专题8.6 双曲线【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 双曲线的定义及其应用】 4
【题型2 双曲线的标准方程】 6
【题型3 曲线方程与双曲线】 8
【题型4 求双曲线的轨迹方程】 9
【题型5 双曲线中焦点三角形问题】 11
【题型6 双曲线上点到焦点的距离及最值问题】 14
【题型7 双曲线中线段和、差的最值问题】 16
【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 19
【题型9 双曲线的简单几何性质问题】 21
【题型10 双曲线的实际应用问题】 24
【题型11 椭圆与双曲线综合】 27
1、双曲线
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 (2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率) (3)了解双曲线的简单应用 2023年新高考I卷：第16题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2023年北京卷：第12题，5分 2023年天津卷：第9题，5分 2024年新高考I卷：第12题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分 双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.
【知识点1 双曲线及其性质】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
图形
标准方程
范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
【知识点2 双曲线方程的求解方法】
1．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.
【知识点3 双曲线的焦点三角形的相关结论】
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦
点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为.
【知识点4 双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】
1．求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)
求解.
【知识点5 双曲线中的最值问题的解题策略】
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【方法技巧与总结】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0).
【题型1 双曲线的定义及其应用】
【例1】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【解答过程】，
当点在左支时，的最小值为，
当点在右支时，的最小值为，
因为，则点在双曲线的左支上，
由双曲线的定义，解得；
当，点在左支时，；在右支时，；推不出；
故为充分不必要条件，
故选：D.
【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助双曲线定义计算即可得.
【解答过程】由双曲线定义可知：，
则三角形的周长为，
故.
故选：D.
【变式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【解题思路】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值.
【解答过程】
由题意知，，，
，
双曲线，
点在双曲线的右支上，
由双曲线的定义得，，
故选：B.
【变式1-3】（2024·四川达州·二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【解题思路】
由双曲线的定义知，，则 ，即可得出答案.
【解答过程】双曲线C：，则，，
由双曲线的定义知：，，
，
所以
.
故选：C.
【题型2 双曲线的标准方程】
【例2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。
【解答过程】由题意知，双曲线的焦点在轴上，
设双曲线的方程为 ，
因为双曲线C经过点，所以，
因为，所以，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C.
【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果.
【解答过程】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又，
所以，得到，所以双曲线的方程为，
故选：D.
【变式2-2】（2024·湖南岳阳·一模）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用待定系数法可求双曲线的标准方程.
【解答过程】设双曲线的方程为：，
因为离心率，故半焦距，故，
而双曲线过，故，解得，
故双曲线的方程为：，
故选：C.
【变式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先根据双曲线的定义求出，在中，利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求出，利用勾股定理可求得，进而可求出答案.
【解答过程】因为，所以，
又因为点在上，所以，
即，所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
又，所以，故，
则，所以，
则，所以，
所以，
所以的方程为.
故选：B.
【题型3 曲线方程与双曲线】
【例3】（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】若曲线是焦点在轴的双曲线，则，，所以，故必要性成立，
若，满足，但是曲线是焦点在轴的双曲线，故充分性不成立，
所以“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式3-1】（23-24高二上·上海·期末）当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
【解题思路】化简方程，然后判断表示的曲线即可．
【解答过程】当ab＜0时，方程化简得，
∴方程表示双曲线．焦点坐标在y轴上；
故选：D．
【变式3-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】若，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；当曲线C表示焦点在x轴上的双曲线时.
【解答过程】若，则曲线表示焦点在x轴上的椭圆，故充分性成立；
若曲线C的焦点在x轴上，也有可能是，此时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性不成立，
故选：A.
【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解.
【解答过程】若，则，所以方程表示双曲线；
若方程表示双曲线，则，解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A.
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
【解答过程】圆：，圆心，半径 ，
圆：，圆心，半径 ，
设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切，
得，则，
因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，
即，半焦距，虚半轴长，
所以动圆圆心的轨迹方程是.
故选：B.
【变式4-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在
【解题思路】由判断出正确答案.
【解答过程】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.
故选：B.
【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可.
