专题2.7 函数与方程【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数零点所在区间的判断】 2
【题型2 求函数的零点或零点个数】 3
【题型3 根据函数零点个数求参数】 3
【题型4 根据函数零点的范围求参数】 4
【题型5 由函数零点分布求值（范围）】 4
【题型6 复合函数的零点个数判定】 4
【题型7 根据复合函数零点求参数】 5
【题型8 函数零点的大小与范围问题】 5
1、函数与方程
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解函数的零点与方程的解的联系
(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用 (3)了解用二分法求方程的近似解 2022年天津卷：第15题，5分 2023年新课标I卷：第15题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.
【知识点1 确定函数零点所在区间的方法】
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
【知识点2 函数的零点个数和求参问题】
1．函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
2．已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【知识点3 嵌套函数的零点问题】
1．嵌套函数的零点问题的解题策略
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
【题型1 函数零点所在区间的判断】
【例1】（2024·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·吉林长春·一模）方程的根所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
【题型2 求函数的零点或零点个数】
【例2】（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
【变式2-2】（2024·内蒙古·三模）已知奇函数的定义域为R，且，则在上的零点个数的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【变式2-3】（2024·四川自贡·一模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【题型3 根据函数零点个数求参数】
【例3】（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 根据函数零点的范围求参数】
【例4】（2024·四川成都·三模）若函数大于的零点有且只有一个，则实数的值为 ．
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）函数只有3个零点，， ，则的取值范围是 ．
【变式4-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数，若，，且在区间上没有零点，则的一个取值为 ．
【变式4-3】（2024·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 .
【题型5 由函数零点分布求值（范围）】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·上海松江·二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2023·云南·二模）设是关于x的方程的根．若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型6 复合函数的零点个数判定】
【例6】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-1】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【变式6-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·全国·二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【题型7 根据复合函数零点求参数】
【例7】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 .
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【变式7-2】（2024·天津滨海新·二模）已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 .
【变式7-3】（2024·河南新乡·二模）已知函数 ，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 ．
【题型8 函数零点的大小与范围问题】
【例8】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设的两个零点分别为，证明：；
(3)证明：.
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)设函数，若有两个零点，求实数的取值范围．
【变式8-2】（2024·河北邯郸·三模）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【变式8-3】（2024·浙江·二模）已知函数，．
(1)求证：；
(2)若函数有三个不同的零点，，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
一、单选题
1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
4．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
5．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东湛江·二模）已知函数，，则（ ）
A．当有2个零点时，只有1个零点
B．当有3个零点时，有2个零点
C．当有2个零点时，有2个零点
D．当有2个零点时，有4个零点
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
8．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河北·模拟预测）已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．若有2个不同的零点，则
B．当时，有5个不同的零点
C．若有4个不同的零点，则的取值范围是
D．若有4个不同的零点，则的取值范围是
三、填空题
12．（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数零点所在的一个区间 .
13．（2024·天津北辰·三模）若函数有四个零点，则实数的取值范围为
.
14．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 .
四、解答题
15．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)证明：函数有两个零点．
17．（2024·河南信阳·模拟预测）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
18．（2024·湖北黄石·三模）已知函数有两个零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)如果，求此时的取值范围.
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：．
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【新高考专用】
【题型1 函数零点所在区间的判断】 2
【题型2 求函数的零点或零点个数】 4
【题型3 根据函数零点个数求参数】 6
【题型4 根据函数零点的范围求参数】 9
【题型5 由函数零点分布求值（范围）】 12
【题型6 复合函数的零点个数判定】 14
【题型7 根据复合函数零点求参数】 18
【题型8 函数零点的大小与范围问题】 21
1、函数与方程
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解函数的零点与方程的解的联系
(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用 (3)了解用二分法求方程的近似解 2022年天津卷：第15题，5分 2023年新课标I卷：第15题，5分 2024年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现；函数与方程的综合应用也是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.
【知识点1 确定函数零点所在区间的方法】
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
【知识点2 函数的零点个数和求参问题】
1．函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
2．已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
【知识点3 嵌套函数的零点问题】
1．嵌套函数的零点问题的解题策略
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
【题型1 函数零点所在区间的判断】
【例1】（2024·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用零点存在性定理计算即可.
【解答过程】由题知在上单调递增，
∵，，，
又，∴，即在上存在使得.
故选：B.
【变式1-1】（2024·海南·模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可.
