专题3.3 导数与函数的极值、最值【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 根据函数图象判断极值】 2
【题型2 求已知函数的极值】 5
【题型3 根据极值（点）求参数】 8
【题型4 求不含参函数的最值】 11
【题型5 求含参函数的最值】 13
【题型6 已知函数最值求参数】 17
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 19
1、导数与函数的极值、最值
考点要求 真题统计 考情分析
(1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件
(2)会用导数求函数的极大值、极小值 (3)掌握利用导数研究函数最值的方法 (4)会用导数研究生活中的最优化问题 2022年新课标I卷：第10题，5分 2023年新课标I卷：第11题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第11题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 2024年新课标Ⅱ卷：第11题，6分、第16题，15分 导数与函数是高中数学的核心内容，高考对最值、极值的考查相对稳定，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大，复习时需要加强练习.
【知识点1 函数的极值问题的求解思路】
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列
方程组，利用待定系数法求解.
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
【知识点2 函数的最值问题的解题策略】
1．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
2．求含有参数的函数的最值的解题策略：
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
【方法技巧与总结】
1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值
就是最值.
2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【题型1 根据函数图象判断极值】
【例1】（2024·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对比选项可知，由题意，（）是函数的零点，（）都是函数的极值点，由此可以排除A，C；进一步对和0的大小关系分类讨论，得出函数在处附件的增减变换情况即可.
【解答过程】对比各个选项可知，
由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点，
令，
可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C；
若，则函数的图象形状为增减增，
具体为在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合；
若，则函数的图象形状为减增减，
具体为在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合．
故选：B.
【变式1-1】（2024·四川广安·二模）已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】对的情况进行分类讨论，借助于导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.
【解答过程】由题意知，定义域为，
当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①；
当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②；
当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减，
当时，，且此时，所以可对应③，
当时，，此时，所以可对应④.
故选：D.
【变式1-2】（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值 B．在上是增函数
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
【解题思路】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.
【解答过程】根据导函数的图象可知，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的图像如图，则m，n的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解题思路】由图及解析式易得，将各项参数代入，利用导数研究的极值点，结合图中极值点判断正误.
【解答过程】由题图知，当时，所以．
当，时，，
则，
所以上，递减，上，递增，
所以的极小值点为，A不符合；
当，时，，
则，
所以上，递增，上，递减，
所以的极小值点为，B不符合；
当，时，，
则，
所以上，递减，上，递增，
所以的极小值点为，C符合；
当，时，的图象关于直线对称，D不符合．
故选：C.
【题型2 求已知函数的极值】
【例2】（2024·浙江·模拟预测）函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用二次导数研究的单调性，并通过观察得其零点，进而判断的单调性，然后可得极小值.
【解答过程】，
记，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
所以，当时，，
因为，且当时，，
所以，当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增.
所以，当时，取得极小值.
故选：B.
【变式2-1】（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意求出的值，进而求出，再解出极小值即可.
【解答过程】因为函数在处取得极大值，
则，且，
即，所以；
所以，，
令，则或，
由，，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在处取得极大值，.
故选：C.
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的导函数，，则（ ）
A．的极大值为，无极小值
B．的极小值为，无极大值
C．的极大值为，无极小值
D．的极小值为，无极大值
【解题思路】本题考查利用导数判断函数的极值，考查考生的运算求解能力，可按下列顺序求解：
的单调性的极值情况
【解答过程】的定义域为，，
所以 ，
求导得，令，得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值．
故选：C．
【变式2-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点
【解题思路】设，求导后，构造，求导，得到其单调性和极值情况，结合极小值为0，故当时，至多有1个变号零点，且在上无变号零点；分在区间上没有变号零点和1个变号零点两种情况，得到极值情况.
【解答过程】令，则，
故．
令，
所以，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以的极小值为，
的极大值为，
所以当时，至多有1个变号零点，且在上无变号零点；
当在区间上没有变号零点时，
则，，单调递增，无极值点，
当在区间上有1个变号零点时，
可设为，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以有且只有一个极小值点，无极大值点．
综上，最多有一个极小值点，无极大值点．
故选：C.
【题型3 根据极值（点）求参数】
【例3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.
