专题8.3 圆的方程【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 求圆的方程】 3
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】 5
【题型3 圆过定点问题】 6
【题型4 点与圆的位置关系的判断】 8
【题型5 与圆有关的轨迹问题】 9
【题型6 与圆有关的对称问题】 11
【题型7 圆系方程】 12
【题型8 与圆有关的最值问题】 14
1、圆的方程
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程 (2)能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 2022年全国乙卷（文数）：第15题，5分 2022年全国甲卷（文数）：第14题，5分 2023年全国乙卷（文数）：第11题，5分 2023年上海卷：第7题，5分 2024年北京卷：第3题，4分 2024年天津卷：第12题，5分 从近几年的高考情况来看，高考对圆的方程的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度不大；有时也会与距离公式、圆锥曲线等结合考查，复习时应熟练掌握圆的方程的求法，灵活求解.
【知识点1 圆的定义和圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是.
5．圆的参数方程
圆 (r>0)的参数方程为，其中为参数.
6．求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【知识点2 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【知识点3 轨迹方程】
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2.求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【方法技巧与总结】
1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
3．圆心在任一弦的垂直平分线上.
【题型1 求圆的方程】
【例1】（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】借助待定系数法计算即可得.
【解答过程】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为，
则有，解得，
故该圆方程为.
故选：D.
【变式1-1】（2024·河南·模拟预测）圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据圆心在射线上，设出圆心坐标，利用圆心到原点距离等于半径求得圆心坐标，即可求出圆的方程.
【解答过程】因为圆心在射线上，故设圆心为，
又半径为5，且经过坐标原点，所以，解得或（舍去），
即圆的圆心坐标为，则圆的方程为，
即.
故选：C.
【变式1-2】（2024·北京·模拟预测）圆心为且和轴相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意先求出圆的半径，再根据圆心坐标，求得它的标准方程．
【解答过程】解：圆心为且和轴相切的圆，它的半径为1，
故它的的方程是，
故选：A．
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴交于四点，其中，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，圆的内接四边形的面积为，则圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】根据题意几何条件分别求出、D坐标，然后求出圆心坐标及半径，从而求解.
【解答过程】设，则．
又因为，解得（负值舍去），
因此圆心，圆的方程为，
即，故B正确.
故选:B．
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】
【例2】（2024·贵州·模拟预测）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案.
【解答过程】，即，
∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
【变式2-1】（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【解题思路】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可.
【解答过程】由题意可得：，解得或，
所以方程表示圆的充要条件是或.
故选：D.
【变式2-2】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断.
【解答过程】若方程表示圆，
则，
解得，
又，所以或，
即程表示的圆的个数为.
故选：B.
【变式2-3】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据方程表示圆的条件可得结果.
【解答过程】因为方程表示一个圆，
所以，
即，所以或，
故选：C.
【题型3 圆过定点问题】
【例3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【解答过程】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
【变式3-1】（23-24高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【解答过程】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 （0，－2）和（0，1） .
【解题思路】根据题意，进行求解即可.
【解答过程】方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.
由，得，
所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）.
故答案为：（0，－2）和（0，1）.
【变式3-3】（23-24高三上·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 和 （其坐标与无关）
【解题思路】设出的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求出系数，得圆的方程（含有），分析此方程可得圆所过定点．
【解答过程】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则
，
①－②得，，∴，从而，
代入③得，
∴圆方程为，
整理得，
由得或．
∴圆过定点和．
故答案为：和．
【题型4 点与圆的位置关系的判断】
【例4】（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.
【解答过程】由题意知，
故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，
所以实数的范围为.
故选：C.
【变式4-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.
【解答过程】依题意，方程可以表示圆，则，得；
由点在圆的外部可知：，得.
故.
故选：C.
【变式4-2】（24-25高三上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解题思路】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解.
【解答过程】点在圆内，
所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
【解题思路】根据题意，进行求解即可.
【解答过程】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，
∴ (2a)2＋a2＜5，
解得－1＜a＜1.
故选：A.
【题型5 与圆有关的轨迹问题】
【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设圆上任意一点为，中点为，由中点坐标公式可求得，代入圆的方程即可求得轨迹方程．
【解答过程】解：设圆上任意一点为，中点为，
则，可得，
代入得，
化简得．
故选：D．
【变式5-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用相关点法求得点的轨迹方程，进而求得面积.
【解答过程】设线段的中点，，
则，即，
又因为端点在圆上运动，所以，
即，
整理得：，
所以点的轨迹方程是以圆心为，半径为的圆.
所以该圆的面积为.
故选：C.
