专题8.5 椭圆【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 椭圆的定义及其应用】 3
【题型2 椭圆的标准方程】 5
【题型3 曲线方程与椭圆】 8
【题型4 轨迹问题——椭圆】 10
【题型5 椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题】 12
【题型6 椭圆上点到其他点距离的最值问题】 14
【题型7 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 16
【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】 19
【题型9 椭圆的简单几何性质问题】 21
【题型10 椭圆的实际应用问题】 23
1、椭圆
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解椭圆的定义、几何
图形、标准方程 (2)掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) (3)掌握椭圆的简单应用 2022年全国甲卷（理数）：第10题，5分 2023年新高考I卷：第5题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第12题，5分 2023年北京卷：第19题，15分 2024年新高考I卷：第16题，15分 2024年新高考Ⅱ卷：第5题，5分 椭圆及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、方程及其性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
【知识点1 椭圆及其性质】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
【知识点2 椭圆方程的求解方法】
1．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【知识点3 椭圆的焦点三角形】
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角
形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【知识点4 椭圆离心率或其范围的解题策略】
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:
(1)直接求出a, c，利用离心率公式求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.
(3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
【知识点5 椭圆中的最值问题的解题策略】
1．椭圆中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 椭圆的定义及其应用】
【例1】（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【解题思路】根据椭圆的定义可得，求解即可.
【解答过程】由椭圆，可得，所以，
因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，
所以，又，所以.
故选：C.
【变式1-1】（2024·四川泸州·二模）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解题思路】利用三角形的中位线定理与圆的半径求得，再利用椭圆的定义即可得解.
【解答过程】因为椭圆C：
所以该椭圆，，则，
设椭圆的右焦点为，连接，记线段的中点为，连接，
因为，所以，
因为分别为的中点，所以，
又，所以.
故选：B.
【变式1-2】（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】
利用椭圆的定义，结合垂直关系列式求解即得.
【解答过程】依题意，，令椭圆的半焦距为c，
由，得，即，
因此，即，所以，即.
故选：B.
【变式1-3】（2024·辽宁辽阳·一模）若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解题思路】根据题意利用椭圆的定义分析求解.
【解答过程】由椭圆方程可知：，则，
即，解得.
故选：C.
【题型2 椭圆的标准方程】
【例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据离心率和焦距可得，进而可得，即可得方程.
【解答过程】由题意可知：，可得，
则，所以该椭圆的方程为.
故选：C.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
设,表示出的面积，结合向量关系以及垂直关系，求出点，借助椭圆的定义求解即可.
【解答过程】
结合题意可得：，，设，
则由的面积为，得①，
由，得②．
连接以为直径的圆过，③．
由②③得，
结合①得，
， ，故椭圆的标准方程为，
故选：B．
【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】连接，结合椭圆的定义，利用求出，由求出可得答案.
【解答过程】连接，依题意，知是线段的中点，，
又是线段的中点，所以 ，，
因为，所以，
因为点在椭圆上，结合椭圆的定义，
，得，
解得（舍去），所以，
所以椭圆的方程为.
故选：C.
【变式2-3】（2024·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由椭圆的离心率得，表示点的坐标，进而可得直线的斜率及直线的方程，求出得直线的方程，联立两条直线的方程，可得交点的坐标，根据中垂线的性质可得，，将的周长转化为，由椭圆的定义可得的周长为，即可求解．
【解答过程】因为椭圆的离心率，可得，
所以，即，可得，
则点，右焦点，所以，
由题意可得直线的斜率，
所以，即，
由题意设直线的方程为，
直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立，可得，，
则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，
即，，
的周长为，可得，
所以，，
所以椭圆的方程为：.
故选：C．
【题型3 曲线方程与椭圆】
【例3】（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆的标准方程中分母都大于且不能相等即可求解.
【解答过程】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故选：D.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）命题“实数”是命题“曲线表示椭圆”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】首先求出“曲线表示椭圆”的充要条件，进一步即可判断.
【解答过程】由题意“曲线表示椭圆”等价于“曲线表示椭圆”，
而“曲线表示椭圆”，等价于，解得或，
所以命题“实数”是命题“曲线表示椭圆”的一个必要不充分条件.
故选：C.
【变式3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图为函数①；②；③的图象，则方程表示（ ）
A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
【解题思路】利用三个函数在坐标轴上的单调性和截距，判断的正负以及大小关系，进而可将方程化简，即可判断曲线类型.
