专题7.5 空间向量的概念与运算【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 空间向量的线性运算】 4
【题型2 空间共线向量定理的应用】 5
【题型3 空间向量数量积及其应用】 6
【题型4 空间向量基本定理及其应用】 6
【题型5 证明三点共线、四点共面】 7
【题型6 空间向量的坐标运算】 9
1、空间向量的概念与运算
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 2023年新高考I卷：第18题，12分 2024年上海卷：第15题，5分 空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础.从近几年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，常以选择题、填空题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等，难度较易.
【知识点1 空间向量的有关概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．共线向量定理
(1)共线向量定理
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【知识点3 空间向量的数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【知识点4 空间向量基本定理及其应用】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
3．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
5．求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【知识点5 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【方法技巧与总结】
1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点.
【题型1 空间向量的线性运算】
【例1】（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【变式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体中，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 空间共线向量定理的应用】
【例2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．共线 B．共线
C．共面 D．不共面
【变式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【变式2-3】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3 空间向量数量积及其应用】
【例3】（2023·江苏淮安·模拟预测）在四面体中，，，，，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【变式3-1】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 空间向量基本定理及其应用】
【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（ ）
A．若，则∥平面 B．若，则
C．当最小时， D．当最大时，
【题型5 证明三点共线、四点共面】
【例5】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．
(1)当时，试用表示；
(2)证明：四点共面；
【变式5-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
(3)．
【变式5-2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【变式5-3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，.
(1)若三点共线，求的值；
(2)若四点共面，求的最大值．
【题型6 空间向量的坐标运算】
【例6】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量，若共面，则实数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-1】（2023·西藏日喀则·一模）已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·四川内江·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体中，为的重心，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（ ）
A． B．0 C．3 D．
3．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
4．（2024·湖南长沙·一模）在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（ ）
A．10.5 B．12.5
C．22.5 D．42.5
5．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（2023·河南·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为，，若是与的交点，则（ ）
A． B． C． D．3
8．（2024·江苏盐城·模拟预测）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·江苏南京·二模）已知平行六面体的棱长均为2，，点在内，则（ ）
A．平面 B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 .
13．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 .
14．（2024·辽宁·一模）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
16．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点，，，设，．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若，，求．
17．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．求证：四点共面.
18．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，.
(1)试用，，表示；
(2)求的长.
19．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下： .若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
(1)①若，求；
②证明：.
(2)记的面积为，证明：；
(3)问：的几何意义表示以为底面 为高的三棱锥体积的多少倍？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题7.5 空间向量的概念与运算【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 空间向量的线性运算】 4
【题型2 空间共线向量定理的应用】 6
【题型3 空间向量数量积及其应用】 8
【题型4 空间向量基本定理及其应用】 11
【题型5 证明三点共线、四点共面】 14
【题型6 空间向量的坐标运算】 17
1、空间向量的概念与运算
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 2023年新高考I卷：第18题，12分 2024年上海卷：第15题，5分 空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础.从近几年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，常以选择题、填空题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等，难度较易.
【知识点1 空间向量的有关概念】
1．空间向量的概念
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
(4)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
【知识点2 空间向量的线性运算】
1．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．共线向量定理
(1)共线向量定理
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；
②证明三点共线.
【知识点3 空间向量的数量积】
1．空间向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
2．空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
3．空间向量夹角的计算
求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．
4．空间向量数量积的计算
求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入求解．
【知识点4 空间向量基本定理及其应用】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步骤:
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合
相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
3．证明平行、共线、共面问题
(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
5．求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:
(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；
(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；
(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．
【知识点5 空间向量的坐标运算】
1．空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
【方法技巧与总结】
1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点.
2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点.
【题型1 空间向量的线性运算】
【例1】（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【解答过程】由长方体的结构特征，有，
则.
故选：B.
【变式1-1】（2024·上海·模拟预测）设A、B、C、D为空间中的四个点，则“”是“A、B、C、D四点共圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解题思路】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.
【解答过程】由 ，
当“A、B、C、D四点在同一条直线上时， A, B, C, D四点不共圆，
若A、B、C、D四点共圆，当ABCD 是矩形时，此时AC，BD为圆的直径,满足，而当ABCD 不是矩形时，显然AC，BD不是圆的直径，此时.
故选: D.
【变式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面体中，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可得解.
【解答过程】因为四面体中，是的中点，
所以.
故选：B.
【变式1-3】（23-24高二下·江苏徐州·期中）在四棱柱中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】借助空间向量的线性运算计算即可得.
【解答过程】
，故A、B错误；
，故C错误、D正确.
故选：D.
【题型2 空间共线向量定理的应用】
【例2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案.
【解答过程】因为三点共线，所以，
即，故，解得，
所以.
故选：C.
【变式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．共线 B．共线
C．共面 D．不共面
【解题思路】利用空间向量的共线定理与共面定理.
【解答过程】若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.
故选：C.
【变式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【解题思路】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.
【解答过程】根据题意：，，
与共线，所以，
可得，．
故选：B.
【变式2-3】（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.
