专题3.2 导数与函数的单调性【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】 2
【题型2 含参函数的单调性】 3
【题型3 根据函数的单调性求参数】 4
【题型4 函数与导函数图象之间的关系】 4
【题型5 函数单调性的应用——比较大小】 6
【题型6 函数单调性的应用——解不等式】 6
【题型7 导数关系构造函数解不等式】 7
1、导数与函数的单调性
考点要求 真题统计 考情分析
(1)结合实例，借助几何直
观了解函数的单调性与导数的关系
(2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)
(3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用 2022年新课标I卷：第7题，5分 2022年全国甲卷：第12题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大.
【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点2 导数中函数单调性的应用】
1.比较大小：
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2.解不等式：
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
【解题方法与技巧】
导数关系构造函数的一些常见结构：
(1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x).
(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x).
特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx.
(3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x).
(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=.
(5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=.
(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=.
(7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=.
【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】
【例1】（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·上海静安·二模）函数（ ）
A．严格增函数
B．在上是严格增函数，在上是严格减函数
C．严格减函数
D．在上是严格减函数，在上是严格增函数
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 含参函数的单调性】
【例2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性．
【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围．
【变式2-2】（2024·贵州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
【变式2-3】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【题型3 根据函数的单调性求参数】
【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24高三上·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 函数与导函数图象之间的关系】
【例4】（2023·安徽·模拟预测）已知函数为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2024·四川成都·一模）函数的大致图象如图所示，则大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·云南曲靖·三模）已知函数与的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 函数单调性的应用——比较大小】
【例5】（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 函数单调性的应用——解不等式】
【例6】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 导数关系构造函数解不等式】
【例7】（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海·三模）在区间上，是函数在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·浙江台州·一模）已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．（为自然对数的底数，）
C．存在，
D．若，则
三、填空题
12．（2024·河北邢台·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是 （请用“<”连接）．
13．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 .
14．（2024·新疆·三模）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．（2024·重庆·三模）已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
16．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知R上可导函数的图象如图所示，解不等式.
17．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求在处的切线；
(2)比较与的大小并说明理由.
18．（2024·山东青岛·二模）已知函数.
(1)证明曲线在处的切线过原点；
(2)讨论的单调性；
19．（2024·山东·二模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
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【新高考专用】
【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】 2
【题型2 含参函数的单调性】 4
【题型3 根据函数的单调性求参数】 7
【题型4 函数与导函数图象之间的关系】 9
【题型5 函数单调性的应用——比较大小】 12
【题型6 函数单调性的应用——解不等式】 14
【题型7 导数关系构造函数解不等式】 16
1、导数与函数的单调性
考点要求 真题统计 考情分析
(1)结合实例，借助几何直
观了解函数的单调性与导数的关系
(2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)
(3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用 2022年新课标I卷：第7题，5分 2022年全国甲卷：第12题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第6题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容在高考中常涉及的问题有：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性判断大小、解不等式、求参数范围等；此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中时往往在第一小问中呈现，此时试题整体难度较大.
【知识点1 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2.含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点2 导数中函数单调性的应用】
1.比较大小：
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2.解不等式：
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
【解题方法与技巧】
导数关系构造函数的一些常见结构：
(1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x).
(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x).
特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx.
(3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x).
(4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=.
(5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=.
(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=.
(7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=.
【题型1 不含参函数的单调性、单调区间】
【例1】（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可.
【解答过程】函数的定义域为，
且，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
故选：D.
【变式1-1】（2024·上海静安·二模）函数（ ）
A．严格增函数
B．在上是严格增函数，在上是严格减函数
C．严格减函数
D．在上是严格减函数，在上是严格增函数
【解题思路】求导后利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据严格增减函数的定义即可得到选项.
【解答过程】解：已知，，则，
令，即，解得，
当时，，所以在上是严格减函数，
当时，，所以在上是严格增函数，
故选：D.
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数奇偶性定义可排除A，利用特殊值法可排除B，利用导数求函数单调性可排除C，根据函数奇偶性定义及复合函数单调性可得结果.
【解答过程】对于A，因为，所以，
即为非奇非偶函数，故排除A．
对于B，因为，，所以，
所以在上不是单调递减的，故排除B．
对于C，对求导，得．令，解得．
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C．
对于D，易得的定义域为，
且
，所以为奇函数．
令，则．易知在上单调递增，
在上单调递减．由复合函数的单调性，得
在上单调递减．
故选：D．
【变式1-3】（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先利用导数求出函数在上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在上的单调性，即可判断.
