专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 直线与圆的位置关系的判断】 5
【题型2 弦长问题】 6
【题型3 切线问题、切线长问题】 7
【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】 7
【题型5 面积问题】 8
【题型6 直线与圆位置关系中的最值问题】 8
【题型7 直线与圆中的定点定值问题】 9
【题型8 圆与圆的位置关系】 10
【题型9 两圆的公共弦问题】 10
【题型10 两圆的公切线问题】 11
1、直线与圆、圆与圆的位置关系
考点要求 真题统计 考情分析
(1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 2022年新高考全国I卷：第14题，5分 2023年新高考I卷：第6题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第15题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第12题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分 直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等，多以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
【知识点1 直线与圆的位置关系】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置 相交 相切 相离
交点个数 两个 一个 零个
图形
d与r的关系 dr
方程组
解的情况 有两组不
同的解 仅有一组解 无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
2．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【知识点2 圆与圆的位置关系】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则
d=，两圆的位置关系表示如下：
位置关系 关系式 图示 公切线条数
外离 d>r1+r2 四条
外切 d=r1+r2 三条
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2| 一条
内含 0≤d<|r1-r2| 无
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
2．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
3．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【知识点3 与圆有关的最值问题的解题策略】
1．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【方法技巧与总结】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
【题型1 直线与圆的位置关系的判断】
【例1】（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【变式1-3】（2024·北京大兴·三模）已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型2 弦长问题】
【例2】（2024·河南·模拟预测）直线，圆.则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2-1】（2024·贵州六盘水·三模）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．﹣2
【变式2-2】（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或.
【题型3 切线问题、切线长问题】
【例3】（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知点在圆 ．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式3-2】（2024·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】
【例4】（2024·重庆·模拟预测）设圆和不过第三象限的直线 ，若圆上恰有三点到直线的距离为，则实数（ ）
A．2 B．4 C．26 D．41
【变式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（ ）
A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1
【变式4-3】（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 面积问题】
【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线：上的两点，且，P为圆：上任一点，则面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，设是圆上一动点，则面积的最大值与最小值之差等于（ ）
A．12 B． C．6 D．
【变式5-2】（2024·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式5-3】（23-24高三上·广东深圳·期末）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 直线与圆位置关系中的最值问题】
【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式6-1】（2024·陕西汉中·二模）已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④
【题型7 直线与圆中的定点定值问题】
【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点．
【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式7-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆经过点，圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标．
【变式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．
(1)求圆的方程；
(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．
【题型8 圆与圆的位置关系】
【例8】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
【变式8-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【变式8-2】（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点
【变式8-3】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．内含
【题型9 两圆的公共弦问题】
【例9】（2024·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2024·河南·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型10 两圆的公切线问题】
【例10】（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-1】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式10-3】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆与轴相切，则（ ）
A．1 B．0或 C．0或1 D．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·青海西宁·二模）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广西南宁·三模）已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·广西·模拟预测）已知直线与曲线有公共点，则整数k的取值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．直线与圆始终有两个交点
C．当时，直线与圆相交于两点，则的面积为
D．点到直线的距离最大时，
11．（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
三、填空题
12．（2024·陕西·模拟预测）圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 .
13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 .
14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 .
四、解答题
15．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆的方程：
(1)若直线与圆C没有公共点，求m的取值范围；
(2)当圆被直线截得的弦长为时，求m的值．
16．（23-24高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆方程；
(2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
18．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程．
19．（2024·黑龙江·模拟预测）已知圆．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 直线与圆的位置关系的判断】 5
【题型2 弦长问题】 7
【题型3 切线问题、切线长问题】 9
【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】 11
【题型5 面积问题】 13
【题型6 直线与圆位置关系中的最值问题】 15
【题型7 直线与圆中的定点定值问题】 18
【题型8 圆与圆的位置关系】 23
【题型9 两圆的公共弦问题】 25
【题型10 两圆的公切线问题】 26
1、直线与圆、圆与圆的位置关系
考点要求 真题统计 考情分析
(1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 2022年新高考全国I卷：第14题，5分 2023年新高考I卷：第6题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第15题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第12题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分 直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等，多以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
【知识点1 直线与圆的位置关系】
1．直线与圆的位置关系及判定方法
(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：
位置 相交 相切 相离
交点个数 两个 一个 零个
图形
d与r的关系 dr
方程组
解的情况 有两组不
同的解 仅有一组解 无解
(2)直线与圆的位置关系的判定方法
①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的
实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当dr时，直线与圆相离.
