专题1.3 不等关系与不等式性质【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 不等式性质的应用】 2
【题型2 比较数（式）的大小】 3
【题型3 证明不等式】 5
【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 7
【题型5 不等式的综合问题】 9
【题型6 糖水不等式】 12
1、不等关系与不等式性质
考点要求 真题统计 考情分析
(1)等式性质
(2)比较两个数的大小
(3)理解不等式的性质，并能简单应用 2022年Ⅱ卷：第12题，5分 高考对不等式的性质的考查比较稳定，一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解；单独考查的题目虽然不多，但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，是高考考查的一个重点内容.
【知识点1 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么b
b.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．比较大小的基本方法
关系 方法
作差法 与0比较 作商法 与1比较
或
或
【方法技巧与总结】
1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解.
【题型1 不等式性质的应用】
【例1】（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【解答过程】对于ABD，取，满足，
显然，，，ABD错误；
对于C，，则，C正确.
故选：C.
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由不等式的性质结合充分不必要的条件即可得解.
【解答过程】若，则，所以或者，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
【变式1-2】（2023·上海杨浦·一模）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数的性质判断即可.
【解答过程】因为,是定义在上的偶函数，
所以当实数满足时，,不一定成立，故不符合题意；
因为是定义在上单调递增的奇函数，
所以当实数满足时，则，故符合题意；
因为在上单调递减，
所以当实数满足时，不一定成立，不符合题意.
故选：.
【变式1-3】（2023·贵州遵义·模拟预测）已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【解题思路】结合特殊值与不等式的性质可求.
【解答过程】A，当时，，A错误；
B，当时， 没意义，B错误；
C，由，知，所以，C正确；
D，当时，不成立，D错误.
故选：C.
【题型2 比较数（式）的大小】
【例2】（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用作差比较法，结合指数函数的单调性可得答案.
【解答过程】因为，，，所以
又，，所以，所以；
又，
又，，所以．
综上，．
故选：A．
【变式2-1】（2023·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由可得，然后对选项一一分析即可得出答案.
【解答过程】由可知，所以，所以错误；
因为，但无法判定与1的大小，所以B错误；
当时，，故D错误；
因为，所以，故C正确.
故选：C.
【变式2-2】（2023·北京东城·一模）已知，那么在下列不等式中，不成立的是
A． B． C． D．
【解题思路】利用作差法可判断A、B选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.
【解答过程】，则，，
又、，，.
可得：ABC成立，D不成立.
故选：D.
【变式2-3】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.
【解答过程】解：选项A中，由于，所以成立；故A正确；
选项B中，，，与大小不能确定，故B错误；
选项C中，由于，故C错误；
选项D中，令，则，故D错误.
故选：A.
【题型3 证明不等式】
【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
【解题思路】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证.
【解答过程】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
【变式3-1】（22-23高一上·全国·课后作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【解答过程】（1）证明：，，
，，
又因为，即，
所以.
（2）证明：，，；
又，，；
.
【变式3-2】（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则”
【解题思路】由作差法证明，再由证明.
【解答过程】证明：取，
因为，所以，即.
所以
又因为，故，
所以.
【变式3-3】（22-23高二下·湖北省直辖县级单位·期末）若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
【解题思路】（1）根据的符号去绝对值可证不等式成立；
（2）根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式成立；
（3）在的两边同时乘以，得，在的两边同时乘以，得，所以.
【解答过程】（1）因为，且，所以，所以.
（2）因为，所以．又因为 ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．
所以，
因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以，
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得.
（3）因为，，
所以，
因为，，
所以，
所以.
所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意.
【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】
【例4】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【解答过程】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
【变式4-1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围．
【解答过程】设，
所以，解得，即可得，
因为，，
所以 ，
故选：A．
【变式4-2】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题目条件得到，由和得到，由得到，从而得到答案.
【解答过程】因为，，所以，
由得到，则，解得，
由得，整理得，解得，
由得，
综上，.
