专题8.2 两条直线的位置关系【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 两条直线的平行与垂直】 3
【题型2 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 4
【题型3 两直线的交点问题】 5
【题型4 距离问题】 7
【题型5 与距离有关的最值问题】 9
【题型6 点（或直线）关于点对称】 11
【题型7 点关于直线对称】 12
【题型8 直线关于直线的对称问题】 15
【题型9 直线系方程】 17
1、两条直线的位置关系
考点要求 真题统计 考情分析
(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直 (2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标 (3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 2022年上海卷：第7题，5分 2024年北京卷：第3题，4分 从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度不大；复习时应加强对距离公式、对称关系的掌握，灵活求解.
【知识点1 两条直线的位置关系】
1．两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （当时，记为）
垂直 k1·k2=-1 （当时，记为）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为）
2．平行的直线的设法
平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
3．垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
【知识点2 三种距离公式】
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
【知识点3 点、线间的对称关系】
1．六种常用对称关系
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x).
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
【知识点4 直线系方程】
1．直线系方程
过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线.
【题型1 两条直线的平行与垂直】
【例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.
【解答过程】当时，直线，则，
当时，，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得.
【解答过程】由题意可得，解得.
故选：A.
【变式1-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出直线平行的充要条件为，结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【解答过程】若，则有，所以或，
当时，，故，重合；
当时，，满足条件，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【变式1-3】（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【解答过程】直线的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线的斜率为，
即且，，所以.
故选：D.
【题型2 求与已知直线平行、垂直的直线方程】
【例2】（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解.
【解答过程】因为直线平行于直线，所以直线可设为，
因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，
解得，所以直线的方程是.
故选：C.
【变式2-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】直线的斜率为，故所求直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线方程是，
即.
故选：C.
【变式2-2】（2024·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.
【解答过程】设边上的高所在的直线为，
由已知可得，，所以直线l的斜率.
又过，所以的方程为，
整理可得，.
故选：A.
【变式2-3】（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据直线与平行设出直线方程，根据过点即可求解.
【解答过程】设直线方程为，因为直线过点，
所以，所以直线方程为.
故选C.
【题型3 两直线的交点问题】
【例3】（2024·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ）
A．4 B．2 C． D．
【解题思路】求出直线与直线的交点，再代入求解作答.
【解答过程】解方程组，得直线与直线的交点，
依题意，，解得，
所以实数.
故选：A.
【变式3-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】两个方程的联立，加减消元法计算即可.
【解答过程】……①
……②
①+②得：……③
③代入②有：……④
由③④得交点坐标为：.
故选：B.
【变式3-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.
【解答过程】由题知：，解得：，交点.
直线的斜率为，所求直线斜率为.
所求直线为：，即.
故选：B.
【变式3-3】（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解.
【解答过程】①时，则，解得，经检验符合题意；
②时，则，解得，经检验符合题意；
③时，则，解得，经检验符合题意；
④三条直线交于一点，解得或，
则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个.
故选：D.
【题型4 距离问题】
【例4】（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解.
【解答过程】因为，所以，，
解得，所以，
故两平行直线间的距离．
故选：C．
【变式4-1】（2024·海南海口·模拟预测）设，若函数图象上任意一点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意结合两点间距离公式分析运算.
【解答过程】因为点在函数图象上，则，即，
又因为，则，
整理得，
由于对恒成立，则，解得.
故选：C.
【变式4-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知方程在实数范围内有解，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将方程中的看成主元，看成系数可得，表示一条直线，直线上的点为，根据的几何意义确定点到点的距离不小于到直线的距离，结合点到直线的距离公式和二次函数的性质即可求解.
【解答过程】由题意知，将方程中的看成主元，看成系数，
则变成二元一次方程，
该方程可以表示直角坐标系中的一条直线，直线上的点为，
的几何意义是点与的距离，
所以直线上的点到点的距离不小于到直线的距离，
到直线的距离为
，
即，所以，
又，是开口向上的抛物线，
当时，，所以，
即的最小值为.
故选：A.
【变式4-3】（2024·江苏南京·一模）已知实数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据题意设直线：，点，利用点到直线的距离公式得点A到直线的距离为，由直线的斜率不存在得，由得，化简即可求解.
