专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 平面向量基本定理的应用】 3
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 4
【题型3 平面向量的坐标运算】 5
【题型4 利用向量共线求参数】 5
【题型5 利用向量共线求向量或点的坐标】 6
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 6
1、平面向量基本定理及坐标表示
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解平面向量基本定理及其意义
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2022年全国乙卷（文数）：第3题，5分 2022年新高考全国I卷：第3题，5分 2023年天津卷：第14题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第9题，5分 2024年上海卷：第5题，5分 平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解.
【知识点1 平面向量基本定理的探究】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．应用平面向量基本定理求向量的实质
应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
区 别 表示形
式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．共线的坐标表示
(1)两向量共线的坐标表示
设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用
坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.
(2)三点共线的坐标表示
若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，
从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】
1．若与不共线，且，则.
2．已知P为线段AB的中点，若A(,)，B(,)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的重心为G，若A(,)，B(,)，C(,)，则G.
【题型1 平面向量基本定理的应用】
【例1】（2024·山东潍坊·二模）在中，，点是的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·四川成都·一模）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·湖南娄底·三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为.如图，在矩形中，与相交于点，，且点为线段的黄金分割点，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
【例2】（2024·陕西西安·一模）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【变式2-3】（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 平面向量的坐标运算】
【例3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·宁夏银川·二模）已知向量，，，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）在菱形中，，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 利用向量共线求参数】
【例4】（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【变式4-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知向量．若非零实数满足，则（ ）
A．3 B． C． D．
【变式4-3】（2024·江西·模拟预测）已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 利用向量共线求向量或点的坐标】
【例5】（2024·河北邯郸·三模）已知向量与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·四川广安·二模）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·陕西宝鸡·一模）设向量，，若向量与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】
【例6】（23-24高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【变式6-1】（2024·四川雅安·一模）在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 .
【变式6-3】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ．
一、单选题
1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
2．（2024·陕西渭南·二模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·天津·二模）已知向量，其中 且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
8．（2024·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量.若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（2023·广东梅州·三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当为线段上的中点时，
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
三、填空题
12．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.
13．（2024·陕西西安·二模）向量，，．若三点共线，则
．
14．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知，，．
(1)若，求，；
(2)若，求点的坐标．
16．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点.
(1)用，表示；
(2)求线段的长.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）向量，，．
(1)求满足的实数m，n；
(2)若，求实数k．
18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点．
(1)记向量，，试以向量，为基底表示，；
(2)若，求m，n的值；
(3)求证：A，G，H三点共线．
19．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，求的坐标；
(3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 平面向量基本定理的应用】 3
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 6
【题型3 平面向量的坐标运算】 8
【题型4 利用向量共线求参数】 9
【题型5 利用向量共线求向量或点的坐标】 11
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】 12
1、平面向量基本定理及坐标表示
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解平面向量基本定理及其意义
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2022年全国乙卷（文数）：第3题，5分 2022年新高考全国I卷：第3题，5分 2023年天津卷：第14题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第9题，5分 2024年上海卷：第5题，5分 平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等.学生在高考复习中应注意加强对向量的线性运算法则、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解.
【知识点1 平面向量基本定理的探究】
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．应用平面向量基本定理求向量的实质
应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略】
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基
底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示.
显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
区 别 表示形
式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(
+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．共线的坐标表示
(1)两向量共线的坐标表示
设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用
坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0.
(2)三点共线的坐标表示
若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=，
从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-)，
或由=得到(-)(-)=(-)(-).
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】
1．若与不共线，且，则.
2．已知P为线段AB的中点，若A(,)，B(,)，则P点坐标为.
3．已知△ABC的重心为G，若A(,)，B(,)，C(,)，则G.
【题型1 平面向量基本定理的应用】
【例1】（2024·山东潍坊·二模）在中，，点是的中点，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角形中向量对应线段的数量及位置关系，用、表示出即可.
【解答过程】由题设，
所以 .
故选：B.
【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）在中，点D在边AB上且满足，E为BC的中点，直线DE交AC的延长线于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据A，C，F三点共线及D，E，F三点共线，结合平面向量基本定理用和表示出，然后根据向量相等即可得解．
【解答过程】
由题，A，C，F三点共线，则，
D，E，F三点共线，则，
∴ ，得 ，
∴．
故选：B.
【变式1-2】（2024·四川成都·一模）已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
设，设，，利用向量的基本定理可得，求得，从而问题可解.
【解答过程】
设，则，，
设，，
则，，
因为，
所以，解得，
所以，即.
故选：C.
【变式1-3】（2023·湖南娄底·三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为.如图，在矩形中，与相交于点，，且点为线段的黄金分割点，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意得，结合矩形的特征可用表示出，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.
【解答过程】由题意得，显然，，
同理有，，
所以，故，
因为
，
所以.
