专题8.7 抛物线【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 抛物线的定义及其应用】 3
【题型2 抛物线的标准方程】 5
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 6
【题型4 抛物线的轨迹方程】 7
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】 9
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 11
【题型7 抛物线的焦半径公式】 14
【题型8 抛物线的几何性质】 16
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 18
1、抛物线
考点要求 真题统计 考情分析
(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程 (2)掌握抛物线的简单几何性质(范围 、对称性、顶点、离心率) (3)了解抛物线的简单应用 2023年新高考I卷：第22题，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5分 2023年全国乙卷（文数）：第13题，5分 2023年北京卷：第6题，4分 2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分 2024年北京卷：第11题，5分 抛物线是圆锥曲线中的重要内容，抛物线及其性质是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、面积问题等内容，在选择、填空、解答题都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，选择、填空题中难度不大，解答题中难度偏大，一般以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.
【知识点1 抛物线及其性质】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
顶点 (0,0) (0,0)
轴 对称轴y=0 对称轴x=0
焦点
准线
离心率 e =1 e=1
开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
焦半径
范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】
1．抛物线标准方程的求解
待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【知识点3 抛物线的焦半径公式】
1．焦半径公式
设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.
(1)抛物线：，；
(2)抛物线：，；
(3)抛物线：，；
(4)抛物线：，.
注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半
径公式.
【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】
1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
【方法技巧与总结】
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线上一点P到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
【题型1 抛物线的定义及其应用】
【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.
【解答过程】抛物线的准线为，
由抛物线定义可得，故，
则，即到轴的距离为.
故选：B.
【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，
当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：A．
【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解题思路】由题意先求出过F且斜率为的直线方程，进而可求出点，接着结合点M在抛物线上且可求出，从而根据焦半径公式即可得解.
【解答过程】由题意可得，故过F且斜率为的直线方程为，
令，则由题，
因为，所以垂直于直线，故，
又M在抛物线上，所以由，
所以.
故选：C.
【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
根据开口设抛物线标准方程，利用p的几何意义即可求出.
【解答过程】依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为3，所以，
所以的标准方程为.
故选：A.
【题型2 抛物线的标准方程】
【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线,则抛物线焦点为，若为 抛物线上一点,有,可得,解得.
【解答过程】因为抛物线为,
则其焦点在轴正半轴 上,焦点坐标为,
由于点为抛物线为上一点,且点到抛物线的焦点F的距离为3,
所以点A到抛物线的焦点F的距离为解得,
故选：C.
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.
【解答过程】设抛物线的标准方程为，
将点点代入，得，解得，
所以抛物线的标准方程是.
故选：B.
【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据抛物线的定义求解．
【解答过程】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，
因此，，
抛物线方程为．
故选：C．
【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】过点作准线的垂线，设，得到，结合抛物线的定义，求得，再由，列出方程求得的值，即可求解.
【解答过程】如图所示，分别过点作准线的垂线，垂足为，
设，则，
由抛物线的定义得 ，
在直角中，可得，所以，
在直角中，因为，可得，
由，所以，解得，
因为，所以，解得，所以抛物线方程为.
故选：C.
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C的方程为 则此抛物线的焦点坐标为（ ）
A．(-4,0) B． C．(-2,0) D．
【解题思路】由抛物线的几何性质求解．
【解答过程】依题意得：，则此抛物线的焦点坐标为：，
故选：A.
【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.
【解答过程】抛物线C：的标准方程为，
所以其准线方程为.
故选：C.
【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.
【解答过程】抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为双曲线的右焦点为，
又抛物线的准线方程为，则，即.
故选：C.
【题型4 抛物线的轨迹方程】
【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.
【解答过程】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等，
所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确.
故选：C.
【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.
【解答过程】因为动点到定点的距离比到轴的距离大，
所以动点到定点的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以动点的轨迹方程是.
故选：B.
【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.
【解答过程】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离.
因为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
所以的轨迹为抛物线.
故选：C.