【解答过程】
根据题意，设直线：恒过原点，点，
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时，，
所以，即，
因为，所以.
故选：A.
【题型5 与距离有关的最值问题】
【例5】（2024·吉林·二模）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线所过定点的坐标，分析可知当时，原点到直线的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数的值.
【解答过程】直线方程可化为，
由可得，
所以，直线过定点，
当时，原点到直线的距离最大，且，
又因为直线的斜率为，解得.
故选：B.
【变式5-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A． B． C． D．
【解题思路】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.
【解答过程】因为，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即，所以|PQ|的最小值为.
故选：C.
【变式5-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【解题思路】将集合看作是直线的集合，求出定点坐标，即可得出答案.
【解答过程】集合可以看作是表示直线上的点的集合，
由变形可得，，
由可得，，
所以直线过定点.
集合可看作是直线上的点的集合，
由变形可得，，
由可得，，
所以，直线过定点.
显然，当点与点分别重合，且线段与直线都垂直时，有最大值.
故选：D.
【变式5-3】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案.
【解答过程】，
则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，
即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值，
即．
故选：A.
【题型6 点（或直线）关于点对称】
【例6】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A． B． C． D．（1，0）
【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.
【解答过程】由题设关于对称的点为，若该点必在上，
∴，解得，即一定在直线上.
故选：C.
【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
【解题思路】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.
【解答过程】由于直线与直线关于点对称，
所以两直线平行，故，则，
由于点在直线上，关于点的对称点为，
故在上，代入可得，故，
故选：A.
【变式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.
【解答过程】由题设，关于对称的点必在上，若该点为，
∴，解得，即一定在直线上.
故选：C.
【变式6-3】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【解答过程】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.
故选：D.
【题型7 点关于直线对称】
【例7】（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出对称点，根据对称 关系列出式子即可求解.
【解答过程】解：设点关于直线的对称点是，
则有，解得，，
故点关于直线的对称点是.
故选：B.
【变式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
【解题思路】利用光线反射定理结合点关于直线的对称点即可求得光线所经过的路程.
【解答过程】直线的方程为，点关于y轴的对称点为，
设点E关于直线的对称点为，
则，解之得，则
设点射出的光线交y轴于点C，交直线于点D，
则光线所经过的路程为
故选：C.
【变式7-2】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】找出对称点，发现特殊情况路径最短，用两点间距离公式求解即可.
【解答过程】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为，
由轴对称性质得，，，
解得，，故，
即与重合时，将军饮马的总路程最短，
则最短路程为.
故选：C.
【变式7-3】（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可.
【解答过程】
一束光线从出发，经直线反射,与交于点P,
由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上，
设,则,,
故光线从A到B所经过的最短路程是.
故选：C.
【题型8 直线关于直线的对称问题】
【例8】（2024·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线上一点，即可求解.
【解答过程】联立，得，
取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得：，
直线的斜率，所以直线的方程为，
整理为：.
故选：A.
【变式8-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案.
【解答过程】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，
则，解得，
∵点在直线上，即，
∴，化简得，即为所求直线方程.
故选：B.
【变式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程．
【解答过程】设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以反射光线所在直线方程为，即．
故选：B．
【变式8-3】（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解.
【解答过程】因为直线：与：，
所以，
又两条平行直线：与：之间的距离是，
所以解得
即直线：，：，
设直线关于直线对称的直线方程为，
则，解得，
故所求直线方程为，
故选：A.
【题型9 直线系方程】
【例9】（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.
【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为，
代入原点坐标，得，解得，
故所求直线方程为，即.
故选：D.
【变式9-1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.
【解答过程】解：设直线方程为，
即
令，得，
令，得.
由，
得或.
所以直线方程为或.
故选：C.
【变式9-2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ．
【解题思路】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程.
【解答过程】令所求直线为，
又直线过原点，则，
所以所求直线为.
故答案为：.
【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式）
【解题思路】设交点系方程，结合直线过求方程即可.
【解答过程】由题设，令直线的方程为，且直线过，
所以，故直线的方程为.
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线，直线，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【解答过程】若直线和直线平行，
则，解得，
所以“”是“或”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线：，：之间的距离是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解题思路】利用平行直线间的距离公式即可得解.
