专题2.1 函数的概念【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数的概念】 2
【题型2 同一函数的判断】 4
【题型3 具体函数的定义域的求解】 6
【题型4 抽象函数的定义域的求解】 7
【题型5 已知函数定义域求参数】 8
【题型6 已知函数类型求解析式】 10
【题型7 已知f(g(x))求解析式】 11
【题型8 函数值域的求解】 12
【题型9 分段函数及其应用】 14
1、函数的概念
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域
(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数
(3)了解简单的分段函数，并会应用 2021年浙江卷：第12题，5分 2022年浙江卷：第14题，5分 2023年北京卷：第11题，5分 函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主.
【知识点1 函数的定义域的求法】
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【知识点4 分段函数的应用】
1．分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【题型1 函数的概念】
【例1】（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【解题思路】根据函数的定义判断可得出结论.
【解答过程】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意，
对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义；
对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义.
故选：D．
【变式1-1】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断.
【解答过程】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求；
B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确；
CD选项，对于，不妨设，此时，解得，
故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误.
故选：B.
【变式1-2】（2024·江西·一模）设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数的定义，逐项进行判断，即可得解.
【解答过程】因为定义域为，所以舍去A;
因为值域为，所以舍去D;
因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，所以去掉C；
故选B.
【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当时，不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A.
【题型2 同一函数的判断】
【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数；
对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.
故选：C.
【变式2-1】（2024·山东·一模）下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据同一函数的定义对四个选项中的两个函数进行比较即可.
【解答过程】选项A:函数的定义域是，函数的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数；
选项B:函数的定义域是，函数的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；
选项C: 函数的定义域是,函数的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；
选项D:函数和的定义域都是全体实数，且，对应关系相同，所以是同一函数，故故选D.
【变式2-2】（2024·重庆·二模）下列函数中，与是相同的函数是
A． B．
C． D．
【解题思路】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数的定义域和解析式一致，可得出正确的选项.
【解答过程】对于A选项，函数定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数；
对于B选项，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数；
对于C选项，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数；
对于D选项，的定义域为，但其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数.
故选B.
【变式2-3】（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【解答过程】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数与的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
【题型3 具体函数的定义域的求解】
【例3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得，解得，则定义域为，
故选：C.
【变式3-1】（2024·陕西·模拟预测）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据具体函数定义域的求法求解即可.
【解答过程】因为，
所以，解得且，
故的定义域为.
故选：D.
【变式3-2】（2024吉林·一模）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对数的真数大于0，分母不为0，偶次方根被开方数是非负数，可列出不等式，进而可求出答案.
【解答过程】由题意，可得，解得.
故选：C.
【变式3-3】（2024·山东泰安·三模）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求得函数的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.
【解答过程】因为，所以解得，所以函数的定义域为，
所以函数需满足且，解得且，
故选：D.
【题型4 抽象函数的定义域的求解】
【例4】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域.
【解答过程】因为函数的定义域为，则，可得，
所以，函数的定义域为，
对于函数，则有，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
【变式4-1】（2024·陕西西安·一模）若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是
A．[ 0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]
【解题思路】根据分式与的定义域求解即可
【解答过程】要使函数有意义，依题意需有 解得，．
故选：D．
【变式4-2】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.
【解答过程】因为函数的定义域为，又函数有意义，
则有，解得或，
所以函数的定义域是.
故选：C.
【变式4-3】（2024·湖北荆州·模拟预测）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，解得，即可知选项A正确.
【解答过程】由抽象函数的定义域可知，
，解得，
所以所求函数的定义域为.
故选A.
【题型5 已知函数定义域求参数】
【例5】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【解答过程】由题意得对任意恒成立，
当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意；
当时，由该不等式恒成立可得
，解之得，
综上，实数的取值范围是
故选：A.
【变式5-1】（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】分、、三种情况，结合二次函数的性质即可求解.
【解答过程】当时，，则，得，即定义域为，不符合题意；
当时，，定义域为R，符合题意；
当时，由题意得关于x的不等式恒成立，
故，解得或.
综上，实数a的取值范围是.
故选：D.
【变式5-2】（22-23高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知的解集为R，分，两种情况讨论，即可求解.