【解答过程】当时，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，在上单调递减.
故选：D.
【题型2 含参函数的单调性】
【例2】（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性．
【解题思路】1）求导函数，根据导数的几何意义及切线与y轴垂直建立方程求解即可；
（2）求导函数，按照和分类讨论，求出函数的单调性.
【解答过程】（1）依题意，，
则，
因为在处的切线与轴垂直，所以，解得；
（2）由（1）知，
当时，由得，由得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间，
当时，分以下三种情况：
若，则在定义域内恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，令得或，令得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
若，令得或，令得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上所述，当时，在区间单调递增，在区间单调递减；
当时，在区间单调递增，无递减区间；
当时，在区间单调递增，在区间单调递减；
当时，在区间单调递增，在区间单调递减.
【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围．
【解题思路】（1）求导，根据导函数的正负分析的单调性即可；
（2）将的图象与轴没有公共点转化为小于零，解不等式即可.
【解答过程】（1）由题意，的定义域为，
，
则当时，单调递减；当时，单调递增．
故函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知函数的最大值为，要使的图象与轴没有公共点，只需的最大值恒小于，即恒成立，
故，得，所以的取值范围为.
【变式2-2】（2024·贵州·二模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
【解题思路】（1）求导，计算斜率，再用点斜式求解即可；
（2）令，求出，根据、可得使，可得、时的单调性，从而得解.
【解答过程】（1），
∴，又，
∴曲线在点处的切线方程是，
即；
（2）令，
则在上递减，且，，
∴，使，即，
当时，，当时，，
∴在上递增，在上递减，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故，
∴在上是减函数．
【变式2-3】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【解题思路】（1）求导，根据判别式分类讨论，即可根据导数的正负确定函数单调性，
（2）将所证不等式等价变形后构造，利用导数求解函数的单调性，即可求证.
【解答过程】（1），
当，即时，此时，，故在上单调递增.
当，即时，令，
则.
①当时，在上单调递增，在上单调递减.
②当时，，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，，
证原不等式等价于证，令，
则，且，故只需证，即证
令，则，
令，则 ，
由于，令则，
在上单调递增，在上单调递减.又，
当时，，即，当,时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，当时，1.
【题型3 根据函数的单调性求参数】
【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据条件得即在上恒成立，构造函数，，由二次函数的性质求出的最值即可解决问题.
【解答过程】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以.
故选：A．
【变式3-1】（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，转化为在上恒成立，令，利用导数求得函数单调递减，得到，得出，即可求解.
【解答过程】由函数，可得
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
令，则，
所以在上单调递减，所以，即，
则，解得，即实数的取值范围是．
故选：D．
【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】令，利用导数求出函数的单调区间，再分和两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解.
【解答过程】令，则，
当或时，，当时，，
所以在和上递减，在上递增，
当时，为增函数，且函数在区间内单调递增，
所以，解得，
此时在上递增，则恒成立，
当时，为减函数，且函数在区间内单调递增，
所以，无解，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
【变式3-3】（23-24高三上·河北·期末）设函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据单调性与导数的关系可得在上恒成立，进而即可求解.
【解答过程】依题意，在上恒成立，
记，则在上恒成立，
在上单调递增，所以只需，解得，
故选：A．
【题型4 函数与导函数图象之间的关系】
【例4】（2023·安徽·模拟预测）已知函数为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数解析式求导函数,再根据导函数导数正负得出导函数的单调性判断即可.
【解答过程】令函数，定义域为，
函数为偶函数，
又，且，
当时，在单调递增，
则，
函数在单调递增.
故选：C.
【变式4-1】（2024·四川成都·一模）函数的大致图象如图所示，则大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用复合函数的性质及导数研究单调性结合图象判定大小即可.
【解答过程】令，则，
由得，
因为定义域上单调递增，结合图象知函数在上递增，在递减，
所以且，所以，
又过点，
所以，即，
所以
故选：B.
【变式4-2】（2023·云南曲靖·三模）已知函数与的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，利用函数的导数与单调性的关系分析4个结论是否正确，即可得答案．
【解答过程】由图可知，与在区间上单调递增，所以.
在区间上，的图象比的图象更陡峭，所以.
故选：D.
【变式4-3】（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助函数图象与导数的关系计算即可得.
【解答过程】由，且为偶函数，故，
由导数性质结合图象可得当时，，
当时，，当时，即，
则由，有，解得，
亦可得，或，或，或，
由可得或，即，
由可得，即，
由，可得，即或（舍去，不在定义域内），
由，可得，
综上所述，关于x的不等式的解集为.