2．圆的弦长问题
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【知识点2 圆与圆的位置关系】
1．圆与圆的位置关系及判断方法
(1)圆与圆的位置关系
圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.
(2)圆与圆的位置关系的判定方法
①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：
设两圆与的圆心距为d，则
d=，两圆的位置关系表示如下：
位置关系 关系式 图示 公切线条数
外离 d>r1+r2 四条
外切 d=r1+r2 三条
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2| 一条
内含 0≤d<|r1-r2| 无
②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.
当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，
两圆无公共点，包括内含与外离.
2．两圆的公共弦问题
(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法
两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.
设圆:，①
圆:，②
①-②，得，③
若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点
满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.
(2)求两圆公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股
定理求出公共弦长.
3．两圆的公切线
(1)两圆公切线的定义
两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.
(2)两圆的公切线位置的5种情况
①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；
②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；
③相交时，有2条公切线，都是外公切线；
④内切时，有1条公切线；
⑤内含时，无公切线.
判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
(3)求两圆公切线方程的方法
求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，
设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.
【知识点3 与圆有关的最值问题的解题策略】
1．解与圆有关的最值问题
(1)利用圆的几何性质求最值的问题
求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.
①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d
为圆心到直线的距离；
②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；
③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.
(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题
解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.
【方法技巧与总结】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
【题型1 直线与圆的位置关系的判断】
【例1】（2024·山东淄博·二模）若圆，则直线与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
【解题思路】直线经过定点，然后证明定点在圆内可判断.
【解答过程】经过定点，由于，则定点在圆内.
故直线与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出或，从而确定答案.
【解答过程】圆是以为圆心，半径为2的圆，
所以点到直线的距离为，
解得或，
故“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A．
【变式1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【解题思路】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交.
【解答过程】因为直线，即，
当时，，解得，
所以直线表示过定点，且除去的直线，
将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，
所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，
所以直线与圆相交.
故选：C.
【变式1-3】（2024·北京大兴·三模）已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用直线与圆的位置关系的判断方法，当，直线与圆有公共点时，恒成立，从而得到，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果.
【解答过程】易知圆的圆心为，半径为，
当，直线与圆有公共点时，恒成立，即恒成立，
则且，解得，即或（舍去）
所以“，直线与圆有公共点”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
【题型2 弦长问题】
【例2】（2024·河南·模拟预测）直线，圆.则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解.
【解答过程】圆的标准方程为，
由此可知圆的半径为，圆心坐标为，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线被圆截得的弦长为.
故选：D.
【变式2-1】（2024·贵州六盘水·三模）已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．﹣2
【解题思路】首先求出圆心到直线的距离，进一步利用垂径定理建立等量关系式，最后求出a的值．
【解答过程】圆与直线与相交于A，B两点，且．
则圆心到直线的距离，
利用垂径定理得，所以，解得．
故选：C．
【变式2-2】（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，直线上有且仅有一点，使，则直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用垂径定理直接求解即可.
【解答过程】由题意知：坐标原点到直线的距离；
圆的圆心为，半径，被圆截得的弦长为.
故选：D.
【变式2-3】（2024·湖南娄底·一模）已知圆，过点的动直线与圆相交于两点时，直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或.
【解题思路】考虑直线与轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.
【解答过程】当直线与轴垂直时，易知直线的方程为，
中令得，解得，
故此时，符合题意；
当直线与轴不垂直时，设直线的斜率为，则直线的方程为，
即，
则圆心到直线的距离为，又，
，解得，则直线的方程为，
即，
综上可知直线的方程为或.
故选：C.
【题型3 切线问题、切线长问题】
【例3】（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】由圆的标准方程作出圆的图形，易得切点坐标，利用两点之间距离公式计算即得.
【解答过程】
如图，由圆可得x轴，y轴，即是过点O的切线，
所以切点为，，故．
故选：C.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知点在圆 ．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【解题思路】
首先得到圆心坐标与半径，根据的最小值为，得到方程求出的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.
【解答过程】
由圆方程可得圆心为，半径，因为的最小值为，所以，
解得，故圆．
若过点的切线斜率存在，
设切线方程为，则，解得，
所以切线方程为，即；
若过点的切线斜率不存在，由圆方程可得，圆过坐标原点，所以切线方程为．
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
故选：A.