【解答过程】由题意得，，故，
因为函数在上无极值，
所以在R上恒成立，
当时，，
设，则，
当时，得，当时，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，故，
当时，，则.
综上，.
故选：D.
【变式3-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数在处有极值，则等于（ ）
A． B．16 C．或16 D．16或18
【解题思路】求导，即可由且求解，进而代入验证是否满足极值点即可.
【解答过程】，
若函数在处有极值8，
则 且，即 ，
解得：或 ，
当时，，此时不是极值点，故舍去，
当时，，
当或时，，当，故是极值点，
故符合题意，
故，
故，
故选：A.
【变式3-2】（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分类讨论、与三种情况，结合导数与极值点的定义即可得解.
【解答过程】因为，所以，
令，可得或，
当，即时，
令，得或；令，得；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，满足题意；
当，即时，恒成立，
则在上单调递增，没有极值点，不满足题意；
当，即时，
令，得或；令，得；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，不满足题意；
综上，，即的取值范围为.
故选：A.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】函数在上恰有两个极值点，在上有两个变号零点，分离常数得，转化为两函数图象有两个不同的交点，利用数形结合思想进行求解；或直接求函数的单调性，求图象在上与轴有两个交点的条件.
【解答过程】解法一： 由题意可得，因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点．
令，可得，令，
则直线与函数，的图象有两个不同的交点，
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，当x趋近于0时，趋近于+∞，当x趋近于π时，趋近于+∞，
所以可作出的图象如图所示，数形结合可知，
即实数a的取值范围是，
故选：D．
解法二 由题意可得．因为函数在上恰有两个极值点，所以在上有两个变号零点．
当时，在上恒成立，不符合题意．
当时，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，所以，则，即实数a的取值范围是，
故选：D．
【题型4 求不含参函数的最值】
【例4】（2024·陕西西安·二模）函数在上的最大值和最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求导，判断导数正负得函数在上的单调性求得结果.
【解答过程】，，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得，所以在和上单调递减，
又，，，，
所以函数在上的最大值为，最小值为.
故选：D.
【变式4-1】（2024·宁夏固原·一模）函数在区间上的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【解答过程】，
所以在区间上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：A.
【变式4-2】（2024·甘肃兰州·二模）若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】对所给不等式适当变形，利用同构思想得出对于任意恒成立，进一步构造函数利用导数分析最值即可求出结果.
【解答过程】由题意可得，
恒成立等价于恒成立，
令，
则恒成立，
所以在定义域内严格单调递增，
所以若有成立，则必有恒成立，
即对于任意恒成立，
令，
则，
令，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
从而，所以的取值范围为，即实数m的最大值为，
故选：B.
【变式4-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．-1
【解题思路】根据题意，转化为在上恒成立，对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切，求得上的一点的切线方程为，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【解答过程】由在区间上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
对于使得取得最小值时，直线和函数的图象相切，
又由，可得，则，
可得在点的切线为，即，
令，所以，
令，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以的最小值为.
故选：C.
【题型5 求含参函数的最值】
【例5】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.
【解题思路】（1）求导（）（），分，讨论求解；
（2）方法一：隐零点法，由，，转化为证明，令，（），由成立即可；方法二：（同构）由，，转化为，进而变形为，再构造函数（），证即可.
【解答过程】（1）解：（）（），
令，则，
当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以，.
当时，，则当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以，
而，.所以
综上所述，当时，，；
当时，所以，.
（2）方法一：隐零点法
因为，，所以，欲证，只需证明，
设，（），，
令，易知在上单调递增，
而，，
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增；
所以
所以，因此.
方法二：（同构）
因为，，所以，欲证，只需证明，
只需证明，
因此构造函数（），
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增：
所以，所以，
所以，
因此.
【变式5-1】（2024·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)求在区间上的最大值.
【解题思路】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式求出函数的单调区间与极值；
（2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，得到函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最大值.
【解答过程】（1）当时，，
则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
函数的极大值为，没有极小值.
（2）由题意得.
若，当时，，在区间上单调递增，
此时的最大值为；
若，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时的最大值为；
若，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时的最大值为；
若，则，当时，，在区间上单调递增，
此时的最大值为.
综上可得，.
【变式5-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若，设曲线与轴正半轴的交点为，该曲线在点处的切线方程为，求证：
【解题思路】（1）利用函数求导，讨论函数的单调性，从而得到其最值.
