专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 平面的基本性质及推论】 4
【题型2 点共线、点（线）共面、线共点问题】 5
【题型3 等角定理】 6
【题型4 平面分空间问题】 7
【题型5 截面问题】 8
【题型6 异面直线的判定】 9
【题型7 异面直线所成的角】 10
【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 11
1、空间点、直线、平面之间的位置关系
考点要求 真题统计 考情分析
(1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 (2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题 2022年新高考I卷：第9题，5分 2022年上海卷：第15题，5分 2023年上海卷：第15题，5分 空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；常以选择题、填空题的形式考查，难度较易.
【知识点1 平面的基本事实及推论】
1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论
(1)四个基本事实及其表示
①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)四个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
基本事实4：①判断两条直线平行.
(3)基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A aa与A共面于平面α,且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一.
2．等角定理
(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'=.
【知识点2 共面、共线、共点问题的证明方法】
1．共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
【知识点3 平面分空间问题】
1．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
【知识点4 空间点、线、面之间的位置关系】
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
(2)两种位置关系
平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做
异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
【方法技巧与总结】
1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【题型1 平面的基本性质及推论】
【例1】（2024·全国·模拟预测）给出下列四个结论：
①经过两条相交直线，有且只有一个平面；
②经过两条平行直线，有且只有一个平面；
③经过三点，有且只有一个平面；
④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面
C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面
【变式1-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，且，则
B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则
C．若直线，直线，则a与b为异面直线
D．若A，B是两个不同的点，且，则直线
【变式1-3】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面
C．四边形为平面图形
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【题型2 点共线、点（线）共面、线共点问题】
【例2】（2024·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
【变式2-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·重庆·二模）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-3】（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．E、F、G、H四点共面
C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为
D．、、三线共点
【题型3 等角定理】
【例3】（23-24高一·全国·课后作业）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式3-2】（23-24高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ）
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．无法判断
【题型4 平面分空间问题】
【例4】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（23-24高一下·浙江·期末）空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式4-3】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【题型5 截面问题】
【例5】（2023·四川南充·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B． C．9 D．18
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A． B．9 C． D．
【变式5-2】（2024·上海黄浦·二模）如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式5-3】（2023·天津和平·三模）已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 异面直线的判定】
【例6】（2024·上海·模拟预测）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【变式6-1】（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，、、、这四条线段所在的直线中，异面直线有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
【变式6-3】（2024·四川宜宾·二模）四棱锥所有棱长都相等，、分别为、的中点，下列说法错误的是（ ）
A．与是异面直线 B．平面
C． D．
【题型7 异面直线所成的角】
【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱的体积为16，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2024·云南·二模）如图，在正方体中，E、F、M、N分别是的中点，则异面直线EF与MN所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】
【例8】（2024·上海长宁·二模）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式8-1】（2024·浙江绍兴·三模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【变式8-2】（2024·河南·三模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【变式8-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若 ，则
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面
C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面
2．（2024·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．（2024高一·全国·专题练面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
4．（2024·陕西铜川·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若直线两两相交，则直线共面
B．若直线与平面所成的角相等，则直线互相平行
C．若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则平面与平面平行
D．若不共面的4个点到平面的距离相等，则这样的平面有且只有7个
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·宁夏银川·三模）是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．四点共面 B．
C．三线共点 D．
8．（2024·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
10．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点，，，在同一平面内
B．三条直线，，有公共点
C．直线与直线不是异面直线
D．直线上存在点使，，三点共线
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
13．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为 ．
14．（2024·全国·模拟预测）已知是两个不同的平面，是平面外两条不同的直线，给出四个条件：①；②；③；④，以下四个推理与证明中，其中正确的是 .（填写正确推理与证明的序号）
（1）已知②③④，则①成立
（2）已知①③④，则②成立
（3）已知①②④，则③成立
（4）已知①②③，则④成立
四、解答题
15．（23-24高一·全国·课前预习）用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
16．（23-24高二·上海·课堂例题）已知直线和平面、，判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若，，则；
(2)若，，则；
(3)若，，则．
17．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．
(1)证明：四点共面；
(2)若平面，求四棱锥的体积．
18．（2023·上海·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.
(1)求该圆锥的侧面积与体积；
(2)求异面直线AB与CD所成角的大小.