【解答过程】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，
设为曲线上任一点，
则，
所以点的轨迹为双曲线的右支，且，，
，
点的轨迹方程为．
故选：B.
【变式4-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解.
【解答过程】由圆M：，得圆心，半径，
由圆N：，得圆心，半径．
设圆P的半径为r，则有，．
两式相减得，
所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，
又，所以C的方程为．
故选：B．
【题型5 双曲线中焦点三角形问题】
【例5】（2024·四川成都·三模）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.
【解答过程】∵双曲线，
∴，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面积为.
故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知点，，动点P满足，圆E：与点P的轨迹的一个交点为M，圆E与x轴的交点为B，C，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意先求出点P的轨迹方程，再画出图像，进而利用双曲线的定义和圆的性质得到的周长.
【解答过程】
设，根据可知直线的斜率存在且不为0，故P不与A，重合.
所以由得，得，故点P的轨迹方程为．
第二步：设，由题意不妨令，，则B，C分别为双曲线的左、右焦点．
不妨设M在第一象限，，则，根据圆的性质可知，
所以，得.
故，所以的周长为．
故选：D.
【变式5-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解题思路】由双曲线的定义、正三角形的性质即可求解.
【解答过程】根据双曲线定义有，
由于点P在线段的垂直平分线上，∴，
又，，故．
故选：C.
【变式5-3】（2024·广西南宁·一模）设是双曲线的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【解题思路】
由题意可知P在以为直径的圆上，由双曲线的定义与三角形面积公式可求得，又，即可求解
【解答过程】
由题可知，，且.
因为，
所以.
所以点P在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形.
故，即.
又，
所以，
解得，
所以，
则的面积为5，
故选：A.
【题型6 双曲线上点到焦点的距离及最值问题】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出点的坐标为，由已知，用表示出和，进而得到的值.
【解答过程】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图，
依题意，，设，则，
由得，
所以，
所以.
故选：D．
【变式6-1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
【解题思路】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值.
【解答过程】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立；
因为，所以，所以成立，的最小值为16.
故选：A.
【变式6-2】（2024·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.
【解答过程】由双曲线定义得,
故
如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，
，故方程为，
联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A.
【变式6-3】（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【解题思路】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【解答过程】由双曲线方程可知：，
可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，
圆的圆心为（即），半径为；
圆的圆心为（即），半径为．
连接，，，，则，
可得
，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.
故选：C.
【题型7 双曲线中线段和、差的最值问题】
【例7】（2024·河南郑州·一模）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解题思路】先根据题意得双曲线的方程为，再结合双曲线的定义得，故，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，再计算即可得答案.
【解答过程】由题意可得，即，
渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，
焦点为，，由双曲线的定义可得，
由圆可得，半径，，
连接，交双曲线于，交圆于，
此时取得最小值，且为，
则的最小值为.
故选：B.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值.
【解答过程】由双曲线：可得
，，所以，
所以，，
由双曲线的定义可得，所以，
所以，
由双曲线的性质可知：，令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点，
即的最小值为，
故选：C.
【变式7-2】（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值．
【解答过程】由题意可设双曲线的方程为，
则，即，得到，所以，
由双曲线的定义可得，
则，
当三点共线时，取得等号，则的最大值为，
故选：C．
【变式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得.
【解答过程】
双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为，
圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义，
所以，即的最小值为.
故选：D.
【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】
【例8】（2024·安徽·模拟预测）双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由一条渐近线过点得，代入即可求解．
【解答过程】双曲线的渐近线方程为，
将点代入中，得，
故离心率，
故选：A．
【变式8-1】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】根据、点在上，求出可得答案．
【解答过程】由题设知，，则，
所以，且，易知，
又因为点在上，所以，所以，
因为，所以 ，
则，化简得
，
解得或（舍去）．所以，
故的离心率为．
故选：B．
【变式8-2】（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】设，根据中点关系得，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得，根据点在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为的方程求解即可.
【解答过程】由题意，，设，则，
因为为线段的中点，所以，即，则，
因为，所以，即，
又在双曲线上，所以，
结合整理得，所以，
解得或（舍去），由，解得.