故选：D.
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
【例2】（2024·陕西西安·一模）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可.
【解答过程】因为，所以，即，
又，所以，
因为点是线段上一点，即、、三点共线，
所以，解得.
故选：A.
【变式2-1】（2024·陕西榆林·三模）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．-3
【解题思路】利用向量的线性运算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到结果.
【解答过程】三点共线，设，
则，
又，所以，即.
故选：C.
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解题思路】表达出，利用平面向量基本定理求出，即可求出的值.
【解答过程】由题意及图可得，
∵，
∴，
∵，
∴,．
∵，
∴，，解得：，，，
故选：C．
【变式2-3】（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意推出，可得，推出，根据向量的加减运算，用基底表示出，和比较，可得，即得答案.
【解答过程】连结DE，
由题意可知，，
所以，则，
所以，所以，，
则，
故，
又，所以，，则，
故选：A.
【题型3 平面向量的坐标运算】
【例3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系内，已知点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，结合向量的坐标表示与运算，即可求解.
【解答过程】因为点，则，
可得.
故选：B．
【变式3-1】（2024·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由向量坐标的线性运算求解即可.
【解答过程】由题意得，，
设点B的坐标为，则，所以点B的坐标为.
故选：A.
【变式3-2】（2023·宁夏银川·二模）已知向量，，，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】由向量的坐标运算计算即可.
【解答过程】由题意，得，
所以，解得，
所以.
故选：C.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）在菱形中，，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】建立平面直角坐标系后计算即可得.
【解答过程】作出图形如图所示.记线段交于点，
分别以所在直线为，轴建立平面直角坐标系.
设，则，，
故，，设，
则，解得.
故选：C.
【题型4 利用向量共线求参数】
【例4】（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【解题思路】利用向量平行得到方程，求出答案.
【解答过程】，故，解得.
故选：D.
【变式4-1】（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解题思路】根据向量共线的坐标关系运算求出的值，判断得解.
【解答过程】向量，，
若与共线，则.解得或，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件，
故选：A.
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知向量．若非零实数满足，则（ ）
A．3 B． C． D．
【解题思路】利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件计算即可.
【解答过程】由题意可知，，．
因为，所以，
整理得，即．
故选:A．
【变式4-3】（2024·江西·模拟预测）已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量平行，得到，结合基本不等式即可求.
【解答过程】由题意，因为，所以，又，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：A.
【题型5 利用向量共线求向量或点的坐标】
【例5】（2024·河北邯郸·三模）已知向量与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
根据向量共线的坐标公式建立方程，解得参数，结合向量的坐标运算，可得答案.
【解答过程】
因为，所以，解得，
所以．
故选：B.
【变式5-1】（2024·四川广安·二模）已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解.
【解答过程】因为，分别为，的中点，
所以，
设，又，所以
即，解得.
故选：A.
【变式5-2】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解.
【解答过程】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线，
所以，
所以,
故选：D.
【变式5-3】（2024·陕西宝鸡·一模）设向量，，若向量与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由向量共线的坐标运算求出的值，再由向量线性运算的坐标表示求.
【解答过程】向量，，则，
若向量与共线，有，解得，则，
所以.
故选：A.
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】
【例6】（23-24高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【解题思路】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.
【解答过程】构建如下直角坐标系：，令，，
由可得：，
则且，
所以当时，的最大值为.
故选：C.
【变式6-1】（2024·四川雅安·一模）在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围.
【解答过程】结合题意建立直角坐标，如图所示：
.
则，，，，，，
则，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，故，即.
故选：A.
【变式6-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上移动，设，则最大值是 4 .
【解题思路】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程，设出，求出三个向量的坐标，用P的坐标表，则，根据直线AP:与有交点,求出范围．
【解答过程】解：以为原点，分别以方向为轴，建立如图所示直角坐标系：
所以，，，，所以，，
因为圆与直线相切，而，圆心，
所以半径，所以圆：，
设,则，，
又
所以，则，所以
所以表示坐标原点A与点P两点之间连线的斜率的2倍，
因为动点在圆上移动，所以直线AP:与有交点，
则圆心到的距离为
解得:，则
所以，则最大值是4.
故答案为：4．
【变式6-3】（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为 ．
【解题思路】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒等变形与性质求解即可.
【解答过程】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设，
又，
则，
，即
，
解得，
,
因为，则，
所以当时，取得最大值1，
则的最大值为.
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【解题思路】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
【解答过程】对A：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对B：不存在实数，使得，
故和不共线，可作基底；
对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量，
且存在实数，使得，
故和共线，不可作基底；
对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.
故选：C.
2．（2024·陕西渭南·二模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据向量平行的坐标运算得到方程，求出或2，从而结合充分条件、必要条件判断出结论.
【解答过程】若，则，解得或2，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.
