专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】 2
【题型2 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 4
【题型3 图象与性质的综合应用】 8
【题型4 函数的零点（方程的根）问题】 12
【题型5 三角函数模型】 15
【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 19
1、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考点要求 真题统计 考情分析
(1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
(2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 2023年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第10题，5分 函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容，从近几年的高考情况来看，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及由部分图象求函数的解析式是高考考察的主要方向，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不高.
【知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
【知识点2 由部分图象确定函数解析式的解题方法】
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【知识点3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略】
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
【题型1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】
【例1】（2024·河北保定·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由正弦型函数的图象变换直接求得答案.
【解答过程】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数.
故选：C.
【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】结合正弦函数图象的平移先求出的解析式，然后结合正弦函数的单调性即可求解．
【解答过程】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数，
令，，
则，，
若函数在区间和上均单调递增，
则，解得．
故选：A．
【变式1-2】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴
【解题思路】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D.
【解答过程】对于选项A，由题意，可得，
故A错误；
对于选项B，令，，
所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为，所以，故，
在上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数的对称轴方程为，
化简可得，取，可得，
所以是图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.
【变式1-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，先将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象．若函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角函数的图象变换，得到，由的图象关于y轴对称，求得，得到，进而求得的值，得到答案.
【解答过程】先将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象，
因为函数的图象关于y轴对称，所以，即，
又因为，所以，所以，
所以．
故选：C．
【题型2 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】
【例2】（2024·山西晋中·模拟预测）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
【解题思路】由图得到，，代入周期公式求出，再代入点，结合已知范围求出，可判断AB错误；由图象平移变换和三角函数的诱导公式得到C正确，D错误.
【解答过程】对于A、B选项：由图可得，，
因为，
所以，
因为图象过点，所以，
又，所以，
所以，故A、B错误；
对于C、D选项：的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是，
所以为偶函数，故D错误，C正确；
故选：C.
【变式2-1】（2024·重庆·三模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先由图像以及题意求出的解析式，从而得，，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.
【解答过程】由图可知，由可知，
故，又由图，
故由图，①，
由图，②，
又，结合①②可得，故，
所以.
故 .
故选：D.
【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A． B．
C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心
【解题思路】根据周期性求出，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据余弦函数的性质判断即可.
【解答过程】依题意，又，所以，解得，
所以，
又函数过点，所以，所以，
又，所以，
所以，故A、B错误；
又，所以不是的对称轴，故C错误；
，所以是图象的一个对称中心，故D正确.
故选：D.
【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由图象可得最小正周期，可求，，点的坐标代入函数的解析式，可求解析式，进而利用图象变换可求函数的解析式.
【解答过程】由图像可得，函数的最小正周期为，
所以，将点的坐标代入函数的解析式，
且函数在附近递增，所以.
则，
得.因为，所以当时，，
因此.
函数的图象向右平移个单位长度，然后横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的解析式为.
故选：B.
【题型3 图象与性质的综合应用】
【例3】（2024·重庆·三模）如图，函数的图像与轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C． D．为偶函数
【解题思路】利用三角函数的图象与性质先含参表示的坐标，由线段关系求解参数得，再判定选项即可.
【解答过程】由题可，则，
有，
，
把代入上式，得，解得(负值舍去)，
，由，解得，
解得，
显然其周期为，故A错误；
当时，，，故B错误；
，故C正确；
，显然是奇函数，故D错误.
故选：C.
【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由的图象，棱台三角函数的性质求得，进而得到，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【解答过程】由函数的图象，可得，解得，所以，
所以，又由，即，
可得，即，
因为，所以，所以，
所以，令，
解得，
所以函数的单调增区间是.
故选：C.
【变式3-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数的解析式可以为；
③函数在上的值域为；
④若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【解题思路】由图可得，由函数的周期求出，再根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一分析即可.
【解答过程】由图可得，，所以，又，解得，
所以，又函数过点，
所以，即，
解得，又，所以，
所以，
对于①，因为，
所以函数的图象不关于点对称，故①错误；
对于②，因为，
故函数的解析式可以为，即②正确；
对于③，当时，所以，
则，即函数在上的值域为，故③正确；
对于④，把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，
再将向右平移个单位得到，故④错误.