故选：D.
【题型5 函数单调性的应用——比较大小】
【例5】（2024·江西宜春·三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先将化成统一形式，构造函数 ，研究单调性进而比较大小即可.
【解答过程】由题意得，，；
设，则，
当时，，所以单调递增，又，
所以，即，所以.
故选：A.
【变式5-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】比较大小，构造，结合单调性即可比较大小；比较大小，构造，结合单调性即可比较大小.
【解答过程】令，则，所以单调递增，
又，所以，即，
所以，所以，即，所以，
设，则，所以单调递减，
，即，故，，即，所以，
所以，
故选：A.
【变式5-2】（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，从而得解.
【解答过程】因为，
所以，
令，则恒成立，
所以当时，，即，
又在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，则在上单调递增，
构造函数，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
即，可得，，
所以，，
所以，，
即
所以，，
即 .
故选：D.
【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】构造函数，和，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
【解答过程】令，，则，
令，则即单调递增，所以，故为增函数，所以，可得，故.
令，则，故为增函数，所以0，即.所以，故，所以b
故选：B.
【题型6 函数单调性的应用——解不等式】
【例6】（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.
【解答过程】，所以，即为偶函数，
对函数，，则 ，
因为，所以，，所以，故在上恒成立.
所以函数在上单调递增，所以在上单调递增.
所以 ，
所以 ，解得或．
故选：B.
【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可得，可将转化为，结合导数可得在上单调递增，即可得.
【解答过程】由题可得，
所以，
即有，即，
故不等式等价于，
又，
当时，，故，
当时，
，，故，
即恒成立，故在上单调递增，
故由可得，即.
故选：A.
【变式6-2】（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，根据题意，可证为上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解.
【解答过程】因为，
设，
则，
即为上的偶函数，
又当时，，
则，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
即，所以，即，
解得.
故选：B.
【变式6-3】（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解.
【解答过程】因为，故，
故，
因为是定义在上的奇函数，故，
故，故，故，
此时，故为上的减函数，
而等价于，
即即，故或
故选：A .
【题型7 导数关系构造函数解不等式】
【例7】（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.
【解答过程】不等式等价于，即，
构造函数，所以，
因为时，，所以对恒成立，
所以在单调递减，
又因为，
所以不等式等价于，所以，
即的解集为.
故选：A.
【变式7-1】（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答过程】因为为偶函数，
所以，所以，
令，
因为为偶函数，
则，即，
即，
所以，
当时，，即在上单调递减，则在上单调递增，
由，即，
所以，即，解得或，
即实数的取值范围是．
故选：A．
【变式7-2】（2024·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集.
【解答过程】由题意知，当时，，
令，则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，解得.
故选：A.
【变式7-3】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】构造函数，根据题意得在上单调递增，不等式可转化为，即，即可求解.
【解答过程】设，则．
因为，所以，
所以，所以在上单调递增．
不等式可转化为，
又，且，
即，所以，解得，
即不等式的解集为．
故选：A．
一、单选题
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先得出函数的定义域，再令，解不等式即可.
【解答过程】函数的定义域为，，令，解得：，
多取一个端点不影响单调性，所以在上单调递减.
故选：D.
2．（2024·上海·三模）在区间上，是函数在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【解题思路】在该区间严格增,选出答案.
【解答过程】在该区间严格增，即可能会在该区间内存在导数为0的情况，
比如在R上单调递增，且，
故是函数在该区间严格增的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用切线放缩公式：比较，再由三角函数的单调性，比较.
【解答过程】由，当时等号成立，知，∵，∴，.
故选：B.
4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得，结合两函数图象交点的位置舍去C项.
【解答过程】由可得
对于，当时，在第一象限上递减，对应图象在第四象限且递增，故A项符合；
对于在第一象限上与的图象在上都单调递增，故且，则.
又由可得，即与的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，B, D项均符合.
故选：C.
5．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出函数的导函数，利用换元法将题目条件转化为在上恒成立；再构造函数，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答.
【解答过程】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
令，
则，
所以在上恒成立.
又因为在上单调递增，
所以当时，
故.
故选：D.
6．（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可.
【解答过程】设，则 ，
对任意，，恒成立，即在上单调递减，
由可得，，解得，即解集为.
故选：A.
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令，利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得比较函数值的大小．
【解答过程】∵，
∴，∴是偶函数，
，
当时，，故函数在上单调递增，
令，则，
即函数在上单调递减，故，
即可，而，
所以，
∴．
故选：C．
8．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.
