专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 不含参一元二次不等式的解法】 3
【题型2 含参一元二次不等式的解法】 4
【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 6
【题型4 其他不等式的解法】 7
【题型5 一元二次不等式根的分布问题】 10
【题型6 二次函数的单调性、最值问题】 11
【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 13
【题型8 一元二次不等式有解问题】 15
1、二次函数与一元二次方程、不等式
考点要求 真题统计 考情分析
(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式
(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式
(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法 2020年I卷：第1题，5分 2023年新高考I卷：第1题，5分 一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”
的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.
【知识点1 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.
(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
【方法技巧与总结】
1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型1 不含参一元二次不等式的解法】
【例1】（2023·广东珠海·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【解答过程】由得，解得，
故原不等式的解集为.
故选：D.
【变式1-1】（2024·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.
【解答过程】由，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.
【解答过程】由不等式可得，
即，可得，
因此不等式的解集是.
故选：C.
【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【解题思路】解出集合、，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【解答过程】或，或，
是的真子集，
因此，是的必要不充分条件.
故选：B.
【题型2 含参一元二次不等式的解法】
【例2】（23-24高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据得到，从而写出的解集.
【解答过程】因为，所以，
所以的解集为.
故选：D.
【变式2-1】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（ ）.
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.
【解答过程】原不等式可化为即，而，故，
图象开口向下，故原不等式的解集为.
故选：A.
【变式2-2】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】将原不等式化为，再分类讨论的取值情况进行求解.
【解答过程】由题意，原不等式可化为
当时，原不等式为，解得，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
故不可能的解集为或.
故选：D.
【变式2-3】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式的解集为，则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
【解题思路】赋值法可解AB，消去参数可解CD.
【解答过程】记，因为
所以，故A错误；
因为
所以，故B错误；
由题知和2是方程的两个实根，
所以，且
解得
故或，C错误；
或，D正确；
故选：D.
【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】
【例3】（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分类讨论的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.
【解答过程】原不等式可化为，
当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；
当时，得，此时解集中的整数为，，，则，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
【变式3-1】（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】
根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.
【解答过程】由题意，二次不等式的解集为，
则等价于，即，即，
当时，不能推出，
所以“的解集为”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出的值，再解不等式.
【解答过程】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
【变式3-3】（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出，，再根据，即可求出．
【解答过程】关于的不等式的解集是，
∴是方程的两个根，
∴即，
∴或，
∴，，
∵，
∴，
即，
即，
解得，
综上所述，或，
故选：D.
【题型4 其他不等式的解法】
【例4】（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）将分式不等式化为且，求出解集；
（2）将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.
【解答过程】（1）不等式，移项得，通分得，
可转化为且，
解得，不等式解集为.
（2）令
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
当时，，解得，即；
综上所述：不等式解集为.
【变式4-1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列不等式的解集
(1)；
(2)
(3)
【解题思路】（1）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
（2）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
（3）将原不等式等价转换为，解一元二次不等式即可.
【解答过程】（1）由题意，
解不等式得或，
从而不等式的解集为.
（2）由题意，
解不等式得，
从而不等式的解集为.
（3）由题意，
解不等式得，
从而不等式的解集为.
【变式4-2】（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）解下列不等式：
(1)；
(2).
【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.
【解答过程】（1），由数轴标根法得，解集为；
（2）或，
易得解集为.
【变式4-3】（2023高一·上海·专题练习）解下列关于的不等式．
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）由题意不等式等价于，由零点标根法画图即可求解.
（2）由题意不等式等价于，由零点标根法画图即可求解.
【解答过程】（1）原不等式等价于，
所以，
如图所示：
解得或且，
所以原不等式解集为或或.
（2）由得，，
原不等式等价于，即，
如图所示：
解得 或 或，
所以原不等式的解集为 或 或．
【题型5 一元二次不等式根的分布问题】
【例5】（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.
【解答过程】当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D.
【变式5-1】（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
令，依题意可得，解得即可.
【解答过程】
令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解，
所以，即，解得，
所以的取值范围是．
故选：A．
【变式5-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【解题思路】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.
【解答过程】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故选：A.
【变式5-3】（23-24高三·全国·阶段练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】令，由二次函数根的分布性质有，，，求得的取值范围.
【解答过程】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，
另一根在区间（3，4）内，
只需，即，
解不等式组可得，即的取值范围为，
故选：C.
【题型6 二次函数的单调性、最值问题】
【例6】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.
【解答过程】因为函数在区间上单调递减，
所以，解得.
故选：D.
【变式6-1】（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4
【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.
【解答过程】函数对称轴为，
要使在区间[-2，1]上具有单调性，则
或，∴或
综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.
