第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（ ）
A．52 B．72 C．76 D．100
2．（5分）（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
3．（5分）（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
5．（5分）（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2024·湖北武汉·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有，，，四个数字，将这个模型抛掷一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为的倍数”为事件，“数字是的倍数”为事件，“数字是的倍数”为事件，则下列选项正确的是（ ）
A．事件两两互斥 B．事件与事件对立
C． D．事件两两相互独立
7．（5分）（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．随着n的增大而增大
8．（5分）（2024·广东广州·二模）设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系与的取值有关
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·广东汕头·二模）某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ）
参考数据：；；.
A．这次考试等级分的标准差为25
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在内的人数约为997
D．
10．（6分）（2024·福建福州·模拟预测）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（6分）（2024·浙江·模拟预测）高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·江西·模拟预测）的展开式中的系数为 ．
13．（5分）（2024·新疆·二模）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为 ．（用数字作答）
14．（5分）（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·四川成都·三模）某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.
(1)求和的值；
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？
16．（15分）（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
17．（15分）（2024·新疆喀什·三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 58 60 63 64
件数（单位：件） 5 25 45 20 5
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量，则，，
18．（17分）（2024·江苏镇江·三模）在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
19．（17分）（2024·全国·模拟预测）中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
男性游客 女性游客 合计
喜欢滑雪 60 35 95
不喜欢滑雪 40 65 105
合计 100 100 200
(1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？
(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号．
（ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率；
（ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大．
附：，．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（ ）
A．52 B．72 C．76 D．100
【解题思路】分类讨论与甲为一组的人数情况，结合分组分配问题的解法即可得解.
【解答过程】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2，
则不同的选择方案有种；
若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2，
则不同的选择方案有种；
若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1，
则不同的选择方案有种；
所以共有种选择方案.
故选：D.
2．（5分）（2024·河南·三模）已知0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（ ）
A．286 B．293 C．252 D．246
【解题思路】根据正态分布的对称性求出的概率，即可得解.
【解答过程】由题意得，
，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.
故选：B.
3．（5分）（2024·河南郑州·三模）拋掷一枚质地均匀的正四面骰子（骰子为正四面体，四个面上的数字分别为1，2，3，4），若骰子与桌面接触面上的数字为1或2，则再抛郑一次，否则停止抛掷（最多抛掷2次）．则抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分抛掷次数为及抛掷次数为，利用列举法及概率乘法公式计算即可得.
【解答过程】抛掷次数为的概率为，点数可能为或，
抛掷次数为的概率为，
此时基本事件有、、、、、、、共八种，
其中点数之和至少为4的情况有、、、、共五种，
故抛掷骰子所得的点数之和至少为4的概率为.
故选：A.
4．（5分）（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
【解题思路】先确定值，再由二项展开式的通项求解项的系数即可.
【解答过程】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项，
即二项式系数中第5个即最大，
所以由二项式系数的性质可知，
展开式中共项，，又，
则二项展开式的通项公式
，.
令，所以的系数为．
故选：D．
5．（5分）（2024·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解.
【解答过程】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”，
由题意得，，，．
因为，
所以．
故选：D．
6．（5分）（2024·湖北武汉·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有，，，四个数字，将这个模型抛掷一次，并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为的倍数”为事件，“数字是的倍数”为事件，“数字是的倍数”为事件，则下列选项正确的是（ ）
A．事件两两互斥 B．事件与事件对立
C． D．事件两两相互独立
【解题思路】根据互斥事件的定义判断A，根据对立事件的定义及事件的运算判断B，根据古典概型求，判断C，根据独立事件定义判断D.
【解答过程】事件包含基本事件“数字为”， “数字为”，
事件包含基本事件“数字为”， “数字为”，
事件包含基本事件“数字为”， “数字为”，
事件可能同时发生，所以事件不是互斥事件，A错误；
事件包含基本事件“数字为”， “数字为”，“数字为”，
事件包含基本事件“数字为”，
所以事件与事件不是互斥事件，故也不是对立事件；B错误；
，，，
事件包含基本事件“数字为”， ，
所以，C错误；
事件包含基本事件“数字为”， 事件包含基本事件“数字为”，
事件包含基本事件“数字为”，
所以，
又，
由独立事件定义可得事件两两相互独立，D正确；
故选：D.
7．（5分）（2024·青海海西·模拟预测）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．随着n的增大而增大
【解题思路】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可.
【解答过程】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局，
因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布，
由二项分布的概率公式可得赢局的概率为，
赢局的概率为，
，
赢局的概率为，
小王赢的概率为
有
，
有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误；
由，
又由，
可得，可知D选项正确.
故选：B.
8．（5分）（2024·广东广州·二模）设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系与的取值有关
【解题思路】根据期望的公式推出，再根据方差的计算公式可得的表达式，结合基本不等式，即可判断的大小，即得答案.
【解答过程】由题意得，
，
故，
记
则
同理
因为，则，，，
故 ，
即得，与的大小关系与的取值无关，
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2024·广东汕头·二模）某校高三年级选考生物科的学生共1000名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分的分数转换区间为，若等级分，则（ ）
参考数据：；；.
A．这次考试等级分的标准差为25
B．这次考试等级分超过80分的约有450人
C．这次考试等级分在内的人数约为997
D．
【解题思路】由，则 ，根据正态分布的性质，结合题中给出的概率公式，对每一选项进行分析，可得答案.
【解答过程】对于A，由题设，均值，方差，所以标准差为5，故A错误；
对于B，，所以人，故B错误；
对于C，，
则人，故C正确；
对于D，
故D正确．
故选：CD.