【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．
【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：，
点M到定直线的距离为，
所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离，
即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线，
所以此动圆的圆心M的轨迹方程是.
故选：D．
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值
【解答过程】设，
则，
当且仅当时，等号成立．
故选：D．
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【解题思路】将问题转化为求的最小值，根据两点之间的距离公式，求得的最小值再减去半径即可.
【解答过程】如图，抛物线上点到圆心的距离为，
因此，当最小时，最小，
而，
当时，，因此的最小值是．
故选：A.
【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对称性求出圆的方程，设，求出的最小值，即可求出的最小值.
【解答过程】圆圆心为，半径，设，
则由对称性可知：，解得，则，
所以圆 ，
设，则，
所以当，即时，，
所以的最小值是.
故选：A.
【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，取最小值，即可得解.
【解答过程】根据已知得到，圆，所以，圆的半径为，
抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则，
由抛物线的定义可得，
所以，.
当且仅当、为线段分别与圆、抛物线的交点时，两个等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【解题思路】根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，可得，从而转化为求的值，当三点共线时，取得最小值，即可求解.
【解答过程】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，
由抛物线的定义可得，
所以，
因为
所以.
当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为
故选：D.
【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值.
【解答过程】
由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为，
因为点在抛物线上，所以，
所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小，
又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以，
故选：C.
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】设，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将的最小值转化为M到直线l的距离，即可求得答案.
【解答过程】设，则PE的中点坐标为，代入，可得，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：为准线的抛物线，
由于，故在抛物线内部，
过点P作，垂足为Q，则，（抛物线的定义），
故当且仅当M，P，Q三点共线时，最小，即最小，
最小值为点M到直线l的距离，所以，
故选：B．
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.
【解答过程】抛物线C：的焦点为，准线方程为，
如图，
因为，且关于的对称点为，所以，
所以
.
当在线段与抛物线的交点时，取得最小值，且最小值为.
故选：D.
【题型7 抛物线的焦半径公式】
【例7】（2024·青海西宁·一模）已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为3，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.
【解答过程】由，得，解得.
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
又因为的纵坐标为3，点在上，
所以.
故选：C.
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据点到原点的距离为求出抛物线方程，再设点坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.
【解答过程】因为点到原点的距离为，
所以，解得，（负值舍），
将点代入抛物线方程，得，所以，
所以.
由于抛物线关于轴对称，不妨设，
因为，，
所以为等腰三角形，，
所以，
所以，
解得或(舍)，
所以.
故选：D.
【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质，，，，结合三角的恒等变换的化简可得，即可求解.
【解答过程】由抛物线得，则，，
不妨设PQ的倾斜角为，
则由，，
得，，
所以，，
得，，
所以.
故选：B.
【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解题思路】设，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由可得为的重心，从而可求出，再根据抛物线的定义可求得结果.
【解答过程】设，
由，得，所以，准线方程为，
因为，所以为的重心，
所以，所以，
所以
，
故选：C.
【题型8 抛物线的几何性质】
【例8】（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解.
【解答过程】设，
因为的重心恰为F，则，解得，
由可知关于x轴对称，即，
则，即，
又因为，解得.
故选：D.
【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.
【解答过程】设正三角形得边长为，
由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是，
把顶点代入抛物线方程得解得，
所以正三角形的边长为.
故选：D.
【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
先设，根据图形分别表示出和即可得解.
【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为，
点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为，
点在上，设为，若，则，
且，则.
故选：B.
【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设 ，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围.
【解答过程】设 ，则，所以
，
因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，
当时显然恒成立，当时恒成立，
所以，则，又，所以，即实数的取值范围为.
故选：B.
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】
【例9】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【解题思路】将点代入抛物线的方程，即可求解，再结合抛物线的公式，即可求解
【解答过程】点在抛物线上，为抛物线的焦点，
，解得，
故抛物线的方程为，,，
则的面积．
故选：A．
【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】过分别作的准线的垂线交轴于点，根据抛物线定义可得，，再由即可求参数，进而可得抛物线方程.