【解答过程】函数的定义域为R，可知的解集为R，
若，则不等式为恒成立，满足题意；
若，则，解得．
综上可知，实数k的取值范围是．
故选：B．
【变式5-3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集的子集，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意解不等式即可.
【解答过程】函数定义域非空集，则，解得.
记，
因为，所以的解集为，
依题意有或，所以或，
又，，所以.
故选：A.
【题型6 已知函数类型求解析式】
【例6】（2024·山东济南·二模）已知函数，则 ．
【解题思路】代入函数解析式计算即可.
【解答过程】解：因为，所以，
.
故答案为：.
【变式6-1】（2024·广东东莞·二模）已知函数，，则 3 ．
【解题思路】利用直接代入法结合对应系数相等可得的值，将代入可得结果.
【解答过程】由题意，得，
即，解得，，因此，
故答案为3.
【变式6-2】（2023·江西九江·模拟预测）若三角形的面积为S（），底边长为，底上的高为h（），则h关于S的函数关系式是 ．
【解题思路】根据三角形面积公式得到，从而得到h关于S的函数关系式.
【解答过程】因为，所以 .
故答案为： .
【变式6-3】（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【解题思路】根据，求得，则满足的一次函数或二次函数均可.
【解答过程】，，
，，
，，
所以，则的解析式可以为.
经检验，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
【题型7 已知f(g(x))求解析式】
【例7】（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用换元法令，运算求解即可.
【解答过程】令，则，且，则，
可得，
所以.
故选：B.
【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用换元法令，代入运算求解即可.
【解答过程】令，则，由于，则，
可得，
所以.
故选：B.
【变式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式.
【解答过程】因为，
∴，
故选：A.
【变式7-3】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对的式子适当变形，即可直接求出.
【解答过程】因为，
所以，则，
故选：A.
【题型8 函数值域的求解】
【例8】（2024·湖南怀化·三模）已知函数则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域．
【解答过程】，
由，解得.
.
令，
函数.
当时，；
当时，，
函数的值域为.
故选：D.
【变式8-1】（2024·湖北·三模）函数的值域为（ ）.
A． B． C． D．
【解题思路】由，解得．可得函数的定义域为：．．利用导数研究函数的单调性即可得出值域．
【解答过程】解：因为
由，解得．
可得函数的定义域为：．
又．
令，则，即在上单调递增，
令，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以为极小值点，
又，，．
函数的值域为．
故选：A．
【变式8-2】（2008·江西·高考真题）若函数的值域是，则函数的值域是
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，可得：的值域就是函数的值域，进行求解即可.
【解答过程】设=t,则,
从而的值域就是函数的值域，
由“对勾函数”的图象可知，，
故选B．
【变式8-3】（2024·浙江宁波·三模）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由余弦函数的性质判断A；利用配方法求解函数值域判断B；将函数写为分段函数的形式，求得值域判断C；采用分离常数法求得函数值域判断D.
【解答过程】∵，∴，
即函数的值域为，值域跨度为2；
∵，
∴的值域为，值域跨度为；
∵，
∴函数的值域为，值域跨度为2；
∵，值域跨度为2；
故选：B.
【题型9 分段函数及其应用】
【例9】（2024·吉林长春·三模）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解题思路】根据分段函数解析式，代入求值即可.
【解答过程】由函数可得，.
故选：B.
【变式9-1】（2024·广东佛山·二模）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合图形，分类讨论与，求得的解析式，从而得解.
【解答过程】依题意，当时，可得直角三角形的两条直角边分别为，
从而可以求得，
当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，
可求得，
所以，
从而可知选项A的图象满足题意.
故选：A.
【变式9-2】（2024·江西南昌·一模）设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，求得的范围；再求得的单调性，讨论，时函数在的最小值，即可得到所求范围．
【解答过程】解：函数，
若，可得，
由是的最小值，
由于
可得在单调递增，在单调递减，
若，，则在处取得最小值，不符题意；
若，，则在处取得最小值，
且，解得，
综上可得的范围是，．
故选：C．
【变式9-3】（2023·安徽合肥·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
根据已知计算出，画出图象，计算，解得，从而求出的最小值.