【解答过程】因为：，：，
所以它们之间的距离为.
故选：B.
3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由，计算得或，即可判断.
【解答过程】因为，
所以，
解得或，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
4．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
【解答过程】直线l：，
整理得，
由，可得，
故直线恒过点，
点到的距离，
故；
直线l：的斜率，
故，解得
故选：B.
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.
【解答过程】
如图，设点关于直线的对称点为，
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．
故，
故选：B.
6．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】令得点坐标,再根据和斜率公式,得直线的斜率,结合点斜式求解即可.
【解答过程】直线与轴相交于点,令得
由题知且直线的斜率得
易知点在直线上,根据点斜式得即.
故选：C.
7．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．3 C． D．5
【解题思路】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可.
【解答过程】设点关于直线对称的点为，
则有，
所以“将军饮马”的最短总路程为，
故选：C.
8．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解题思路】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【解答过程】对于①，若，则，该方程组无解，①错；
对于②，若，则，解得，②对；
对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；
对于④，直线的方程为，
若，使得原点到的距离为，则，整理可得，
，方程有解，④对.
故选：C.
二、多选题
9．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线，直线，则（ ）
A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行
C．当 时， D．当时，
【解题思路】根据直线平行和垂直对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】当时，直线，此时直线与轴平行，B项正确；
若，则直线，此时直线与轴平行，A项正确；
若 ，则，解得，
经验证可知此时两直线不重合，C项正确；
若，则，解得，D项错误.
故选：ABC.
10．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.
【解答过程】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由已知得，
所以或，
所以直线的方程为或.
故选：AC.
11．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短 在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
【解题思路】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断.
【解答过程】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为，
由解得，
所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误；
对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误；
对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，；
点关于直线的对称点为，
所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确；
对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为，
由解得；点关于直线的对称点为，
将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
【解题思路】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.
【解答过程】联立与可得，
故交点为，倾斜角为，所以斜率为1，
故直线方程为，即，
故答案为：.
13．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 .
【解题思路】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果.
【解答过程】因为，
即，当且仅当时取等号，
，即的最大值为.
故答案为：.
14．（2024·四川成都·模拟预测）已知直线经过点，且被两条平行直线和截得的线段长为，则直线的方程为 或 ．
【解题思路】直线分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率不存在时直线是轴，求交点坐标即可；当直线的斜率存在时，设定直线的方程并与直线的方程联立求交点，满足弦长即可.
【解答过程】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：，
此时与的交点分别为和，
截得的线段的长为：，不符合题意．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为：，
解方程组，得点，
解方程组，得点.
由，得，
即，解得：，
则直线的方程为：或.
故答案是：或.
四、解答题
15．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【解题思路】（1）依题意可得，求出参数的值，再代入检验；
（2）根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.
【解答过程】（1）因为，所以，
整理得，即，
解得或．
当时，，此时与重合，不符合题意；
当时，，符合题意．
故．
（2）因为，所以，
解得．
16．（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.
(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；
(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.
【解题思路】（1）利用直线的交点坐标同时在两直线上解方程组即可得到结果；
（2）分直线的斜率存在与否，不存在时，直接验证即可；存在时利用点斜式设出直线方程，再由点到直线的距离解出斜率，得到直线方程即可.
【解答过程】（1）由题意得，即解得
；
（2）显然直线：满足条件. 此时，直线的斜率不存在.
当直线的斜率存在时，设，即.
点到直线的距离为，
，即，得，
得直线
综上所述，直线的方程为 和
17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
【解题思路】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程；
（2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值.
【解答过程】（1）解：联立，解得，
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为；
故所求直线方程为，即
（2）设点关于直线对称的点为，
，解得
则，
故的最小值为.
18．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：．
(1)求直线经过的定点坐标；
(2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
【解题思路】（1）分离参数，列方程可得直线过定点；
（2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程.
【解答过程】（1）由直线：，即，
令，解得，
故直线恒过定点；
（2）设关于的对称点，则，
关于的对称点，
由直线的方程为，即，
所以，解得，
所以，
由题意得、、、四点共线，，
由对称性得，
所以入射光线的直线方程为，
即．
19．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线.
