专题4.6 解三角形【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】 4
【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】 6
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 7
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】 9
【题型5 和三角形面积有关的问题】 13
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 17
【题型7 距离、高度、角度测量问题】 20
【题型8 求解平面几何问题】 23
【题型9 三角函数与解三角形的交汇问题】 27
1、三角恒等变换
考点要求 真题统计 考情分析
(1)掌握正弦定理、余弦定理及其变形
(2)理解三角形的面积公式并能应用
(3)能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题 (4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 2022年新高考全国I卷、Ⅱ卷：第18题，12分 2023年新课标I卷、Ⅱ卷：第17题，10分 2024年新课标I卷、Ⅱ卷：第15题，13分 2024年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第11题，5分 解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活求解.
【知识点1 解三角形几类问题的解题策略】
1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0角形内角和等于”等，此时需进行讨论.
4．与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【知识点2 测量问题的基本类型和解决思路】
1．测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得
B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得
C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.
2．测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部
可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.
点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.
3．测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【知识点3 解三角形的应用的解题策略】
1．平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
2．解三角形与三角函数的综合应用
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【方法技巧与总结】
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sinC；
(2)cos(A+B)=-cosC；
(3)；
(4).
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.
3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
.
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】
【例1】（2024·浙江绍兴·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】本题先根据诱导公式对条件式进行化简，再用余弦定理进行边角互化，即可得出答案.
【解答过程】因为，所以，
即，
如图，过B点作于D，可知，
，
所以，
所以，又，所以.
故选：D.
【变式1-1】（2024·河南郑州·三模）的内角所对的边分别为．若，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【解题思路】直接由余弦定理的变形式解出即可.
【解答过程】在中，由余弦定理可得：，
化简得：，解得：或（舍）.
故选：A.
【变式1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】运用正弦定理进行边角互化，结合诱导公式以及两角和的正弦公式即可解决.
【解答过程】因为，
由正弦定理，
因为，
展开化简，
又.
故选:B.
【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【解题思路】利用正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，结合余弦定理计算即可求解.
【解答过程】，
由正弦定理得，
又，所以，
即，
得，即，
又，所以，而，
由余弦定理得.
故选：A.
【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】
【例2】（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解题思路】由正弦定理和得到，，求出，得到答案.
【解答过程】，
即，故，
，
因为，所以，故，
因为，所以，
故为等腰直角三角形.
故选：D.
【变式2-1】（23-24高一下·广东广州·期中）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.
【解答过程】在中，由及正弦定理得，而，
整理得，即，而，
则，因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故选：C.
【变式2-2】（2024·山东·二模）在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解题思路】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【解答过程】在中，由正弦定理及，得，
即，整理得，
由正弦定理得，则或，即或，
因此甲：或，显然甲不能推乙；
乙：是直角三角形，当角或是直角时，乙不能推甲，
所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
故选：D.
【变式2-3】（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解题思路】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状．
【解答过程】由正弦定理，余弦定理及得，
，即，
则，即
或为等腰三角形或直角三角形．
故选：D.
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】
【例3】（2024·福建·模拟预测）在中，已知，，若有两解，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正弦定理及图形关系得到即可得到答案.
【解答过程】
如上图所示，要使有两解，则以为圆心，为半径的圆与射线有两个交点，
有两解的充要条件为，代入题设得.
故选：C.
【变式3-1】（2023·贵州·模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案.
【解答过程】由正弦定理可得，.
要使有两解，即有两解，则应有，且，
所以，
所以.
故选：B．
【变式3-2】（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用正弦定理推出，根据三角形有两解，确定角A的范围，从而结合的取值范围求得答案.
【解答过程】由正弦定理得，所以,
因为该三角形有两解，故,
故，即，
故选：B.
【变式3-3】（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由正弦定理可得，分析可知关于A的方程：在有两解，结合正弦函数图象分析求解.
【解答过程】由正弦定理可得，
由题意可知：关于A的方程：在有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，
因为它们有两个不同的交点，所以，所以.
故选：C.
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】
【例4】（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【解题思路】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证；
（2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证.
【解答过程】（1）如图．在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以，
所以．
（2）因为，
所，所以．
由可知，均为锐角．
由（1）知，．
设，则，．
由，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以．
【变式4-1】（2024·北京西城·二模）在中，.
(1)求的大小；
(2)若，证明：.