故选：B.
【变式4-3】（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用一元二次方程根的分布求得关于实数的不等式组，再利用不等式的性质即可求得的取值范围
【解答过程】由函数中，，，
可知一元二次方程有二相异根，分别位于区间和内
则，即，即
由，可得，
则，即
由，可得
则，则
综上，的取值范围为
故选：B.
【题型5 不等式的综合问题】
【例5】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）解决下列问题：
(1)已知，设，.比较与的大小；
(2)已知，，，求证：.
【解题思路】（1）利用作差法进行求解即可；
（2）利用作差法，结合不等式的性质进行证明即可
【解答过程】（1） ；
（2），
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
【变式5-1】（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足．
(1)试比较三数，，的大小；
(2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立
①；②；③．
【解题思路】（1）作差法比较大小；
（2）利用反证法，因，又，故可分，与证明.
【解答过程】（1）由题意可知，，所以bc＞ad，
所以，所以，
，所以，
所以；
（2）证明：由（1） ，又
若
假设①；②；③都成立，
①③之和可得：④，
②③之和可得：⑤，
④化简得，⑤化简得，
由④⑤之和可得：，
即，则，
又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立
若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立；
①；②；③
所以三个不等式中至少有一个不成立．
【变式5-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小.
（2）已知，求的取值范围.
【解题思路】（1）利用作差比较法比较大小即可；
（2）先利用表示出，结合的范围可得答案.
【解答过程】（1）.
因为，所以，，
所以.
因为，都为正数，所以，
因此，当且仅当时等号成立.
（2）由题意可设，
则，解得，，
因为，
所以，，
则.
【变式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1”
(1)分别判断和时是否满足“性质1”;
(2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得.
(3)求出所有满足“性质1”的实数t
【解题思路】（1）分别举反例证明和时性质1不成立；
（2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证；
（3）结合（2）的结论可得解.
【解答过程】（1）记，，
假如，则当时，对任意，均有，不满足要求；
假如，则当，时，对任意，均有，，
若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求.
（2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理.
当时，，
当时，不妨设，则，又，所以.
所以若，且，则.
下面证当时，对任意，总存在，使得，
若，则取，此时，
其中，，且，
由引理可得，
若，则取，此时，
其中，，且，故由引理可得，
综上，当时，对任意，总存在，使得.
（3）当时，当时，可取，使得，理由如下：
当时，取，则；
当时，取，则，则，故，
同理，可取，使得，此时，
所以当时，对任意，总存在，使得.
结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得.
综上，所有满足性质1的实数.
【题型6 糖水不等式】
【例6】（22-23高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案.
【解答过程】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了，
即糖水的浓度增加了，
加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：；
所以.
故选：A.
【变式6-1】（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定不成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意得，进而根据依次讨论各选项即可得答案.
【解答过程】对于A选项，由题意可知，故正确；
对于B选项，因为，所以，故正确；
对于C选项，由可得，进而得，故错误；
对于D选项，，故正确.
故选：C.
【变式6-2】（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）
【解题思路】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，再利用作差法可证得结论成立；
（2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论.
【解答过程】解：（1）克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为，
再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例，
糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下：
，则；
（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克），
对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，
故华华买到的糖的平均价格为（元/千克），
，即东东买到的糖的平均价格较高.
【变式6-3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则”
【解题思路】（1）根据题意直接写出答案，利用作差法证明该不等式；
（2）利用三角形的三边关系和放缩法即可证明.
【解答过程】（1）由题可得，；
证明：因为，，，
所以，，，从而，即
（2）由三角形三边关系，可得，而函数 ，为单调递增函数，
，
，，
故，
所以，.
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.
【解答过程】 ，即，故选项A正确；
当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误；
当时，由可得，故选项D错误.
故选:A．
2．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【解答过程】由于，取，，，无法得到，，故AB错误，
取,则，无法得到，C错误，
由于，则，所以，
故选：D.