【变式3-2】（2024·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解题思路】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案.
【解答过程】如图所示：连接，则，
当最小时，最小，，
故的最小值为.
故选：C.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程.
【解答过程】圆C：的圆心为，
设，则以为直径的圆的方程为
与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为
因为直线PQ过点，所以，解得．
所以直线PQ的方程为，即．
故选：C．
【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】
【例4】（2024·重庆·模拟预测）设圆和不过第三象限的直线 ，若圆上恰有三点到直线的距离为，则实数（ ）
A．2 B．4 C．26 D．41
【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解.
【解答过程】因为圆的圆心为，半径，
因为圆上恰有三点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离，解得或，
又直线 不过第三象限，则，解得，
所以.
故选：C.
【变式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【解题思路】利用圆上恰存在三个点到直线的距离等于，等价于到直线：的距离为，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.
【解答过程】因为圆：的圆心，半径为，
当圆上恰存在三个点到直线的距离等于时，
则到直线：的距离为，
所以，解得，即必要性不成立；
当时，由上可知到直线：的距离为，
此时圆上恰存在三个点到直线的距离等于，即充分性成立；
所以“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（ ）
A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1
【解题思路】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可.
【解答过程】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动.
圆心到直线的距离，令，则.
①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，
与圆的三个交点是，，，满足题意.
②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意.
综上，.
故选：D.
【变式4-3】（2024·山西·二模）已知是坐标原点，若圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出平行于直线且距离为2的直线方程，再求出与圆心较近的直线与圆相交，另一条平行直线与圆相离的的范围.
【解答过程】圆的圆心，半径，
设与直线平行且距离为2的直线方程为，
则，解得，直线，，
点到直线的距离，到直线的距离，
由圆上有且仅有2个点到直线的距离为2，得圆与直线相交，且与直线相离，
则，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
【题型5 面积问题】
【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线：上的两点，且，P为圆：上任一点，则面积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，求得圆心到直线的距离，得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】由圆，可得圆心，半径为，
设点到直线的距离为，圆心到直线l的距离为，
可得，则，
又由，所以面积的最大值为.
故选：B.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知，，设是圆上一动点，则面积的最大值与最小值之差等于（ ）
A．12 B． C．6 D．
【解题思路】求出到直线的距离的最大值与最小值，结合面积公式做差即可得.
【解答过程】因为直线与圆相离，
设圆心到直线的距离为，
则，又圆的半径为2，
所以到直线的距离的最小值为，
到直线的距离的最大值为，
因此面积的最大值与最小值之差等于：
．
故选：B．
【变式5-2】（2024·山西吕梁·一模）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【解题思路】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可.
【解答过程】由题意得，，，
，
当垂直直线时，，
，
故选：B.
【变式5-3】（23-24高三上·广东深圳·期末）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，结合切线长定理列出四边形面积的函数关系，再借助几何意义求出最小值.
【解答过程】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，显然，
由于切圆于点，则，
四边形的面积，
当且仅当直线垂直于直线时取等号，
所以四边形面积的最小值为.
故选：B.
【题型6 直线与圆位置关系中的最值问题】
【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解.
【解答过程】
由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为，
设点到圆心的距离为，则有，所以，
所以取最小值时，取得最小值，
因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，
所以，故的最小值为.
故选：B.
【变式6-1】（2024·陕西汉中·二模）已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得解.
【解答过程】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，
所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，
所以当，分别为圆的切线，且最小时，
最大，又，则最大，
所以最大，此时最小，
此时.
故选：D.
【变式6-2】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解题思路】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得.
【解答过程】由直线 整理得，可知直线经过定点，
而由知，点可看成圆上的动点，
于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.
如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为，
要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大，
又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短）
此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为.
故选：D.
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④
【解题思路】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值.
【解答过程】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为，
当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2，
因为是圆的切线，所以，，
则四边形的面积为，
所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确；
,
，
，，
设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确.
故选：B.
【题型7 直线与圆中的定点定值问题】
【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点．
【解题思路】（1）根据题意可得：，，即点的轨迹为以为直径的圆，从而得到曲线的方程；
（2）讨论当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，结合韦达定理可得：，，化简，可得，从而得到，得到直线过定点，当直线斜率不存在时，设直线：，可得，可得，从而得到直线过定点，得证.
【解答过程】（1）因为是弦的中点，
所以，即，
所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
代入，得.