（2）利用，求出曲线在点处的切线方程，然后进行联立证明即可.
【解答过程】（1）因为函数，定义域为.
所以，
当时，，函数单调递减，此时，函数无最值.
当时，，，
则，在单调递增；
，在单调递减，
所以函数在处取得最大值，最大值为，无最小值.
（2）因为，所以函数，则
曲线与轴正半轴的交点为，
则切线斜率为，
切线方程为：.
则，
令
，
所以在单调递增，单调递减，
的最大值为，
所以，
即.
【变式5-3】（2024·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论在上的最大值；
(3)是否存在实数a，使得对任意，都有？若存在，求a可取的值组成的集合；若不存在，说明理由．
【解题思路】
（1）求得，，再根据导数的几何意义求切线方程即可；
（2）先讨论的单调性，找到极值点，再根据，，的大小关系，求函数最值即可；
（3）根据（2）中所求函数单调性和最值，结合题意可知，只需，构造函数，结合其单调性和最值，即可求得的取值.
【解答过程】（1）当时，，，又 ， ，
故曲线在处的切线方程为，也即.
（2）， ，显然 在上为单调减函数；
令 ，即，解得，
故当， ，单调递增；
当， ，单调递减；
若，即时，在上单调递增，又，
故当时，在上的最大值为；
若，即时，在上单调递减，又，
故当时，在上的最大值为；
若，即时，在单调递增，在上单调递减，
又，
故当时，在上的最大值为；
综上所述，当时，在上的最大值为.
当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为.
（3）由（2）可知，在单调递增，在单调递减，且，
故在上的最大值为；
若存在实数，对任意，都有，则，显然；
又当时，，也即，；
令，则 ，
则当， ，单调递增，
当， ，单调递减，
故的最大值为，则，当且仅当时取得等号；
故若存在实数，满足题意，则只有当时，满足；
也即当时，对任意，都有.
综上所述，a可取的值组成的集合为.
【题型6 已知函数最值求参数】
【例6】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【解题思路】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可.
【解答过程】由题意可知：，
所以当时，则在上单调递增，
所以.
故选：D.
【变式6-1】（2023·四川宜宾·三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用导数求出函数在上的极小值，然后对实数的取值进行分类讨论，结合可求得实数的取值范围.
【解答过程】当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数的极小值为，
因为函数的最小值为，当时，函数在上单调递减，
此时，函数在上无最小值，不合乎题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，函数在上的极小值为，且，则，
综上所述，.
故选：A.
【变式6-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为求出，进而根据单调性可得其最小值.
【解答过程】由得，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
故当时，取得最大值，即，此时，
当，，当时，
故最小值为，
故选：C.
【变式6-3】（2024·甘肃金昌·模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数在上单调递增，利用函数导数性质求出的取值范围，在由在区间上既有最大值又有最小值求出的取值范围，然后求交集即可.
【解答过程】1.因为，则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即恒成立，则，解得；
2.因为，则，
①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当时，令，解得；令，解得；
则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，
若在上既有最大值，又有最小值，
则且，解得：；
综上所述：．
故选：B.
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】
【例7】（2024·四川成都·二模）已知函数的导函数为．
(1)当时，求的最小值；
(2)若存在两个极值点，求a的取值范围．
【解题思路】（1）求导判断函数的单调性即可求解，
（2）求导，分类讨论导函数的正负，结合零点存在性定理即可求解.
【解答过程】（1）当时，，，，
令函数，，则有，
当时，，为减函数；当时，，为增函数，
所以，即的最小值为2；
（2）因为，有，
令，有，
①当时，因为，所以，即在上为增函数，
所以至多存在一个，使得，故不存在两个极值点，
②当时，解，得，
故当时，，为减函数，当时，，
为增函数，所以，
（ⅰ）．当，即时，，在上为增函数，
故不存在极值点，
（ⅱ）．当，即时，
又因为，所以，
又由第（1）问知，故，所以，
又因为，又，
所在，使得，
且在，上为增函数，在上为减函数，
所以，分别是的极大值点和极小值点，
综上所述，的取值范围为．
【变式7-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若恰有两个极值点，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）利用导数求解单调区间即可.