【解答过程】如图：连接交于H，则H为中点，连接,
因为平面，平面，设，则，
又平面，所以平面，故K为与平面的交点，
又因为与平面交于点F，所以F与K重合，
又E为的中点，G为平面的重心，
因为点A，F，G三点共线，则
又因为点E，F，H三点共线，则，
,
所以，解得，即，故.
故选：C.
【题型3 空间向量数量积及其应用】
【例3】（2023·江苏淮安·模拟预测）在四面体中，，，，，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【解题思路】根据空间数量积的运算律计算可得.
【解答过程】因为，，
所以
，
又，所以，
即，
即，
所以，
所以.
故选：B.
【变式3-1】（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用体积法求出球半径，再利用向量数量积的运算律计算即得.
【解答过程】令是正四棱锥底面正方形中心，则平面，而，
则，正四棱锥的体积，
正四棱锥的表面积，
显然球的球心在线段上，设球半径为，则，即，
在中，，于是，又EF是球O的一条直径，
因此，
显然，则，，
所以的取值范围为.
故选：A.
【变式3-2】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，最小时，有最小值，求的最小值即可.
【解答过程】圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，
则有，，
点在圆锥的侧面上运动，
则，
最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离，
中，，，则，点到的距离，
则的最小值为，的最小值为.
故选：A.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可.
【解答过程】
如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，
显然，
由题意可知，
所以的取值范围为.
故选：A.
【题型4 空间向量基本定理及其应用】
【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解.
【解答过程】取中点为，
三个式子相加可得,
又
,
故选：D.
【变式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【解题思路】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.
【解答过程】，
又，所以，
所以.
故选：B.
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【解答过程】依题意
，
所以
，
所以，即.
故选：C.
【变式4-3】（23-24高二上·湖北·开学考试）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（ ）
A．若，则∥平面 B．若，则
C．当最小时， D．当最大时，
【解题思路】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断.
【解答过程】因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
且平面，可得，
又因为N在侧面上（包含边界），设，且，
可得
，
又因为，可得，且.
对于选项A：若，则，可得点即为点，
显然平面，故A错误；
对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点），
由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误；
过作，垂足为，可得，，
因为平面，平面，则，
且，平面，所以平面，
可得，
对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时，
可得，故C正确；
对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时，
可得，故D错误；
故选：C.
【题型5 证明三点共线、四点共面】
【例5】（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．
(1)当时，试用表示；
(2)证明：四点共面；
【解题思路】（1）根据空间向量线性运算进行求解；
（2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面.
【解答过程】（1）四棱柱中，，
因为，
所以
；
（2）设（不为0），
，
则共面且有公共点，则四点共面.
【变式5-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
(3)．
【解题思路】（1）根据向量的共面定理，即可求解；
（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；
（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【解答过程】（1）解：因为，
由共面向量的基本定理，可得是共面向量
又因为有公共点，所以四点共面.
（2）解：因为，
则
，
所以.
（3）解：由（1）及，
可得，
所以，即.
【变式5-2】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【解题思路】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明即可得.
【解答过程】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，且，
所以，即、、三点共线．
【变式5-3】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，.
(1)若三点共线，求的值；
(2)若四点共面，求的最大值．
【解题思路】（1）由三点共线可设，列方程求；
（2）由四点共面可设，列方程可得的关系，由此可求的最大值．
【解答过程】（1）因为三点共线，则，
又， ，
有}解得；
（2）因为四点共面，则，
则 ，
有 解得，
所以，
当时，取到最大值
【题型6 空间向量的坐标运算】
【例6】（2024·河南·模拟预测）已知空间向量，若共面，则实数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数，使，然后列方程组可求得答案.
【解答过程】因为不共线，共面，
所以存在一对有序实数，使，
所以，
所以，解得，
故选：A.
【变式6-1】（2023·西藏日喀则·一模）已知向量，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
根据垂直关系可得，进而根据坐标运算以及模长公式即可求解.
【解答过程】由于与垂直，所以，所以，
故，
故选：D.
【变式6-2】（2024·四川内江·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【解题思路】利用空间向量的夹角余弦值公式即可求得.
【解答过程】解： ，，
.
故选：B.
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立空间直角坐标系，不妨假设A在平面中，设，，，和分别是点，在平面上的投影，利用向量不等式可得：，即可求解
【解答过程】将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点和点的连线是一条体对角线．
设，，，
和分别是点，在平面上的投影．
可得，，，
则
，
因为，
当且仅当点C为的中点时，等号成立，
可得，
所以，当，，且时等号成立．
故选：B.
一、单选题
1．（2024·河北·模拟预测）如图，在四面体中，为的重心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】
如图，连接并延长交于点.则为的中点，
所以，
所以.
故选：A.
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（ ）
A． B．0 C．3 D．
【解题思路】根据向量的垂直和平行，先求出的值，再求所给向量的模.
【解答过程】由 ，
由 ，.
所以 .
故选：D.
3．（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【解题思路】利用空间向量共线定理求解即可.
【解答过程】因为A、B、D三点共线，所以使得
又，，，
所以
则
则 解得：
故选：A.
4．（2024·湖南长沙·一模）在平行六面体中，已知，，，，，则的值为（ ）
A．10.5 B．12.5
C．22.5 D．42.5
【解题思路】将作为基底，然后用基底表示出，再求其数量积即可.