【解答过程】由题意得，当时，故，
当时，故，
可得在区间上，，
所以当时，，作函数的图象，如图所示，
当时，由，则，
所以的最小值为
故选：B.
一、单选题
1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论.
【解答过程】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，
A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.
故选：A.
2．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得．
【解答过程】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数；
对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数；
对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数；
对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数.
故选：A．
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据开偶数次方根号里的数大于等于零即可得解.
【解答过程】由，
得，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B.
4．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
【解题思路】由题意有，得，求值即可.
【解答过程】由，当时，有，
由，则有.
故选：D.
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.
【解答过程】依题意，，
显然，则，于是，
所以函数的值域是.
故选：C.
6．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题可知解即可得答案.
【解答过程】解：因为函数的定义域为，
所以，，即，解得，
所以，函数的定义域为
故选：C.
7．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【解题思路】分和，求解，即可得出答案.
【解答过程】当时，，则，解得：（舍去）；
当时，，则，解得：.
故选：B.
8．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】分，，求出解析式，然后可知图象.
【解答过程】当时，，是一条过原点的线段；
当时，，是一段平行于轴的线段；
当时，，图象为一条线段.
故选：A．
二、多选题
9．（23-24高一上·安徽六安·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．若，则
C．函数的值域为
D．函数与函数为同一个函数
【解题思路】根据基本不等式、比较法，结合分式函数的性质、同一函数的定义逐一判断即可.
【解答过程】A：，
若，显然该方程无实数解，
故，
所以，
因此最小值不是2，所以本选项不正确；
B：因为，
所以，
即，因此本选项正确；
C：因为，
所以，因此函数的值域为，所以本选项正确；
D：由可知：，所以函数的定义域为，
由函数可知，或，
所以函数的定义域为或，
因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确，
故选：BC.
10．（2024·全国·一模）设a为常数，，则（ ）．
A．
B．成立
C．
D．满足条件的不止一个
【解题思路】
对已知条件进行多次赋值，结合已知数据，再对每个选项进行逐一判断即可.
【解答过程】
对A：对原式令，则，即，故A正确；
对B： 对原式令，则，故，
对原式令，则，故非负；
对原式令，则，解得，
又非负，故可得，故B正确；
对C：由B分析可得：，故C正确；
对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误.
故选：ABC.
11．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．函数与表示同一函数
B．函数与是同一函数
C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点
D．函数，则0
【解题思路】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D.
【解答过程】对于A：，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；
对于B：函数与定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确；
对于C：根据函数的定义可知，函数的图象与直线的图象至多有一个交点，故C正确；
对于D：因为，所以，
则，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 .
【解题思路】根据解析式列出不等式求解.
【解答过程】因为，
所以且，
解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：.
13．（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则 3或 ．
【解题思路】分和分别代入函数，解出即可.
【解答过程】当时，，解得；
当时，，解得．
故答案为：3或.
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数的定义域为．对任意的恒有，且，．则 ．
【解题思路】依题意可得，利用特殊值推出，，即可得解.
【解答过程】由，
得，
因为，，
令，，得，得；
令，，得，得；
令，，得，得，
在中，
令，得，
令，得，得；
令，得，得，
．
在中，
令，，得；
令，，得，
．
依此类推，可得，，
因此，，
综上可知．
故答案为：．
四、解答题
15．（2023·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域．
【解题思路】由题意列出不等式组解之即得.
【解答过程】由函数的定义域为，则要使函数有意义，
则，
解得,
∴函数的定义域为.
16．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值；
(3)求，的值域.
【解题思路】（1）直接根据解析式代入自变量值计算；
（2）由（1）根据解析式分别代入和计算；
（3）利用二次函数和反比例函数的性质求解．
【解答过程】（1）；
（2），；
（3）因为，所以，所以值域是，
，值域是.
17．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
【解题思路】（1）根据解析式和求得，进而确定解析式，再从内到外计算；
（2）分，分别求解，注意检验即可得解.
【解答过程】（1）因为，，
故，解得，故，
所以，.
（2）因为，
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得或（舍去）；
综上，.
18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数
(1)若，求实数m及；
(2)若，求的定义域；
(3)若的定义域为，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值；
（2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域；
（3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围.