【解答过程】如图，过分别作的准线的垂线交轴于点，
则，故，
因为的准线为，所以，，
所以，解得，
故抛物线C的方程为.
故选：B.
【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】设点的坐标，再表示出的面积，借助向量等式即可求得答案.
【解答过程】设点的坐标分别为，而抛物线的焦点，，
，由，得，
于是，
所以.
故选：A.
【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接，则，而，所以当最小时，四边形的面积最小，再抛物线的定义转化为点到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果
【解答过程】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，
则．
又，所以当四边形的面积最小时，最小．
过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，
当点与坐标原点重合时，最小，此时．
故．
故选：C.
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点到焦点的距离，根据题意得到关于的方程，求解即可．
【解答过程】已知拋物线的方程为，可得．
所以焦点为，准线为：．
抛物线上一点到焦点F的距离等于到准线的距离，
即，
又∵A到x轴的距离为，
由已知得，解得．
故选：D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设，结合与抛物线方程，得到，由焦半径公式得到答案.
【解答过程】抛物线的焦点为，准线方程为，
设，则，解得或（舍去），
则．
故选：B．
3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解.
【解答过程】设圆心坐标为，依题意可得，化简得，
即圆的圆心的轨迹方程为.
故选：C.
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案.
【解答过程】
因为抛物线的焦点为，准线方程为，
所以，故，
不妨设在第一象限，故，
所以.
故选：C.
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.
【解答过程】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；
点到直线的距离为，到准线的距离为，
由抛物线的定义知：，
所以点到直线和准线的距离之和为，
且点到直线的距离为，
所以的最小值为.
故选：D.
6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线经过点，从而可得答案.
【解答过程】因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，
而抛物线的通径与轴垂直，
所以圆的这条直径与轴垂直，
且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，
因为圆的圆心为，半径为，
所以该圆与轴垂直的直径的上端点为，
即抛物线经过点，则，即.
故选：C.
7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对称性可得，即点为的准线与轴的交点，作垂直于的准线于点，结合抛物线的定义可知 ()，结合图象可得当直线与相切时，最小，求出切线的斜率即可得答案.
【解答过程】依题意，，，设，则，解得，
即，点为的准线与轴的交点，
由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作垂直于的准线于点，
设 ，由抛物线的定义得，于是 ，
当直线与相切时，最大，最小，取得最小值，此时直线的斜率为正，
设切线的方程为，由消去x得 ，
则，得，直线的斜率为，倾斜角为，
于是，，所以的最小值为.
故选：A.
8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（ ）
A．的准线方程为
B．的面积为1
C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2
D．存在点，使得为等边三角形
【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A；求解三角形的面积判断B；利用．判断C；判断的位置，推出三角形的形状，判断D．
【解答过程】由题意抛物线过点，可得，所以抛物线方程为，所以准线方程为，A错误；
可以计算，B正确；
当时，点到的焦点的距离为2，C错误；
为等边三角形，可知的横坐标为：，当时，纵坐标为：，
则，则为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点不存在，所以D错误．
故选：B．
二、多选题
9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
【解题思路】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可.
【解答过程】因为抛物线与抛物线关于轴对称，
所以抛物线的方程为，
则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；
抛物线关于轴对称，故B错误；
抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.
故选：AC.
10．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切
D．
【解题思路】根据焦半径即可求解A，根据准线方程即可求解B，求解圆心和半径即可判断C，设出直线方程，与抛物线方程联立，韦达定理，利用焦半径公式求出，即可判断D.
【解答过程】对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误；
对于B：由，故抛物线的准线方程为：，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设为，则，
故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为，
圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切，故C正确；
对于D：由题意直线斜率存在，设的方程为，联立，
整理得，，即，
所以，
所以，，
所以，
不能确定什么时候最小，则D错误.
故选：BC.
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，（），则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的面积最小值为 D．的面积大于
【解题思路】对于A，由抛物线的定义及即可；对于B，由抛物线的定义及即可；对于C，分类讨论点所在象限，并由焦半径公式结合三角函数辅助角公式即可；对于D，结合C选项，分类讨论点所在象限，可证，得即可.