故选：A.
【变式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可.
【解答过程】由题意可知：双曲线的渐近线方程为，
设点，则可取，
则，整理得，
解得，即，可得，则，
所以该双曲线离心率的取值范围是．
故选：A.
【题型9 双曲线的简单几何性质问题】
【例9】（2024·福建福州·模拟预测）以为渐近线的双曲线可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.
【解答过程】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误，
对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确，
对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误，
对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D错误，
故选：B.
【变式9-1】（2024·湖南·三模）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（ ）
A． B．4 C． D．2
【解题思路】由点到直线的距离公式、焦点、渐近线以及的关系即可求解.
【解答过程】由对称性，不妨设，双曲线的渐近线是，
则由题意，解得，故所求为.
故选：A.
【变式9-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知双曲线方程为（），则不因的值变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标 B．焦距 C．离心率 D．渐近线方程
【解题思路】分和，再代入选项讨论即可.
【解答过程】因为双曲线方程为（），
所以双曲线的渐近线方程为，即.
所以渐近线方程不变，故D选项正确；
双曲线方程化为，
当，双曲线的焦点和顶点在轴上，顶点坐标为，焦距为，
离心率为，显然顶点坐标和焦距是随变化的，则AB错误；
当，双曲线方程化为，
双曲线的焦点和顶点在轴上，顶点坐标为，焦距为，
离心率为，则C错误；
故选：D.
【变式9-3】（2024·河北·模拟预测）双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设，则，由已知结合双曲线定义，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，进而可求答案．
【解答过程】解：如图，由题意得：，
设，则，
所以，，
由双曲线的定义得：，
所以，，则，
因为，在中，，
即，解得，
所以，，
在中，，
即，
可得，
所以，
所以，即，
故双曲线的渐近线方程为．
故选：C．
【题型10 双曲线的实际应用问题】
【例10】（2024·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】根据三角函数的定义表示出，利用勾股定理表示出，根据双曲线的定义得到，即得离心率.
【解答过程】设双曲线C的焦距为，因为，，
所以，，
所以，故该双曲线的离心率为．
故选：B.
【变式10-1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．30米
【解题思路】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设D.由题可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案.
【解答过程】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系.
水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中.
又由题可得，代入双曲线方程可得：
，则D.
将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D.
又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米.
故选：D.
【变式10-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m
【解题思路】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【解答过程】如图，
以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则
设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故，
由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上，
依题意得
故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即
故 .
故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处．
故选：A.
【变式10-3】（23-24高二上·河南·阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为 ，楼顶直径为 ，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是，
由已知可得 ，将点坐标代入解得 的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程
解得 的坐标即可求得地标建筑的高.
【解答过程】解：以地标建筑的最细处所在直线为 轴，双曲线的虚轴为 轴，建立平面直角坐标系如图所示.
由题意可得：，，
设 ，双曲线的方程是，
则，解得 ，
所以双曲线的方程是：，
将点代入得，
解得，
所以该地标建筑的高为： .
故选：C.
【题型11 椭圆与双曲线综合】
【例11】（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求的值.
【解答过程】由椭圆，可得，
所以，所以椭圆的离心率，
又，所以双曲线的离心率为，
又双曲线，所以，
所以，解得.
故选：B.
【变式11-1】（2024·山西太原·一模）设双曲线（、均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】运用共焦点条件得到双曲线中，由两曲线的离心率之积为1得，再用转化得到，进而得到.
【解答过程】由题意易得，在双曲线中，即，
由于椭圆离心率为，且由两曲线的离心率之积为1得.
，，，，又，
或，
故选：C.
【变式11-2】（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出，令，结合，即可求解.
【解答过程】由椭圆的离心率，
双曲线的离心率，可得，
令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即，
则此时，即，
则的最大值是.
故选：B.
【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解.
【解答过程】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得．
在椭圆中，，
得 ．
在双曲线中，，
得．从而，得，
则，即，
即．
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：B.
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】易得充分性成立，当 时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，可知必要性不成立.
【解答过程】当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 故充分性成立；
当 时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，
故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立；
所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件．
故选：A．
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解题思路】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.
