专题5.1 平面向量的概念及线性运算【五大题型】
【新高考专用】
【题型1 平面向量的基本概念】 2
【题型2 向量加、减法的几何意义】 4
【题型3 向量的线性运算】 6
【题型4 根据向量线性运算求参数】 7
【题型5 向量共线定理及其应用】 9
1、平面向量的概念及线性运算
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解平面向量的意义、 几何表示及向量相等的含义
(2)掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义 2022年新高考全国I卷：第3题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第4题，5分 平面向量是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的概念和平面向量的线性运算主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易，考查形式比较稳定.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线定理的理解.
【知识点1 平行向量有关概念的归纳】
1．平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 平面向量线性运算问题的解题策略】
1．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2．向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3．利用共线向量定理解题的策略：
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【方法技巧与总结】
1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则.
2．(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，为非零向量，则“向量，的夹角为180°”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】判断命题“若向量，的夹角为180°，则”和命题“若，则向量，的夹角为180°”的真假即可得解.
【解答过程】因向量，为非零向量，则当向量，的夹角为180°时，与方向相反，即成立，
当时，与方向相同或者方向相反，即向量，的夹角为0°或者180°，可以不为180°，
所以“向量，的夹角为180°”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-1】（2024·北京·三模）若为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】表示与同向的单位向量，共线可能同向共线、也可能反向共线，再由充分性、必要性的定义可求出答案.
【解答过程】依题意为非零向量， 表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
则表示与同向的单位向量，所以能推出共线，所以充分性成立；
共线可能同向共线、也可能反向共线，所以共线得不出，所以必要性不成立.
故选：B.
【变式1-2】（2023·江苏盐城·三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【解题思路】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【解答过程】在四边形中，
若，
则，且，
即四边形为梯形，充分性成立；
若当，为上底和下底时，
满足四边形为梯形，
但不一定成立，即必要性不成立；
故是的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【解题思路】根据向量共线、相等的知识确定正确答案.
【解答过程】A选项，，则，所以四边形为平行四边形，A正确.
B选项，，则，所以四边形为梯形，B正确.
C选项，，则，四边形是平行四边形；由于，所以四边形是菱形，C正确.
D选项，，则，所以四边形为平行四边形；由于，所以四边形为菱形，D选项错误.
故选：D.
【题型2 向量加、减法的几何意义】
【例2】（2024·河南开封·三模）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的加减法法则结合已知条件逐个分析判断即可
【解答过程】因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，
所以，
因为，
所以,
所以A正确，
因为，
所以，所以B正确，
因为，
所以，所以C正确，
因为，
所以D错误，
故选：D.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）等边三角形的垂心为，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先延长交于点，根据题意得到为的中点，再利用向量的线性运算计算即可.
【解答过程】如图所示：
延长交于点，
因为为等边三角形的垂心，所以为的中点，
所以
.
故选：A.
【变式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【解题思路】根据题意，可得四边形为菱形，即可得到平分，从而得到结果.
【解答过程】
因为，且D为中点，，
则，
又因为，则可得四边形为菱形，
即为菱形的对角线，
所以平分，即直线经过的内心
故选:A.
【变式2-3】（2024·广东·模拟预测）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可得，得到，结合，即可求解.
【解答过程】如图所示，根据题意可得，所以，
所以，所以.
故选：A.
【题型3 向量的线性运算】
【例3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由向量加减法的运算规则，验证各选项的结果.
【解答过程】，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
由向量加法的运算法则，有，D选项正确.
故选：D.
【变式3-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
直接由向量的线性运算即可求解.
【解答过程】由题意.
故选：D.
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【解答过程】在中，因为，所以为的中点，
又因为，所以为线段的靠近的三等分点，
所以．
故选：D．
【变式3-3】（2024·四川自贡·一模）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
【解答过程】
.
故选：B.
【题型4 根据向量线性运算求参数】
【例4】（2023·宁夏石嘴山·二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据平面向量加减法运算求解即可.
【解答过程】连接，如图所示：
因为，
所以，
所以，所以.
故选：B.
【变式4-1】（2023·贵州·模拟预测）已知在中，点D为边BC的中点，若，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解题思路】结合几何关系，利用向量的线性运算法则即可将用来表示，从而得到答案.
【解答过程】因为点D为边BC中点，
所以，
所以，，.