【解答过程】根据题意可知，可知
将方程化为，由可知，
方程表示焦点在轴上的椭圆.
故选：C.
【变式3-3】（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A． B．
C． D．或
【解题思路】利用已知条件，分析椭圆的标准方程，列出不等式，求解即可.
【解答过程】方程可化为：，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得.
故选：C.
【题型4 轨迹问题——椭圆】
【例4】（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出、、点坐标，由题意可得、两点坐标间的关系，用点的横纵坐标替换、点坐标代入计算即可得.
【解答过程】设、，，
则有，，即，，
由题意可得，即，即.
故选：D.
【变式4-1】（2024·全国·一模）平面直角坐标系中，等边的边长为2，M为中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ）
A．为部分圆 B．为部分线段 C．为部分抛物线 D．为部分椭圆
【解题思路】由题意建立适当的平面直角坐标系设出点的坐标，首先由得，进一步由结合即可得出点的轨迹方程由此即可得解.
【解答过程】
由题意不妨设，则，
而，即，
又，所以，即，
因为，所以，即为部分椭圆.
故选：D.
【变式4-2】（2024·吉林白山·模拟预测）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【解题思路】利用轨迹的直接法求解.
【解答过程】解：由题意得，
整理得：，
所以点的轨迹为椭圆．
故选：B．
【变式4-3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由图可得，即，所以动点的轨迹为椭圆，设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点的轨迹方程.
【解答过程】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为，
则，，切点为
因为，所以是的中点，,
所以是梯形的中位线，所以，
又因为圆的方程为，，
所以，所以，
即，
所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，
所以，，
所以动点的轨迹方程为.
故选：B.
【题型5 椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题】
【例5】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可得经过椭圆的右焦点，结合椭圆定义计算即可得.
【解答过程】由，故经过椭圆的右焦点，
故的周长.
故选：D.
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（ ）
A．1 B． C． D．8
【解题思路】利用椭圆的定义得到为等腰三角形，进而求等腰三角形的面积即可.
【解答过程】设的中点为M，则，
于是，又，
则为等腰三角形，
．
故选：C．
【变式5-2】（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆的左 右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解题思路】，设，由是等腰三角形，利用余弦定理求出，可求的值.
【解答过程】依题意得，设，
不妨设点在第一象限，若，有，
故或，
解得或，又9，所以.
若，有，同理可得.
此时，，不符合点在第一象限，
所以.
故选：B.
【变式5-3】（2024·广东梅州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【解题思路】根据给定条件，利用椭圆定义求出，再求出等腰三角形的面积作答.
【解答过程】椭圆中，，由及椭圆定义得，
因此为等腰三角形，底边上的高，
所以的面积为.
故选：D.
【题型6 椭圆上点到其他点距离的最值问题】
【例6】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．18
【解题思路】由标准方程求得，设并利用两点间距离公式可得，结合二次函数性质可求得其最大值为9.
【解答过程】易知，
设，则，可得，
所以
；
由二次函数性质可得当时，取得最大值为9.
故选：B.
【变式6-1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值.
【解答过程】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，
故选：C.
【变式6-2】（23-24高二上·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.
【解答过程】如下图所示：
在椭圆 中，，
则，
圆的圆心，半径，
圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得，
，
由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
所以，
所以的最小值是.
故选：C.
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【解题思路】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【解答过程】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
【题型7 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】
【例7】（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为( )
A． B． C． D．6
【解题思路】根据椭圆定义可知周长为定值4a，从而可得当最小时，最大，再根据椭圆焦点弦最小为通径即可求解．
【解答过程】由椭圆的定义知
∴的周长为，
∴当最小时，最大．
当轴，即AB为通径时，最小，此时，
∴的最大值为．
故选：B．
【变式7-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【解题思路】
根据椭圆的定义可得，利用可求的最大值.
【解答过程】
设椭圆的半焦距为，则，，
如图，连接，则，
而，当且仅当共线且在中间时等号成立，
故的最大值为.
故选：A.
【变式7-2】（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可.
【解答过程】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为，
根据椭圆的定义可知，所以，
则，
所以最小时，即最小，
定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段，
根据点到直线的距离公式可得，
所以.
故选：C.
【变式7-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【解题思路】由题意设椭圆的左焦点为，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当三点共线时取到最大值.