【解答过程】对于双曲线 ，则，
根据双曲线定义有，
又，，故．
故选：B.
3．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.
【解答过程】由题意可知：圆的圆心为，半径，
设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，
若圆与圆外切，则，，
可得；
若圆与圆内切，则，，
可得；
综上所述：，
可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则，
所以动点P的轨迹方程为.
故选：B.
4．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【解答过程】因为，
由双曲线的定义可知，
可得，
由于过的直线斜率为，
所以在等腰三角形中，，则，
由余弦定理得：，
化简得，可得，即，，
可得，，
所以此双曲线的标准方程可能为：.
故选：C.
5．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用三角形一边中线等于这一边的一半，则这是一个直角三角形，可得是直角，再利用双曲线的定义，及已知的两焦半径关系，结合勾股定理，可得长度关系，即可求得离心率.
【解答过程】
设双曲线右焦点为，连接，
由题意可知关于原点对称，所以，
所以是直角，由，可设，则，即
由双曲线的定义可知：，，
则，，
由是直角得：，
则，解得：，
又由是直角得：，
则，解得：，所以离心率
故选：B.
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案.
【解答过程】由题意知，因为轴，
所以令，可得，解得：，设，
直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
令可得，所以，
直线的斜率为：
所以直线的方程为：，
令可得，所以，
由可得，解得：,
所以，解得：，即
所以的渐近线方程为，
故选：C.
7．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据双曲线的定义，判断点轨迹为双曲线的右支，并求出方程；再根据和把的周长转化为 的范围问题，利用三角形两边之和大于第三边求解.
【解答过程】由动点P到两定点，的距离之差为定值4，
结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
易得，，由得，则动点P的轨迹方程为，
如图：
又，则，且
故的周长为:，
当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为．
故选：D.
8．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论：
①直线的斜率的取值范围是；
②点P到C的两条渐近线的距离之积为；
③；
④．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用解析几何中的坐标思想来研究，结合双曲线方程及联解方程组，通过坐标运算进行分析求解即可.
【解答过程】由题意知，，设，又点P在C上，所以，
所以，所以直线的斜率，
所以，令，，
所以
所以，即直线的斜率的取值范围是，故①正确；
C的渐近线方程为，所以点P到C的两条渐近线的距离之积为．故②错误；
，故③正确；
当时，显然C在点P处的切线的斜率存在，设点P处的切线方程为，
由得，
所以得，，
解得，
所以C在点P处的切线方程为，即．
当时，C在点P处的切线方程为，所以点P处的切线方程为．
由，解得，
由解得
又，，
所以点P是线段MN的中点，所以，故④正确．
故选：C．
二、多选题
9．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知曲线的方程为，则（ ）
A．当时，曲线表示双曲线
B．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，曲线表示圆
D．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
【解题思路】根据双曲线，椭圆以及圆的性质即可结合选项逐一求解.
【解答过程】对于A，当时，表示焦点在轴双曲线，故A正确，
对于B，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B错误，
对于C, 当时，,表示圆，C正确，
对于D,当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，D错误，
故选：AC.
10．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线PF1的斜率为
C．的周长为 D．的外接圆半径为
【解题思路】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和，进而可依次求出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式得的周长、结合正弦定理得的外接圆半径.
【解答过程】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上，
设圆分别与的三边切于点，则由题，
且，，
又
，A选项正确；
由选项A得，连接、、，则，
所以，B选项错误；
同理，，
，
，
所以由焦三角面积公式得，
又，故得，
的周长为，选项正确；
由，
由正弦定理得，D选项正确.
故选：ACD.
11．（2024·黑龙江大庆·三模）已知点是双曲线上一点，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的浙近线方程为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．
D．的面积为
【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程，判断A，再根据点到直线的距离判断BC，最后根据几何关系，求，再代入面积公式，即可求解.
【解答过程】因为双曲线的方程为，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故A正确；
双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确；
由点到直线的距离公式可得.故错误.
如图，因为，所以.在和中，，
，所以，所以
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·北京大兴·三模）双曲线的焦点坐标是 ， .