设，，则，是方程的两解，
则，，，
根据根与系数的关系，得，
即.
若，则直线过点，舍去；
所以，即，
直线的方程为，故直线过定点.
当直线斜率不存在时，设直线：，
与曲线的方程联立，可得，，则，解得，
故直线的方程为，恒过点.
综上，直线过定点.
【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程；
（2）设，定点 ，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标．
【解答过程】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为，
则，解得，
所以圆的方程为
（2）设，且，即，
设定点，,不同时为，为常数）．
则,
两边平方，整理得
代入后得恒成立
化简得
所以，解得或(舍去）
即．
【变式7-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆经过点，圆心在直线上．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标．
【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；
（2）设出直线的方程和直线的方程，分别与圆的方程联立写出的坐标，进而写出直线的方程，化简即可证明直线经过定点，并求出定点的坐标.
【解答过程】（1）因为圆心在直线上，设圆心为
又因为圆经过点
则，解得，
所以圆心半径为，
所以圆的标准方程为
（2）由圆与轴分别交于两点，不妨设，
又为直线上的动点，设，则
则方程为，方程为，
设，
联立方程，解得，
所以，即，即.
联立方程，解得，
所以，即，即.
当时， ，
所以直线的方程为
化简得所以直线过定点.
当时，，此时过定点.
综上，直线过定点.
【变式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．
(1)求圆的方程；
(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．
【解题思路】（1）设圆心为，设圆的半径为，根据圆的几何性质可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程；
（2）利用圆的几何性质得，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；
（3）设直线与直线交于点，通过斜率关系得，利用几何关系得，从而，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可.
【解答过程】（1）解：设圆心为，设圆的半径为，
圆心到轴的距离为，且圆 轴弦长为，则，①
且有②，
联立①②可得或，
所以，圆的方程为或.
（2）解：因为半径小于，则圆的方程为，
由圆的几何性质得即，所以，
设，则，
所以，即的轨迹方程是.
（3）解：设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，
因为直线的斜率为，则，则，，
所以，，因此，，
又E到的距离，，
所以，，故恒为定值.
【题型8 圆与圆的位置关系】
【例8】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
【解题思路】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断.
【解答过程】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
则，故，所以两圆内含；
故选：A.
【变式8-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【解题思路】求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距，由可得结论.
【解答过程】由已知得圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为 ，
故，
所以圆与圆相交.
故选：A.
【变式8-2】（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点
【解题思路】由直线与圆相切，得，则圆的圆心在圆上，两圆相交.
【解答过程】直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于圆的半径1，
即，得.
圆的圆心坐标为，半径为，
其圆心在圆上，所以两圆相交.
故选：B.
【变式8-3】（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．内含
【解题思路】根据点到直线的距离公式求的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【解答过程】圆： ，所以圆心，半径为.
由点到直线距离公式得：，且，所以.
又圆的圆心，半径为：1.
所以，.
由，所以两圆内含.
故选：D.
【题型9 两圆的公共弦问题】
【例9】（2024·黑龙江·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解.
【解答过程】的圆心和半径分别为,
，故两圆相交，
将两个圆的方程作差得，即公共弦所在的直线方程为，
又知，，
则到直线的的距离，
所以公共弦长为，
故选:A．
【变式9-1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心到公共弦的距离，由弦长即可求出两圆的公共弦长.
【解答过程】由，作差
得两圆的公共弦所在直线的方程为．
由，得．
所以圆心，半径，
则圆心到公共弦的距离．
所以两圆的公共弦长为．
故选：D．
【变式9-2】（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果.
【解答过程】因为圆与圆交于A，B两点，
则直线的方程即为两圆相减，可得，
且圆，半径为，
到直线的距离，
所以.
故选：C.
【变式9-3】（2024·河南·二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】将两圆方程相减得到直线的方程为，然后再根据公共弦的长为即可求解.
【解答过程】将两圆方程相减可得直线的方程为，
即，
因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为，
则到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为，
故选：D.
【题型10 两圆的公切线问题】
【例10】（2024·河北石家庄·三模）已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.
【解答过程】圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，
则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为.
故选：C.
【变式10-1】（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.
【解答过程】解：，圆心，半径，
，圆心，半径，
因为，
所以两圆相内切，公共切线只有一条，
因为圆心连线与切线相互垂直，，
所以切线斜率为，
由方程组解得，
故圆与圆的切点坐标为，
故公切线方程为，即．
故选：A.