【解答过程】易知函数在上单调递增，
又，，
由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是．
故选：C.
【变式1-2】（2024·吉林长春·一模）方程的根所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将问题转化为零点所在区间的求解问题，利用零点存在定理求解即可.
【解答过程】设，则方程根所在区间即为零点所在区间，
与在上均为增函数，在上单调递增；
对于A，，当时，，A错误；
对于B，，，即，
，使得，B正确；
对于CD，当时，，在区间和上无零点，C错误，D错误.
故选：B.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）设函数，则（ ）
A．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点
B．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点
C．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点
D．若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点
【解题思路】函数分段去绝对值，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理判断零点所在区间.
【解答过程】去绝对值可得.
时，，因此函数在单调递增；
时，.
（i）时，，因此在单调递增.
当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点；
当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误.
（ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增.
当时，.
（1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点.
（2）时，在区间没有零点.
当时，.
①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点.
②时，在区间没有零点.
综上所述，本题正确答案是A.
故选：A.
【题型2 求函数的零点或零点个数】
【例2】（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】利用三角函数的性质求解即可.
【解答过程】令，得，则；
故，，
所以在共有4个零点，
故选： C.
【变式2-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）函数的零点是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
【解题思路】由题意令可得关于的方程，进而求解.
【解答过程】由题意令，因为，所以，即.
故选：A.
【变式2-2】（2024·内蒙古·三模）已知奇函数的定义域为R，且，则在上的零点个数的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．12
【解题思路】由已知可得的图象关于点对称，周期为3，据此计算可得在上的零点个数的最小值为9.
【解答过程】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，则的周期为3，
所以，
则.故在上的零点个数的最小值为9.
取，显然满足题意，且恰好在上有9个零点.
故选：B.
【变式2-3】（2024·四川自贡·一模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【解题思路】
先判断的对称性、周期性，然后由进行转化，结合图象以及对称性求得正确答案.
【解答过程】依题意，是定义在上的奇函数，图象关于原点对称，
由于，所以的图象关于对称，
，
所以是周期为的周期函数.
令，得，
函数的图象关于对称，的图象也关于点对称，
画出函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且交点关于对称，
所以所有零点和为.
故选：A.
【题型3 根据函数零点个数求参数】
【例3】（2024·四川内江·三模）若函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将函数有两个零点，转化为函数的图象有两个不同交点问题；由此设，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案.
【解答过程】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根，
即函数的图象有两个不同交点；
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，当时，，
作出的图象如图：
当直线与图象相切时，设切点为，
此时，则，
故此时，
结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点，
需满足，
故，
故选：D.
【变式3-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用降幂公式降幂，结合余弦函数的图象特征，可得关于的不等式，即可求得实数得取值范围.
【解答过程】函数，
由，得，
要使函数在上有且仅有两个零点，
则，得，
即的取值范围是.
故选：C.
【变式3-2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】直线与函数的图象有5个交点，可得是奇函数，可得只需直线与曲线有2个交点即可，即方程有2个实数根，利用导数即可求解.
【解答过程】由题意得，则直线与函数的图象有5个交点.
显然，直线与的图象交于点.
又当时，；
当时，；
当时，，所以是奇函数，
则必须且只需直线与曲线有2个交点即可，
所以方程有2个实数根.令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以.
又当趋近于0时，,所以；
当趋近于时，，
所以必须且只需.
故选：A.
【变式3-3】（2024·陕西汉中·二模）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.
【解答过程】作出的图象，如图所示
令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.
故选：D.
【题型4 根据函数零点的范围求参数】
【例4】（2024·四川成都·三模）若函数大于的零点有且只有一个，则实数的值为 ．
【解题思路】首先判断，令，，参变分离可得，依题意可得与在上有且只有一个交点，令，，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的值.
【解答过程】若时恒成立，所以没有零点，
所以，
令，，即，所以，
依题意与在上有且只有一个交点，
令，，则，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值是，
而当时，，当时，，所以.
故答案为：.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）函数只有3个零点，， ，则的取值范围是 ．
【解题思路】由题意对函数求导，为判断导数与零的大小关系，对导数再次求导求其最值，利用分类讨论思想，结合零点存在性定理，建立不等式组，可得答案.
【解答过程】函数的定义域为，则．
设，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
当，即时，，单调递增，且，此时只有1个零点，不满足题意；
当，即时，由，
存在，，使得，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，易知，，
由，
，
则在，上各有1个零点，此时满足题意.