故选：B.
【变式3-3】（2024·辽宁·三模）已知函数，图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的振幅是，初相是
B．若函数的图象上的所有点向左平移后，对应函数为奇函数，则
C．若函数在上单调递减，则的取值范围为
D．若函数的图象关于中心对称，则函数的最小正周期的最小值为
【解题思路】根据函数图象得到，由求出，即可得到，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【解答过程】由图可知，且，即，
又，所以，所以，
故函数的振幅是，初相是，故A错误；
将的图象上的所有点向左平移得到，
依题意，解得，故B错误；
若函数在上单调递减，则，即，则，解得，
又，所以，
又，所以，解得，
即函数在上单调递减，则的取值范围为，故C正确；
若函数的图象关于中心对称，则，
解得，
又，所以，又函数的最小正周期，显然没有最小值，故D错误.
故选：C.
【题型4 函数的零点（方程的根）问题】
【例4】（2024·山西晋城·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角函数图象的平移变换可得，由在上有2个零点得，解之即可求解.
【解答过程】将函数的图象向右平移个单位长度，
得的图象， 由，得，
又在上有2个零点，所以，
解得，即实数的取值范围为.
故选：C.
【变式4-1】（2024·山西长治·一模）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再分析在上的图象性质即可得解.
【解答过程】观察图象知，，函数的周期，，
由，得，而，则，
于是，当时，，
当，即，函数单调递减，函数值从减小到，
当，即时，函数单调递增，函数值从增大到，
显然函数的上的图象关于直线对称，
方程在上有两个不相等的实数根，即直线与函数在上的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
【变式4-2】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用三角函数图象的变换得出，再根据二次函数的性质得出在上有3个零点，法一、利用整体思想及正弦函数的性质得其零点为，根据定义域取值计算即可；法二、利用整体思想得，解不等式即可.
【解答过程】将函数的图像向左平移个单位长度，
得到函数，再将函数的横坐标变为原来的倍，
纵坐标不变，得到函数，
所以，因为当时，有2个零点，
所以要使在上有5个零点，则需在上有3个零点.
法一：令，则，
解得，当时，分别对应3个零点，
则，解得.故选A.
法二：因为，所以，
所以，则.
故选:A.
【变式4-3】（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．函数在的零点为，则
【解题思路】由题意可得函数的图象在区间上的对称轴为，再结合可求出，即可判断A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断B，再根据正弦函数的图象和性质分别判断CD 即可.
【解答过程】对于A，由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为，
则与关于对称，
又，结合图象可得，
所以，又，所以，
所以，故A正确；
对于B，右移个单位得到函数的图象，
再将其横坐标缩短为原来的得到的图象，故B正确；
对于C，由，得，
所以在上不单调，故C错误；
对于D，令，则，
函数在上有个零点，
则，，，，，
故，
所以，故D正确；
故选：C．
【题型5 三角函数模型】
【例5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【解题思路】以轴心为坐标原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数，令时，即可求解.
【解答过程】设座舱距离地面的最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设函数表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要，
周期，，所以，
即，
当时，游客在点，其中以为终边的角为，
所以，
当时，可得
所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为.
故选：A.
【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．质点在内的位移图象为单调递减
D．质点在内走过的路程为
【解题思路】根据正弦函数周期求判断A，根据特殊点求解判断B，根据正弦函数的单调性判断C，根据正弦函数值域判断D.
【解答过程】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A错误；
令，所以，又，所以，
因为，所以或.
又，所以，所以.故B错误；
由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，，
且在内单调递减，因为，
所以在上单调递减，故C正确；
由图象得该质点在内的路程为，故D错误.
故选：C.