【解题思路】根据双曲线的方程可得答案.
【解答过程】因为双曲线的焦点在轴上，
，，
所以双曲线的焦点坐标是，.
故答案为：，.
13．（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若的内角平分线与轴的交点平分线段，则双曲线的离心率为 ．
【解题思路】根据角平分线的性质可得，结合双曲线的定义得，根据直角三角形勾股定理即可求解.
【解答过程】
的内角平分线与轴的交点平分线段，
根据角平分线的性质可得，
根据双曲线的定义，
又，
，
双曲线的离心率为，
故答案为：.
14．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 .
【解题思路】设，，根据双曲线的定义得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
【解答过程】双曲线中，，则，
设，，
由双曲线的定义可得，
则
，
当且仅当，即，即，时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：．
四、解答题
15．（23-24高二上·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过两点；
(2)与双曲线有公共的渐近线,且过点．
【解题思路】（1）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可.
（2）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可.
【解答过程】（1）可设双曲线的方程为，
则有解得
则双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线的方程为.
将点代入双曲线方程得,解得，
因此，所求双曲线的标准方程为.
16．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的实轴长，焦点坐标，离心率．
【解题思路】（1）先求出双曲线的渐近线方程，从而由题意可得，所以双曲线的方程可化为，再把坐标代入方程中求出的值，从而可得双曲线的方程；
（2）由双曲线方程可得，，，从而可得的实轴长，焦点坐标，离心率．
【解答过程】（1）在双曲线中，，，
则渐近线方程为，
∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，
∴方程可化为，
又双曲线经过点，代入方程，
，解得，，
∴双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线中，
，，，
∴实轴长，离心率为，
双曲线的焦点坐标为.
17．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值．
【解题思路】（1）根据题意，由化简求解；
（2）过点作垂直于直线 ，垂足为，设，得到，然后由求解.
【解答过程】（1）解：由题意得：，
化简得：.
（2）如图所示：
过点作垂直于直线 ，垂足为，
设，则，即，
所以，
显然，当三点共线时，取得最小值，
为.
18．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
【解题思路】（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可;
（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可.
【解答过程】（1）
设点的坐标为，
则，
因为，所以当时，取得最小值.
（2）由双曲线的定义知①,
由余弦定理得②,
根据①②可得，所以.
19．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设双曲线：（，）过，，，四个点中的三个点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，其中与的右支交于，两点，与直线交于点，与的右支相交于，两点，与直线交于点，求的最大值．
【解题思路】（1）由题意可得双曲线不过点，将其余点坐标代入双曲线方程计算即可得；
（2）借助韦达定理与两点间距离公式表示出并化简后，可得，结合基本不等式即可得解.
【解答过程】（1）由，，，与不能同过，与对称，
故该双曲线不过点，
则有，解得，即双曲线方程为；
（2）由双曲线方程为，故，
由题意可知，，的斜率均存在，
设的斜率为，则的斜率为，
即，设、，
令，则，即，
联立双曲线，有，
由双曲线性质可知，即，
此时恒成立，
有，，
则，，
故
，
同理可得，
则
，当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.6 双曲线【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 双曲线的定义及其应用】 4
【题型2 双曲线的标准方程】 5
【题型3 曲线方程与双曲线】 5
【题型4 求双曲线的轨迹方程】 6
【题型5 双曲线中焦点三角形问题】 7
【题型6 双曲线上点到焦点的距离及最值问题】 7
【题型7 双曲线中线段和、差的最值问题】 8
【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】 8
【题型9 双曲线的简单几何性质问题】 9
【题型10 双曲线的实际应用问题】 10
【题型11 椭圆与双曲线综合】 11
1、双曲线
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 (2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率) (3)了解双曲线的简单应用 2023年新高考I卷：第16题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第8题，5分 2023年北京卷：第12题，5分 2023年天津卷：第9题，5分 2024年新高考I卷：第12题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第5题，5分 双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程与性质等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等偏易，解答题中难度偏大，有时会与向量等知识结合考查，需要学会灵活求解.