19．（2024·广西河池·模拟预测）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．
(1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．
(2)求多面体的体积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 平面的基本性质及推论】 4
【题型2 点共线、点（线）共面、线共点问题】 6
【题型3 等角定理】 11
【题型4 平面分空间问题】 13
【题型5 截面问题】 15
【题型6 异面直线的判定】 19
【题型7 异面直线所成的角】 22
【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】 25
1、空间点、直线、平面之间的位置关系
考点要求 真题统计 考情分析
(1)借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 (2)了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题 2022年新高考I卷：第9题，5分 2022年上海卷：第15题，5分 2023年上海卷：第15题，5分 空间点、直线、平面之间的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，主要分两方面进行考查，一是空间中点、线、面关系的命题的真假判断；二是异面直线的判定和异面直线所成角问题；常以选择题、填空题的形式考查，难度较易.
【知识点1 平面的基本事实及推论】
1．四个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论
(1)四个基本事实及其表示
①基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
②基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
③基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
④基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)四个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
基本事实4：①判断两条直线平行.
(3)基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A aa与A共面于平面α,且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α,且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α,且平面唯一.
2．等角定理
(1)自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
(2)符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'=.
【知识点2 共面、共线、共点问题的证明方法】
1．共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
【知识点3 平面分空间问题】
1．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
【知识点4 空间点、线、面之间的位置关系】
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
(2)两种位置关系
平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'//a，b'//b，把a'与b'所成的角叫做
异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
【方法技巧与总结】
1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【题型1 平面的基本性质及推论】
【例1】（2024·全国·模拟预测）给出下列四个结论：
①经过两条相交直线，有且只有一个平面；
②经过两条平行直线，有且只有一个平面；
③经过三点，有且只有一个平面；
④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据点、线、面的基本事实及推论进行判断即可.
【解答过程】根据基本事实以及推论，易知①②正确.
若三点共线，则经过三点的平面有无数多个，故③错误.
若点在直线外，则确定一个平面，若点在直线上，则可有无数个平面，故④错误.
即正确的命题有2个，
故选：B.
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．四边形确定一个平面
C．三角形确定一个平面 D．一条直线和一个点确定一个平面
【解题思路】利用立体几何中的基本事实确定平面的方法求解即可.
【解答过程】三个不共线的点确定一个平面，故选项A错误，
四边形存在空间四边形，故选项B错误，
三角形的顶点是三个不共线的点，确定一个平面，故选项C正确，
当点在直线上时无法确定一个平面，故选项D错误.
故选：C.
【变式1-2】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，且，则
B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则
C．若直线，直线，则a与b为异面直线
D．若A，B是两个不同的点，且，则直线
【解题思路】根据题意结合平面的性质以及相关基本事实逐项分析判断.
【解答过程】对于A，因为且，则A是平面和平面的公共点，
又因为，由基本事实3可得，故A正确；
对于B，由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，
又因为，且A，，，则，故B正确；
对于C，由于平面和平面位置不确定，
则直线与直线位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；
对于D，由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，
那么这条直线在这个平面内，故D正确．
故选：C．
【变式1-3】（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．过三个点有且只有一个平面
B．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线不一定共面
C．四边形为平面图形
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【解题思路】根据平面的基本性质可判断A，D，由推论可判断B，根据特例可判断C.
【解答过程】根据公理知，过不共线的三点确定一个平面，故A错误；
因为两条平行直线确定一个平面，而两个交点都在这个平面内，故这条直线也在这个平面内，所以三条直线共面，故B错误；
由空间四边形不是平面图形可知，C错误；
由公理知，两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确.
故选：D.
【题型2 点共线、点（线）共面、线共点问题】
【例2】（2024·吉林·模拟预测）在长方体中，直线与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．三点共线 B．四点异不共面
C．四点共面 D．四点共面
【解题思路】由长方体性质易知四点共面且是异面直线, 再根据 与 、面 、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选项的正误.
【解答过程】
因为 ,
则四点共面.
因为 ,
则 平面 ,
又 平面 ,
则点 在平面 与平面的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上,
所以三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，
而点B不在平面 内，
所以四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面内，
而点A不在平面内，
所以直线AO与平面相交且点O是交点，
所以点M不在平面内，
即 四点不共面，
故选项C错误；
，且，
所以为平行四边形，
所以共面，
所以四点共面，
故选项D正确.
故选: C.
【变式2-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误.
【解答过程】在A图中，分别连接，
由正方体可得四边形为矩形，则，
因为为中点，故，则，所以四点共面.
在B图中，设为所在棱的中点，分别连接，
由A的讨论可得，故四点共面，
同理可得，故，同理可得，
故平面，平面，所以六点共面.