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）随着电力的发展与石油的消耗，风力发电越来越受到重视.预计到2025年全球风电新增装机量达到111.2GW，中国的装机量占比达到世界第一.已知风速稳定时风力发电机叶片围绕转轴中心做匀速圆周运动，现有两个风力发电机，和分别为两个风力发电机叶片边缘一点，和到各自转轴中心距离均为20米，初始时刻处于所在的发电机转轴中心正上方，处于所在的发电机转轴中心正下方，且和围绕各自发电机转轴中心做匀速圆周运动.由于两个发电机所处位置风速不同，点转速为，点转速为，以时间（单位：秒）为自变量，和与各自发电机转轴中心高度差为应变量，分别得三角函数与，下列哪种方式可以使变为（ ）
A．将图象上所有点向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的倍
B．将图象上所有点向左平移个单位长度，再将横坐标缩小到原来的倍
C．将图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，再向右平移个单位长度
【解题思路】根据题意，分别列出函数与的解析式，再利用三角函数图象的变换即可求解.
【解答过程】由题意可知：三角函数与的角速度分别为，，
又因为初始时刻处于所在的发电机转轴中心正上方，处于所在的发电机转轴中心正下方，所以，，
由三角函数的变换可知：纵坐标不变，横坐标缩短缩小到原来的倍得到，再向右平移个单位长度可得到，
故选项正确；
故选：.
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【解题思路】根据题意列出计算式，再用两角和差公式计算即可.
【解答过程】由题意，，
可得，或（舍去）．
所以，
所以再经过分钟，可得，所以盛水筒在水面上．
在判断时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故选：B．
【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
【例6】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
【解题思路】（1）利用两角和差的正余弦公式与辅助角公式化简可得，再根据周期的公式与余弦函数的对称轴公式求解即可；
（2）根据三角函数图形变换的性质可得，再根据余弦函数的单调区间求解即可.
【解答过程】（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
【变式6-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案；
（2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答.
【解答过程】（1）因为，
当时，可得，
当，即时，取得最小值，
因为时，恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
（2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：，
再将其向右平移，可得：，
即函数，
因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是，
再由函数有且仅有4个零点，则满足，
解得，所以实数的取值范围.
【变式6-2】（2024·山西临汾·三模）已知函数的图象可由函数的图象平移得到，且关于直线对称．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间．
【解题思路】（1）根据题意求出振幅和周期，再由正显函数的对称轴解出，进而得到，再代入解出即可；
（2）先由图象平移得到，法一换元法整体代入求增区间；法二由正弦函数的递增区间结合条件中范围求出即可.
【解答过程】（1）依题知函数与函数有相同的振幅和周期，所以，
因为函数的图象关于直线轴对称，
所以，
即，
又因为，所以，
所以，
．
（2）
，
法一：因为，所以，
因为在单调递增，
故的单调递增区间为和．
法二：
由，
得，
又因为
所以的单调递增区间为和．
【变式6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据最小正周期求出，若选①，则根据三角函数的图象平移变换求得，可得解析式；若选②，则根据三角函数的对称性求得，即得解析式；
（2）根据三角函数的伸缩变换可得，结合x的取值范围，确定，结合函数的零点个数即可求得t的取值范围.
【解答过程】（1）由题意可得
，
，
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，故,
故.
若选①，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意知该函数为偶函数，故，
由于且，即，故，
故；
若选②，函数的图象的一个对称中心为且，
则，
由于且，即，故，
故；
（2）由题意可得，
由于在区间上恰有3个零点，故，
即.
一、单选题
1．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
【解题思路】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论．
【解答过程】，
由诱导公式可知：
又
则，即只需把图象向右平移个单位.
故选：A.
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.
【解答过程】函数向左平移个单位后为，
当时，，
∵单调递增，
所以，即，
可得，
又，∴.
故选：B.
3．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
【解题思路】A选项，根据M、N关于点C对称得到点横坐标，从而得到最小正周期；B选项，根据的图象关于点对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出，将代入解析式求出，，从而利用整体法判断出在不单调；D选项，求出，得到其奇偶性.