【知识点1 双曲线及其性质】
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
3．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
图形
标准方程
范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程
4．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
【知识点2 双曲线方程的求解方法】
1．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.
【知识点3 双曲线的焦点三角形的相关结论】
1．双曲线的焦点三角形
(1)焦点三角形的概念
设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦
点三角形，如图所示.
(2)焦点三角形的常用结论
若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为.
【知识点4 双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】
1．求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)
求解.
【知识点5 双曲线中的最值问题的解题策略】
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【方法技巧与总结】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为(t≠0).
【题型1 双曲线的定义及其应用】
【例1】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【变式1-1】（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（ ）
A． B．6 C．8 D．10
【变式1-3】（2024·四川达州·二模）设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的右支交于P，Q两点，则（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【题型2 双曲线的标准方程】
【例2】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·湖南岳阳·一模）如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2024·四川雅安·一模）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 曲线方程与双曲线】
【例3】（2024·四川南充·二模）已知，是实数，则“”是“曲线是焦点在轴的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（23-24高二上·上海·期末）当时，方程所表示的曲线是（ ）
A．焦点在轴的椭圆 B．焦点在轴的双曲线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
【变式3-2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型4 求双曲线的轨迹方程】
【例4】（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在
【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 双曲线中焦点三角形问题】
【例5】（2024·四川成都·三模）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知点，，动点P满足，圆E：与点P的轨迹的一个交点为M，圆E与x轴的交点为B，C，则的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与y轴和C的右支分别交于点P，Q，若是正三角形，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式5-3】（2024·广西南宁·一模）设是双曲线的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【题型6 双曲线上点到焦点的距离及最值问题】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
【变式6-2】（2024·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·山东日照·一模）过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【题型7 双曲线中线段和、差的最值问题】
【例7】（2024·河南郑州·一模）已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式7-2】（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 求双曲线的离心率或其取值范围】
【例8】（2024·安徽·模拟预测）双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式8-2】（2024·四川雅安·三模）设分别为双曲线的左右焦点，过点的直线交双曲线右支于点，交轴于点，且为线段的中点，并满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式8-3】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 双曲线的简单几何性质问题】
【例9】（2024·福建福州·模拟预测）以为渐近线的双曲线可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】（2024·湖南·三模）双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（ ）
A． B．4 C． D．2
【变式9-2】（2024·甘肃张掖·三模）已知双曲线方程为（），则不因的值变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标 B．焦距 C．离心率 D．渐近线方程
【变式9-3】（2024·河北·模拟预测）双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型10 双曲线的实际应用问题】
【例10】（2024·全国·模拟预测）圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，当入射光线和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式10-1】（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．30米
【变式10-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m
【变式10-3】（23-24高二上·河南·阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为 ，楼顶直径为 ，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（ ）
A． B． C． D．
【题型11 椭圆与双曲线综合】
【例11】（2024·四川乐山·三模）设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2024·山西太原·一模）设双曲线（、均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线 的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，满足.若点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C的右支上的一点，C在点P处的切线与C的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，给出下列四个结论：
①直线的斜率的取值范围是；
②点P到C的两条渐近线的距离之积为；
③；
④．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知曲线的方程为，则（ ）
A．当时，曲线表示双曲线
B．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
C．当时，曲线表示圆
D．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆
10．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线PF1的斜率为
C．的周长为 D．的外接圆半径为
11．（2024·黑龙江大庆·三模）已知点是双曲线上一点，过向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的浙近线方程为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．
D．的面积为
三、填空题
12．（2024·北京大兴·三模）双曲线的焦点坐标是 .
13．（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若的内角平分线与轴的交点平分线段，则双曲线的离心率为 ．
14．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 .
四、解答题
15．（23-24高二上·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)经过两点；
(2)与双曲线有公共的渐近线,且过点．
16．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的实轴长，焦点坐标，离心率．
17．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值．
18．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若分别为双曲线的左 右焦点，，求的面积.
19．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设双曲线：（，）过，，，四个点中的三个点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，其中与的右支交于，两点，与直线交于点，与的右支相交于，两点，与直线交于点，求的最大值．
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