在C图中，由为中点可得，同理，
故，所以四点共面.
在D图中，为异面直线，四点不共面.
故选：D.
【变式2-2】（2024·重庆·二模）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上．
【解答过程】如图所示，
E，F分别为AB，AD的中点，∴，，
分别在，CD上，且，∴，，
∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确；
∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误；
若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面，
同理平面，又平面平面，
∴则P，A，C三点共线，说法③正确；
说法中正确的有2 个.
故选：C.
【变式2-3】（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B．E、F、G、H四点共面
C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为
D．、、三线共点
【解题思路】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D.
【解答过程】如图，
连接，由分别为中点，可得，
由可知，侧面为菱形，
所以，所以，故A正确；
连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点，
所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确；
延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，，
设确定平面为，则，所以，所以，
则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，，
在中，，而中，，
而，所以截面的周长大于，故C错误；
由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点，
因为平面，平面，
又平面平面，所以，所以与重合，
即、、三线共点于，故D正确.
故选：C.
【题型3 等角定理】
【例3】（23-24高一·全国·课后作业）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互补，据此判断.
【解答过程】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；
对于③，如图所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．
故选：B.
【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知，，，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【解题思路】根据等角定理，即可得到结论.
【解答过程】的两边与的两边分别平行，
根据等角定理易知或.
故选：B.
【变式3-2】（23-24高一·全国·课前预习）在三棱锥P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则∠DEF＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解题思路】由分别为的中点，得到，结合题意得出，即可求解.
【解答过程】如图所示，因为分别为的中点，可得，
又因为，所以，所以.
故选：D.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ）
A．全等 B．相似
C．仅有一个角相等 D．无法判断
【解题思路】根据等角定理，结合题意进行判断.
【解答过程】由题意知，根据等角定理，这两个三角形的三个角对应相等，
所以这两个三角形相似.
故选：B.
【题型4 平面分空间问题】
【例4】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作出图形，可得出三个不互相重合的平面将空间所分成的部分数，即可得出的值.
【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分.
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分；
综上，可以为、、、部分，不能为部分，
故选：B.
【变式4-1】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据空间中平面位置关系逐项判断即可.
【解答过程】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意；
对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意；
对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意；
对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意.
故选：C.
【变式4-2】（23-24高一下·浙江·期末）空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【解题思路】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数．
【解答过程】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．
故选：C．
【变式4-3】（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解题思路】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解.
【解答过程】按照三个平面中平行的个数来分类：
（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分；
（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；
（3）三个平面中没有平行的平面：
（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分；
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，
所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12.
故选：B.
【题型5 截面问题】
【例5】（2023·四川南充·一模）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B． C．9 D．18
【解题思路】根据，分别是，的中点，得到，利用正方体的结构特征，有，从而有，由平面的基本性质得到在同一平面内，截面是等腰梯形，再利用梯形面积公式求解.
【解答过程】由题知连接，，，如图所示
因为分别是的中点，所以，
在正方体中，所以，
所以在同一平面内，
所以平面截该正方体所得的截面为平面，因为正方体的棱长为，
所以，，，
则到的距离为等腰梯形的高为，
所以截面面积为，故B正确.
故选：B.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A． B．9 C． D．
【解题思路】作出正方体的截面图形，求出周长即可.
【解答过程】
如图，取AB的中点G，连接GE，，．
因为E为BC的中点，所以，，
又，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
所以，，
所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形，
其周长为．
故选：A．
【变式5-2】（2024·上海黄浦·二模）如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【解题思路】根据题意，取的中点，的中点，的中点，连接，可得过的截面图形.
【解答过程】解：如图，取的中点，
的中点，的中点，连接，
由正方体的性质可知，
由中位线性质可知，
所以，，
所以，由点确定的平面即为截面，其为六边形．
故选：D．
【变式5-3】（2023·天津和平·三模）已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由于上下底平行，则可得平面与上下底面的交线平行，则可得为平面与上底面的交线，为平面与下底面的交线，则梯形为平面截正方体的截面，可证得梯形为等腰梯形，根据已知的数量关系求解即可.
【解答过程】连接，，与交点即为，
因为，所以‖，
因为‖，所以‖，
所以共面，
所以平面截正方体所得的截面为梯形，
因为正方体的棱长为6，且，
所以，
在中，，则，
在中，，则
，
在，，则
，
过作于，则，
所以,
所以等腰梯形的面积为
,
故选：A.