【解答过程】由题意知，，设椭圆的左焦点为，
如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1，
，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例8】（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先根据推断出，进而根据勾股定理可知，把进而整理关于a和c的方程求得即离心率e的值.
【解答过程】
，，
，即，
整理得，即，
等号两边同时除以得，即，求得，
，，
故选：B.
【变式8-1】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，则，由点差法求解离心率即可.
【解答过程】设，则，
则，两式相减可得，
，即，
即，，故.
故选：B.
【变式8-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果.
【解答过程】圆与轴相切于焦点，轴，可设，
在椭圆上，，解得：，圆的半径为；
作轴，垂足为，
，，
为锐角三角形，，，
，即，解得：，
即椭圆离心率的取值范围为.
故选：D.
【变式8-3】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求得为直径的圆的方程为，与椭圆方程联立方程组可得，根据已知可是，求解即可得椭圆的离心率.
【解答过程】以 为直径的圆的方程为，
联立，解得，
所以，
又，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或（舍去）.
所以.
故椭圆的离心率为.
故选：D.
【题型9 椭圆的简单几何性质问题】
【例9】（2024·江西·模拟预测）椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差.
【解答过程】由题得，，所以，，
所以长轴长，焦距，
所以长轴长与焦距之差等于 ．
故选：B.
【变式9-1】（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆：的左右焦点到直线：的距离之差为2，则的焦距是（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】设椭圆的左右焦点分别为，结合题意可得，分和两种情况，分析求解即可.
【解答过程】设椭圆的左右焦点分别为，
由题意可得：，则，
若，则，即；
若，则，不合题意；
综上所述：，即的焦距是.
故选：C.
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．6 D．12
【解题思路】由椭圆的定义结合题意可求出，，再利用余弦定理及椭圆的离心率求得的值，根据所得条件选择合适的公式计算三角形的面积，可求出，即可得答案.
【解答过程】由已知条件及椭圆的定义可得，
故，，
设，因为椭圆的离心率为，所以，
由余弦定理可得，
则，故的面积为，故，
则，故椭圆的焦距为.
故选：B．
【变式9-3】（2024·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由已知可知，的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于的不等关系，即可求解.
【解答过程】
因为椭圆：，所以，，所以，
所以，，
因为点 在上，所以，所以，，
又，，所以，
又，，
所以，
因为大于，所以，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：.
【题型10 椭圆的实际应用问题】
【例10】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率.
【解答过程】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，
令，即，解得，依题意可得，
所以，所以，所以．
故选：D．
【变式10-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得
【解答过程】由已知得，，
由椭圆定义可得，
根据光的反射定理可得为的角平分线，
由正弦定理，
所以，，又
所以
即.
故选：D.
【变式10-2】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据图象可知可判断A；根据图象可知，结合由不等式的性质可判断B，C；对两边同时平方化简可判断D.
【解答过程】如图可知，，，，A不正确；
，，；B不正确；
由，可知，C不正确；
，可得，故，
即，，，即，D正确，
故选:D.
【变式10-3】（2023·贵州毕节·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.
【解答过程】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，
由，得，，
在中，，则，，
由正弦定理得，，解得，则，
所以该椭圆的离心率.
故选：A.
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】本题是焦点在x轴的椭圆，求出c，即可求得焦点坐标.
【解答过程】，可得焦点坐标为和.
故选：B.
2．（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【解题思路】直接根据椭圆的定义可求得答案.
【解答过程】由椭圆的定义可知，.
故选：A.
3．（2024·湖北荆州·三模）已知圆，直线，方程，则“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解题思路】借助圆与直线相切的性质可得圆与直线相切时的的值，借助椭圆定义可得当方程表示的曲线为椭圆时的的取值范围，结合充分条件与必要条件的定义即可得解.
【解答过程】若圆与直线相切，则有，即，解得或，
若方程表示的曲线为椭圆，则，即且，
故“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的既非充分也非必要条件.
故选：D.
4．（23-24高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.
【解答过程】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，
当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长.
把代入椭圆方程可得：，
所以当水位上升时，水面的宽度为，
故选：A.
5．（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（ ）.
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可知：，根据数量积的几何意义可得，，进而结合椭圆的定义求，即可得方程.
【解答过程】因为，可知，
则，，
可得，，即，，则，
由椭圆定义可得，即，
且，则，
即 ，可得，，
所以椭圆的方程为.