【解题思路】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tanB即可求出B；
(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．
【解答过程】（1）在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，∴．
由余弦定理得①，
∵，∴②，
将②代入①，得，
整理得，∴．
【变式4-2】（2024·广东·二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
【解题思路】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；
（2）由题意求得，继而求得，在 中利用余弦定理求得，即可求得答案.
【解答过程】（1）证明：
在△ABP中，由正弦定理得，
即，
要证明，只需证明，
在△ABP中，，
在△ABC中，，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，又因为，，
所以，
由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，
则，
所以在△PBC中，，
由正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理得，
由题意知，
故解得，
所以．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在中，，且，，均为整数．
(1) 求的大小；
(2) 设的中点为，求证：．
【解题思路】(1) 从角入手，根据条件确定，结合为整数，通过假设法，得到的值，也就确定了角大小.
(2) 首先利用角和角和的正切展开式，确定角和角满足的等式，再结合，均为整数，确定，的值，最后利用解三角形知识证明即可.
【解答过程】(1) 因为，所以为锐角，则，
若，且在内单调递增，
．
又都大于，与矛盾，
，即．
(2) 证明：．
又，
即．
由均为整数，且，
得，
可得，
则.
设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理，
可得
又的中点为．
在中，由余弦定理，得
，
，即证．
【题型5 和三角形面积有关的问题】
【例5】（2024·西藏·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分线交于点，且，，求的面积．
【解题思路】（1）先应用正弦定理，再结合两角和差公式计算求值即可；
（2）先应用角平分线表示面积求出,最后应用面积公式计算.
【解答过程】（1）由正弦定理及，得，
所以，
整理，得．
因为，所以，即．
因为，所以．
（2）因为为的平分线，所以，
即，
化简，得，
由，得，
所以
．
【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.
(1)当时，求；
(2)当变化时，求四边形面积的最大值.
【解题思路】（1）在中，由余弦定理可得的值；
（2）由余弦定理可得的表达式，进而求出正三角形的面积的表达式，进而求出四边形的面积的表达式，由辅助角公式及的范围，可得四边形面积的范围．
【解答过程】（1）因为，，，
由余弦定理可得：.
（2）由余弦定理可得，
因为为正三角形，所以，
，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
故当时，四边形面积的最大值为.
【变式5-2】（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②，③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
的内角所对的边分别是，已知______．
(1)求角；
(2)若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值．
【解题思路】（1）选①，利用余弦定理求解即得；选②，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得；选③，利用诱导公式及二倍角公式，结合辅助角公式计算即得.
（2）利用三角形面积公式建立方程求解即得.
【解答过程】（1）选①，由及余弦定理，得，
整理得，则，
而，所以.
选②由及正弦定理，得，
，而，则，
即，又，所以．
选③，由，得，即，
于是，即，而，
所以，即.
（2）在中，由点在边上，为的平分线，得，
即，则，
又，联立消去得，
而，解得，所以边长．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求.
(2)求面积的取值范围.
【解题思路】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.
（2）利用正弦定理得，结合为锐角三角形，求得，进而求得，即可求解.
【解答过程】（1）方法一：由余弦定理，得，解得.
又，所以由正弦定理，得.
又为锐角三角形，所以.
方法二：由题意知，.
由正弦定理得，
所以，
所以，即；
又因为，所以，又因为，所以.
（2）由正弦定理，得 ；
因为为锐角三角形，所以，
解得，所以，所以.
因为，所以，所以.
故面积的取值范围为.
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例6】（2024·江西·模拟预测）在中，角，，所对的边分别记为，，，且．
(1)若，求的大小．
(2)若，求的取值范围．
【解题思路】（1）由，得，再利用两角和差的正余弦公式化简，进而可求得的关系，即可得解；
（2）利用正弦定理求出，再根据的关系结合三角函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）因为，所以，
即，
即，
所以，即，
而，所以或，
所以或（舍去），
又因为，所以，
所以；
（2）由（1）得，
因为，
所以，
，
则，
又由，得，
所以，所以，
所以.
【变式6-1】（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
【解题思路】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解；
（2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解.
【解答过程】（1）解：由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，
所以周长为，
因为，可得，
所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的值．
(2)求的取值范围．
【解题思路】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可得结果；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换整理得，结合正弦函数性质分析求解.