【题型6 异面直线的判定】
【例6】（2024·上海·模拟预测）如下图，是正方体面对角线上的动点，下列直线中，始终与直线异面的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【解题思路】利用正方体的特征及异面直线的定义一一判定即可.
【解答过程】当P位于中点时，易知，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时、 面，故A错误；
当P与重合时，此时、 面，故B错误；
当P与重合时，由正方体的特征可知四边形为平行四边形，此时 ，故C错误；
由正方体的特征可知四边形为平行四边形，
而平面，平面， 、平面，，
故与始终异面，即D正确.
故选：D.
【变式6-1】（23-24高一下·河北·期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线是异面直线的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正方体展开图得到直观图，即可判断.
【解答过程】由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线是异面直线的是，
其中，所以与共面、与共面、与共面．
故选：C.
【变式6-2】（2024·山东潍坊·模拟预测）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图．某小组得到了如图所示表面展开图，则在正方体中，、、、这四条线段所在的直线中，异面直线有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
【解题思路】作出正方体的图形，结合异面直线的定义判断可得出结论.
【解答过程】作出正方体的图形如下图所示：
则与、与、与是异面直线，共对.
故选：B.
【变式6-3】（2024·四川宜宾·二模）四棱锥所有棱长都相等，、分别为、的中点，下列说法错误的是（ ）
A．与是异面直线 B．平面
C． D．
【解题思路】画出图形，利用异面直线以及直线与平面平行的判定定理，判断选项A、B、C的正误，由线线垂直可判断选项D．
【解答过程】由题意可知四棱锥所有棱长都相等，
、分别为、的中点，与是异面直线，A选项正确；
取的中点为，连接、，
四边形为平行四边形，且，
、分别为、的中点，则且，
为的中点，且，则四边形为平行四边形，
，且平面，平面，平面，B选项正确；
若，由于，则，事实上，C选项错误；
，为的中点，，，，D选项正确.
故选：C．
【题型7 异面直线所成的角】
【例7】（2024·新疆喀什·三模）已知底面边长为2的正四棱柱的体积为16，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】如图，确定（或其补角）为直线与所成的角，求出，进而求解.
【解答过程】如图，连接，则，取的中点，连接，则，
所以（或其补角）为直线与所成的角，
又正四棱柱的体积为16，则该棱柱的高为，
又，
所以，
即直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
【变式7-1】（2024·云南·二模）如图，在正方体中，E、F、M、N分别是的中点，则异面直线EF与MN所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】在正方体中，作出异面直线EF与MN所成的角，利用定义法求解即得.
【解答过程】在正方体中，连接，
由，得四边形为平行四边形，，
由E、F、M、N分别是的中点，得，，
因此是异面直线EF与MN所成的角或其补角，
在中，，因此，
所以异面直线EF与MN所成的角是.
故选：C.
【变式7-2】（2024·陕西·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】是中点，连接，易知为直线与所成角的平面角，根据已知条件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.
【解答过程】若是中点，连接，
直三棱柱中且，则为平行四边形，
所以，故直线与所成角即为，
令，又，则且，则，
又，故，又，
所以.
故选：A.
【变式7-3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用平移法作出异面直线与所成角，利用余弦定理解三角形即可求得答案.
【解答过程】
如图所示，不妨取，分别取棱上点，
使得，由，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
在中，由得，
所以故（或其补角）为异面直线与所成角，
因为，所以底面，而底面，所以，
在中，，
所以，
在中，，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
【题型8 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系】
【例8】（2024·上海长宁·二模）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【解题思路】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项.
【解答过程】对于A，由，，则与可能平行，相交，异面，故A错误；
对于B，由，，则或，故B错误；
对于C，由，，则，故C正确；
对于D，由，，则或或，故D错误.
故选：C.
【变式8-1】（2024·浙江绍兴·三模）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【解题思路】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可.
【解答过程】若，，则或，所以A错；，，，，或，所以B错；
若，，，则，所以C错；若，，，则与两面的交线平行，即，故D对.
故选：D.
【变式8-2】（2024·河南·三模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【解题思路】由空间中直线与直线，直线与平面，平面平面的位置关系逐一判断各个选项即可.
【解答过程】A：由，可知、可能平行或相交，A错误；
B：由，，可知、可能平行或异面，B错误；
C：由，，，可知，C正确；
D：由，，，可知、可能平行或异面，D错误.