（2）依据题意求出，分析条件转化为变号零点的存在性问题，转化为交点问题求解参数即可.
【解答过程】（1）易知的定义域为，
而，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意得，
，
若恰有两个极值点，则在有两个变号零点，
易知是的零点，
令，化简得，故与有一个交点即可，
而定义域为，
而，当时，恒成立，
故在上单调递增，
而，
当时，，故.
故实数的取值范围为.
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)当时，求的极值点；
(2)当时，设，且，记的最大值为，试求的取值范围.
【解题思路】（1）将代入,然后对求导，判断的正负，得到的单调性，进而求出极值点；
（2）对求导，通过一元二次方程根的情况，判断的正负，得到的极值点，写出的表达式，利用导数判断的单调性，得到的取值范围.
【解答过程】（1）当时，，定义域为，
，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此的极大值点是，极小值点是1.
（2）由已知的定义域为，
，
对于方程，在上恒成立，
则方程有两个不同的正根，设为，
根据根与系数的关系，得，则，，
当或时，，当时，，
所以的极大值点为，极小值点为，
因为，所以，
因为，所以，
所以
，
令，
于是，，
，所以在上单调递减，
又，当时，，所以，
故的取值范围是.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性．
(2)若有两个极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：．
【解题思路】（1）求得，设，得到，再令，求得为上的增函数，且，进而求得单调区间；
（2）①求得，令，解得，设，根据题意转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解；
②由函数有两个零点，得到，令，转化为证明，不妨令，只需证明，化简得到，令，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【解答过程】（1）解：当时，可得，其中，则，
设，则，
令，可得恒成立，
所以为上的增函数，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以，所以在上单调递增．
（2）解：①因为函数，可得，
令，解得，
设，可得，
因为有两个极值点，则直线与函数的图象有两个不同的交点，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
又当时，，故可作出的大致图象，如图所示，
结合图象可得，，即实数的取值范围为．
②由函数有两个零点，所以，
令，则等价于关于的方程有两个不相等的实数根，
只需证明，
不妨令，由得，
要证，只需证明，
即证，
即证，即证，
令，则，只需证明，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
综上所述，原不等式成立．
一、单选题
1．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（ ）．
A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点
【解题思路】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否.
【解答过程】，
作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为，
在处的导数都等于，
在上，,单调递增，
在上，单调递减，
因此函数有三个极大值点，有两个极小值点.
故选：B.
2．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意得在上恒成立，即，然后构造函数，利用可得在上单调递增，从而可得，则可求出的取值范围，进而可求得的最大值.
【解答过程】依题意可知，在上恒成立，所以，
设，，所以（），
所以在上单调递增，，
故，即的最大值为．
故选：C．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在上有两个变号零点，再进行参数的讨论即可.
【解答过程】由题意得．
因为函数在上恰有两个极值点，则在上有两个变号零点．
当时，在上恒成立，不符合题意．
当时，令，则，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
又，，
所以，则，即实数的取值范围是.
故选：D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】写出圆柱的体积解析式，构造函数，利用导数求出圆柱体的最大体积
【解答过程】设圆锥的底面半径为，高为，圆柱的底面半径为，高为，
则，所以，
所以.
设，则.
令，得或（舍去），
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以的最大值为，
所以的最大值为.
故选：C.
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【解题思路】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果.
【解答过程】因为，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，
故选：B．
6．（2024·福建泉州·一模）已知，是函数两个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出函数导数，解方程得出极值点，计算可判断选项.
【解答过程】，令，解得，
所以，故AB不正确；
，故C正确D错误.
故选：C.
7．（2024·广东深圳·二模）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【解题思路】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果.
【解答过程】由题意可得，即，
所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故选：B.
8．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A．有且只有一个极值点 B．在上单调逆增
C．存在实数，使得 D．有最小值
【解题思路】由条件可得函数可以看作为函数与函数的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果.
【解答过程】由得，令，
则函数可以看作为函数与函数的复合函数，
因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致，
，
由得，列表如下：
0
由表知，在上单调递减，在上单调递增，
在时，取得极小值（最小值），
所以在上单调递增，即B正确；
在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·重庆·三模）若函数既有极小值又有极大值，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，求得，转化为在上有两个不同的实数根，根据二次函数的性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.