【解答过程】A选项，点M、N关于点C对称，故，
设的最小正周期为，则，故，A正确；
B选项，可以看出函数的图象关于点对称，
又的最小正周期，
故函数的图象关于点对称，B正确；
C选项，又，故，
，故将代入解析式得，
解得，
又，故当且仅当时，满足要求，故，
又当时，，故，
则，
当时，，
由于在上不单调，
故在上不单调，C错误；
D选项，，定义域为R，
又，为奇函数，D正确.
故选：C.
4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
【解题思路】根据三角恒等式对已知函数进行化简得，根据周期公式即可求解A，根据整体法，结合正弦函数的单调性即可求解B，代入验证即可求解C，利用函数图象的平移变换即可求解D.
【解答过程】
，所以函数的最小正周期是，故A错误；
当时，，
又在上单调递减，所以函数在区间上是减函数，故B正确；
因为，所以函数的图象不关于点对称，故C错误；
将的图象向右平移个单位得到，再将向下平移1个单位得到，故D错误．
故选：B．
5．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数的解析式可以为；
③函数在上的值域为；
④若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【解题思路】根据图象求出函数表达式，对于①，由代入检验法判断；对于②，由诱导公式检验；对于③，由整体代入法求值域检验；对于④，由平移、伸缩变换法则验算即可判断.
【解答过程】由图可知，所以，
且，所以，
又因为，所以只能，
所以，
对于①，，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，当时，，此时的取值范围是，
从而函数在上的值域为，故③正确；
对于④，若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，
则所得函数是，故④错误；
综上，正确的编号是②③.
故选：B.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据图象的变换求出，再结合三角函数性质求解即可.
【解答过程】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，即
因为，所以，
因为在上无零点，所以，
即，解得，
因为，所以，.
故选：A.
7．（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先代入，求出，从而，再代入，求出点N的纵坐标.
【解答过程】由题意得，即，
所以，
因为，所以，
故，解得，
所以，
将代入得，，
故，
所以点N的纵坐标为.
故选：D.
8．（2024·四川南充·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ）
A．的最小正周期为 B．函数的最大值为1
C．在上单调递减 D．方程在上有5个实数根
【解题思路】A选项，根据图象的平移变换得到，然后根据是的一个递增区间得到，根据最小正周期的公式计算即可；B选项，利用和差公式和辅助角公式化简得到，即可得到最大值；C选项，根据复合函数判断单调性的方法判断；D选项，将的实数根个数转化为函数与的图象交点个数，然后结合图象判断.
【解答过程】由题意得，
因为是的一个递增区间，所以，解得，
因为，所以，，故A错；
，
所以函数的最大值为，故B错；
则，因为在上单调递增，
所以在上单调递增，故C错；
的图象如上，由与的图象交点可知，在上有5个实数根，故D正确.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·新疆喀什·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【解题思路】A由降幂公式，辅助角公式可得答案；
B由周期计算公式可得答案；
C将代入由A选项所得化简式中可得答案；
D由函数图象平移知识可得答案．
【解答过程】Ａ选项，，故A正确；
B选项，由A选项结合周期计算公式可知最小正周期为，故B错误；
C选项，将代入，在此时得最大值，故是函数图象的一条对称轴，故C正确；
D选项，的图象向右平移个单位得，故D正确．
故选：ACD.
10．（2024·广西柳州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）．
A．的一个对称中心
B．的对称轴方程为
C．在上的值域为
D．的单调递减区间为
【解题思路】由题图可得，根据三角恒等变换可得，再由余弦函数的对称性、单调性、值域逐项判断即可．
【解答过程】由题图可得，，解得．
又，
可得，解得．
因为，所以，所以．
所以
．
对于A，当，，
所以不是的一个对称中心，故A错误；
对于B，令，可得，
故的对称轴方程为，故B正确；
对于C，时，，所以，
故在上的值域为，故C正确；
对于D，令，解得，
所以的单调递减区间为，故D正确．
故选：BCD．
11．（2024·广西南宁·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）
A．关于的函数是偶函数
B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
【解题思路】
对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长.
【解答过程】
对A，由题意，，
所以，当时，可得，所以，
故，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对B，由题意，即，
即，所以，或，
，即或，，故B正确；
对C，由题意，即，即，
所以，，解得.