10．（6分）（2024·福建福州·模拟预测）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】利用赋值法令可计算得出A正确，令可知C错误，求出展开式中一次项的系数，经计算可得B错误；构造方程组计算可得D正确.
【解答过程】对于A，令，即可得，可得A正确；
对于B，因为展开式中代表一次项系数，所以的展开式中含有一次项，可得，即B错误；
对于C，令，即可得，可得，所以C错误；
对于D，令，即可得，
得，得，即D正确.
故选：AD.
11．（6分）（2024·浙江·模拟预测）高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A． B．
C． D．
【解题思路】先求出的分布列，可判断A，B；再由数学期望和方差公式求出，可判断C，D.
【解答过程】为小明随机选择1个选项的得分，所以，
，，
则的分布列为：
0 2
由此可得，
为小明随机选择2个选项的得分，所以，
,,
,
则的分布列
0 2 6
由此可得
．
所以,，，.
故选：BC．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2024·江西·模拟预测）的展开式中的系数为 -105 ．
【解题思路】根据，而二项式的展开式的通项，所以分别计算，最后合并即可求出答案．
【解答过程】解：因为，
而二项式的展开式的通项，．
所以的展开式中的项为，
其系数为-105，
故答案为：-105．
13．（5分）（2024·新疆·二模）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为 ．（用数字作答）
【解题思路】先排农场主，然后排两名男生，最后排女生，按此顺序进行求解.
【解答过程】农场主排在最中间，有种排法，则农场主左边右边各有个空位可用，
两名男生看成一个整体，排在农场主左边，右边各有种方法，共种排法，
然后两名男生内部可交换，有种排法，
剩下个空位排女生，共种排法.
于是一共有种排法.
故答案为：.
14．（5分）（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ．
【解题思路】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望.
【解答过程】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件，
则，，
所以；
由题意可得的取值为，
，
所以，
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（2024·四川成都·三模）某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在的一组人数为50人.
(1)求和的值；
(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？
【解题思路】（1）可求得在的一组的，可求，利用概率和为，可求得；
（2）由已知可求得屏幕需求尺寸为的人数与屏幕需求尺寸为的人数，可求得在每组各抽了多少人，利用古典概型概率公式计算可得2人来自同一分组的概率.
【解答过程】（1）因为屏幕需求尺寸在的一组人数为50人，
所以其频率为.又因为组距为0.5，所以.
又因为，所以，
即，.
（2）因为屏幕需求尺寸为人数为：，
屏幕需求尺寸为人数为，
若要用分层抽样的方法抽取6人
所以要在组中抽2人，设为，；
要在组中抽4人，设，，，，
因此样本空间
，，，，，，
，，，，共15个基本事件，
而这2人来自同一分组为事件，
，共7个基本事件，
所以这2人来自同一分组的概率.
16．（15分）（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
【解题思路】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；
（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；
（3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答.
【解答过程】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，
再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
（2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
即可以组成个无重复数字的五位偶数；
（3）计算比21034大的五位数的个数分两类：
万位比2大的五位数个数是，
万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，
由分类加法计数原理得，
所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.
17．（15分）（2024·新疆喀什·三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 58 60 63 64
件数（单位：件） 5 25 45 20 5
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量，则，，
【解题思路】（1）先求出，再利用正态分布曲线的对称性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）利用条件概率公式求解.
【解答过程】（1）由题意可知:，
则，
所以
（2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，，，
所以；
（ii）因为，
所以，
所以．
18．（17分）（2024·江苏镇江·三模）在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
【解题思路】（1）① 甲获得第四名，需要在甲参与的两场比赛中都失败，结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；② 明确随机变量所有可能取值，然后结合对立事件概率和独立事件概率公式分别求出对应的概率，即可求得分布列和期望；
（2）分别求出两种赛制甲夺冠概率，再利用作差法比较两概率的大小，取夺冠概率最大的赛制对甲夺冠有利.
【解答过程】（1）①记“甲获得第四名”为事件，又，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
则的分布列如下：
2 3 4
0.16 0.552 0.288
所以数学期望.
（2）在“单败淘汰制”下，甲获冠军须比赛两场，且两场都胜，则甲获得冠军的概率为.
(ii) 在“双败淘汰制”下，设事件V为“甲获冠军”，
设事件A为“甲比赛三场，连胜三场”，则；
设事件B为“甲比赛四场：胜负（胜区败）胜（赢败区胜）胜（决赛区胜）”，
则；
设事件C为“甲比赛四场：负胜（败区胜）胜（赢胜区败）胜（决赛区胜）”，
则；
所以 .
由，且，
当时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
当时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
当时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
19．（17分）（2024·全国·模拟预测）中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
男性游客 女性游客 合计
喜欢滑雪 60 35 95
不喜欢滑雪 40 65 105
合计 100 100 200
(1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？
(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号．
（ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率；
（ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大．
附：，．
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【解题思路】（1）计算，与临界值比较即可得出答案；
（2）（ⅰ）令滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，事件包含四个基本滑雪动作均达到优秀和四个基本滑雪动作中有三个达到优秀，由独立事件的乘法公式求解即可；
（ⅱ）由题意知，，设有人荣获“优秀学员”称号的概率最大，由二项分布的概率公式列不等式，解不等式即可得出答案.
【解答过程】（1）零假设为：游客是否喜欢滑雪与性别无关联．
由题可得．
所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关．
（2）（ⅰ）令事件分别表示起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
令滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，则事件之间相互独立，
事件包含四个基本滑雪动作均达到优秀和四个基本滑雪动作中有三个达到优秀，
所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是．
（ⅱ）由题意知，，
因此，．
设有人荣获“优秀学员”称号的概率最大，
则，解得．
因为，所以，
故9人荣获“优秀学员”称号的概率最大．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