所以，且．由，得，得．
所以的取值范围是．
故答案为：.
【变式4-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数，若，，且在区间上没有零点，则的一个取值为 （答案不唯一） ．
【解题思路】
根据可得，根据在区间上没有零点可得范围，即可求出的取值有几个.
【解答过程】
由题意，在中，，
∴ ,所以，
两式相减得，
所以，即，，
因为，所以 ，
令， ，
由题意知在上无零点，
故，，
所以，即，
两式相加得，所以，
又，
所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，
所以的取值有5个，取其中一个填写即可.
故答案为：（答案不唯一）.
【变式4-3】（2024·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 .
【解题思路】对不同情况下的分类，然后分别讨论相应的零点分布，即可得到的取值范围.
【解答过程】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，
即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.
当时，只要，就有，
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，有，
所以在上没有零点.
而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点.
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，解可得到，且由知，
从而确为在上的一个零点.
再解方程，即，
可得两个不同的实数根.
而，.
故确为在上的一个零点，
而当且仅当时，另一根是在上的一个零点.
条件为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：或.
解得；
当时，验证知恰有两个零点和，满足条件.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【题型5 由函数零点分布求值（范围）】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】法一：转化成一元二次方程在上有两个不同的解的问题；法二：分离参数，转化成两个函数图像在上有两个交点的问题.
【解答过程】法一：因为，且有两个零点，
所以方程在上有两个不同的解，
所以解得．
法二：由得，
因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点．
函数的图像如图，由图可知．
故选：D．
【变式5-1】（2024·上海松江·二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由a，b为函数的两个零点可得，即可得、，由两边之和大于第三边，结合题意可得.
【解答过程】由为函数的两个零点，故有，
即恒成立，
故，，则，，
由a，b，c为某三角形的三边长，且，
故，且，则， 因为必然成立，
所以，即，解得，
所以，
故的取值范围是：.
故选：B.
【变式5-2】（2023·云南·二模）设是关于x的方程的根．若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】函数图像开口向上，利用根的分布，即可求解实数a的取值范围.
【解答过程】由题意知，函数开口方向向上，
若，则函数须同时满足三个条件：
当时，，代入解得，恒成立；
当时，，代入解得；
当时，，代入解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：A.
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】当时，解出一根，由得，当时，还有两根，则此时方程为二次方程，根据题意建立不等式解出的取值范围，再根据其他条件即可得结论.
【解答过程】当时，令，解得，即；
当时，方程有两个不等负实根，，
所以，解得，
当时，，又，则．
所以．
故选：C.
【题型6 复合函数的零点个数判定】
【例6】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案.
【解答过程】，
当时，，则，
此时在上单调递减，
当时，，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
画出函数和的图象如下：
令得，
故，
令，则，且，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，只有1个解，
当时，结合图象可知，由3个解，
综上，方程的实数根的个数为5.
故选：D.
【变式6-1】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【解题思路】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可.
【解答过程】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数，
令，则，当时，，令，，
函数在上单调递增，于是函数在上单调递增，
又，，则存在，使得；
当时，，解得或，
作函数的大致图象，如图：
又，则，
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当 ，时，，由的图象知，方程有一个解，
综上所述，函数的零点个数为5.
故选：B.
【变式6-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数解析式画出图像，利用换元法令，可知；结合函数图像及解析式可求得的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数.
【解答过程】函数，
对，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且趋向负无穷时，，时，，
故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即，令，代入可得，
由图像可知，即，
结合函数图像可知，有1个解，
综合可知，函数的零点有1个，
故选：A.
【变式6-3】（2024·全国·二模）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解题思路】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.
【解答过程】设，令可得：,
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，
切线斜率，则切线方程为：，
即，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与有四个不同交点，
设三个交点为，由图象可知：，
作出函数的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：C.
【题型7 根据复合函数零点求参数】
【例7】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 .
【解题思路】把函数零点问题转化为函数与直线的交点问题，数形结合列不等式组求解即可.
【解答过程】函数有三个零点，则方程即有三个根，
所以函数与函数有三个交点，
由作出函数的图象如图：
若函数与过原点直线有三个交点，如图：
则，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【解题思路】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可.
【解答过程】作出函数的图象，如图所示．
由，得，
解得或．
由图象易知，直线与的图象有3个交点，
所以方程有3个不同的实数根，
因为方程有7个不同的实数根，
所以直线与的图象有4个交点，
故，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：.