【解答过程】（1），解得，所以，则，
所以；
（2）当时，，要使有意义，则，
解得，所以的定义域为；
（3）因为的定义域为，
所以在上恒成立，
所以的最小值，解得，
所以m的取值范围为.
19．（23-24高一上·安徽·期中）已知一次函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若，求的值.
【解题思路】（1）直接由待定系数法列出方程组即可求解.
（2）所求式子为对称结构，通过验证发现，由此通过分组求和即可求解.
【解答过程】（1）设.
则，
于是有，解得，
.
（2）由（1）知，则，.
，，
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题2.1 函数的概念【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数的概念】 2
【题型2 同一函数的判断】 3
【题型3 具体函数的定义域的求解】 4
【题型4 抽象函数的定义域的求解】 4
【题型5 已知函数定义域求参数】 5
【题型6 已知函数类型求解析式】 5
【题型7 已知f(g(x))求解析式】 5
【题型8 函数值域的求解】 6
【题型9 分段函数及其应用】 6
1、函数的概念
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域
(2)会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数
(3)了解简单的分段函数，并会应用 2021年浙江卷：第12题，5分 2022年浙江卷：第14题，5分 2023年北京卷：第11题，5分 函数的解析式与定义域、值域问题是高考数学的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考对函数的概念考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，函数的解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现.高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主.
【知识点1 函数的定义域的求法】
1．求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2．求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【知识点2 函数解析式的四种求法】
1．函数解析式的四种求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【知识点3 求函数值域的一般方法】
1．求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
【知识点4 分段函数的应用】
1．分段函数的应用
分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
【题型1 函数的概念】
【例1】（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【变式1-1】（23-24高一上·广东佛山·期末）给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·江西·一模）设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 同一函数的判断】
【例2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·山东·一模）下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2024·重庆·二模）下列函数中，与是相同的函数是
A． B．
C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型3 具体函数的定义域的求解】
【例3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·陕西·模拟预测）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024吉林·一模）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·山东泰安·三模）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 抽象函数的定义域的求解】
【例4】（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2024·陕西西安·一模）若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是
A．[ 0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2]
【变式4-2】（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·湖北荆州·模拟预测）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 已知函数定义域求参数】
【例5】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（22-23高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数的定义域是关于的不等式的解集的子集，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 已知函数类型求解析式】
【例6】（2024·山东济南·二模）已知函数，则 ．
【变式6-1】（2024·广东东莞·二模）已知函数，，则 ．
【变式6-2】（2023·江西九江·模拟预测）若三角形的面积为S（），底边长为，底上的高为h（），则h关于S的函数关系式是 ．
【变式6-3】（2024·山东济南·一模）已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，使得，则的解析式可以是 .（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【题型7 已知f(g(x))求解析式】
【例7】（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）函数满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型8 函数值域的求解】
【例8】（2024·湖南怀化·三模）已知函数则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·湖北·三模）函数的值域为（ ）.
A． B． C． D．
【变式8-2】（2008·江西·高考真题）若函数的值域是，则函数的值域是
A． B． C． D．
【变式8-3】（2024·浙江宁波·三模）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型9 分段函数及其应用】
【例9】（2024·吉林长春·三模）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式9-1】（2024·广东佛山·二模）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（2024·江西南昌·一模）设函数，若是的最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2023·安徽合肥·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
5．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
8．（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·安徽六安·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．若，则
C．函数的值域为
D．函数与函数为同一个函数
10．（2024·全国·一模）设a为常数，，则（ ）．
A．
B．成立
C．
D．满足条件的不止一个
11．（2024·湖南益阳·模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．函数与表示同一函数
B．函数与是同一函数
C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点
D．函数，则0
三、填空题
12．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 .
13．（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则 ．
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数的定义域为．对任意的恒有，且，．则 ．
四、解答题
15．（2023·江西九江·模拟预测）若的定义域为，求的定义域．
16．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值；
(3)求，的值域.
17．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）已知函数，且.
(1)求；
(2)若，求实数的值.
18．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数
(1)若，求实数m及；
(2)若，求的定义域；
(3)若的定义域为，求实数m的取值范围.
19．（23-24高一上·安徽·期中）已知一次函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若，求的值.
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