故选：C.
【变式6-2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用分类讨论与，求解范围.
【解答过程】由的定义域为，
对称轴为,
当时，在单调递减，则，，
而函数的值域为，则，解得，故，
当时，在单调递减，在单调递增，
则，，
，故，解得，
故，
综上所述，的取值范围为，
故选：A.
【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【解题思路】先由的最小值为0，得到，再由的解集为，得到的根为，从而利用韦达定理即可求解.
【解答过程】因为开口向上，最小值为，
，
则，
的解集为，所以是的两个不等实根，
即是的两个不等实根，
所以，则，
.
故选：D.
【题型7 一元二次不等式恒成立问题】
【例7】（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【解答过程】当时，，得，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，，
所以不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
【变式7-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题知，再解不等式即可得答案.
【解答过程】解：因为无论取何值时，不等式恒成立，
所以，，解得，
所以，的取值范围是
故选：D.
【变式7-2】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.
【解答过程】，而当时，，当且仅当，即时取等号，
则，所以m的取值范围是.
故选：C.
【变式7-3】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.
【解答过程】当时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
【题型8 一元二次不等式有解问题】
【例8】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.
【解答过程】∵，则，即，
∴a的取值范围
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为的真子集，
结合选项可知B对应的集合为为的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故选：B.
【变式8-1】（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
利用二次函数的图象及根的分布计算即可.
【解答过程】易知恒成立，即有两个不等实数根，
又，即二次函数有两个异号零点，
所以要满足不等式在区间上有解，
所以只需，
解得，所以实数m的取值范围是．
故选A．
【变式8-2】（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【解答过程】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C.
【变式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围.
【解答过程】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立，
即至少存在一个，使得关于的不等式成立，
画出以及的图象如下图所示，其中.
当与相切时，
由消去并化简得，
.
当与相切时，
由消去并化简得①，
由解得，代入①得，
解得，不符合题意.
当过时，.
结合图象可知的取值范围是.
故选：A.
一、单选题
1．（2023·山东泰安·模拟预测）“”是“成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】化简“成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.
【解答过程】由可得，
化简可得，
所以“成立”等价于“”，
“”可推出“成立”，
“成立”不能推出“”
所以“”是“成立”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
【解题思路】解一元二次不等式即可得解.
【解答过程】因为，所以或，
故不等式的解集为或.
故选：B.
3．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解答过程】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：.
故选：C.
4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】按照正负分类讨论取绝对值，运算得解.
【解答过程】当，即或时，
不等式等价于，即，
解得，所以；
当，即时，不等式等价于不等式，即，
解得或，所以.
综上，不等式的解集是.
故选：C.
5．（2023·山东·模拟预测）若不等式的解集是，函数的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．
【解答过程】解：∵不等式的解集是，
∴和是方程的两个根，
∴，∴，
∴函数的对称轴是．
故选：A．
6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【解答过程】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：D.
7．（2023·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先由得，由基本不等式得，故.
【解答过程】当时，由得，
因，故，当且仅当即时等号成立，
因当时，恒成立，得，
故选：C.
8．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为 ，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得的关系式，进而求得不等式的解集.
【解答过程】由题意可知，且，所以，
所以化为 ，
，解得.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
【解题思路】
对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断.
【解答过程】对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
若不等式恒成立，
当时，是不可能成立的，
所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得是一元二次方程的两根，
从而，解得，
而当时，一元二次不等式满足题意，
所以的值为，故D正确.
故选：CD.
10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
【解题思路】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可.
【解答过程】当时，不等式为恒成立，故满足题意；
当时，要满足，
而，
所以解得；
综上，实数a的取值范围是；
所以对比选项得，实数a可能是，0，1.
故选：ABD.
11．（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【解题思路】根据给定的解集，用表示出，再逐项判断作答.
【解答过程】不等式的解集为，则是方程的根，且，
则，即，A错误；
不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；
，C错误；
不等式化为，即，解得或，
所以不等式的解集为，D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2023·江西鹰潭·模拟预测）若命题：“，”是假命题，则的取值范围是 .
【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“”是真命题，然后分为三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【解答过程】因为命题：“，”是假命题，
所以命题“”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
13．（2023·河南·模拟预测）已知函数与曲线有三个交点，则k的取值范围是 .
【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k的取值范围.
【解答过程】由题意，
函数与曲线有三个交点，
，则，
若直线与曲线有三个交点，
只需满足方程有两个不等于1和0的解.
因为该方程的两个解之积，故只需满足，
所以或，即k的取值范围是.
故答案为：.
14．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可.