【变式5-2】（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（ ）
A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆
C．E是两条平行直线 D．E 是椭圆
【解题思路】设，由题有，，代入化简即可得出答案.
【解答过程】设，由题有，，
所以，，
所以，即，
所以点的轨迹是一个半径为1的圆，
故选：B．
【变式5-3】（2024·山东德州·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接设，根据两点间距离公式代入运算整理．
【解答过程】∵，即
设，则，整理得
故选：B．
【题型6 与圆有关的对称问题】
【例6】（2024·浙江·模拟预测）圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据点关于直线对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.
【解答过程】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，
因为点关于直线的对称点为，
所以圆C：关于直线对称的圆的方程是
，
故选：C.
【变式6-1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程.
【解答过程】圆的圆心为，半径为，
关于直线的对称点是，
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的方程为.
故选：D.
【变式6-2】（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得.
【解答过程】圆的圆心为，
圆的圆心为，
所以、的中点坐标为，又，
则，所以直线的方程为，即.
故选：A.
【变式6-3】（2024·陕西宝鸡·一模）已知圆关于直线对称，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【解题思路】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出的最大值.
【解答过程】解：由题意
在圆中，
∴圆心为，半径为1
在直线中，
圆关于该直线对称
∴直线过圆心，
∴，即：
∵
解得：
当且仅当时等号成立
∴的最大值为.
故选：D.
【题型7 圆系方程】
【例7】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A． B．．
C． D．
【解题思路】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案.
【解答过程】由题意设所求圆的方程为，
即，
圆心坐标为，代入中，
即，解得，
将代入中，即，
满足，
故所求圆的方程为，
故选：A.
【变式7-1】（2024高二·辽宁·学业考试）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ．
【解题思路】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程，从而求出圆的方程.
【解答过程】设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入，可得，
所以所求圆的方程为．
故答案为：.
【变式7-2】（23-24高一下·江西九江·期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为 .
【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程.
【解答过程】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为； ，又圆心在直线上，可得；解得.
所以圆的方程为：.
故答案为：.
【变式7-3】（2024高三下·全国·专题练习）求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程.
【解题思路】根据题意，设圆的方程为，得出圆心坐标代入直线方程，求得的值，进而得到圆的方程.
【解答过程】设所求圆的方程为，
整理得，
即，
可得所求圆的圆心坐标为，
因为所求圆的圆心在直线上，可得，
解得，代入整理得
即所求圆的方程为.
【题型8 与圆有关的最值问题】
【例8】（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可.
【解答过程】令，即求的最小值.
设，则，
整理，得点的轨迹方程为.
又点在圆上，
所以，解得，所以，
所以，
即的最小值为.
故选：A.
【变式8-1】（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】由题可得点满足的圆方程，进而，然后利用基本不等式结合条件即得.
【解答过程】由题意可得点的坐标满足，所以，．
因此，
.
当且仅当时，即时取等号．
故选: D．
【变式8-2】（2024·湖北黄石·三模）已知在等腰直角三角形中，，点在以为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立坐标系，先把转化为，其中，再利用两点之间线段最短求解.
【解答过程】如图：建立平面直角坐标系.则，,取.设
则.
所以 ，
又.
故选：B.
【变式8-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出圆的圆心及半径，直线所过定点，借助向量运算得，利用三角代换结合辅助角公式及三角函数性求出最大值.
【解答过程】圆C：的圆心为，半径为2，
直线l的方程可化为，于是l过定点，且，
显然，即，
又，因此，
设，，显然，
则，其中，当时等号成立，此时，
，符合条件，
所以的最大值为．
故选：D.
一、单选题
1．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案.
【解答过程】设经过，，三个点的圆的方程为
，
由题意可得，解得，
且满足，
所以经过，，三个点的圆的方程为，
即为.
故选：C.
2．（2024·浙江·一模）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】将一般方程化为标准方程即可求解.
【解答过程】圆，即，
它的圆心坐标和半径分别为.
故选：A.
3．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据表示圆得，又利用点在圆外得，从而可得结果.
【解答过程】因为可化为，则，所以．
又点在圆的外部，所以，故，
综上，．
故选：A.
4．（2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可.
【解答过程】由圆经过点，可得，
即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
又，所以圆心到原点的距离的最大值为.
故选：C.
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】将点代入圆中得并结合，可得，再使用重要不等式求解即可.
【解答过程】由题意可知，点在圆上，
所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，当且仅当取等号.
故选：B.
6．（23-24高二上·广西玉林·期末）若直线在轴 轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题思路】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可.