故选：C.
【变式8-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若，则
D．若 ，则
【解题思路】由线线，线面，面面之间的关系逐项判断即可.
【解答过程】对于选项：若 ，则与平行或相交，故A不正确；
对于选项B：若 ，则与可平行 异面或相交，故B不正确；
对于选项C：若，则 或，故C不正确；
对于选项D：若，则 ，又 ，则 ，即D正确.
故选：D.
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．三条直线最多可确定1个平面 B．三条直线最多可确定2个平面
C．三条直线最多可确定3个平面 D．三条直线最多可确定4个平面
【解题思路】根据平面的性质判断即可.
【解答过程】在空间中，三条直线最多可确定个平面，
例如：三棱锥中的三个侧面.
故选：C.
2．（2024·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解题思路】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.
【解答过程】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交，
反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线，
所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件.
故选：A.
3．（2024高一·全国·专题练面α，β，γ不能将空间分成（ ）
A．5部分 B．6部分
C．7部分 D．8部分
【解题思路】根据三个平面的不同位置关系得出三个平面把空间分成4,6,7,8部分，判断选项得出结果.
【解答过程】三个平面平行时，将空间分成4个部分；
三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分；
当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分；
当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分；
当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分．
所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分．
故选：A．
4．（2024·陕西铜川·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若直线两两相交，则直线共面
B．若直线与平面所成的角相等，则直线互相平行
C．若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则平面与平面平行
D．若不共面的4个点到平面的距离相等，则这样的平面有且只有7个
【解题思路】根据题意，结合空间中直线与平面位置关系的判定和性质，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，当直线交于同一点时，则直线可能不共面，所以A错误；
对于B中，当直线倾斜方向不同时，直线与平面所成的角也可能相等，所以B错误；
对于C中，当这3个点不在平面的同侧时，平面与平面相交，所以C错误；
对于D中，根据题意，显然这4个点不可能在平面的同侧，
当这4个点在平面两侧1，3分布时，这样的平面有4个，
当这4个点在平面两侧2，2分布时，这样的平面有3个，
所以这样的平面有且只有7个，所以D正确.
故选：D．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据线线平行可得异面直线与所成角为（或其补角），即可根据余弦定理求解.
【解答过程】连接，取的中点，连接，
由题意知，，
则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，
故选：C．
6．（2024·宁夏银川·三模）是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】A、B可由书上的公理可直接判断；C可由与相交时，交点为A点的情况进行判断；D可直接根据线面位置关系来判断点面位置关系.
【解答过程】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确；
B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确；
C，有两种情况，与相交或，其中与相交，且交点为A点，则C错误；
D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确；
故选：C.
7．（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．四点共面 B．
C．三线共点 D．
【解题思路】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断.
【解答过程】对于AB，如图，连接，，
因为是的中位线，所以，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，所以 四点共面，故AB正确；
对于C，如图，延长，相交于点，
因为，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面，
因为平面平面，
所以，所以三线共点，故C正确；
对于D，因为，当时，，
又，则，故D错误.
故选：D.
8．（2024·陕西铜川·三模）在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得.
【解答过程】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，
过点作的平行线交于点，易知点都在截面内，
且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形，
所求面积.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·吉林长春·模拟预测）下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
【解题思路】根据基本事实以及推论即可逐项判断.
【解答过程】根据基本事实以及推论，易知A，B正确；
对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；
对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确；
故选：AB.
10．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【解题思路】根据题意，由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可求解.
【解答过程】若，则平行或相交或异面，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则平行或相交，故C错误；
若，则平行或相交，故D错误；
故选：ACD.
11．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点，，，在同一平面内
B．三条直线，，有公共点
C．直线与直线不是异面直线
D．直线上存在点使，，三点共线
【解题思路】对于A：根据平行关系可证，即可得四点共面；对于B：根据平面的性质分析判断；对于C：根据异面直线的判定定理分析判断；对于D：可知与相交，即可判断.
【解答过程】作图，如图：
对于选项A：连接，
因为，可知为平行四边形，则，
又因为，分别为，的中点，则，
可得，所以四点，，，在同一平面内，故A正确；
对于选项B：延长，则相交于点，即，
又因为平面，平面，
则平面，平面，
且平面平面，所以，
即三条直线，，有公共点，故B正确；
对于选项C：因为平面，平面，，
所以直线与直线是异面直线，故C错误；
对于选项D：因为均在平面内，连接，则与相交，
所以直线上存在点使，，三点共线，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
【解题思路】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出.