【解答过程】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【解题思路】（1）由题意可知，进而求出实数的取值范围；
（2）根据和两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．
【解答过程】（1）若不等式的解集为R，
则，
解得，
即实数的取值范围,；
（2）不等式，
①当时，即时，不等式的解集为，
②当时，即或时，
由，解得或，
所以不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
16．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的最小值和最大值．
【解题思路】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值.
【解答过程】（1）解：设二次函数为，
因为，可得，解得，
所以函数的解析式．
（2）解：函数，开口向下，对称轴方程为，
即函数在单调递增，在单调递减，
所以，．
17．（23-24高二上·江苏南通·期中）设m∈R，关于x的不等式的解集为.
（1）求m的取值范围；
（2）求关于x的不等式的解集.
【解题思路】（1）由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；
（2）转化条件为，按照、、讨论，运算即可得解.
【解答过程】（1）因为关于x的不等式的解集为，
所以关于x的不等式恒成立，
所以，解得，
所以m的取值范围为；
（2）不等式等价于，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，，此时不等式的解集为或；
当时，，此时不等式的解集为.
18．（2024·全国·模拟预测）设函数 ．
(1)求的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）分区间讨论去掉绝对值号求解即可；
（2）求出的最小值，解不等式即可得解.
【解答过程】（1）当时，，恒成立，则；
当时，，，即，
解得；
当时，不成立，则．
综上，不等式的解集为．
（2）令，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
即的值域为．
所以不等式恒成立，可转化为恒成立，
即，解得，
即实数的取值范围为．
19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【解答过程】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是；
(2)不等式对于实数时恒成立，即，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是；
(3) 不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 不含参一元二次不等式的解法】 3
【题型2 含参一元二次不等式的解法】 3
【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】 4
【题型4 其他不等式的解法】 4
【题型5 一元二次不等式根的分布问题】 5
【题型6 二次函数的单调性、最值问题】 6
【题型7 一元二次不等式恒成立问题】 6
【题型8 一元二次不等式有解问题】 7
1、二次函数与一元二次方程、不等式
考点要求 真题统计 考情分析
(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式
(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式
(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法 2020年I卷：第1题，5分 2023年新高考I卷：第1题，5分 一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”
的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.
【知识点1 一元二次不等式】
1．一元二次不等式的解法
(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
②计算对应方程的判别式；
③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：
①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
2．分式、高次、绝对值不等式的解法
(1)解分式不等式的一般步骤：
①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
(2)解高次不等式的一般步骤：
高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.
(3)解绝对值不等式的一般步骤：
对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.
3．一元二次不等式恒成立、存在性问题
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 的条件为
【方法技巧与总结】
1．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
2．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
3．已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
4．已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
【题型1 不含参一元二次不等式的解法】
【例1】（2023·广东珠海·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．或
【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【题型2 含参一元二次不等式的解法】
【例2】（23-24高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高一上·山东·阶段练习）不等式的解集为（ ）.
A． B．
C．或 D．或
【变式2-2】（23-24高一上·河南开封·期中）关于x的不等式的解集不可能是（ ）
A． B． C． D．或
【变式2-3】（23-24高一上·浙江台州·期中）不等式的解集为，则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
【题型3 由一元二次不等式的解确定参数】
【例3】（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·广东·一模）已知且，则“的解集为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 其他不等式的解法】
【例4】（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【变式4-1】（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列不等式的解集
(1)；
(2)
(3)
【变式4-2】（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）解下列不等式：
(1)；
(2).
【变式4-3】（2023高一·上海·专题练习）解下列关于的不等式．
(1)；
(2)．
【题型5 一元二次不等式根的分布问题】
【例5】（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【变式5-3】（23-24高三·全国·阶段练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 二次函数的单调性、最值问题】
【例6】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4
【变式6-2】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
【题型7 一元二次不等式恒成立问题】
【例7】（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型8 一元二次不等式有解问题】
【例8】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2023·河南·模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023·山东泰安·模拟预测）“”是“成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C． D．或
3．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东·模拟预测）若不等式的解集是，函数的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为 ，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A． B．0 C． D．1
11．（23-24高二上·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
三、填空题
12．（2023·江西鹰潭·模拟预测）若命题：“，”是假命题，则的取值范围是 .
13．（2023·河南·模拟预测）已知函数与曲线有三个交点，则k的取值范围是 .
14．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
16．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的最小值和最大值．
17．（23-24高二上·江苏南通·期中）设m∈R，关于x的不等式的解集为.
（1）求m的取值范围；
（2）求关于x的不等式的解集.
18．（2024·全国·模拟预测）设函数 ．
(1)求的解集；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
19．（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
