专题8.8 直线与圆锥曲线的位置关系【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 直线与圆锥曲线的位置关系】 4
【题型2 圆锥曲线的弦长问题】 4
【题型3 圆锥曲线的中点弦问题】 6
【题型4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 7
【题型5 圆锥曲线中的最值问题】 8
【题型6 圆锥曲线中的向量问题】 10
【题型7 圆锥曲线中的探索性问题】 11
1、直线与圆锥曲线的位置关系
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 (2)掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式 (3)能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题 2022年新高考全国I卷：第22题，12分 2022年新高考全国Ⅱ卷：第22题，12分 2023年新高考I卷：第22题，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第21题，12分 2023年全国甲卷（理数）：第20题，12分 2024年新高考I卷：第16题，15分 2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分 2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分 圆锥曲线是高考的热点内容，直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考必考内容.从近几年的高考情况来看，本节内容主要以解答题的形式考查，考查方向主要有两个方面：一是平面解析几何通性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、面积、最值、定点、定值或定直线等问题的求解；有时会与向量、数列等知识结合考查，其思维要求高，计算量较大，需要灵活求解.
【知识点1 直线与圆锥曲线的位置关系】
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
【知识点2 圆锥曲线中的弦长问题】
1．椭圆的弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，
则或.
2．双曲线的弦长问题
①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.
②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
④双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还
是在y轴上，双曲线的通径总等于.
3．抛物线的弦长问题
设直线与抛物线交于A,B两点，则
|AB|==或
|AB|== (k为直线的斜率，k≠0).
【知识点3 圆锥曲线中的中点弦与焦点弦问题】
1．椭圆的“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
设线段AB的中点为，当时，有+=0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
2．双曲线的“中点弦问题”
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
3．抛物线的焦点弦问题
抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程 弦长公式
y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2)
【知识点4 圆锥曲线中最值问题的解题策略】
1. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用
函数方法、不等式方法等进行求解.
【知识点5 圆锥曲线中的探索性问题的解题策略】
1. 圆锥曲线中的探索性问题
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，
成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
【方法技巧与总结】
1．已知M，N是椭圆C：+=1 (a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则.
2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则.
3．若曲线为抛物线，P为弦MN的中点：(开口向右)，(开口向左)，(开口向上)，(开口向下).
【题型1 直线与圆锥曲线的位置关系】
【例1】（2024·山东·模拟预测）已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式1-1】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【变式1-2】（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2024·上海·模拟预测）已知直线与椭圆，点分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点（不重合），那么“直线与椭圆相切”是“”的（ ）
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【题型2 圆锥曲线的弦长问题】
【例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
【变式2-1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．
【变式2-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．
(1)求椭圆的离心率．
(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．
【题型3 圆锥曲线的中点弦问题】
【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
【变式3-1】（2024·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.
【变式3-2】（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
【变式3-3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程.
【题型4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】
【例4】（2024·河北·模拟预测）已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点．
(1)求的离心率；
(2)设点，求的面积．
【变式4-1】（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左 右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知点，，，均在抛物线：上，，关于轴对称，直线，关于直线对称，点在直线的上方，直线交轴于点，直线斜率小于2.
(1)求面积的最大值；
(2)记四边形的面积为，的面积为，若，求.
【变式4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆E：（）和圆C：，C经过E的右焦点F，点A，B为E的右顶点和上顶点，原点O到直线AB的距离为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设D，A是椭圆E的左、右顶点，过F的直线l交E于M，N两点（其中M点在x轴上方），求与的面积之比的取值范围.
【题型5 圆锥曲线中的最值问题】
【例5】（2024·新疆·二模）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值．
【变式5-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2.
(1)求的准线方程；
(2)求的最小值.