【解答过程】由题意得，，
因为，，，，，
所以
，
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】根据题意，得到，再由面面平行的性质，证得，结合，即可求解.
【解答过程】如图所示，因为，所以，
因为平面平面，设平面平面，平面平面，所以，
又因为，所以
过点作，可得，
则为的中点，为的四等分点，
又因为，所以为的四等分点，所以.
故选：C．
6．（2024·山东日照·二模）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解.
【解答过程】取中点，可知在球面上，可得，
所以，
点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，，
所以的最大值为.
故选：B.
7．（2023·河南·模拟预测）如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为，，若是与的交点，则（ ）
A． B． C． D．3
【解题思路】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义用表示出，再应用向量数量积的运算律求即可.
【解答过程】在平行六面体中，四边形是平行四边形，
又是的交点，所以是的中点，
所以，
由题意，，，
所以，即．
故选：B.
8．（2024·江苏盐城·模拟预测）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知可求得，建立空间坐标系，利用已知设，，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果.
【解答过程】平面，，连接，由，可得，
四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系，
则，，设，，
则，
所以
因为，则，则，
所以.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高二下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【解题思路】利用向量加法的运算，对四个式子逐一计算出结果，由此得出正确选项.
【解答过程】对于A,；
对于B，；
对于C,；
对于D,．
故选：ABCD.
10．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可．
【解答过程】由题意可知，，
对于A，，故A正确；
对于B，又因为，
所以，
所以，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：AD．
11．（2024·江苏南京·二模）已知平行六面体的棱长均为2，，点在内，则（ ）
A．平面 B．
C． D．
【解题思路】由面面平行的判定及性质即可判断A；以为基底，证明出平面，即可判断B；由即可判断出D；由正弦定理，勾股定理及函数单调性即可判断出C．
【解答过程】对于A，连接，
由平行六面体得，平面平面，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面，故A正确；
对于B，以为基底，
则，，，
因为平行六面体的棱长均为2，，
所以，
，
所以，
因为平面，且，
所以平面，又平面，
所以，故B正确；
对于D，，
，即，
所以，当点共线时等号成立，故D正确；
对于C，因为平面，则交的外心，连接，
则，
在中，由正弦定理得外接圆直径，，则，，
设，
在中，，
在中，，
则，
所以，故C错误；
故选：ABD．
三、填空题
12．（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 3 .
【解题思路】根据空间向量共面得到，得到方程，求出
【解答过程】设，即，
故，解得.
故答案为：3.
13．（2024·山东济南·一模）在三棱柱中，，，且平面，则的值为 .
【解题思路】利用三棱柱模型，选择一组空间基底，将相关向量分别用基底表示，再利用平面，确定必共面，运用空间向量共面定理表达，建立方程组计算即得.
【解答过程】
如图，不妨设，依题意，,
，
因，则
又因平面，故必共面，
即存在，使，即，
从而有，解得.
故答案为：.
14．（2024·辽宁·一模）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则 ．
【解题思路】首先分析题意，由结合空间向量的数量积定义求解的值，进行下一步化简得出则当时，取得最小值，得到，多次求解二次函数最值可得答案.
【解答过程】因为且两者均为单位向量，所以
，
又因为对于任意的 都有，
则当时，取得最小值，
则当
，
令，
由二次函数性质得当,
令，同理，即，
故，
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
【解题思路】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【解答过程】（1），
向量如图所示，
（2）；
向量如图所示，
（3），
设是线段的中点，
则.
向量如图所示，
16．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知空间三点，，，设，．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若，，求．
【解题思路】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案.
【解答过程】（1），
故，
，
因为互相垂直，所以，
解得或；
（2），
设，则且，
解得或，
故或.
17．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．求证：四点共面.
【解题思路】易知，由线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量坐标方法，设建立方程待定，即可证明四点共面.
【解答过程】因为平面是菱形，所以，
由平面，平面，得，
所以两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
，
则，
由知，点为靠近的三等分点，则，
所以，
设，则，解得，
则，所以共面，
又直线的公共点为，所以四点共面.
18．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，.
(1)试用，，表示；
(2)求的长.
【解题思路】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据数量积的运算律求出，即可得解.
【解答过程】（1）依题意可得
（2）依题意可得，
所以
，
所以，即.
19．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下： .若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
(1)①若，求；
②证明：.
(2)记的面积为，证明：；
(3)问：的几何意义表示以为底面 为高的三棱锥体积的多少倍？
【解题思路】（1）利用向量的叉乘的定义进行分析运算即可；
（2）利用数量积公式求得，则，可得，借助叉乘公式利用分析法即可证得结果；
（3）由，化简可得，即可得到结果.
【解答过程】（1）①解：因为，
则.
②证明：设，
则
，
与互换，与互换，与互换，
可得，
故.
（2）证明：因为
.
故，
故要证，
只需证，
即证.
由（1），
故，
又，
则成立，
故.
（3）由（2），
得
，
故，
故的几何意义表示：
以为底面 为高的三棱锥体积的6倍.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