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由不等式的性质即可得解.
【解答过程】因为，所以，，
所以.
故选：D.
4．（2024·江西·模拟预测）已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据充分不必要条件的定义，结合不等式的性质判断即可.
【解答过程】由，可得，因为，的符号不确定，推不出，故不满足题意；
由，可得，反之当，时不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故满足题意；
因为，，所以，不满足题意.
故选：.
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【解题思路】根据不等式性质对选项逐一判断即可得出结论.
【解答过程】对于A，若，当时，不满足，即A错误；
对于B，若，则，所以B错误；
对于C，若，可知，不等式两边同时除以，即，可得，即C正确；
对于D，若，不妨取，则，可得D错误；
故选：C.
6．（2023·全国·模拟预测）已知实数．设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【解题思路】根据不等式的性质由命题甲可得到，作差法可判断命题乙正确，得出甲是乙的充分条件；将命题乙变形后分类讨论得出甲是乙的不必要条件，即可得出答案.
【解答过程】由可知.
所以，即.
因为
所以，即.
所以甲是乙的充分条件．
若，即，
则或.
当，则或，显然不一定成立；
当，则，显然不成立．
所以甲是乙的不必要条件．
综上可知，甲是乙的充分不必要条件．
故选：A．
7．（2023·广东·二模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用作差法比较大小即可得出正确选项.
【解答过程】因为，所以.，
因为，
且，所以，所以，所以.故.
故选： A.
8．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由不等式的性质结合特殊值排除法逐项分析即可.
【解答过程】因为，所以，
对于A，，,,
综上可得，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：D.
二、多选题
9．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【解题思路】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳.
【解答过程】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得，
则，故A正确；
对B，当时，，故B错误；
对C，因为，则，又因为，所以，故C正确；
对D，举例，则，而，
此时两者相等，故D错误.
故选：AC.
10．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据不等式的性质，变形求解.
【解答过程】，两式相乘得，所以，A正确；
由题得，又，两式相乘得，所以，B错误；
因为，所以两式相乘得，C正确；
因为，所以两式相乘得，D错误．
故选：AC.
11．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.
【解答过程】且，则，，
则，A正确；
因为，，所以，B错误；
因为，，，
当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误；
因为，
当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合，
所以不成立，故，即，D正确.
故选：AD.
三、填空题
12．（2023·北京房山·一模）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为 （答案不唯一） .
【解题思路】根据不等式的性质，讨论的正负和三种情况，得出结论．
【解答过程】若，当时，；
当时，；
当时，；
“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为，
故答案为：（答案不唯一）.
13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
【解题思路】先得到，并根据得到，从而求出.
【解答过程】因为，故，
由得，解得，
故.
故答案为：.
14．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
【解题思路】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.
【解答过程】令其中，
所以，
若，则，故，
令，
因此,故,则，
若，则，即，
，
则,故,则，
当且仅当且时等号成立，
如取时可满足等号成立，
综上可知的最小值为，
故答案为：.
四、解答题
15．（2024高一·全国·专题练习）已知-3【解题思路】利用不等式性质直接求解范围即可
【解答过程】∵-3∴-6+（-12）<2a+3b<4+（-9），∴-18<2a+3b<-5.
又∵-4∴0故2a+3b的取值范围为-18<2a+3b<-5，a-b的取值范围为016．（23-24高一·全国·专题练习）试比较下列组式子的大小：
(1)与，其中；
(2)与，其中，；
(3)与，．
【解题思路】(1)通过比较与的大小来确定与的大小；
(2)通过作差法来比较的大小；
(3) 通过作差法或作商法比较与的大小.
【解答过程】（1）解：，，
因为，
所以，
即；
（2）解：
．
因为，，所以，，
所以，
即；
（3）方法一（作差法）
．
因为，所以，，，．
所以，
所以．
方法二（作商法） 因为，所以，，，
所以，
所以．
17．（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c为三角形的三边．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【解题思路】（1）由，，结合三角形两边之和大于第三边的性质可得答案.