【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆，圆，则两圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由两圆的位置关系即可确定公切线的条数.
【解答过程】由题意圆是以为圆心1为半径的圆；
即是以为圆心3为半径的圆；
圆心距满足，所以两圆相离，
所以两圆的公切线条数为4.
故选：D.
【变式10-3】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用点到直线的距离公式逐项验证即可.
【解答过程】由题意知：，
所以圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为2，
对于A，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于B，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于C，圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故满足相切条件，
圆的圆心到直线的距离为，与半径相等，故也满足相切条件，
即直线是两圆的一条公切线；
对于D，圆的圆心到直线的距离为，不满足相切条件，
即直线不可能是两圆的公切线；
故选：D.
一、单选题
1．（2024·北京海淀·三模）已知直线和圆，则“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先由，点到直线距离公式列出方程，求出此时，充分性成立；求出所过定点，再由存在唯一k使得直线l与相切”，得到或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，必要性不成立.
【解答过程】时，到的距离为，
故，解得，
满足存在唯一k使得直线l与相切”，充分性成立，
经过定点，
若，，若，此时直线，
直线与相切，另一条切线斜率不存在，
故满足存在唯一k使得直线l与相切”，
当在上，满足存在唯一k使得直线l与相切，
故，
又，解得，必要性不成立，
故“”是“存在唯一k使得直线l与相切”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆与轴相切，则（ ）
A．1 B．0或 C．0或1 D．
【解题思路】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得求解.
【解答过程】将化为标准式为：，
故圆心为半径为，且或，
由于与轴相切，故，
解得，或（舍去），
故选：D.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】两圆方程作差即可.
【解答过程】由圆，圆，
两式作差得，，即，
所以两圆的公共弦所在直线方程是.
故选：B.
4．（2024·青海西宁·二模）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值.
【解答过程】直线，
令，解得，所以直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为，
且，即在圆内，
当时，圆心到直线的距离最大为，
此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.
故选：A.
5．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解题思路】确定两圆的位置关系后可得公切线条数．
【解答过程】圆标准方程为，
则已知两圆圆心分别为，半径分别为，
圆心距为，
因此两圆外切，它们有三条公切线，
故选：B．
6．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.
【解答过程】连接，则，
而的最小值为点C到直线l的距离，
所以.
故选：A.
7．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出点的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出的取值范围.
【解答过程】因为点为直线与直线的交点，
所以由可得，且过定点，过定点，
所以点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，圆心为，
半径.
而圆的圆心为，半径为，
所以两个圆心的距离，且，所以两圆相离，
所以的最大值为：，
因为不在圆上，故 ，
所以的取值范围是.
故选：B.
8．（2024·广西南宁·三模）已知圆，点在线段（）上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，以为直径作圆，则圆的面积的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【解题思路】由题意得，进而分析得当最大时，圆的面积的最大，求出最大值，即可求解．
【解答过程】由题可知，，，，，为锐角，
当圆的面积取最大值时最大，
而，
所以，
因为点在线段（）上，
所以，
故，即圆半径的最大值为，
所以圆的面积的最大值为，
故选：D．
二、多选题
9．（2024·广西·模拟预测）已知直线与曲线有公共点，则整数k的取值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】分类去绝对值可得，当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴及y轴右侧的部分，当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴左侧的部分，利用点到线的距离可求解.
【解答过程】曲线可化为，
即，
当时，曲线C是以为圆心，
为半径的圆在y轴及y轴右侧的部分，直线，
则当直线l与曲线C相切时，有，
解得或（舍去）；
当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴左侧的部分，
直线，则当直线l与曲线C相切时，有，
解得或（舍去）．综上，若直线l与曲线C有公共点，则．
故选：BCD．
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心的坐标为
B．直线与圆始终有两个交点
C．当时，直线与圆相交于两点，则的面积为
D．点到直线的距离最大时，
【解题思路】对于A，对圆的方程配方后可求出圆心判断，对于B，先求出过定点，再判断点与圆的位置关系，从而可得结论，对于C，先求出圆心到直线的距离，再求出弦长，从而可求出的面积，对于D，由于直线过定点，则当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，从而可求出的值.
【解答过程】对于A：配方得，所以圆心，半径，所以A正确；
对于B：由，得，则直线过定点，
因为，所以点在圆内，
所以直线与圆始终有两个交点，所以B正确;
对于C：设圆心到直线的距离为，则，弦长，
所以面积，所以C不正确．
对于D：由题意得直线过定点，故当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由于，故得，所以D正确．
故选：ABD．
11．（2024·山东青岛·三模）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
【解题思路】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.