【解答过程】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心，
直线方程为，或，将点代入上式，解得
直线的方程为或.
故选：C.
7．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，根据点关于直线的对称得到，点为以为圆心，半径为1的圆，（除去），数形结合得到面积的最大值.
【解答过程】设，则与的中点坐标为，
由题意得，
消去得，
故点为以为圆心，半径为1的圆，（除去），
故的最大值为2，位于的正上方，
故面积的最大值为
故选：B.
8．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【解题思路】利用圆的性质及“将军饮马”模型计算最值即可.
【解答过程】
如图所示，易知，两圆半径分别为，
取点关于横轴的对称点A，则，在横轴上任取一点，连接，
连接交横轴于P，交圆于E(圆上靠近横轴一点)，连接交圆于F(圆上靠近横轴一点)，
则 ，
当且仅当，，对应重合时等号成立，
此时的最小值为.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·广西·模拟预测）若点在圆的外部，则的取值可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
【解题思路】由圆，结合点在圆外列不等式组求参数范围.
【解答过程】由题设，在圆外，
则，解得.
故选：BC.
10．（2024·山西临汾·三模）已知是以为圆心，为半径的圆上任意两点，且满足，是的中点，若存在关于对称的两点，满足，则线段长度的可能值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】由已知得出点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，得出的范围，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出范围，进而判断出答案．
【解答过程】因为，
所以，
因为是中点，所以，
所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设为点，则，
所以，
又，两点关于点对称，
所以为直角三角形，且为斜边中点，则，
所以，
故选：BCD．
11．（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知曲线:，则（ ）
A．曲线围成图形面积为
B．曲线的长度为
C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2
D．曲线上任意两点间最大距离
【解题思路】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案.
【解答过程】当时，曲线；
当时，曲线；
当时，曲线；
当时，曲线；
当时，曲线为原点.
画出曲线的图形，如图所示.
对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆，
故面积为，故A正确；
对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确；
对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误；
对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点在圆外部”的一个的值：
4（答案不唯一， ） ．
【解题思路】利用方程表示圆、点在圆外列出不等式组求解即得.
【解答过程】圆，则，
由点在圆外部，得，
解得，取.
故答案为：4（答案不唯一， ）.
13．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．
【解题思路】设，先求出直线和恒过的定点，，由可得，即可得出答案.
【解答过程】因为，所以直线过点，
直线过点，
因为，所以，设，
所以，所以，
所以，化简可得：.
故答案为：.
14．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 .
【解题思路】根据圆的方程得到圆心的轨迹，然后根据几何知识得到当时线段的长度最小，
然后求线段的长度即可.
【解答过程】
圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上，
当时线段的长度最小，
点到直线的距离，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段的中点M的轨迹C的方程．
【解题思路】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果；
（2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果.
【解答过程】（1）圆的方程可变形为，
故的圆心坐标为，半径为2.
（2）设，因为点M是的中点，，
，
故，
由此可得，
故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆.
16．（23-24高二上·湖南永州·期末）的顶点是，，．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求过点A，B，C的圆方程．
【解题思路】（1）求出直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式求出直线方程，得到答案；
（2）设出圆的一般方程，待定系数法进行求解.
【解答过程】（1）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，
故边上的高所在直线的方程为，即；
（2）设圆的方程为，
将，，代入得
，解得，
故圆的方程为.
17．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆．
(1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；
(2)若圆与关于直线对称，求的标准方程．
【解题思路】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解.
（2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解.
【解答过程】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4．
因为，所以可设的一般式方程为，
将代入，解得，
故的一般式方程为．
（2）设的圆心为，由与关于直线对称，
可得，解得
所以的标准方程为．
18．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P在圆C上运动，求的取值范围．
【解题思路】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可；
（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.
【解答过程】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上，
又圆心C在直线上，联立直线方程有，得，
即圆心坐标为，
又，
故圆C的标准方程为．
（2）设，易知，
则（*），
因为点P在圆C上运动，则，
故（*）式可化简为，，
由得的取值范围为．
19．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形的三个顶点，，．
(1)求过A，B，C三点的圆的方程．
(2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程．
【解题思路】
（1）方法一：根据斜率分析可知，结合直角三角形的外接圆的性质分析求解；方法二：设圆的一般方程，代入A，B，C三点运算求解即可；
（2）利用向量关系求得.方法一：根据题意可知直线l过线段的中点，再利用直线的两点式方程运算求解；方法二：设l与相交于点，可知，利用向量关系求得点，再利用直线的两点式方程运算求解.