【解答过程】对于A，设点在准线上的投影为，准线与轴交于点，
因为两点在抛物线上，根据抛物线的定义，，
又，
则，所以，故A正确；
对于B，设点在准线上的投影为点，
因为以为直径的圆过焦点，
所以，且，
所以，
又因为，所以，
即，，
由焦半径公式，故B正确；
对于C，分两种情况：当点都在第一象限，
设，，
由焦半径公式可得，
，
所以，
令，
设，
且，
所以，
当且仅当时取得最小值，
当点在第二象限时，设，，
则，，
所以，
同理令，且，
所以，
所以，
当且仅当时取得最小值，
综上，面积的最小值为，故C错误：
对于D，当点都在第一象限，，，，
则，
所以，
即，
所以
当点在第二象限时，同理可得，
即，
所以，
综上，的面积大于，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ．
【解题思路】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可.
【解答过程】由题意，解得，所以抛物线的准线为，
故所求为.
故答案为：.
13．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 4 ．
【解题思路】作准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得，故当P，A，M三点共线时取最大值.
【解答过程】根据抛物线方程，可得，准线方程为，
作准线l，M为垂足，又知，
由抛物线的定义可得，
故当P，A，M三点共线时，取最大值，
最大值为．
故答案为：4.
14．（2024·上海·三模）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 4 .
【解题思路】作于点，与轴交于点，借助相似三角形的性质可得，，再结合所给数据与抛物线定义计算即可得解.
【解答过程】作于点，与轴交于点，如图，
则，
又且是的中点，则有，
即，又，故，
又，，，
故，即，则.
故答案为：4.
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为；
(2)准线为；
(3)过点；
(4)焦点到准线的距离为．
【解题思路】（1）根据焦点位置得到，则得到其标准方程；
（2）根据准线方程得到，则得到其标准方程；
（3）利用待定系数，设出抛物线方程，代入所过得点即可；
（4）根据距离求出，则得到其标准方程.
【解答过程】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，，
抛物线的标准方程为．
（2）焦点在轴正半轴上，且，，
抛物线的标准方程为．
（3）由题意，抛物线方程可设为或，
将点的坐标代入，得或，
或．
所求抛物线的标准方程为或．
（4）由焦点到准线的距离为，可知．
所求抛物线的标准方程为或或或．
16．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知是抛物线上一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值.
【解题思路】（1）假设的坐标，根据两点间的距离公式可以表示出的函数，进而利用二次函数求解最小值；
（2）利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，再根据二次函数求解最小值
【解答过程】（1）设点，
，
所以当时，，所以.
（2）点到直线的距离，
当时，，此时点的坐标为.
17．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
【解题思路】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程;
（2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解；
【解答过程】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示
设抛物线的方程为，则
点在抛物线上，代入方程得，
所以抛物线的方程为.
（2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米，
设，代入方程得，故，则
，
所以木船能通行；
（3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为，
把代入方程，得，
故，由，得.
所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行.
18．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点到点的距离等于它到直线的距离，
(1)求点的轨迹方程;
(2)若，求周长的最小值.
【解题思路】（1）利用抛物线的定义得解；
（2）根据抛物线的定义可将问题转化成的最小值，根据三点共线即可求解.
【解答过程】（1）由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等，
所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，
因此动点的轨迹方程为.
（2）由题意知，焦点为,,
当的值最小时，的周长最小.
设点在抛物线的准线上的射影为，根据抛物线的定义，可知 ，
因此的最小值即的最小值.
根据平面几何的知识可得，当 三点共线时，即可作准线于,
与抛物线交于,此时 三点共线，
此时，
所以周长的最小值为
19．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值．
【解题思路】（1）（2）（3）数形结合，利用抛物线定义对所求距离之和进行转化为两点之间的距离，或点到直线的距离可得.
【解答过程】（1）过点B、P分别作准线的垂线，垂足为E、D.
选①：如图1，
由抛物线定义可得，，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为4.