故选：A.
6．（2024·四川内江·三模）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（ ）
A． B．1或 C． D．1或
【解题思路】分以及两种情况分别进行求解即可求出结果.
【解答过程】因为，所以，
若（当时，面积一样），则，，
所以；
若，设，则，所以，
故，符合题意；
综上：的面积为1或.
故选：D.
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．6
【解题思路】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解.
【解答过程】由椭圆得，
因为点为椭圆上的点，则，
直线经过定点，
则，
当且仅当在线段上时取等号，
所以的最大值为2.
故选：B.
8．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，首先证明，结合题意算得解得，即可得三角形为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得，，，即是的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解.
【解答过程】
我们首先来证明一个引理：若，则，
证明如下：设，则由余弦定理有
，即，
所以，
所以，从而引理得证；
根据题意可得， ，解得，
因为，所以，解得，
由，，可得三角形为等边三角形，
所以，所以，
所以，所以是的中点，
所以，所以，即，
所以.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．的面积为2 D．的内切圆半径为
【解题思路】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，利用向量数量积公式可判定B，三角形面积公式可判定C，根据等面积法可判定D.
【解答过程】法1：由题意得，，则，．
由对称性可设（，），，，，
由，解得，又，，
所以，，
所以．
由椭圆的定义得，
在中，由余弦定理，得，
即，
解得，故A正确；
，故B错误；
的面积为，故C正确；
设的内切圆半径为r，由的面积相等，得，
即，解得，故D正确．
故选：ACD．
法2：设，，．易知，，
由极化恒等式，得，故B错误；
由中线长定理得，由椭圆定义得，
所以，所以，
所以，故A正确；
由，得，所以，故C正确；
设的内切圆半径为r，由的面积相等，得，
即，解得，故D正确．
故选：ACD．
10．（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，椭圆的离心率为
B．当椭圆的离心率最大时，
C．当椭圆的焦距为4时，
D．当时，椭圆的焦距为6
【解题思路】根据，椭圆长轴为，短轴长为，求离心率判断A，由离心率最大知长轴最长可得求解判断B，由离心率求出即可判断C，由求出，再得出焦距判断D.
【解答过程】过作于，如图，
由，当时，在中，，
所以椭圆中，，故A正确；
因为椭圆的短轴长为定值6，，所以当椭圆的长轴最长时，椭圆的离心率最大，
由图可知，椭圆长轴为时，椭圆的长轴最长，此时，故B错误；
当椭圆的焦距为4时，，即，
所以，所以，故C错误；
当时，，所以，
由勾股定理可得，即，，
所以，所以焦距，故D正确.
故选：AD.
11．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（ ）
A．的轨迹方程为
B．的最小值为1
C．若为坐标原点，则面积的最大值为
D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍
【解题思路】根据求轨迹方程的方法即可求得选项A，结合椭圆的性质即可判断选项B，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出的面积，利用导数可判断选项C，利用中点坐标公式及直线与直线的关系，即可求出点和点的横坐标，从而判断选项D.
【解答过程】对于选项A，设，因为，，所以，化简得，故A错误；
对于选项B，因为，则，，则，
所以为椭圆的右焦点，则，故B正确；
对于选项C，设的方程 ，代入椭圆方程，得，
设，则，，
所以 ，
令，则 ，
令，则 ，在为增函数，，，
所以，当且仅当时即等号成立，故C正确；
对于选项D，因为，，，
所以，则，
设，则，则，
所以，则点的横坐标是点的横坐标的倍，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 .
【解题思路】根据方程表示椭圆列出不等式组得解.
【解答过程】因为方程表示的曲线是椭圆，
所以，解得且，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：.
13．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ．
【解题思路】由题意可得，由，可得，可求椭圆的标准方程.
【解答过程】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得，
因为，由椭圆的对称性可知，
所以，解得，所以，
又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故答案为：.
14．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
【解题思路】由题可知等边三角形的边长，进而可知点的坐标，易知为直角三角形，勾股定理及椭圆定义列方程求离心率.
【解答过程】依题意，
不妨设点在第一象限，则点，
易知，
由椭圆的定义知：，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在轴上，且经过两个点和；
(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
【解题思路】（1）由条件可设椭圆方程为，再由条件列方程求，即可得椭圆方程；
（2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为，且，结合椭圆定义可求，由此可求及椭圆方程.