【解答过程】令，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数，
由，得，解得或
故选：D.
二、多选题
9．（2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
【解题思路】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．
【解答过程】由题意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在，上单调递减，
若函数在区间上单调，
则或或，解得或或，
即或.
故选：CD.
10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知为上的可导函数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先构造函数，利用导数判断该函数的单调性；再利用单调性即可判断各个选项.
【解答过程】设，.
则.
因为所以，
则函数在区间上单调递增，
所以，即，；
，即，；而A无法确定；故BD正确，AC错误.
故选：BD.
11．（2024·浙江台州·一模）已知是定义域为的函数的导函数，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．（为自然对数的底数，）
C．存在，
D．若，则
【解题思路】由原函数和导函数的对称性判断A；令，结合题设条件判断其单调性后可判断B，C，D.
【解答过程】因为是定义域为的函数的导函数，所以是定义域为的可导函数，
因为，所以的图像关于点对称，
所以，而，故，
所以的图像关于对称，
因为，故时，，
所以，设，
故时，，故在上为增函数，
同理在上为减函数，
对于A，因为，故，故A正确；
对于B，，故，故B正确；
对于C，当时，；
当时，，而时，，
故恒成立，故C错误；
对于D，当时，单调递减，
，， 所以，
故时，，而，故，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·河北邢台·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是 （请用“<”连接）．
【解题思路】根据给定条件，构造函数，再利用导数比较大小即可.
【解答过程】令函数，，得，
即函数在上单调递增，，则，
即，
令函数，得，
即即函数在上单调递减，，则，
即
所以a，b，c的大小关系是
故答案为：.
13．（2024·四川·模拟预测）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 .
【解题思路】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可.
【解答过程】由题意知，
因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，，
所以在区间内，
所以，解得，即m的取值范围是.
故答案为：.
14．（2024·新疆·三模）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 .
【解题思路】构造函数，根据题意和导数求得函数在上单调递减，再由，得到为偶函数，结合对称性得到在上单调递增，把不等式，转化为，即可求解.
【解答过程】令函数，
因为，时，所以，
所以函数在上单调递减，
又因为，
所以函数，所以为偶函数，
根据偶函数的对称性，可得在上单调递增，
若
则，
整理得，所以，
两边平方可得，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·重庆·三模）已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）由得到，再利用导数的几何意义求解；
（2）求导，根据在区间上单调递增，由恒成立求解.
【解答过程】（1）解：当时，，
，
则，，
所以当时，在点处的切线方程为
（2），
因为在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
因为当时，，
所以，即a的取值范围是
16．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知R上可导函数的图象如图所示，解不等式.
【解题思路】分析图像出函数的单调性，化简不等式，即可解出不等式的解集.
【解答过程】由题意及图得，
在中，
当，时，，
当时，.
则①或②.
解①得，或，解②得，，
综上，不等式的解集为.
17．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求在处的切线；
(2)比较与的大小并说明理由.
【解题思路】（1）求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）求得，得到在上单调递增，结合，得到即可得到.
【解答过程】（1）解：因为函数，可得，
可得，且，
所以在处的切线方程为，即.
（2）解：由，可得，所以在上单调递增，
又由，所以时，，即在上恒成立，
所以，即.
18．（2024·山东青岛·二模）已知函数.
(1)证明曲线在处的切线过原点；
(2)讨论的单调性；
【解题思路】（1）可求得切点为，斜率，则切线方程为，则恒过原点；
（2）首先求函数的导数，当时，和，可得的单调区间；当时，令，当时由的判别式和，讨论出函数的单调区间；当时，的判别式，讨论出函数的单调区间.
【解答过程】（1）由题设得，所以，
又因为，所以切点为，斜率，
所以切线方程为，即恒过原点．
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
当时，令，则，
当且时，即时，，在上单调递增，
当时，，
由，则，或，则，
所以在上单调递增，在上单调递增；
由，则，则，
所以在上单调递减；
当时，，则为开口向下的二次函数，
对称轴，，，
由，则，则，所以在上单调递增，
由，则，则，所以在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
19．（2024·山东·二模）已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
【解题思路】（1）当时，，求导得，令，求确定的单调性与取值，从而确定的零点，得函数的单调区间；
（2）求，确定函数的单调性，从而确定函数的最值，即可得的取值范围．
【解答过程】（1）当时，，
则，
设，则恒成立，又，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的减区间为，增区间为；
（2），
设，则，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，
所以，
所以，即，
设，易知单调递增，且，
所以，解得，
综上，.
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