【解答过程】取的中点，连接，如图所示：
因为为的中点，为的中点，
则根据三角形的中位线定理可得，且.
所以为异面直线与所成的角或其补角．
因为在中，，，，
所以，则.
又，所以．
又在中，，,
所以由余弦定理可得：.
又因为在中，，
所以由余弦定理可得：.
则在中，由余弦定理可得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：.
13．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为 ．
【解题思路】作出辅助线，得到平面截该四棱柱所得截面为五边形，求出各边边长，相加得到答案.
【解答过程】延长相交于点，连接交于点，连接，
因为正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，
所以，，，
因为∽，，故，，
在上取点，连接，则，
同理可知，所以四边形为平行四边形，
故四点共面，
则平面截该四棱柱所得的截面为五边形，
，，
同理，
故截面周长为.
故答案为：.
14．（2024·全国·模拟预测）已知是两个不同的平面，是平面外两条不同的直线，给出四个条件：①；②；③；④，以下四个推理与证明中，其中正确的是 （1）（3） .（填写正确推理与证明的序号）
（1）已知②③④，则①成立
（2）已知①③④，则②成立
（3）已知①②④，则③成立
（4）已知①②③，则④成立
【解题思路】由线面平行，垂直的判定定理和性质定理，以及面面平行的判定，性质定理判断即可，不正确的举出一个反例即可.
【解答过程】（1）若，，所以，因为，所以，（1）正确；
（2）若，，且是平面外的直线，则，又因为，所以与平行或相交，（2）错误；
（3）因为，，则，又因为，是平面外的直线，所以，（3）正确；
（4）若，，且是平面外的直线，则，又因为，则与平行或相交，（4）错误.
故答案为：（1）（3）.
四、解答题
15．（23-24高一·全国·课前预习）用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面相交于一点P，且平面与平面相交于，平面与平面相交于，平面与平面相交于；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
【解题思路】根据点线面的关系，将文字语言转化为符号语言和图形语言．
【解答过程】（1）符号语言表示：,
图形表示：如图
；
（2）符号语言表示：平面平面，平面平面，图形表示：如图
16．（23-24高二·上海·课堂例题）已知直线和平面、，判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若，，则；
(2)若，，则；
(3)若，，则．
【解题思路】根据线线、线面及面面的位置关系逐一判断即可.
【解答过程】（1）命题为假命题，理由如下：
例如，如图所示，平面，，平面.
（2）命题为假命题，理由如下：
例如，如图所示，平面平面，
平面，平面.
（3）命题为假命题，理由如下：
例如，如图所示，平面，
，平面.
17．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．
(1)证明：四点共面；
(2)若平面，求四棱锥的体积．
【解题思路】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论；
（2）利用割补法将四棱锥的体积等价为2个三棱锥的体积之和，同时多次利用三棱锥体积之间的关系进行转化求解．
【解答过程】（1）证明：如图所示，取的中点，连接，
因为分别是的中点，所以，
又因为，所以且，
又由，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，则四点共面．
（2）解：如图所示，过点作交于点，则，
可得，，
连接，则
．
18．（2023·上海·模拟预测）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.
(1)求该圆锥的侧面积与体积；
(2)求异面直线AB与CD所成角的大小.
【解题思路】（1）由圆锥的侧面积与体积公式求解即可；
（2）找到异面直线AB与CD所成角的平面角，计算即可.
【解答过程】（1）由题意，得，，
，
，；
（2）如图：
取PO的中点E，连接DE，CE，因为点D是母线PA的中点，
所以，
则或其补角即为异面直线AB与CD所成角，
因为平面，平面，所以，所以，
因为点C是底面直径AB所对弧的中点，所以，所以,
又，且两直线在平面内，所以平面EOC，平面，∴，，
，
于是，即异面直线AB与CD所成角的大为.
19．（2024·广西河池·模拟预测）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，，，，，为中点，过，，的平面截四棱锥所得的截面为．
(1)若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明．
(2)求多面体的体积．
【解题思路】（1）延长，连接交于，连接，可得截面；过作交于，通过证明，可得；
（2）由（1）可得，后由题目条件可得答案.
【解答过程】（1）延长，连接交于，连接，如图，四边形为截面.
中，，由，则为中点，为中点．
过作交于，则.
,.，即．
（2）.
由题意及（1）可得，.
则；
又可得，点F到平面BEC距离为，
则.
则．
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