【解答过程】（1）因为椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为．
又椭圆经过点和，
所以解得
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）由于椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
设椭圆的半焦距为，则，
又，
所以，
所以，
所以所求椭圆的标准方程为．
16．（2024·北京大兴·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且点在椭圆上，动点C，D分别在直线和椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程及其焦点坐标；
(2)若椭圆上存在一点E，使得四边形是矩形，求点D的横坐标.
【解题思路】（1）根据题意可得解得，.再计算出椭圆的焦点坐标.
（2）设，，，，因为四边形一定为平行四边形，根据，得，点D，E都在椭圆上代入变形得①，又，有，②，解得：或，分类计算得出结果；
【解答过程】（1）由题设，解得，.
所以椭圆G的方程为.焦点坐标为，
（2）设，，，，
因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，
则，，所以，
D，E都在椭圆上，，变形得①，
又，所以，即，
则，②
②代入①得，解得：或，
若时，，，此时C与重合，D点坐标为；
若时，联立，
可得：，解得：，
因为，所以，
所以D点横坐标为或.
17．（23-24高二下·安徽安庆·开学考试）安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
(1)求黄金椭圆C的离心率；
(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
【解题思路】(1)根据题目中黄金椭圆的定义，再根据离心率的计算公式可求得椭圆的离心率.(2)通过计算的值，可以判断出三角形的形状.
【解答过程】（1）由题意，设椭圆C的焦距为2c，则，
又，得，即，
，所以．
（2）正确．理由如下；
设椭圆中心为O，由
所以，即，
所以是直角三角形．
18．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，且椭圆上存在点使得，求椭圆的离心率的取值范围．
【解题思路】由椭圆上存在一点P，使，可知点P既在椭圆上，又在以为直径的圆上．根据条件写出圆的方程，将其与椭圆的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，可求得，然后由椭圆的几何性质可得，化简可得a，c之间的关系，进而可得离心率的范围．
【解答过程】设点．由知，点在以为直径的圆上．
圆的方程是，即①，
又点在椭圆上，故②，
把①代入②，得，
故，
因为，所以．
又，则 ，即，
两边同时除以，整理得，即，解得或，
又，所求椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：.
19．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
【解答过程】（1）由椭圆可知，，，
则，，
则，当且仅当、、三点共线时成立，
所以，
所以的最大值与最小值分别为和；
（2），，，
设是椭圆上任一点，由，，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
由，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
故的最大值与最小值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.5 椭圆【十大题型】
【新高考专用】
【题型1 椭圆的定义及其应用】 3
【题型2 椭圆的标准方程】 4
【题型3 曲线方程与椭圆】 5
【题型4 轨迹问题——椭圆】 5
【题型5 椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题】 6
【题型6 椭圆上点到其他点距离的最值问题】 6
【题型7 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 7
【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】 8
【题型9 椭圆的简单几何性质问题】 8
【题型10 椭圆的实际应用问题】 9
1、椭圆
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解椭圆的定义、几何
图形、标准方程 (2)掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率) (3)掌握椭圆的简单应用 2022年全国甲卷（理数）：第10题，5分 2023年新高考I卷：第5题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第12题，5分 2023年北京卷：第19题，15分 2024年新高考I卷：第16题，15分 2024年新高考Ⅱ卷：第5题，5分 椭圆及其性质是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查椭圆的定义、方程及其性质，主要以选择、填空题的形式出现，难度不大；与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，需要学会灵活求解.
【知识点1 椭圆及其性质】
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫
作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.
2．椭圆的标准方程
椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
椭圆在坐标
系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
3．椭圆的顶点与长轴、短轴
以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例.
(1)顶点
令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.
这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、
y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.
(2)长轴、短轴
线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.
长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.
4．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接
近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
【知识点2 椭圆方程的求解方法】
1．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待
定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点
在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
【知识点3 椭圆的焦点三角形】
1．椭圆的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角
形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用公式
①焦点三角形的周长L=2a+2c.
②在中，由余弦定理可得.
③设，，则.
【知识点4 椭圆离心率或其范围的解题策略】
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a, b, c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:
(1)直接求出a, c，利用离心率公式求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.