所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；
对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，
故（m）.故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2024·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则 ．
【解题思路】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出，最后通过代入最高点坐标去求即可.
【解答过程】
由题知：，，，即，
又，，故，即．
故答案为：.
13．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 3 .
【解题思路】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案.
【解答过程】由题意得，又，故，
且，解得，
故，
当时，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案为：3.
14．（2024·四川南充·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则方程在上实数根的个数为 5 .
【解题思路】根据三角函数图象变换规律求出，再由是的一个单调递增区间，可求出的值，从而可求出的解析式，再由得，然后由求解即可.
【解答过程】因为将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
所以，
所以的最小正周期为，
所以是的半个周期，
因为是的一个单调递增区间，所以，
所以，得，
因为，所以，
所以，
当时，，
由，得
，或，或，或，或，
所以方程在上实数根的个数为5，
故答案为：5.
四、解答题
15．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数.
(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
0
1
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
【解题思路】（1）由表格中所给数据计算得到其他对应数据完善表格；由五点作图法绘出函数在上的图象；
（2）函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，由图象的平移变换得到的解析式，进而得到三角不等式，由正弦函数的图象和性质解得答案.
【解答过程】（1）表格如下：
0
0
0 1 0
函数在上的图象如下：
（2）将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，
则，
所以，即，
则，
得，
所以不等式的解集为.
16．（2024·甘肃·一模）如图，角的始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为到直线的距离为.若将关于角的函数关系记为.
(1)求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在的单调递增区间.
【解题思路】
（1）根据条件得到直线的方程，利于点到直线的距离公式进行计算即可;
（2）根据函数图象的变换规则得到函数解析式后，整体代入法求解单调区间即可.
【解答过程】（1）可知，
又直线的方程为，
故根据点到直线距离公式，
即.
（2）可知，
由，
得，
所以当时，函数的单调增区间为和.
17．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数 的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
【解题思路】（1）由周期求出，根据求出；
（2）首先求出的解析式，函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数，由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的图象即可得解.
【解答过程】（1）根据题意得，，故，，故．
将代入，得，解得，
又，故．
（2）依题意，．
函数在区间的零点个数即为函数的图象与直线在上的交点个数．
当时，，结合余弦函数图象可知，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且，，，
作出函数在上的大致图象如图所示．
观察可知，当或时，有个零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点．
18．（2024·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的值；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值.
条件①：函数是奇函数；
条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【解题思路】（1）根据题意可得，即可得的值；
（2）若选条件①：根据题意结合三角函数的奇偶性可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；若选条件②：根据题意结合图象变换可得，以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；若选条件③：根据题意代入，结合正弦函数值的符号分析判断.
【解答过程】（1）设的最小正周期为，
由题意可得：，即，
且，所以.
（2）由（1）可知：，
若选条件①：函数是奇函数，
且，则，
可得，解得，则，
又因为，则，
可知：当，即时，取到最小值；
当，即时，取到最大值；
若选条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到，
且，则，
可得，解得，则，
又因为，则，
可知：当，即时，取到最小值；
当，即时，取到最大值；
若选条件③：因为，即，
且，则，
可知，即，不合题意，舍去.
19．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且．
(1)若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
(2)在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值．
【解题思路】（1）根据弧长公式以及直角三角形的边角关系即可求解，
（2）根据锐角三角函数可得， ，即可利用面积公式，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值.
【解答过程】（1）因为，，，
所以，，
则，，的长为，
所以广告带的总长度为（米）．
（2）如图，连接．设．
因为，所以，，
因为，所以，所以，
所以
，
因为，当，即时取得最大值．
所以，
所以促销展示区的面积的最大值为平方米．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】 2
【题型2 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 3
【题型3 图象与性质的综合应用】 5
【题型4 函数的零点（方程的根）问题】 6
【题型5 三角函数模型】 7
【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 9
1、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考点要求 真题统计 考情分析
(1)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω,φ,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
(2)会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 2023年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第10题，5分 函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重要内容，也是高考的热点内容，从近几年的高考情况来看，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及由部分图象求函数的解析式是高考考察的主要方向，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，难度不高.