选②：由图2可知，，
所以点P到点F与它到B的距离之和的最小值为，
（2）如图2，
由抛物线定义可得，
点P到点与它到准线l的距离之和的最小值为.
（3）记P到直线的距离为d，F到直线的距离为m.
由图2结合抛物线定义可知，则.
所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.7 抛物线【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 抛物线的定义及其应用】 3
【题型2 抛物线的标准方程】 4
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】 4
【题型4 抛物线的轨迹方程】 5
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】 5
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 5
【题型7 抛物线的焦半径公式】 6
【题型8 抛物线的几何性质】 6
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 7
1、抛物线
考点要求 真题统计 考情分析
(1)掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程 (2)掌握抛物线的简单几何性质(范围 、对称性、顶点、离心率) (3)了解抛物线的简单应用 2023年新高考I卷：第22题，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第10题，5分 2023年全国乙卷（文数）：第13题，5分 2023年北京卷：第6题，4分 2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分 2024年北京卷：第11题，5分 抛物线是圆锥曲线中的重要内容，抛物线及其性质是高考数学的热点问题.从近几年的高考情况来看，主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、面积问题等内容，在选择、填空、解答题都可能出现，解题思路和解题步骤相对固定，强调通性通法，选择、填空题中难度不大，解答题中难度偏大，一般以第一小问考查抛物线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.
【知识点1 抛物线及其性质】
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
顶点 (0,0) (0,0)
轴 对称轴y=0 对称轴x=0
焦点
准线
离心率 e =1 e=1
开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下
焦半径
范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是01，抛物线的离心率是
e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】
1．抛物线标准方程的求解
待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
【知识点3 抛物线的焦半径公式】
1．焦半径公式
设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.
(1)抛物线：，；
(2)抛物线：，；
(3)抛物线：，；
(4)抛物线：，.
注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半
径公式.
【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】
1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
【方法技巧与总结】
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线上一点P到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
【题型1 抛物线的定义及其应用】
【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线上一点与焦点间的距离是10，则到轴的距离是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点为平面内一动点，设甲：的运动轨迹为抛物线，乙：到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 抛物线的标准方程】
【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点为抛物线上一点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，与准线垂直且垂足为，若，则此抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C的方程为 则此抛物线的焦点坐标为（ ）
A．(-4,0) B． C．(-2,0) D．
【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【题型4 抛物线的轨迹方程】
【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】
【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：上的点，，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知是抛物线上的点，是圆上的点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点，，，动点P满足线段PE的中点在曲线上，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 抛物线的焦半径公式】
【例7】（2024·青海西宁·一模）已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为3，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【题型8 抛物线的几何性质】
【例8】（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】
【例9】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知，，若的面积是面积的2倍，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，且为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
一、单选题
1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的2倍．则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线的焦点为，动点在上，点与点关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线过点，为的焦点，点为上一点，为坐标原点，则（ ）
A．的准线方程为
B．的面积为1
C．不存在点，使得点到的焦点的距离为2
D．存在点，使得为等边三角形
二、多选题
9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
10．（2024·湖北襄阳·二模）抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以AF为直径的圆与轴相切
D．
11．（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，准线为，点，在上（在第一象限），点在上，以为直径的圆过焦点，（），则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的面积最小值为 D．的面积大于
三、填空题
12．（2024·陕西宝鸡·三模）抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为 ．
13．（2024·西藏林芝·模拟预测）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ．
14．（2024·上海·三模）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则 .
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为；
(2)准线为；
(3)过点；
(4)焦点到准线的距离为．
16．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知是抛物线上一点.
(1)设点的坐标为，求的最小值；
(2)若点到直线的距离最小，求出点的坐标及距离的最小值.
17．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米.
(1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程；
(2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？
(3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？
18．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知点到点的距离等于它到直线的距离，
(1)求点的轨迹方程;
(2)若，求周长的最小值.
19．（23-24高二·全国·课后作业）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．
已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求：
(1)点P到点F与它到______的距离之和的最小值；
(2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值；
(3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值．
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