【解答过程】（1）设的外接圆半径为．
由正弦定理，得，，．
因为，则，
整理得，
由余弦定理得，即，
又因为，则，可得，所以．
（2）由正弦定理可得，
则
因为是锐角三角形，则，解得，
则，可得，
所以的取值范围是．
【变式6-3】（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
【解题思路】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围.
【解答过程】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，
所以；
（2）锐角中，，，
由正弦定理得：，
故，
则
，
因为锐角中，，
则，，
解得：，
故，，
则，
故，
所以三角形周长的取值范围是.
【题型7 距离、高度、角度测量问题】
【例7】（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
【解题思路】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出来雁塔AB的高度即可.
【解答过程】过点作，交于点，
在直角三角形中，因为，
所以，
在直角三角形中，因为，
所以，
则.
故选：B.
【变式7-1】（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
利用正弦定理在中取得的长，根据正切函数的定，可得答案.
【解答过程】
由题意可知，，，所以，又因，
由正弦定理，可得：，解得，
又因为，所以，
故选:C.
【变式7-2】（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出，在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理，再由，即可求解.
【解答过程】因为，所以，
在中，由正弦定理得，
又，
解得，
在中，由正弦定理得，
解得，
即，
所以.
故选：.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
先在中求得的长度，再在中利用正弦定理求得的长度，进而在中，求得索菲亚教堂的高度.
【解答过程】 ，
由题意知：，所以，
在中， （m），
在中，由正弦定理得 ，
所以 （m），
在中，（m）.
故选：A.
【题型8 求解平面几何问题】
【例8】（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．
(1)求；
(2)证明：．
【解题思路】（1）设，根据面积得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，进而求出，从而求出的值；
（2）在中，由正弦定理得，结合（1）中，由角的范围得到.
【解答过程】（1）设，
因为的面积为，
所以，解得，
所以．
在中，由余弦定理得 ，
所以．
在中，，所以，
所以；
（2）由（1）可得，
在中，由正弦定理得，
所以，且．
由（1）可得，又，
所以．
【变式8-1】（2023·河南信阳·模拟预测）在中，，的面积为，为的中点，于点于点.
(1)求的面积；
(2)若，求的值.
【解题思路】（1）由题意，可得，，作于点，于点，可得，，代入上式得解；
（2）延长到点，使，连接，在中，利用余弦定理可得，在中由正弦定理可求得结果.
【解答过程】（1）在四边形中，，，
故，
故，
作于点，于点，
又为的中点，
则，
，
故.
（2）设的三条边，，分别为，，，
由，知，
延长到点，使，连接，
则，，
则在中，，，
故由与可得，，则，
，则，
由正弦定理得，
则.
【变式8-2】（2024·陕西西安·一模）已知平面四边形的对角线分别为，，其中．
(1)探究：是否为直角三角形；若是．请说明哪个角为直角，若不是，请给出相关理由；
(2)记平面四边形的面积为S，若，且恒有，求实数λ的取值范围．
【解题思路】
（1）先将等式中的正切化为正弦再化简，结合三角形内角和为，将转化为，结合诱导公式以及两角和的正弦化简可得出结果.
（2）由可知四边形为梯形，将梯形的面积公式用表示，根据的范围求出梯形面积的范围，从而求出λ的取值范围.
【解答过程】（1）（1）因为，
则有，
在平面四边形中，，
所以，
在中，，所以
，
即，所以，即，
为直角三角形，且为直角.
（2）因为，且，可知且，即四边形为梯形，
不妨设梯形的高为，则有，
则，
，则，则，
恒成立，则.
【变式8-3】（2023·山西吕梁·二模）如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．
(1)求及；
(2)若，求周长的最大值．
【解题思路】（1）在△ABE中，利用正弦定理求出sin∠AEB，从而求出∠AEB的大小，从而求出∠ABE的大小，再根据BE是∠ABD的平分线可得△BDE是等腰三角形，从而可得DE长度，在△BDE中，利用余弦定理即可求BD；
（2）设，．在△BCD中，利用余弦定理得m，n的关系式，，再结合基本不等式即可求出m＋n的最大值，从而可求△BCD周长的最大值．
【解答过程】（1）在中，由正弦定理得，
又，则，
于是，
∵为角平分线，∴，∴，∴，
在中，根据余弦定理得，
∴．
（2）设，．在中，
由余弦定理得，
即有，即，
∴，
当且仅当时，“＝”成立．
∴周长的最大值为．
【题型9 三角函数与解三角形的交汇问题】
【例9】（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【解题思路】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案
【解答过程】（1） ，
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为，所以，所以即，
由锐角可得，所以，
由正弦定理可得 ，
因为，所以所以，
所以的最大值为2.