【解答过程】由函数，可得，
因为既有极小值又有极大值，
可得方程在上有两个不同的实数根，
则满足，可得，所以，，，
例如：时，满足上式，此时不成立．
故选：ABC.
10．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．的最小值为
C．方程的解有2个 D．导函数的极值点为
【解题思路】利用导数判断单调性，求解最值判断A，B，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C，对构造函数再次求导，判断极值点即可.
【解答过程】易知，可得，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，故A，B正确，
若讨论方程的解，即讨论的零点，
易知，，故，
故由零点存在性定理得到存在作为的一个零点，
而当时，，显然在内无零点，
故只有一个零点，即只有一个解，故C错误，
令，故，
令，解得，而，，
故是的变号零点，即是的极值点，
故得导函数的极值点为，故D正确.
故选：ABD.
11．（2024·黑龙江·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象在点处的切线在y轴上的截距为
B．在上为增函数
C．在上的最大值为
D．若在内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为
【解题思路】对于A：当时，，求导，结合导数的几何意义求切线方程，即可得结果；对于B：当时，，求导，利用导数判断原函数的单调性即可；对于C：可知为偶函数，根据对称性结合选项B中的对称性分析判断；对于D：根据偶函数的对称性可知在内恰有5个极值点，结合选项A分析极值点分布即可.
【解答过程】对于选项A：当时，，则，
可得，，
则函数的图象在点处的切线方程为，
所以切线在y轴上的截距为，故A正确；
对于选项B：当时，，
则，
因为时，则，可知，则；
当时，则，可知，则；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于选项C：由选项B可知：在的最大值为，
因为的定义域为，且，
可知函数为偶函数，
所以在上的最大值为，故C正确；
对于选项D：若在内恰有11个极值点，
由选项C可知：为定义在上的偶函数，
可知为的极值点，则在内恰有5个极值点，
由选项A可知：当时，，
令得，且的零点均为变号零点，
可知：的极值点即为的零点，
令，解得，
即在内的极值点为，
由题意可得：，即，
所以实数m的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
【解题思路】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围.
【解答过程】因为，所以，
令得，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，有极小值，
因为函数在上存在最小值，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
13．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上无极值点，则的取值范围为 .
【解题思路】由题意可得在内单调，而当时，，所以在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最小值即可.
【解答过程】由，得，
因为在上无极值点，
所以在内单调，
因为当时，，
所以在恒成立，
即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，
即的取值范围为，
故答案为：.
14．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，则下列命题中正确的有 ①③ ．
①函数有两个极值点；
②若关于x的方程恰有1个解，则；
③函数的图像与直线有且仅有一个交点；
④若，且，则无最值．
【解题思路】对函数的解析式进行化简并画出函数图象，由图可知函数有两个极值点，即①正确；利用函数与方程的思想可得恰有1个解时或，可知②错误；易知和是函数的两条切线，分类讨论参数并通过构造函数证明即可得出的图像与直线有且仅有一个交点，故③正确；分别解出的表达式，代入并构造函数利用导数研究其单调性可得有最小值，即④错误.
【解答过程】由函数可得，
函数的图像如下图所示：
对于①，由图可知，和是函数的两个极值点，故①正确；
对于②，若函数恰有1个零点，即函数与的图像仅有一个交点，可得或，故②不正确；
对于③，因为函数，在点处切线斜率，在点处的切线为，
函数，在处的切线斜率为，在处切线为，如图中虚线所示，
易知当，即时，的图像与直线恰有一个交点；
当，即时，令，得，
令，则，，
由二次函数的图像及零点存在定理可知，方程有且只有一个实数根；
当，即时，令，设，
则（仅当时取等号），
即函数在上单调递增，由于，
设 单调递增，
单调递减，，
，
所以函数有且仅有一个实数根；故③正确；
对于④，由 ，
则，，，则，
设，则，
设，显然在上单调递增，
且，，所以存在，使，
且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以存在最小值，故④不正确；
故选：①③．
四、解答题
15．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在区间上的最大值．
【解题思路】（1）利用导数，分类讨论求区间；
（2）结合（1）得到的函数单调性，分类讨论函数最大值.