故选：D.
【变式4-2】（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用平行分线段成比例得到，进而利用向量加法的平行四边形法则即可得解.
【解答过程】因为平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，
所以，
所以，又，
所以，.
故选：B.
【变式4-3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用向量的线性运算，求出，得到的值，再对各选项分析判断即可求出结果.
【解答过程】因为是线段上一点，满足，所以，
又是线段的中点，所以，
所以，
所以，故，
故选：B.
【题型5 向量共线定理及其应用】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【解答过程】当，时，满足，但不存在，使得；
当时，可得；
所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件.
故选：A.
【变式5-1】（2024·上海崇明·一模）设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.
【解题思路】先由得中只能有一个为0，假设可得点在的边BC所在直线上，满足充分性；若点在的边所在直线上，假设在AB上，容易得，必要性满足，则可得答案.
【解答过程】 为所在平面上一点，且实数x、y、z满足
若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾；
假设（不为0），可得，，
向量和共线，点在的边BC所在直线上；
若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线，
，
“”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件.
故选：C.
【变式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知,是平面内两个非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【解答过程】若∥，则则存在唯一的实数μ≠0，使得
故 ，
而 ，
存在λ 使得成立，
所以“∥”是“存在，使得 ”的充分条件，
若且 ，则与方向相同,故此时∥，
所以“∥”是“存在， 使得 的必要条件，
故∥”是“存在，使得| 的充分必要条件，
故选: C.
【变式5-3】（2023·甘肃武威·一模）已知正三角形的边长为6， ，，且，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
【解题思路】由结合得出点在线段上运动，进而得出点到直线距离的最大值.
【解答过程】因为，所以，
所以．如图，设，
，则．因为，，
所以点在线段上运动，显然，当点与点重合时，点到直线的距离取得最大值．
故选：D.
一、单选题
1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
【解答过程】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，则，
所以“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
2．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】根据几何关系求解.
【解答过程】如图，
，所以M是AC的中点，；
故选：C.
3．（2023·四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0 B． C． D．4
【解题思路】利用向量运算法则得到.
【解答过程】，
因为正方形的边长为1，所以，
故.
故选：C.
4．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【解答过程】依题意可得
．
故选：D.
5．（2024·广西·模拟预测）在中，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将向量看作基底，利用向量的加减法法则以及数乘的运算法则，得到 即可.
【解答过程】依题意，，
所以，
又因为，
所以 ，
所以，，
所以，，，，只有选项C正确；
故选：C．
6．（2024·福建福州·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.
【解答过程】依题意，设，又是两个不共线的向量，
所以，所以．
故选：D.
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
【解题思路】根据向量共线则判断即可.
【解答过程】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误；
对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误；
对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确；
对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误.
故选：C.
8．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.
【解答过程】设的中点为点，所以，
则，
若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心，
若四点不共线时，，且，连结，交于点，
如图，
，即点是三角形的重心，即经过的重心，
综上可知，经过的重心.
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则
D．若或，则
【解题思路】根据单位向量、零向量、相等向量和共线向量的定义判断.
【解答过程】单位向量与的方向不一定相同，故A错；
零向量的长度为零，方向任意，故B正确；
若，的模长不一定相等，故C错；
若或，则的方向相同或相反，所以，故D正确.
故选：BD.
10．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
【解题思路】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
【解答过程】
，
因为点为的重心，
所以，所以，
所以三点共线，故A正确，B错误；
，
因为，
所以，即，故C正确；
因为，
所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；
故选：AC．
11．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案.
【解答过程】A选项，由题知，故，而，故A正确；
B选项，由题知，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，因为，，
，
故，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题
12．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形中，，，
．
【解题思路】利用平面向量的线性运算.
【解答过程】由平行四边形ABCD,，
可知，则，
整理得，
则，
所以.
故答案为：.
13．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 ①③ .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
【解题思路】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【解答过程】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③.
14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 .
【解题思路】先利用向量线性运算得到，作出辅助线，得到，且，从而得到答案.
【解答过程】，
取的中点，连接，
因为，故，
又，所以，故，且，
所以的最大值为，此时点与点重合.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
【解题思路】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得.
【解答过程】（1） ；
（2） ；
（3）.
16．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点.
(1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量；
(2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量；
(3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量.