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
【解题思路】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.
【解答过程】（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
【变式9-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
【解题思路】（1）根据图形求出最小正周期可求得，代入点可求得；
（2）根据求得，根据面积求出，即可由余弦定理求得.
【解答过程】解：（1）据图象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由题意得的面积为，解得，
由余弦定理得，解得：.
【变式9-3】（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【解题思路】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解；
以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解.
【解答过程】（1）由题意可知：，
因为函数的最小正周期为，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值3，即.
若条件①：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，且，则，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若条件②；因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为，则，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若选③：因为，则，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为.
一、单选题
1．（2024·江西赣州·二模）记的内角A，B，C的对边分别为，，，若，，则A＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件得，又余弦定理可得，结合，即可求解
【解答过程】由有，即，
又因为，上式可化为，
又余弦定理得，所以，
又因为，所以.
故选：A.
2．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，， ，则外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由余弦定理可得的值，再由正弦定理可得外接圆的半径．
【解答过程】因为，， ，由余弦定理可得：，
设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，则．
故选：B．
3．（2024·北京海淀·二模）在中，，则的长为（ ）
A．6或 B．6 C． D．3
【解题思路】根据余弦定理即可求解.
【解答过程】由余弦定理可得,
故或，
故选：A.
4．（2024·宁夏银川·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】由题意可得，计算即可得.
【解答过程】由题意可得，即.
故选：A.
5．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用余弦定理求得，进而利用三角形的面积公式求得正确答案.
【解答过程】由余弦定理得，即，解得，
所以三角形的面积为.
故选：A.
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】根据图形，利用直角三角形求解即可.
【解答过程】由题意，
而，
所以.
故选：D.
7．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【解答过程】在中，由可得，
由正弦定理得：
又为锐角三角形，所以，解得，
令，则，
因为在时单调递增，
所以，则.
故选：C.
8．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解题思路】根据余弦定理得、，两式相减可得，由三角形的面积公式得，即可求解.
【解答过程】在中，由余弦定理得，
即，得①，
在中，由余弦定理得，
即，得②，
又，
所以③，
由②①，得，由，
得，代入③得.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（ ）
A．若，且有两解，则的取值范围是
B．若，且，则恰有一解.
C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是
D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是
【解题思路】根据正弦定理，判断三角形的解的个数，即可判断AB，根据余弦定理和三边的关系，即可判断CD.
【解答过程】A选项：由正弦定理，，，
且，则，选项A正确；
选项B：，所以无解，故B错误；
C选项：①为最大边：，且，此时；
②为最大边：，且，此时，选项C错误；
D选项：，且，所以，选项D正确；
故选；AD.
10．（2024·福建泉州·模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．的周长的最大值为6
C．若，则为正三角形
D．若边上的中线长等于，则
【解题思路】根据条件对数量积进行表示同时表示面积即可求出角A，由余弦定理结合基本不等式即可判断B，C，利用中线公式结合余弦定理与三角形面积公式计算即可判断D．
【解答过程】对于A，，
即可得到，又，所以，故A项错误．
对于B，由余弦定理，
利用基本不等式可知，
所以，当且仅当时取等号，此时周长最大值为6，故B项正确．
对于C，由B项可知当时，，
则，故为正三角形，故C项正确．
对于D，设边上的中线为，
设，在中，，
在中，，
联立可解得，
则，故D项错误．
故选：BC.
11．（2024·河北邯郸·三模）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10
【解题思路】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.
【解答过程】由题意知，整理得，
由余弦定理知，，，．
对A，
，
，，，
的取值范围为，故A正确；
对B，为边的中点，，
则，
，当且仅当时，等号成立，
，故B正确；
对于C，，
是锐角三角形，，
，，故C正确；
对于D，由题意得，
即，
整理得，即，
，
当且仅当时，等号成立，故D错误．
故选：ABC.
三、填空题
12．（2024·新疆·三模）在中，，.则 .
【解题思路】根据正弦定理及余弦定理可得，再由诱导公式及二倍角正弦公式求解.
【解答过程】由正弦定理，，
所以由可得，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
13．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）
【解题思路】如图，由三角形的外角和可得，进而求出BD，设m，利用勾股定理求出DG，即可求出DC.