（2）利用作差法求证，则，同理，结合不等式的性质可得答案.
【解答过程】（1）因为a，b，c为三角形的三边，所以a，b，，且，（关键：根据三角形的三边关系得到a，b，c满足的条件）
所以，
，
所以．
（2）因为，
所以，
所以，
同理可得，
所以．
18．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.
【解题思路】（1）用作差比较法即可；
（2）结合（1）的结论即可证明.
【解答过程】（1）若，则.
证明：.
因为，所以，又，故，
因此.
（2）在锐角三角形中，由（1）得，
同理，
.
以上式子相加得.
19．（2023·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）；
(2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
【解题思路】（1）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得到结果.
【解答过程】（1）第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，
所以平均价格为元升；
第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
（2）由题意可得，第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
第二种方案，两次加油共花费元，两次共加了升燃油，所以平均价格为元升；
且，所以选择第二种加油方案比较经济划算.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.3 不等关系与不等式性质【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 不等式性质的应用】 2
【题型2 比较数（式）的大小】 3
【题型3 证明不等式】 3
【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 4
【题型5 不等式的综合问题】 5
【题型6 糖水不等式】 6
1、不等关系与不等式性质
考点要求 真题统计 考情分析
(1)等式性质
(2)比较两个数的大小
(3)理解不等式的性质，并能简单应用 2022年Ⅱ卷：第12题，5分 高考对不等式的性质的考查比较稳定，一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解；单独考查的题目虽然不多，但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，是高考考查的一个重点内容.
【知识点1 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
3．比较大小的基本方法
关系 方法
作差法 与0比较 作商法 与1比较
或
或
【方法技巧与总结】
1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.
2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解.
【题型1 不等式性质的应用】
【例1】（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023·上海杨浦·一模）已知实数，满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·贵州遵义·模拟预测）已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【题型2 比较数（式）的大小】
【例2】（2023·湖南·模拟预测）已知正实数x，y满足，设，，（其中为自然对数：），则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023·北京东城·一模）已知，那么在下列不等式中，不成立的是
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 证明不等式】
【例3】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.
【变式3-1】（22-23高一上·全国·课后作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【变式3-2】（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则”
【变式3-3】（22-23高二下·湖北省直辖县级单位·期末）若，,
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
【题型4 利用不等式的性质求目标式的取值范围】
【例4】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·广西南宁·模拟预测）已知函数，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 不等式的综合问题】
【例5】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）解决下列问题：
(1)已知，设，.比较与的大小；
(2)已知，，，求证：.
【变式5-1】（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足．
(1)试比较三数，，的大小；
(2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立
①；②；③．
【变式5-2】（23-24高一上·河北保定·阶段练习）（1）当p，q都为正数且时，试比较代数式与的大小.
（2）已知，求的取值范围.
【变式5-3】（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1”
(1)分别判断和时是否满足“性质1”;
(2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得.
(3)求出所有满足“性质1”的实数t
【题型6 糖水不等式】
【例6】（22-23高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定不成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（22-23高一上·广东东莞·阶段练习）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．
（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）
【变式6-3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则”
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西·模拟预测）已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为实数，则下列命题成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（2023·全国·模拟预测）已知实数．设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
7．（2023·广东·二模）若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2023·北京房山·一模）能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为 .
13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
14．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
四、解答题
15．（2024高一·全国·专题练习）已知-316．（23-24高一·全国·专题练习）试比较下列组式子的大小：
(1)与，其中；
(2)与，其中，；
(3)与，．
17．（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c为三角形的三边．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
18．（23-24高三上·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.
(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
(2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.
19．（2023·吉林长春·模拟预测）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
(1)若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格（平均价格总价格总升数）；
(2)分别用m，n（）表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
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