【变式7-2】（2024·天津滨海新·二模）已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 或 .
【解题思路】把函数零点个数转化为图象公共点的个数，作出图象，列出限制条件可得答案.
【解答过程】令，
当时，，；
当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，，
；
……
作出函数的部分图象如下，
因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共点个数为2，
由图可知，或.
故答案为：或.
【变式7-3】（2024·河南新乡·二模）已知函数 ，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 ．
【解题思路】令，根据的图象可知，等于常数的解最多只有3个，根据图象性质可知，等于常数的解最多只有2个，若有6个解，需要有3个解，有2个解，根据图象先求出，再得出和中最小解之间的等式关系，而后结合的值域即可建立关于的不等式，最后构造关于的函数，求导求单调性即可解不等式，进而得出结果.
【解答过程】令，由函数的图象可知，方程(为常数)最多有3个解，
在上单调递增，
当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
所以处取得极大值，即极大值为，如下图：
故结合图象可得，且方程的三个解中最小的解为.
又，在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，即当时，有2个零点，
所以使关于的方程有6个解，则，
，即，令，
易知在上单调递增，又，所以的解集为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
【题型8 函数零点的大小与范围问题】
【例8】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个零点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设的两个零点分别为，证明：；
(3)证明：.
【解题思路】（1）方法一：分类讨论大于等于小于零的情况，再求导讨论单调性，分析零点情况；方法二：分离参数，转化成恒成立问题，再构造函数，求导讨论单调性，求最值；
（2）考查极值点偏移问题.方法一：第一步：根据函数零点的含义得出；第二步：构造函数，利用导数研究函数的单调性，得到的范围；第三步：根据所证不等式构造函数并研究函数的单调性，得到；第四步：利用函数的单调性进行证明.方法二：第一步：根据函数零点的含义，得到；第二步：将要证的不等式转化为；第三步：利用换元法及函数的单调性进行证明.
（3）利用（2）的结论进行不等式放缩，得到，再用累加法证明即可.
【解答过程】（1）解法一
由题，，当时，，所以在上单调递减，所以至多有一个零点.
当时，由得，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以.
要使函数有两个零点，必须满足，得.
当时，，
所以函数在上有且仅有1个零点.
，
记，则，记，则，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
因为，所以，
所以函数在上有1个零点
综上所述，当时，函数有两个零点.所以实数a的取值范围为.
解法二
因为有两个零点，所以关于x的方程，即有两个根，
所以直线与曲线有两个不同的交点
令，
则，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
又，当时，，所以，故实数a的取值范围为.
（2）解法一
因为，所以.
设，则，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
x 1
＋ 0 －
单调递增 单调递减
由（1）知，不妨设，则根据，得.
令，
则
因为，所以，所以，则，
所以在上单调递增，
所以，即当时，，则，
又，所以.
因为，所以，
因为在上单调递增，，所以，所以.
解法二
由（1）知，因为，所以，
所以，所以.
要证，只需证，即证；，
不妨设，要证上式，只需证，即证.
令，即证.
设，则，所以在上单调递增，
所以，所以成立，所以.
（3）由（2）中解法二可知，，
令，得.
所以，
即.
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)设函数，若有两个零点，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）先将的值代入函数，对函数求导，求出切线斜率，再求出点的坐标，进而求出切线方程.
（2）由有两个零点，得出有两个不相等的实数根，构造函数，将问题转化为与直线的图象有两个不同的交点，进而得出的取值范围.
【解答过程】（1）当时，，且，
所以，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数，
因为有两个零点，
所以，即有两个不相等的实数根，
设函数，则，
因为，所以恒成立，
所以当时，单调递增，且；
当时，单调递减，且，
因为函数的图象与直线有两个不同的交点，
所以，即．所以实数的取值范围为．
【变式8-2】（2024·河北邯郸·三模）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程．
(2)已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【解题思路】
（1）求出导数，继而可得切线斜率为在的导数值，由，结合直线的点斜式，可求出切线方程；
（2）（i）将问题转化为与有三个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围；
（ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论.
【解答过程】（1），
所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）（i）由，得，该方程有一根为，且，
所以即有3个不同的实数根，且这3个实数根均不为．
令，则，
所以当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，且当无限趋近于时，且趋近于0，
当从0的左侧无限趋近于0时，趋近于，当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于，
当无限趋近于时，的增速远大于的增速，所以趋近于．
故的大致图象如图所示：
又，所以当时，直线与曲线有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标均不为，所以的取值范围为．
（ii）由（i）知，，所以，，
所以，则，
要证，只需证，
不妨设，所以，所以，则只需证．
令，则，令，
则当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以原不等式得证.