【解答过程】（1）
方法一：因为，，，
则，，
由，得，
则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点，
半径，
所以过A，B，C三点的圆的方程为；
方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为，
则，解得，
故过A，B，C三点的圆的方程为，即.
（2）
设，
由题意可得：，，
因为线段上靠近点A的三等分点为E，则，
则，解得，即．
方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点，
所以直线l的方程为，整理得；
方法二：设l与相交于点，则，
由直线l平分四边形的面积，可得，
则，解得，即，
所以直线l的方程为，整理得.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.3 圆的方程【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 求圆的方程】 3
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】 4
【题型3 圆过定点问题】 5
【题型4 点与圆的位置关系的判断】 5
【题型5 与圆有关的轨迹问题】 5
【题型6 与圆有关的对称问题】 6
【题型7 圆系方程】 7
【题型8 与圆有关的最值问题】 7
1、圆的方程
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程 (2)能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 2022年全国乙卷（文数）：第15题，5分 2022年全国甲卷（文数）：第14题，5分 2023年全国乙卷（文数）：第11题，5分 2023年上海卷：第7题，5分 2024年北京卷：第3题，4分 2024年天津卷：第12题，5分 从近几年的高考情况来看，高考对圆的方程的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式考查，难度不大；有时也会与距离公式、圆锥曲线等结合考查，复习时应熟练掌握圆的方程的求法，灵活求解.
【知识点1 圆的定义和圆的方程】
1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程，对比圆的一般方程
，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程表示圆的条件是.
5．圆的参数方程
圆 (r>0)的参数方程为，其中为参数.
6．求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
【知识点2 点与圆的位置关系】
1．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为
.平面内一点.
位置关系 判断方法
几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程)
点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2
点在圆内 |MA|点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2
【知识点3 轨迹方程】
1．轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).
(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.
2.求轨迹方程的步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
(2)列出关于x,y的方程；
(3)把方程化为最简形式；
(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；
(5)作答.
【方法技巧与总结】
1．以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上.
3．圆心在任一弦的垂直平分线上.
【题型1 求圆的方程】
【例1】（2024·辽宁大连·一模）过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·河南·模拟预测）圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2024·北京·模拟预测）圆心为且和轴相切的圆的方程是
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴交于四点，其中，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，圆的内接四边形的面积为，则圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】
【例2】（2024·贵州·模拟预测）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】（23-24高二下·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【变式2-2】（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 圆过定点问题】
【例3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（23-24高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式3-2】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 .
【变式3-3】（23-24高三上·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关）
【题型4 点与圆的位置关系的判断】
【例4】（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25高三上·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
【题型5 与圆有关的轨迹问题】
【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知线段的端点的坐标，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹所围成图形的面积（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·山东淄博·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（ ）
A．E是一条垂直于x轴的直线 B．E是一个半径为1的圆
C．E是两条平行直线 D．E 是椭圆
【变式5-3】（2024·山东德州·三模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 与圆有关的对称问题】
【例6】（2024·浙江·模拟预测）圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2024·陕西宝鸡·一模）已知圆关于直线对称，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【题型7 圆系方程】
【例7】（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A． B．．
C． D．
【变式7-1】（2024高二·辽宁·学业考试）过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是 ．
【变式7-2】（23-24高一下·江西九江·期中）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为 .
【变式7-3】（2024高三下·全国·专题练习）求过圆：与圆：的交点，圆心在直线：圆的方程.
【题型8 与圆有关的最值问题】
【例8】（2024·西藏拉萨·二模）已知点，动点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式8-2】（2024·湖北黄石·三模）已知在等腰直角三角形中，，点在以为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江·一模）圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2024·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·广西玉林·期末）若直线在轴 轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
9．（2024·广西·模拟预测）若点在圆的外部，则的取值可能为（ ）
A． B．1 C．4 D．7
10．（2024·山西临汾·三模）已知是以为圆心，为半径的圆上任意两点，且满足，是的中点，若存在关于对称的两点，满足，则线段长度的可能值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知曲线:，则（ ）
A．曲线围成图形面积为
B．曲线的长度为
C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2
D．曲线上任意两点间最大距离
三、填空题
12．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点在圆外部”的一个的值：
．
13．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．
14．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 .
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段的中点M的轨迹C的方程．
16．（23-24高二上·湖南永州·期末）的顶点是，，．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求过点A，B，C的圆方程．
17．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆．
(1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；
(2)若圆与关于直线对称，求的标准方程．
18．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)点P在圆C上运动，求的取值范围．
19．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形的三个顶点，，．
(1)求过A，B，C三点的圆的方程．
(2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程．
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