【解答过程】（1）的定义域为 ，
求导数，得 ，
若，则，此时在上单调递增，
若，则由得，当时，，在上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
综上，当，的增区间为，无减区间，
若，减区间为，增区间为.
（2）由（1）知，当时，在区间上为增函数，
函数的最大值为，
当时，在区间上为减函数，
函数的最大值为，
当时，在区间上为减函数，在上为增函数，
函数的最大值为，
由，得，
若时，函数的最大值为，
若时，函数的最大值为，
综上，当时，函数的最大值为，
当时，函数的最大值为.
16．（2024·河北石家庄·三模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若函数，求函数极值点的个数．
【解题思路】（1）求导得，分类讨论当，，时分别确定导函数的符合从而得函数单调性即可；
（2）求导得，令，求导确定其单调性与最值，从而可得的单调与极值情况.
【解答过程】（1） ，
当时，当时，单调递增；当时，单调递减．
当时，当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，在单调递增．
（2）时，，
设在区间单调递增．
因为，
所以存在唯一使得，
当时，单调递减，即单调递减；
当时，单调递增，即单调递增．
，且在单调递减，所以，又
因此在区间存在唯一零点
当时，单调递增；
当时，单调递减；所以极值点为，
因此极值点个数为2.
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若的最小值为0，
(1)求的值;
(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.
【解题思路】（1）对函数求导后，分和两种情况讨论求解即可；
（2）令，求导后可得在递减，递增，再结合零点存在性定理得在存在唯一的使得，在存在唯一的零点，从而得是唯一的极大值点.
【解答过程】（1），
当时，，所以在上递减，则没有最小值，
当时，由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得最小值，得成立，
下面证为唯一解，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以，
所以方程有且只有唯一解，
综上，；
（2）证明:由（1）知，
令，
当时，，当时，，
所以在上递减，上递增，
因为，
所以在存在唯一的使得，在存在唯一的零点，
所以当或时，，即，
当时，，即，
所以在上递增，在上递减，在上递增，
即是唯一的极大值点，
，
由，得，
所以，
因为，所以.
18．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在定义域上仅有1个极大值点.
(1)求的取值范围；
(2)若，证明：.
【解题思路】（1）求得，根据题意，得到为的极大值点，得出，利用导数求得函数的单调性，得出，即可求解；
（2）因为，转化为证明，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，得到，得到，进而得到，即可得证.
【解答过程】（1）解：由函数，
可得，
因为函数在定义域上仅有1个极大值点，即有零点为，
所以为的极大值点，
在上，则须，
又由，
所以当时，单调递增，值域为；
当时，单调递减，值域为，
故只须，即，所以的取值范围为.
（2）证明：由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，
要证，只须证，
因为，只须证，即证，
令，
则
令，可得
当时，，为减函数，
当时，可得，则，
即，所以，
则时，为增函数，故，即，
故原不等式得证.
19．（2024·天津河北·二模）已知，函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时.
（ⅰ）求的单调区间和极值；
（ⅱ）设的极大值为，求的最小值；
(3)设，且，求证：.
【解题思路】（1）求导数得，可求得切线方程；
（2）求导数得单调区间，可求得最值，再对求导数，可得最值；
（3）利用分析法和放缩法，可求出结果.
【解答过程】（1）时，
，整理得.
曲线在点处的切线方程为.
（2）（ⅰ）
令，解得
.
，
当变化时，的变化情况如下表：
0
↗ 极大值 ↘
函数单调递增区间是，单调递减区间是
有极大值，没有极小值；
的极大值
（ⅱ） 设，
，
令，解得.
，
当变化时，的变化情况如下表：
0
↘ 极小值 ↗
而
的最小值为.
（3）当时，要证
两边同时取对数，即证，
即证，两边同时乘以，
即证，
而，
由（2）可知，
令，则，代入上式，得
，
，
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题3.3 导数与函数的极值、最值【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 根据函数图象判断极值】 2
【题型2 求已知函数的极值】 3
【题型3 根据极值（点）求参数】 4
【题型4 求不含参函数的最值】 4
【题型5 求含参函数的最值】 5
【题型6 已知函数最值求参数】 6
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】 6
1、导数与函数的极值、最值
考点要求 真题统计 考情分析
(1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件
(2)会用导数求函数的极大值、极小值 (3)掌握利用导数研究函数最值的方法 (4)会用导数研究生活中的最优化问题 2022年新课标I卷：第10题，5分 2023年新课标I卷：第11题，5分 2023年新课标Ⅱ卷：第11题，5分 2024年新课标I卷：第10题，6分 2024年新课标Ⅱ卷：第11题，6分、第16题，15分 导数与函数是高中数学的核心内容，高考对最值、极值的考查相对稳定，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，高考中常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进行考查时试题难度较大，复习时需要加强练习.