【变式8-3】（2024·浙江·二模）已知函数，．
(1)求证：；
(2)若函数有三个不同的零点，，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【解题思路】（1）代入计算即可求解，
（2）（ⅰ）分类讨论的取值范围即可求解，
（ⅱ）结合函数有三个不同的零点，可得，，进而结合，，可将问题转化成，构造函数，即可利用导数求解.
【解答过程】（1）由得，
所以，故，
（2）（ⅰ）由于，且当时，，故，
又，所以，所以，
当时，令，所以，
当时，,当时，,所以在单调递减，在单调递增，故，
又,,
所以存在，使得，
因此在,上单调递增，在单调递减，
又当当，
所以此时有3个零点，符合题意，故，
当时，
令，则，
故当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故，此时恒成立，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，
综上可知：，
（ⅱ）由（ⅰ）以及可知，，又，，故也是的根，故，
设
所以在单调递增，故,
即,()
又因为，
所以，
所以.
一、单选题
1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【解题思路】令，解出即可.
【解答过程】因为，
令，解得，
即函数的零点为1.
故选：B.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由零点存在性定理可得答案.
【解答过程】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增，
又，所以在内存在一个零点，使.
故选：C.
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2
【解题思路】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即
【解答过程】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，
则，显然，所以，
构造函数与函数，则方程的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，
设为，所以，，
即，
另外发现，将代入，可得，
所以也是函数的零点，说明，即.
故选:A.
4．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【解题思路】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案.
【解答过程】因为函数为偶函数，所以，
所以的图象关于对称，
令，则，
可得函数的图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，
则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个，
则所以.
故选：C.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用导数说明函数的单调性，依题意可得，解得即可.
【解答过程】因为，所以当或时，
即在，上单调递增，
当时，即在上单调递减，
根据题意可得，即，解得.
故选：A.
6．（2024·广东湛江·二模）已知函数，，则（ ）
A．当有2个零点时，只有1个零点
B．当有3个零点时，有2个零点
C．当有2个零点时，有2个零点
D．当有2个零点时，有4个零点
【解题思路】作出函数，图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与的图象的公共点的个数，结合图象可得答案.
【解答过程】两个函数的零点个数转化为图象与的图象的公共点的个数，
作出，的大致图象，如图所示.
由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；
当有3个零点时，只有1个零点；
当有2个零点时，有4个零点.
故选：D.
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A． B．3 C．6 D．9
【解题思路】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【解答过程】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
故选：B.
8．（2024·安徽合肥·三模）设，函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
【解答过程】设，当时，，此时，
由得，即，解得或，
所以在上有2个零点；
时，若，对称轴为，函数的大致图象如图：
此时，即，则，
所以无解，则无零点，无零点，
综上，此时只有两个零点，不符合题意，
若，此时的大致图象如下：
令，解得（舍去），
显然在上存在唯一负解，
所以要使恰有5个零点，
需，即，解得，
所以．
故选：D.
二、多选题
9．（2024·辽宁·一模）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有一个零点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合函数在给定区间上的单调性和零点个数，可确定的取值范围，从而确定正确的选项.
【解答过程】由， ，.
又函数在区间上单调递减，所以 ，
又因为，，所以，，
因为，所以，
因为在区间上有且仅有一个零点，
所以在区间上有且仅有一个实数根，
所以，解得，
综上，，故BC正确，AD错误.
故选：BC.
10．（2024·河北·模拟预测）已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断.
【解答过程】对于A，由题，，
所以即，
所以，故，故A正确；
对于B，由得，
故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点，
如图，由图象性质可知，
又由A得，故，
所以，故B错；
对于C，由上即，以及得：
，故C对；
对于D，由AB得，，，
所以，故D对.
故选：ACD.
11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．若有2个不同的零点，则
B．当时，有5个不同的零点
C．若有4个不同的零点，则的取值范围是
D．若有4个不同的零点，则的取值范围是
【解题思路】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由，令，得到，求得，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判定C正确；由，结合对勾函数的性质，可判定D正确．
【解答过程】由函数，可得，
作出的图象，如图所示．
对于A中，由，可得，若有2个不同的零点，
结合图象知或，所以A错误；
对于B中，当时，由，可得，
令，则有，可得，
结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根，
所以有5个不同的零点，所以B正确；
对于C中，若有4个不同的零点，
则，且，则，
由二次函数的对称性得，则，
结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确；
对于D中，由，其中，
由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得，
所以的取值范围为，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题
12．（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数零点所在的一个区间 .