【变式5-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
【变式5-3】（2024·安徽·三模）已知双曲线的离心率为2，动直线与的左 右两支分别交于点，且当时，（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)若点到的距离为的左 右顶点分别为，记直线的斜率分别为，求的最小值
【题型6 圆锥曲线中的向量问题】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．
(1)求椭圆方程；
(2)求的取值范围．
【变式6-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
【变式6-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式6-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
【题型7 圆锥曲线中的探索性问题】
【例7】（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【变式7-1】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点；
(1)求的离心率；
(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；
(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
【变式7-2】（2024·全国·二模）椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，过点的动直线与椭圆相交于P，Q两点，当直线的斜率为1时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线AP与直线的交点为，是否存在定实数，使Q，B，N三点共线 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．问：在轴上是否存在定点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ）
A．±1 B． C． D．±2
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
5．（2024·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，抛物线E：的焦点为F，过点的直线，与E分别相交于，和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若AD，BC的斜率分别为，，则
D．若的面积为，则的面积为
二、多选题
9．（2024·广东茂名·二模）已知双曲线，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则与仅有一个公共点
B．若，则与仅有一个公共点
C．若与有两个公共点，则
D．若与没有公共点，则
10．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（ ）
A．的轨迹方程为
B．的最小值为1
C．若为坐标原点，则面积的最大值为
D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍
11．（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．直线过定点 B．为定值
C．的最大值为2 D．的最小值为4
三、填空题
12．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 .
13．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 ．
14．（2024·宁夏银川·三模）已知曲线，，，P为C上异于A，B的一点，直线与直线交于M，直线与直线交于点N，则有以下四种说法：
①存在两个定点，使得P到这两个定点的距离之和为定值
②直线与直线的斜率之差的最小值为
③的最小值为
④当直线的斜率大于时，大于
其中正确命题的序号为 .
四、解答题
15．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
17．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．
19．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题8.8 直线与圆锥曲线的位置关系【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 直线与圆锥曲线的位置关系】 4
【题型2 圆锥曲线的弦长问题】 6
【题型3 圆锥曲线的中点弦问题】 10
【题型4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 14
【题型5 圆锥曲线中的最值问题】 19
【题型6 圆锥曲线中的向量问题】 24
【题型7 圆锥曲线中的探索性问题】 29
1、直线与圆锥曲线的位置关系
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 (2)掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式 (3)能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题 2022年新高考全国I卷：第22题，12分 2022年新高考全国Ⅱ卷：第22题，12分 2023年新高考I卷：第22题，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第21题，12分 2023年全国甲卷（理数）：第20题，12分 2024年新高考I卷：第16题，15分 2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分 2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分 圆锥曲线是高考的热点内容，直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考必考内容.从近几年的高考情况来看，本节内容主要以解答题的形式考查，考查方向主要有两个方面：一是平面解析几何通性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、面积、最值、定点、定值或定直线等问题的求解；有时会与向量、数列等知识结合考查，其思维要求高，计算量较大，需要灵活求解.
【知识点1 直线与圆锥曲线的位置关系】
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
【知识点2 圆锥曲线中的弦长问题】
1．椭圆的弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点，
则或.
2．双曲线的弦长问题
①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.
②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
④双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还
是在y轴上，双曲线的通径总等于.
3．抛物线的弦长问题
设直线与抛物线交于A,B两点，则
|AB|==或
|AB|== (k为直线的斜率，k≠0).
【知识点3 圆锥曲线中的中点弦与焦点弦问题】
1．椭圆的“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根
与系数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中
点坐标和斜率的关系.
设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)，
得，
①-②可得+=0，
设线段AB的中点为，当时，有+=0.
因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦
中点轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标
为，则弦AB所在直线的斜率为，即.
2．双曲线的“中点弦问题”
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
3．抛物线的焦点弦问题
抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程 弦长公式
y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2)
【知识点4 圆锥曲线中最值问题的解题策略】
1. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用
函数方法、不等式方法等进行求解.