【解答过程】在中，取为基底，
则，
因为点分别为的中点，,
所以，
所以.
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由的坐标得出，设点，得出，根据列出方程组求解即可．
【解答过程】因为，，
所以，
设，则，
又，
所以，解得，
所以点的坐标为．
故选：B．
5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D为平面内不同的四点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知整理可得，然后由坐标运算可得.
【解答过程】由得，即，即，
又，所以.
故选：D．
6．（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果.
【解答过程】因为点D为线段BC的中点，点E满足，
所以，所以，
消去，得，
所以，
所以，，所以．
故选：D．
7．（2024·天津·二模）已知向量，其中 且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【解题思路】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果.
【解答过程】∵， ，其中，且，
∴，
∴，
当且仅当即时取等号，
∴的最小值为.
故选：A.
8．（2024·江苏南通·二模）如图，点在半径为的上运动，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立适当的坐标系，设，利用向量的坐标运算得到m,n与α的关系，进而得到m+n关于α的三角函数表达式，利用辅助角公式整理后，根据三角函数的性质求得其最大值.
【解答过程】以为原点 的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则有，.
设，则.
由题意可知
所以.
因为，所以，
故的最大值为.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量.若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的坐标表示列式计算即得.
【解答过程】向量，则，，
由，得，即，解得，
所以或.
故选：AC.
10．（2023·广东梅州·三模）如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
【解答过程】因为，，所以，
因为为的中点，所以，
所以，所以，.
可知：AD错误，BC正确.
故选：BC.
11．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．当为线段上的中点时，
B．的最大值为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【解题思路】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，结合向量的坐标表示及向量的坐标运算表示条件，由此判断各选项.
【解答过程】以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，设，
则，
设，则，
因为，所以，
所以，即，
对于选项A，因为为线段上的中点，所以，故，A正确；
对于选项B，，，当时，取最大值为，B正确；
对于选项C，因为，，所以，的取值范围为，C正确；
对于选项D，，，所以，所以的取值范围为，D错误.
故选：ABC.
三、填空题
12．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为 （用表示）.
【解题思路】先利用平行线的性质求出，进而利用向量的线性运算求解即可.
【解答过程】由已知，
则，
所以，
所以.
故答案为：.
13．（2024·陕西西安·二模）向量，，．若三点共线，则
．
【解题思路】
根据平面向量共线的坐标表示计算即可.
【解答过程】由题意易得，
若三点共线，则有，所以.
故答案为：.
14．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ．
【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围.
【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：
则，所以，
当时，有，即，此时的取值范围为，
当时，有，即，此时的取值范围为，
当时，有，即，此时的取值范围为，
当时，有，即，此时的取值范围为，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知，，．
(1)若，求，；
(2)若，求点的坐标．
【解题思路】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解；
（2）设 ，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解.
【解答过程】（1）依题意得，，
则，所以，
所以，．
（2）由（1）知，，所以．
设点的坐标为，则，
因为，所以，，
所以，，故点的坐标为．
16．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点.
(1)用，表示；
(2)求线段的长.
【解题思路】（1）根据向量的线性运算直接可得解；
（2）根据转化法可得向量的模.
【解答过程】（1）由已知，
且为的中点，
则四边形为平行四边形，为等边三角形，
即，
又为的中点，
则，
即；
（2）由已知，，三点共线，
则，
又因为，，三点共线，则有，解得，
故有，
所以.
17．（23-24高一下·福建泉州·期中）向量，，．
(1)求满足的实数m，n；
(2)若，求实数k．
【解题思路】（1）由向量线性运算的坐标表示和向量相等的条件，得方程组，解出m，n即可；
（2）由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求解即可.
【解答过程】（1）向量，，，
若，则有，解得；
（2），，
由，则有，解得.
18．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在中，E，H分别是AD，BC的中点，，G为DF与BE的交点．
(1)记向量，，试以向量，为基底表示，；
(2)若，求m，n的值；
(3)求证：A，G，H三点共线．
【解题思路】（1）根据向量的减法法则结合题意求解；
（2）对结合（1）化简用，表示，而，然后列方程组可求得结果；
（3）设，，由，，用用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论.
【解答过程】（1）因为在中，E，H分别是AD，BC的中点，，
所以，
．
（2）由（1）知，，
所以，
因为，所以，解得；
（3），
设，，则
，
又，
所以，解得，所以，
∴，
∴，即A，G，H三点共线．
19．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，求的坐标；
(3)已知，在（2）的条件下，若四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
【解题思路】（1）根据三点共线，得，即可列等量关系求解，
（2）根据坐标运算即可求解，
（3）根据向量相等即可列方程求解.
【解答过程】（1）．
因为三点共线，所以存在实数，使得，
即，得．
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得
（2）．
（3）因为四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以．
设，则，
因为，所以，解得，
即点的坐标为．
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