【解答过程】如图，设海宝塔塔底中心为点，与交于点，
过点作于点，则，
由题意知，m，m，
所以，则，
在中，m，
又是的外角，即有，
所以，
在中，m，设m，则m，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得或（舍），
所以m，所以m，
即海宝塔的高度为m.
故答案为：.
14．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 10 .
【解题思路】设，利用余弦定理求出，进而可求出，再根据换元，结合三角函数的性质即可得解.
【解答过程】设，
则，
而，
则，
所以，
令，则，
则
，其中，
当且仅当时取等号，
此时，即，
所以四边形面积的最大值为10.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·云南·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)为边上一点，，且，求.
【解题思路】（1）利用给定条件结合二倍角公式得到，再根据同角三角函数化简运算得到，求解角度即可.
（2）先利用正弦定理求，利用余弦定理求，再利用余弦定理求解即可.
【解答过程】（1）由，得，
即，，即.
又，，则角为.
（2）易知，在中，
由正弦定理得；在中，同理.
又，代入得：，
根据余弦定理得，所以.
16．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，角的对边分别是．
(1)求证：；
(2)若，面积为1，求边的长．
【解题思路】（1）根据题中等式利用同角三角函数商关系公式，两角和的正弦公式，三角和内角和定理，正弦定理化简得到结果；
（2）利用（1）的结果计算，再利用三角形面积公式计算出，最后利用余弦定理计算出；
【解答过程】（1）证明：根据，以及，，
得，．
所以，即，
根据，得．
所以，
由正弦定理，得，因此．
（2）由（1）知，，，
，
所以，得，，
又，
所以由余弦定理得．
17．（2024·安徽合肥·三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且.
(1)求此山的高的值；
(2)求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．
【解题思路】（1）设，由锐角三角函数表示出、，再在中利用余弦定理计算可得；
（2）设是线段上一动点，连接，即可得到点处观测点的仰角为，且，求出的最小值，即可得解.
【解答过程】（1）设，在中，因为，所以，
同理，在中，，
在中，由余弦定理得，
由，所以，解得（负值已舍去），所以此山的高为 ；
（2）由（1）得，设是线段上一动点，连接，
则在点处观测点的仰角为，且，
因为，，所以，
当时，最短，记最小值为，由，
即，解得，所以，
所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为．
18．（2024·辽宁·模拟预测）已知的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
【解题思路】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出的表达式，根据为锐角三角形确定B的范围，求出三角形周长的表达式并化简，结合正切函数性质，即可求得答案.
【解答过程】（1）由题意知中，，
即，即，
故，而；
（2）由（1）知，而，
故由正弦定理得，则
，
由为锐角三角形，则，则，
故的周长
，
而，故，
故的周长的取值范围为.
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若，求排水沟BD的长；
(2)若，试用表示4条人行道的总长度．
【解题思路】（1）在中，求出，，利用和差公式求，再由余弦定理可得；
（2）设，利用正弦定理求得，，由和可得，，分别在，中求出，然后可得答案.
【解答过程】（1）因为，百米，百米，
所以百米，所以，
又，，所以为等腰直角三角形，
所以百米，
因为，
所以在中，由余弦定理得百米.
（2）因为M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点，
所以百米，百米，
设，其中，
在中，由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
连接，则，
在中，，，
由余弦定理得
，
在中，，，
由余弦定理得
，
所以4条人行道的总长度为百米.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题4.6 解三角形【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】 4
【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】 4
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】 5
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】 6
【题型5 和三角形面积有关的问题】 7
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 8
【题型7 距离、高度、角度测量问题】 9
【题型8 求解平面几何问题】 11
【题型9 三角函数与解三角形的交汇问题】 13
1、三角恒等变换
考点要求 真题统计 考情分析
(1)掌握正弦定理、余弦定理及其变形
(2)理解三角形的面积公式并能应用
(3)能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题 (4)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 2022年新高考全国I卷、Ⅱ卷：第18题，12分 2023年新课标I卷、Ⅱ卷：第17题，10分 2024年新课标I卷、Ⅱ卷：第15题，13分 2024年全国甲卷（文数）：第12题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第11题，5分 解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正弦定理、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活求解.
【知识点1 解三角形几类问题的解题策略】
1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三
角形不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.
显然由0角形内角和等于”等，此时需进行讨论.
4．与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【知识点2 测量问题的基本类型和解决思路】
1．测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得
B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得
C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.