【解题思路】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量；
（2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量；
（3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量．
【解答过程】（1）
分别为的中点，，且，与向量共线的向量是.
（2）因为是正三角形，所以，
因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点，
所以，
所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，
与向量模相等的向量为；
（3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为.
17．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，点是中BC边的中点，.
(1)若点是的重心，试用表示;
(2)若点是的重心，求.
【解题思路】（1）根据三角形中线的性质和重心的性质求解；
（2）根据三角形重心的性质结合题意求解即可》
【解答过程】（1）因为点是中BC边的中点，点是的重心，
所以.
（2）因为点是的重心且是BC边的中点，所以，
又，所以，
所以.
18．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
【解题思路】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【解答过程】（1）由，
得,
,
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
实数k的值是.
19．（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．
(1)求的值；
(2)求的最小值，并求此时，的值．
【解题思路】（1）由三角形重心性质可得，结合三点共线性质即可求得结果.
（2）运用“1”的代换及基本不等式求解即可.
【解答过程】（1）如图所示，
因为G为重心，所以，
所以，
因为M，G，N三点共线，所以，即．
（2）由题意可知，且，
所以
当且仅当，即时取等号，
又∵，∴，时，取得最小值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题5.1 平面向量的概念及线性运算【五大题型】
【新高考专用】
【题型1 平面向量的基本概念】 2
【题型2 向量加、减法的几何意义】 3
【题型3 向量的线性运算】 3
【题型4 根据向量线性运算求参数】 4
【题型5 向量共线定理及其应用】 4
1、平面向量的概念及线性运算
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解平面向量的意义、 几何表示及向量相等的含义
(2)掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义 2022年新高考全国I卷：第3题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第4题，5分 平面向量是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，平面向量的概念和平面向量的线性运算主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易，考查形式比较稳定.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线定理的理解.
【知识点1 平行向量有关概念的归纳】
1．平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量.
【知识点2 平面向量线性运算问题的解题策略】
1．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2．向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3．利用共线向量定理解题的策略：
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【方法技巧与总结】
1．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则.
2．(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知向量，为非零向量，则“向量，的夹角为180°”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2024·北京·三模）若为非零向量，则“”是“共线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2023·江苏盐城·三模）已知是平面四边形，设：，：是梯形，则是的条件（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【变式1-3】（2024·云南昆明·模拟预测）下列有关四边形的形状判断错误的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为梯形
C．若，且，则四边形为菱形
D．若，且，则四边形为正方形
【题型2 向量加、减法的几何意义】
【例2】（2024·河南开封·三模）在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）等边三角形的垂心为，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2023·安徽淮南·一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式2-3】（2024·广东·模拟预测）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 向量的线性运算】
【例3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列向量关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2024·四川自贡·一模）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 根据向量线性运算求参数】
【例4】（2023·宁夏石嘴山·二模）如图，已知中，是边上一点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·贵州·模拟预测）已知在中，点D为边BC的中点，若，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【变式4-2】（2024·山西晋中·模拟预测）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·浙江绍兴·模拟预测）在中，是线段上一点，满足是线段的中点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 向量共线定理及其应用】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-1】（2024·上海崇明·一模）设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件.
【变式5-2】（2023·北京海淀·二模）已知,是平面内两个非零向量，那么“∥”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】（2023·甘肃武威·一模）已知正三角形的边长为6， ，，且，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
一、单选题
1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023·四川南充·一模）已知正方形的边长为1，则（ ）
A．0 B． C． D．4
4．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·广西·模拟预测）在中，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·福建福州·模拟预测）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
8．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
二、多选题
9．（23-24高一下·新疆克孜勒苏·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则
D．若或，则
10．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
11．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图所示，则在该图形中，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2023·黑龙江·模拟预测）在平行四边形中，，， .
13．（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列关于向量的命题，序号正确的是 .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形). 类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在 内 (含边界)一点，若，则的最大值为 .
四、解答题
15．（23-24高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
16．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点.
(1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量；
(2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量；
(3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量.
17．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，点是中BC边的中点，.
(1)若点是的重心，试用表示;
(2)若点是的重心，求.
18．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值．
19．（23-24高一上·辽宁大连·期末）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边、交于、两点（点、与点、不重合），设，．
(1)求的值；
(2)求的最小值，并求此时，的值．
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