【解答过程】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，圆的半径为，A错误；
对于B，，圆和圆相离，B正确；
对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，
由圆的性质得，
，当且仅当点与重合，
且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；
对于D，设点，过点的圆的切线长，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·陕西·模拟预测）圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是 .
【解题思路】问题转化为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可.
【解答过程】圆上总存在两个点到的距离为1，
转化为：以为圆心1为半径的圆与已知圆相交，
可得，即，
解得或，即a的取值范围是.
故答案为：.
13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点 .
【解题思路】设出点坐标，可得以为直径的圆的方程，与圆方程作差即可得公共弦方程，即可得定点坐标.
【解答过程】根据题意，为直线：上的动点，设的坐标为，
过点作圆的两条切线，切点分别为，，则，，
则点、在以为直径的圆上，
又由，，则以为直径的圆的方程为，
变形可得：，
则有，可得：，
变形可得：，即直线的方程为，
则有，解可得，故直线过定点.
故答案为：.
14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是 .
【解题思路】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值.
【解答过程】的圆心为，半径为1，
，圆心为，半径为2，
结合两圆位置可得，，
当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，
设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求，
此时，
故即为的最小值，
故的最小值为
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆的方程：
(1)若直线与圆C没有公共点，求m的取值范围；
(2)当圆被直线截得的弦长为时，求m的值．
【解题思路】（1）先将圆改成标准方程，可得到圆心和半径，利用直线与圆C没有公共点列出不等式即可求解；
（2）根据圆中弦心距、半径、半弦长的关系列出方程求解即可.
【解答过程】（1），，
曲线表示圆，，即，
又因为圆与直线没有公共点，
所以圆心到直线即的距离大于半径，即，解得
（2）由（1）可知，圆心坐标为，
又直线，圆心到直线的距离，
直线截得的弦长为，，
解得：.
16．（23-24高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆方程；
(2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.
【解题思路】（1）利用弦的中垂线过圆心，通过联立方程组解得圆心坐标，由圆上的点到圆心距离解得半径，可求圆方程；
（2）利用圆心距与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系.
【解答过程】（1）已知圆经过点和，则线段的垂直平分线过圆心，
又圆心在直线上，由，解得，即圆心，
圆的半径.
所以圆的标准方程为.
（2）圆的方程为，则圆心，半径.
圆与圆的圆心距，，
所以圆与圆相交.
17．（2024高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点．
(1)求P点到直线的距离的最大值和最小值．
(2)求的最大值和最小值．
(3)求的最大值和最小值
【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；
（2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值；
（3）首先设，再转化为直线与圆有交点，
【解答过程】（1）圆心到直线的距离为．
∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为．
（2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点，
∴，解得，
则，即的最大值为，最小值为．
解法二：设，则，其中，
∴得，即的最大值为，最小值为．
（3）表示圆上的点与点连线的斜率为k，
设，即，直线与圆有交点，
设，
解得．
则，即的最大值为，最小值为．
18．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程．
【解题思路】（1）设，结合题意可得，化简即可得解；
（2）将直线方程代入圆的方程中，借助韦达定理计算即可得.
【解答过程】（1）设，因为，
所以，
化简得，
故曲线的方程为；
（2）若直线垂直于轴，则，，，四点共线，不能构成三角形；
故可设直线的方程为，
代入曲线的方程可得，
，
则，，
又，,
，故，
因为，故，
则，
故，
则有，
可得，故，
则直线方程为.
19．（2024·黑龙江·模拟预测）已知圆．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线AB的方程．
【解题思路】（1）依题意改写圆的方程，令参数的系数为0即可；
（2）依题意表示出所求面积，再用点到直线的距离公式即可求解.
【解答过程】（1）依题意，将圆的方程化为
，
令，即，则恒成立，
解得，即圆过定点；
（2）当时，圆，
直线，
设，依题意四边形的面积，
当取得最小值时，四边形的面积最小，
又，即当最小时，四边形的面积最小，
圆心到直线的距离即为的最小值，
即
，即四边形面积最小值为，
此时直线与直线垂直，
所以直线的方程为，与直线联立，解得，
设以为直径的圆上任意一点：，
故圆的方程为，
即，又圆，
两式作差可得直线方程.
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