【解题思路】根据零点存在性定理求解即可.
【解答过程】根据对数函数单调性的性质，
函数为上的减函数,
函数的图像在上为一条连续不断的曲线,
又,,
所以函数零点所在的一个区间为.
故答案为:.
13．（2024·天津北辰·三模）若函数有四个零点，则实数的取值范围为
.
【解题思路】分析可知关于直线对称，由对称性可知当时，有2个零点，令，化简整理可得：与在内只有一个交点，利用导数分析的单调性和极值，结合图象分析求解.
【解答过程】由题意可知：的定义域为，
且，
可知关于直线对称，
原题意等价于：当时，有2个零点，且，即，
若，则，
显然，
若时，令，可得，
令，可知与在内只有一个交点，
则，令，解得或；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且，又，
可得的图象如图所示，
由图象可知：或或，解得或或，
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
14．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 9 .
【解题思路】由结合是奇函数可求出的周期为3，即可求出，再由的对称性和周期性可得.
【解答过程】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，
则的周期为3，所以，
，
而，则.
故在上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
四、解答题
15．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．
【解题思路】（1）求出函数的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.
（2）由（1）的结论，按分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨单调性建立不等式求解即得.
【解答过程】（1）函数的定义域为R，求导得，而，
由得，由得，因此函数在上递减，在递增，
又当时，恒成立，，因此函数在存在唯一零点，
所以函数的零点个数是1.
（2）由（1）知函数存在唯一零点 ，且，
①当时，，由得：，即，
设，求导得，
在上单减，则，解得；
②当时，由得：，即，
设，求导得，而，
则，在上单增，则，解得，
综上得的取值范围是.
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数，的值；
(2)证明：函数有两个零点．
【解题思路】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用转化的思想将原问题转化为函数有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理即可证明.
【解答过程】（1）由题意可得，由切线方程可知其斜率为，
所以，解得；
（2）由可得，所以．
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，0，
所以，．
由零点存在定理可得使得，使得，
所以函数有两个零点．
17．（2024·河南信阳·模拟预测）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
【解题思路】（1）求出函数的导数，按的取值分类讨论求出函数的单调区间.
（2）按分类讨论，并结合函数单调性及零点存在性定理求解即得.
【解答过程】（1）函数定义域为，求导得，
若，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
若，由，得或，
①当时，，则函数在上单调递增；
②当时，，当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减；
③当时，，当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）当时，函数只有一个零点，
当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，且，，
取且，则，
因此函数有两个零点；
当时，由（1）知函数在上递增，且，，
而时，恒有，因此函数只有一个零点，
当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，
且，
而时，恒有，因此函数只有一个零点，
所以，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.
18．（2024·湖北黄石·三模）已知函数有两个零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)如果，求此时的取值范围.
【解题思路】（1）令，可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，利用换元法表示，通过构造函数法，利用导数证得，结合（1）求得的取值范围.
【解答过程】（1）令，即，
令，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且时，当时，
又与有两个交点，所以.
（2）由（1）可得，，
又，
所以，即，
令，，则，
所以，，
记，，则，
令，，则，
所以在上，即单调递减，
由于，
所以当时，，所以，
所以函数在区间上单调递减，
故，即，
而，在区间上单调递增，
故且，
即．
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：．
【解题思路】（1）利用导数求出函数的最小值，再分段讨论并构造函数，利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理推理即得.
（2）由（1）的结论，结合函数零点的意义可得有两个相异的解，再构造函数，借助单调性确定的取值区间，再结合分析法推理证明即得.
【解答过程】（1）函数，求导得，
当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则．
当时，恒成立，至多有一个零点，不符合题意，
当时，，，即，使，
，令，求导得，
令，求导得，即在上单调递增，，
于是，函数在上单调递增，，
因此，使，
所以实数a的取值范围为．
（2）由（1）知，有两个相异的解，即方程有两个相异的解，
令函数，求导得在上单调递增，且，
当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，
不妨设，显然，，
要证，即证，即证．
又，则即证，令函数，，
则 ，
而，则，
因此函数在上单调递减，即，则，
所以．
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