【知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
【知识点2 由部分图象确定函数解析式的解题方法】
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【知识点3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略】
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
【题型1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换】
【例1】（2024·河北保定·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·山东泰安·模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴
【变式1-3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，先将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象．若函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】
【例2】（2024·山西晋中·模拟预测）函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数
D．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
【变式2-1】（2024·重庆·三模）已知函数的部分图像如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（ ）
A． B．
C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心
【变式2-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 图象与性质的综合应用】
【例3】（2024·重庆·三模）如图，函数的图像与轴的其中两个交点分别为A，B，与y轴交于点C，D为线段的中点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C． D．为偶函数
【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则在下列区间上函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数的解析式可以为；
③函数在上的值域为；
④若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是.
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【变式3-3】（2024·辽宁·三模）已知函数，图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的振幅是，初相是
B．若函数的图象上的所有点向左平移后，对应函数为奇函数，则
C．若函数在上单调递减，则的取值范围为
D．若函数的图象关于中心对称，则函数的最小正周期的最小值为
【题型4 函数的零点（方程的根）问题】
【例4】（2024·山西晋城·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·山西长治·一模）已知函数的部分图象如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·天津红桥·一模）将函数的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移单位，得到函数的部分图象（如图所示）．对于，，且，若，都有成立，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．函数在的零点为，则
【题型5 三角函数模型】
【例5】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【变式5-1】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．质点在内的位移图象为单调递减
D．质点在内走过的路程为
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）随着电力的发展与石油的消耗，风力发电越来越受到重视.预计到2025年全球风电新增装机量达到111.2GW，中国的装机量占比达到世界第一.已知风速稳定时风力发电机叶片围绕转轴中心做匀速圆周运动，现有两个风力发电机，和分别为两个风力发电机叶片边缘一点，和到各自转轴中心距离均为20米，初始时刻处于所在的发电机转轴中心正上方，处于所在的发电机转轴中心正下方，且和围绕各自发电机转轴中心做匀速圆周运动.由于两个发电机所处位置风速不同，点转速为，点转速为，以时间（单位：秒）为自变量，和与各自发电机转轴中心高度差为应变量，分别得三角函数与，下列哪种方式可以使变为（ ）
A．将图象上所有点向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的倍
B．将图象上所有点向左平移个单位长度，再将横坐标缩小到原来的倍
C．将图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位长度
D．将图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，再向右平移个单位长度
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【题型6 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
【例6】（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
【变式6-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围.
【变式6-2】（2024·山西临汾·三模）已知函数的图象可由函数的图象平移得到，且关于直线对称．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递增区间．
【变式6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且；②函数的图象的一个对称中心为且.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围.
一、单选题
1．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数
4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，给出的下列四个选项中，正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是减函数
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到
5．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数的图象关于点成中心对称；
②函数的解析式可以为；
③函数在上的值域为；
④若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川南充·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ）
A．的最小正周期为 B．函数的最大值为1
C．在上单调递减 D．方程在上有5个实数根
二、多选题
9．（2024·新疆喀什·三模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最小正周期为
C．是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
10．（2024·广西柳州·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）．
A．的一个对称中心
B．的对称轴方程为
C．在上的值域为
D．的单调递减区间为
11．（2024·广西南宁·一模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）
A．关于的函数是偶函数
B．若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C．摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D．若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
三、填空题
12．（2024·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则 ．
13．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
14．（2024·四川南充·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则方程在上实数根的个数为 .
四、解答题
15．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数.
(1)完善下面的表格并作出函数在上的图象：
0
1
(2)将函数的图象向右平个单位后再向上平移1个单位得到的图象，解不等式.
16．（2024·甘肃·一模）如图，角的始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为到直线的距离为.若将关于角的函数关系记为.
(1)求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在的单调递增区间.
17．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图为函数 的部分图象，且，．
(1)求，的值；
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，讨论函数在区间的零点个数．
18．（2024·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的值；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值.
条件①：函数是奇函数；
条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且．
(1)若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
(2)在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值．
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