(1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程;
(2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值 若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由;
【解题思路】（1）求出直线AC的斜率，根据即可求出倾斜角，由直线点斜式方程即可求出直线的方程；
（2）根据直线只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定直线及交点，点到直线的距离为，则，再探究是否存在最大值.
【解答过程】（1）因为，所以，
所以直线的倾斜角为，
因为，所以，
所以直线的方程为：，化简得：.
（2）将直线变形可得：，
对于取任何实数时，此方程恒成立，则
得，
即直线恒过两直线及的交点，
由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．
又因为过点且垂直于的直线方程是，
但无论时，直线表示为，
此时距离最大．所以，存在最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.2 两条直线的位置关系【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 两条直线的平行与垂直】 3
【题型2 求与已知直线平行、垂直的直线方程】 3
【题型3 两直线的交点问题】 4
【题型4 距离问题】 4
【题型5 与距离有关的最值问题】 5
【题型6 点（或直线）关于点对称】 5
【题型7 点关于直线对称】 6
【题型8 直线关于直线的对称问题】 6
【题型9 直线系方程】 7
1、两条直线的位置关系
考点要求 真题统计 考情分析
(1)能根据斜率判定两条直线平行或垂直 (2)能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标 (3)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 2022年上海卷：第7题，5分 2024年北京卷：第3题，4分 从近几年的高考情况来看，高考对两条直线的位置关系、距离公式的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度不大；复习时应加强对距离公式、对称关系的掌握，灵活求解.
【知识点1 两条直线的位置关系】
1．两条直线的位置关系
斜截式 一般式
方程 l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交 k1≠k2 （当时，记为）
垂直 k1·k2=-1 （当时，记为）
平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为）
重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为）
2．平行的直线的设法
平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.
3．垂直的直线的设法
垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
【知识点2 三种距离公式】
1．两点间的距离公式
平面内两点间的距离公式为.
特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=.
2．点到直线的距离公式
(1)定义：
点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.
(2)公式：
已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=.
3．两条平行直线间的距离公式
(1)定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
(2)公式
设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=.
【知识点3 点、线间的对称关系】
1．六种常用对称关系
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y).
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x).
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
【知识点4 直线系方程】
1．直线系方程
过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线.
【题型1 两条直线的平行与垂直】
【例1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2024·河南·三模）已知直线与直线垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 求与已知直线平行、垂直的直线方程】
【例2】（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·广东珠海·模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 两直线的交点问题】
【例3】（2024·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ）
A．4 B．2 C． D．
【变式3-1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型4 距离问题】
【例4】（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·海南海口·模拟预测）设，若函数图象上任意一点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知方程在实数范围内有解，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·江苏南京·一模）已知实数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 与距离有关的最值问题】
【例5】（2024·吉林·二模）直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24高三上·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式5-3】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 点（或直线）关于点对称】
【例6】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A． B． C． D．（1，0）
【变式6-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
【变式6-2】（23-24高二上·北京海淀·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24高一下·内蒙古包头·期末）与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型7 点关于直线对称】
【例7】（2024·浙江·模拟预测）点关于直线的对称点是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24高二上·福建三明·期中）已知，从点射出的光线经y轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
【变式7-2】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24高二上·浙江宁波·期中）如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 直线关于直线的对称问题】
【例8】（2024·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型9 直线系方程】
【例9】（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（ ）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【变式9-1】（23-24高二上·重庆·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式9-2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ．
【变式9-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式）
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线，直线，则“”是“或”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线：，：之间的距离是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B．3 C． D．5
8．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
二、多选题
9．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知直线，直线，则（ ）
A．直线可以与轴平行 B．直线可以与轴平行
C．当 时， D．当时，
10．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短 在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
三、填空题
12．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 .
13．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 .
14．（2024·四川成都·模拟预测）已知直线经过点，且被两条平行直线和截得的线段长为，则直线的方程为 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线，直线．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
16．（2024·陕西西安·二模）解答下列问题.
(1)已知直线与直线相交，交点坐标为，求的值；
(2)已知直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程.
17．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知两直线.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
18．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：．
(1)求直线经过的定点坐标；
(2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
19．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线.
(1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程;
(2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值 若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由;
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