【知识点1 函数的极值问题的求解思路】
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列
方程组，利用待定系数法求解.
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
【知识点2 函数的最值问题的解题策略】
1．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
2．求含有参数的函数的最值的解题策略：
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
【方法技巧与总结】
1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值
就是最值.
2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【题型1 根据函数图象判断极值】
【例1】（2024·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·四川广安·二模）已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（23-24高二下·四川广元·阶段练习）如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值 B．在上是增函数
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的图像如图，则m，n的值可能是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【题型2 求已知函数的极值】
【例2】（2024·浙江·模拟预测）函数的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·宁夏银川·一模）若函数在处取得极大值，则的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的导函数，，则（ ）
A．的极大值为，无极小值
B．的极小值为，无极大值
C．的极大值为，无极小值
D．的极小值为，无极大值
【变式2-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（ ）
A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点
C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点
【题型3 根据极值（点）求参数】
【例3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数在处有极值，则等于（ ）
A． B．16 C．或16 D．16或18
【变式3-2】（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求不含参函数的最值】
【例4】（2024·陕西西安·二模）函数在上的最大值和最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·宁夏固原·一模）函数在区间上的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·甘肃兰州·二模）若关于x的不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·云南·模拟预测）已知函数，且在区间上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．-1
【题型5 求含参函数的最值】
【例5】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.
【变式5-1】（2024·山西吕梁·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间和极值；
(2)求在区间上的最大值.
【变式5-2】（2024·重庆·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若，设曲线与轴正半轴的交点为，该曲线在点处的切线方程为，求证：
【变式5-3】（2024·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论在上的最大值；
(3)是否存在实数a，使得对任意，都有？若存在，求a可取的值组成的集合；若不存在，说明理由．
【题型6 已知函数最值求参数】
【例6】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【变式6-1】（2023·四川宜宾·三模）若函数的最小值是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·甘肃金昌·模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 函数单调性、极值与最值的综合应用】
【例7】（2024·四川成都·二模）已知函数的导函数为．
(1)当时，求的最小值；
(2)若存在两个极值点，求a的取值范围．
【变式7-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若恰有两个极值点，求实数的取值范围．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)当时，求的极值点；
(2)当时，设，且，记的最大值为，试求的取值范围.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性．
(2)若有两个极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：．
一、单选题
1．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（ ）．
A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点
C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点
2．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数在上恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为的圆锥切割成一个圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
6．（2024·福建泉州·一模）已知，是函数两个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东深圳·二模）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（ ）
A．有且只有一个极值点 B．在上单调逆增
C．存在实数，使得 D．有最小值
二、多选题
9．（2024·重庆·三模）若函数既有极小值又有极大值，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·浙江杭州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．的最小值为
C．方程的解有2个 D．导函数的极值点为
11．（2024·黑龙江·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象在点处的切线在y轴上的截距为
B．在上为增函数
C．在上的最大值为
D．若在内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为
三、填空题
12．（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
13．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上无极值点，则的取值范围为 .
14．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知函数，则下列命题中正确的有 ．
①函数有两个极值点；
②若关于x的方程恰有1个解，则；
③函数的图像与直线有且仅有一个交点；
④若，且，则无最值．
四、解答题
15．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在区间上的最大值．
16．（2024·河北石家庄·三模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若函数，求函数极值点的个数．
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，若的最小值为0，
(1)求的值;
(2)若，证明:存在唯一的极大值点，且.
18．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数在定义域上仅有1个极大值点.
(1)求的取值范围；
(2)若，证明：.
19．（2024·天津河北·二模）已知，函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时.
（ⅰ）求的单调区间和极值；
（ⅱ）设的极大值为，求的最小值；
(3)设，且，求证：.
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