(3)构造a, c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a, c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
【知识点5 椭圆中的最值问题的解题策略】
1．椭圆中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型1 椭圆的定义及其应用】
【例1】（2024·广西南宁·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【变式1-1】（2024·四川泸州·二模）已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-2】（2024·贵州安顺·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式1-3】（2024·辽宁辽阳·一模）若为椭圆上一点，为的两个焦点，且，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【题型2 椭圆的标准方程】
【例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2024·江西九江·二模）已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 曲线方程与椭圆】
【例3】（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）命题“实数”是命题“曲线表示椭圆”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知如图为函数①；②；③的图象，则方程表示（ ）
A．焦点在轴上的双曲线 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的椭圆
【变式3-3】（2024·河南·模拟预测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A． B．
C． D．或
【题型4 轨迹问题——椭圆】
【例4】（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·全国·一模）平面直角坐标系中，等边的边长为2，M为中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ）
A．为部分圆 B．为部分线段 C．为部分抛物线 D．为部分椭圆
【变式4-2】（2024·吉林白山·模拟预测）古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【变式4-3】（2023·江苏南通·模拟预测）已知圆的方程为，直线为圆的切线，记两点到直线的距离分别为，动点满足，，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 椭圆中焦点三角形的周长、面积及其他问题】
【例5】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知是椭圆的左焦点，直线与交于、两点，则周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·重庆·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（ ）
A．1 B． C． D．8
【变式5-2】（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆的左 右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式5-3】（2024·广东梅州·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【题型6 椭圆上点到其他点距离的最值问题】
【例6】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（ ）
A．5 B．9 C．10 D．18
【变式6-1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式6-2】（23-24高二上·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【题型7 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】
【例7】（2024·新疆·二模）设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为( )
A． B． C． D．6
【变式7-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【变式7-2】（24-25高三上·全国·阶段练习）设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【题型8 求椭圆的离心率或其取值范围】
【例8】（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆的左焦点、右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，左、右顶点分 别为，焦距为，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分别交于 两点.且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 椭圆的简单几何性质问题】
【例9】（2024·江西·模拟预测）椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·浙江·模拟预测）已知椭圆：的左右焦点到直线：的距离之差为2，则的焦距是（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C．6 D．12
【变式9-3】（2024·山东潍坊·三模）已知，分别为椭圆：的左、右焦点，点 在上，若大于，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型10 椭圆的实际应用问题】
【例10】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-3】（2023·贵州毕节·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）椭圆的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北保定·三模）已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
3．（2024·湖北荆州·三模）已知圆，直线，方程，则“圆与直线相切”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4．（23-24高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西新余·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（ ）.
A． B． C． D．
6．（2024·四川内江·三模）设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（ ）
A． B．1或 C． D．1或
7．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．6
8．（2024·湖南·三模）已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．的面积为2 D．的内切圆半径为
10．（2024·河北·三模）已知一个装有半瓶水的圆柱形玻璃杯，其底面半径为，玻璃杯高为（玻璃厚度忽略不计），其倾斜状态的正视图如图所示，表示水平桌面．当玻璃杯倾斜时，瓶内水面为椭圆形，阴影部分为瓶内水的正视图．设，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，椭圆的离心率为
B．当椭圆的离心率最大时，
C．当椭圆的焦距为4时，
D．当时，椭圆的焦距为6
11．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（ ）
A．的轨迹方程为
B．的最小值为1
C．若为坐标原点，则面积的最大值为
D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍
三、填空题
12．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 .
13．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ．
14．（2024·山东济南·三模）已知是椭圆的左，右焦点，点为椭圆上一点，为坐标原点，为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在轴上，且经过两个点和；
(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
16．（2024·北京大兴·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且点在椭圆上，动点C，D分别在直线和椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程及其焦点坐标；
(2)若椭圆上存在一点E，使得四边形是矩形，求点D的横坐标.
17．（23-24高二下·安徽安庆·开学考试）安庆市体育馆的屋盖网壳由两个大小不同的双层椭球壳相贯而成，其屋盖网壳长轴总尺寸约97米，短轴总尺寸约77米，短轴长与长轴长的平方比接近黄金比0.618．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为黄金椭圆．现有一黄金椭圆其中A，F分别为其左顶点和右焦点，B为上顶点．
(1)求黄金椭圆C的离心率；
(2)某同学在研究黄金椭圆的性质时猜测可能为直角三角形，试判断该同学的猜测是否正确，并说明理由．
18．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，且椭圆上存在点使得，求椭圆的离心率的取值范围．
19．（23-24高二·全国·课后作业）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
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