引理得证；
根据题意可得， ，解得，
因为，所以，解得，
由，，可得三角形为等边三角形，
所以，所以，
所以，所以是的中点，
所以，所以，即，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形为等边三角形，进一步得出的齐次式关系即可求解.
7．（2024·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图象，由题意可知，从而可得，在和中，分别求得，从而可得，即有， ，过作于，
可得，为中点，即可得解.
【详解】如图所示：
由题意可知，
设椭圆的半长轴为，
则，
在中，，
在中，
，
所以 ，
整理得：，即
解得：或，
当时，，不满足题意，故舍去；
当时，，满足题意，且，
过作于，
则，
所以,
所以，
故为中点，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是在和中，分别求得，建立等量关系，求得.
二、多选题
8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（ ）
A． B．的面积为
C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】对于A，结合椭圆的定义即可得解；对于B，设，结合椭圆定义，和直角三角形中勾股定理，得出，从而得出面积；对于C，在中，利用勾股定理得出a与c的齐次方程，从而得解；对于D，在中，求得，在中，求得，结合两角差的正切公式可以求得，从而得到直线的斜率.
【详解】
对于A，由椭圆的定义可得，，，又，所以，故A正确；
对于B，如图，连接，，设（），则.
因为，，
所以，.
因为为圆的直径，所以，在中，，
即，整理得，
所以，故B错误；
对于C，在中，，.
所以，即，
解得；，即，故C正确；
对于D，在中，
在中，
所以，
所以直线的斜率为．故D正确；
故选：ACD
9．（2024·广东·三模）已知椭圆的长轴端点分别为 两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C．面积的最大值为 D．
【答案】ABD
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的离心率为，A正确；
对于B，的周长为，B正确；
对于C，，设，，
则面积的最大值为，C错误；
对于D，，，，
因此，D正确.
故选：ABD
10．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．若，则椭圆的离心率为
C．
D．若直线平行于x轴，则
【答案】ACD
【分析】对于A，则，故，则利用与离心率公式即可得解；对于B，设，，接着利用和结合离心率公式直接计算即可求解；对于C，根据三角形中位线即可得解；对于D，设，则，根据已知条件求出和中点，再利用点关于直线对称的理论列式求出即可得解.
【详解】如图，直线l与交于G，
对于A，若，则，所以，
所以，故A正确；
对于B，设，则，且即，
所以，
所以，故B错误；
对于C，由题意可知是中位线，故，故C正确；
对于D，设点，则直线，
因为直线平行于x轴，所以点的中点，
所以由点G在直线l上且得，
解得，即，
因此，故D正确.
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：点关于直线对称的点的计算求解步骤：
（1）设所求点坐标，
（2）利用中点坐标公式求出中点坐标，
（3）利用中点坐标在直线上和两点所在直线与已知直线垂直则斜率乘积为这两个条件建立关于所求点坐标的方程组，利用该方程组即可求解.
（4）遇特殊直线如或一般直接得解.
1．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点，则，
因为为的中点，所以，即，
又在圆上，
所以，即，
即点的轨迹方程为.
故选：A
2．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
3．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
4．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
6．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
8．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为 ，，所以
，
因为，当，即 时，，即 ，符合题意，由可得，即 ；
当，即时， ，即，化简得， ，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
9．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
11．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
【答案】(1)
(2)直线的方程为或.
【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可；
（2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以.
（2）法一：，则直线的方程为，即，
，由（1）知，
设点到直线的距离为，则，
则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点，
设该平行线的方程为：，
则，解得或，
当时，联立，解得或，
即或，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，此时，直线的方程为，即，
当时，联立得，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线的方程为或.
法二：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，则，解得或，
即或，以下同法一.
法三：同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
设，其中，则有，
联立，解得或，
即或，以下同法一；
法四：当直线的斜率不存在时，此时，
，符合题意，此时，直线的方程为，即，
当线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立椭圆方程有，则，其中，即，
解得或，，，
令，则，则
同法一得到直线的方程为，
点到直线的距离，
则，解得，
此时，则得到此时，直线的方程为，即，
综上直线的方程为或.
法五：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当的斜率存在时，设，令，
，消可得，
，且，即，
，
到直线距离，
或，均满足题意，或，即或.
法六：当的斜率不存在时，到距离，
此时不满足条件.
当直线斜率存在时，设，
设与轴的交点为，令，则，
联立，则有，
，
其中，且，
则，
则，解的或，经代入判别式验证均满足题意.
则直线为或，即或.
12．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.
【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
13．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为.
(2).
【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.
【详解】（1）如图，
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
（2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
14．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
15．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可；
（2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解.
【详解】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，
易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
16．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
17．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；
（2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；
【详解】（1）解：依题意可得，，又，
所以，所以椭圆方程为；
（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直线的方程为，令，解得，
直线的方程为，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
18．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1）解：，
离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
19．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）易知点、，故，
因为椭圆的离心率为，故，，
因此，椭圆的方程为；
（2）设点为椭圆上一点，
先证明直线的方程为，
联立，消去并整理得，，
因此，椭圆在点处的切线方程为.
在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，
直线的斜率为，所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
因为，则，即，整理可得，
所以，，因为，，故，，
所以，直线的方程为，即.
【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：
（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；
（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.
20．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
21．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.