2．测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：
类型 简图 计算方法
底部
可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C.
底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.
点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.
3．测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方
位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
【知识点3 解三角形的应用的解题策略】
1．平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
2．解三角形与三角函数的综合应用
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【方法技巧与总结】
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sinC；
(2)cos(A+B)=-cosC；
(3)；
(4).
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.
3．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
.
【题型1 正、余弦定理求三角形的边与角】
【例1】（2024·浙江绍兴·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·河南郑州·三模）的内角所对的边分别为．若，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【变式1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【题型2 正、余弦定理判定三角形形状】
【例2】（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式2-1】（23-24高一下·广东广州·期中）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式2-2】（2024·山东·二模）在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式2-3】（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【题型3 正弦定理判定三角形解的个数】
【例3】（2024·福建·模拟预测）在中，已知，，若有两解，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·贵州·模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2023·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 证明三角形中的恒等式或不等式】
【例4】（2024·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
【变式4-1】（2024·北京西城·二模）在中，.
(1)求的大小；
(2)若，证明：.
【变式4-2】（2024·广东·二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足．
(1)证明：．
(2)若，，求PC．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在中，，且，，均为整数．
(1) 求的大小；
(2) 设的中点为，求证：．
【题型5 和三角形面积有关的问题】
【例5】（2024·西藏·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分线交于点，且，，求的面积．
【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.
(1)当时，求；
(2)当变化时，求四边形面积的最大值.
【变式5-2】（2024·四川攀枝花·三模）请在①，②，③三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
的内角所对的边分别是，已知______．
(1)求角；
(2)若，点在边上，为的平分线，的面积为，求边长的值．
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求.
(2)求面积的取值范围.
【题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例6】（2024·江西·模拟预测）在中，角，，所对的边分别记为，，，且．
(1)若，求的大小．
(2)若，求的取值范围．
【变式6-1】（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的值．
(2)求的取值范围．
【变式6-3】（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
【题型7 距离、高度、角度测量问题】
【例7】（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 求解平面几何问题】
【例8】（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．
(1)求；
(2)证明：．
【变式8-1】（2023·河南信阳·模拟预测）在中，，的面积为，为的中点，于点于点.
(1)求的面积；
(2)若，求的值.
【变式8-2】（2024·陕西西安·一模）已知平面四边形的对角线分别为，，其中．
(1)探究：是否为直角三角形；若是．请说明哪个角为直角，若不是，请给出相关理由；
(2)记平面四边形的面积为S，若，且恒有，求实数λ的取值范围．
【变式8-3】（2023·山西吕梁·二模）如图，在平面四边形中，，，的平分线交于点，且．
(1)求及；
(2)若，求周长的最大值．
【题型9 三角函数与解三角形的交汇问题】
【例9】（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【变式9-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
【变式9-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
【变式9-3】（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
一、单选题
1．（2024·江西赣州·二模）记的内角A，B，C的对边分别为，，，若，，则A＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·贵州六盘水·三模）在中，，， ，则外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京海淀·二模）在中，，则的长为（ ）
A．6或 B．6 C． D．3
4．（2024·宁夏银川·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若有两解，则c的取值可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024·重庆·模拟预测）记的内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）在高的楼顶处，测得正西方向地面上两点与楼底在同一水平面上）的俯角分别是和，则两点之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形中，，记与的面积分别为，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、多选题
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（ ）
A．若，且有两解，则的取值范围是
B．若，且，则恰有一解.
C．若，且为钝角三角形，则的取值范围是
D．若，且为锐角三角形，则的取值范围是
10．（2024·福建泉州·模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．的周长的最大值为6
C．若，则为正三角形
D．若边上的中线长等于，则
11．（2024·河北邯郸·三模）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10
三、填空题
12．（2024·新疆·三模）在中，，.则 .
13．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点处测得塔顶的仰角为，然后沿点向塔的正前方走了38m到达点处，此时测得塔顶的仰角为，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到0.1）
14．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，平面四边形中，，则四边形面积的最大值为 .
四、解答题
15．（2024·云南·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)为边上一点，，且，求.
16．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，角的对边分别是．
(1)求证：；
(2)若，面积为1，求边的长．
17．（2024·安徽合肥·三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且.
(1)求此山的高的值；
(2)求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值．
18．（2024·辽宁·模拟预测）已知的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若，求排水沟BD的长；
(2)若，试用表示4条人行道的总长度．
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