【详解】（1）因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
综上，或.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第04讲 椭圆方程及其性质
（6类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第16题,15分 根据椭圆过的点求标准方程 求椭圆的离心率 椭圆中三角形(四边形)的面积 根据韦达定理求参数
2024年新Ⅱ卷，第5题,5分 求椭圆的标准方程 轨迹方程
2023年新I卷，第5题,5分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 由椭圆的离心率求参数的取值范围 无
2023年新Ⅱ卷，第5题,5分 根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 求椭圆中的参数及范围 圆中三角形 (四边形)的面积
2022年新I卷，第16题,5分 求椭圆的标准方程 椭圆中焦点三角形的周长问题
2022年新Ⅱ卷，第16题,5分 根据弦长求参数 由中点弦求弦方程
2021年新I卷，第5题,5分 椭圆定义及辨析 基本不等式求积的最大值
2021年新Ⅱ卷，第20题,12分 根据离心率求椭圆的标准方程 求椭圆中的弦长 椭圆中的直线过定点问题 根据弦长求参数
2020年新I卷，第9题,5分 判断方程是否表示椭圆 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 判断方程是否表示双曲线
2020年新I卷，第22题,12分 根据椭圆过的点求标准方程 椭圆中存在定点满足某条件问题 椭圆中的定值问题
2020年新Ⅱ卷，第10题,5分 判断方程是否表示椭圆 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 判断方程是否表示双曲线
2020年新Ⅱ卷，第21题,12分 根据椭圆过的点求标准方程 求椭圆的切线方程 椭圆中三角形 (四边形)的面积 求椭圆中的最值问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.熟练掌握椭圆的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握椭圆的几何性质，并会相关计算
3.能熟练计算椭圆的离心率
4.会求椭圆的标准方程，会椭圆方程简单的实际应用
5.会求椭圆中的相关最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练
知识讲解
椭圆的定义
数学表达式
椭圆的标准方程
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
椭圆中，，的基本关系
椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标 ， ， ， ，
长轴 长轴长，长半轴长
短轴 短轴长，短半轴长
焦点 ， ，
焦距 焦距，半焦距
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为
离心率
离心率对椭圆的影响 越大，椭圆越扁 越小，椭圆越圆 ，圆
通径
（过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长）
通径长：，
半通径长：
椭圆中的两个周长问题
考点一、椭圆的定义及其应用
1．（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
2．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A． B．9 C．16 D．25
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
2．（2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 .
3．（24-25高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ．
考点二、椭圆的标准方程
1．（2024·湖北荆州·三模）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·广东汕头·期末）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·海南海口·二模）已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（ ）
A． B． C．7 D．5
5．（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；
(2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.
1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线，则（ ）
A．当时，是圆
B．当时，是焦距为4的椭圆
C．当是焦点在轴上的椭圆时，
D．当是焦点在轴上的椭圆时，
4．（2024·广东肇庆·模拟预测）（多选）已知曲线的方程为，则（ ）
A．当时，曲线表示双曲线
B．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，曲线表示圆
D．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
5．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍；
(2)经过点，离心率为，焦点在x轴上；
(3)经过两点，.
考点三、椭圆的几何性质
1．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）（多选）关于椭圆 ，下列结论正确的是（ ）
A．长轴长为4 B．短轴长为1
C．焦距为 D．离心率为
2．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知椭圆（）与椭圆有相同的焦点，则（ ）
A． B． C．3 D．4
3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知椭圆的右焦点为，则上满足的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·陕西西安·模拟预测）若椭圆的长轴长为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点四、椭圆的离心率
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的短轴长为2，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东烟台·三模）若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点A，B在上，直线倾斜角为，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·广西·二模）已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江绍兴·二模）已知椭圆的离心率为，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·西藏拉萨·二模）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，点，线段，分别交于两点，过点作的切线交于，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·湖南衡阳·模拟预测）设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点五、椭圆中的最值问题
1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·二模）已知为椭圆的右焦点，点为C内一点，若在C上存在一点P，使得，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知为椭圆的两焦点，P为椭圆C上一点，若的最大值为3，且焦距为2，则椭圆C的方程为
4．（2023·海南海口·模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
2．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为 .
3．（2024·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·青海海南·二模）已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
考点六、椭圆的简单应用
1．（2023·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·黑龙江·三模）（多选）加斯帕尔 蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆与椭圆有相同的焦点
C．椭圆的蒙日圆方程为
D．矩形的面积最大值为50
3．（2024·新疆·一模）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆T与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S 去掉，如图②，此光线从点发出，经T两次反射后又回到了点历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 .
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·内蒙古·三模）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（22-23高二上·全国·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）设椭圆的离心率是椭圆的离心率的倍，则的长轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（2024·江西九江·三模）已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：的焦距为，则的离心率为 .
9．（2024·云南大理·模拟预测）椭圆（）的右顶点为，上顶点为，右焦点为，若直线与以为圆心半径为的圆相切，则椭圆离心率等于 .
三、解答题
10．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
2．（2024·四川遂宁·模拟预测）设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，两点在上，且关于坐标原点对称，，则（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2024·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江金华·三模）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接并延长交轴于点，且，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（ ）
A． B．的面积为
C．椭圆的离心率为 D．直线的斜率为
9．（2024·广东·三模）已知椭圆的长轴端点分别为 两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C．面积的最大值为 D．
10．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知直线交椭圆于A，B两点，，为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与关于直线l的对称点为Q，则（ ）
A．若，则椭圆的离心率为
B．若，则椭圆的离心率为
C．
D．若直线平行于x轴，则
1．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
2．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
8．（2021·全国·高考真题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
10．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 .
11．（2024·广东江苏·高考真题）已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
12．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
13．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
14．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
15．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
16．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
17．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．
18．（2022·天津·高考真题）椭圆的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若，且的面积为，求椭圆的方程．
19．（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．
20．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
21．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