【知识点5 圆锥曲线中的探索性问题的解题策略】
1. 圆锥曲线中的探索性问题
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，
成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
【方法技巧与总结】
1．已知M，N是椭圆C：+=1 (a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则.
2．若曲线为双曲线，其余条件不变，则.
3．若曲线为抛物线，P为弦MN的中点：(开口向右)，(开口向左)，(开口向上)，(开口向下).
【题型1 直线与圆锥曲线的位置关系】
【例1】（2024·山东·模拟预测）已知直线：，椭圆：，则“”是“与相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解题思路】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求解即可.
【解答过程】当时，直线：，直线与椭圆相切，当“与相切”时，
联立有，令有，
所以是直线与椭圆相切的充要条件.
故选:C.
【变式1-1】（2024·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【解题思路】根据点和双曲线的位置关系确定满足条件的直线的条数.
【解答过程】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图：
所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条：
一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线.
故选：C.
【变式1-2】（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断.
【解答过程】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，
则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为；
当直线的斜率存在时，设直线为，
则，消去整理得，
即有两个不同的解，
所以即，解得或，
所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.
故选：A.
【变式1-3】（2024·上海·模拟预测）已知直线与椭圆，点分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点（不重合），那么“直线与椭圆相切”是“”的（ ）
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【解题思路】设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式和点到直线的距离公式求出与的关系，再根据充分性和必要性的概念求解即可.
【解答过程】根据题意可知直线斜率存在，设直线方程为，
联立得
当直线与椭圆相切时，，化简得，
由题意，
因为，，所以，
所以当时，，
解得或（舍去），
所以“直线与椭圆相切”是“”的充要条件.
故选：C.
【题型2 圆锥曲线的弦长问题】
【例2】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
【解题思路】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率；
（2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解.
【解答过程】（1）由题意知，且，
，
所以双曲线的离心率．
（2）由（1）知双曲线方程为，
将即代入，得，
不妨设，
所以．
【变式2-1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值．
【解题思路】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与计算即可得；
（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.
【解答过程】（1）由题意可得，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2），故可设，，，
联立，消去可得，
，即，
，，
则
，
则当时，有最大值，且其最大值为.
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．
【解题思路】（1）首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出，再由离心率公式求出，即可得解；
（2）首先判断直线的倾斜角不为零，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出，由弦长公式求出，即可得解.
【解答过程】（1）由题知双曲线的渐近线方程为，
不妨设，则焦点到渐近线的距离，
的离心率为，
故双曲线的标准方程为．
（2）由（1）可得，
当直线的倾斜角为零时，由，得直线的方程为，
代入双曲线方程可得，不妨令，，
则，不符合题意，则直线的倾斜角不为零，
设直线的方程为，，，
联立，消去整理得，
，，，
．
，，
，，
，
，
，
即，
，
，
或．
当时，，不符合题意，．
，，
，
解得，故直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
【变式2-3】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．
(1)求椭圆的离心率．
(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．
【解题思路】（1）利用椭圆和抛物线的定义可以用表示点P的坐标，代入椭圆方程即可求出离心率；
（2）根据条件求出椭圆与抛物线的方程，设l方程及点M、N的坐标，由面积求得l方程，再由弦长公式即可求得.
【解答过程】（1）∵抛物线方程为∴其焦点为，抛物线的准线方程为．
设点，故到准线的距离为．
即，∴
因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得．
根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程，化简得．
即，所以，则椭圆E的离心率．
（2）因为椭圆的焦距为2，所以，所以，
所以椭圆方程为．
抛物线的方程为．且，．
因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为，，且．
设点，，联立l与
消去x得：．
所以，．
所以．所以．
【题型3 圆锥曲线的中点弦问题】
【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.
【解题思路】（1）根据抛物线的焦点求出的值，然后由椭圆的离心率计算，再由平方关系得到，可写出椭圆的方程；
（2）设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标.
【解答过程】（1）依题意得：
，即，解得
，解得
椭圆的方程为
（2）如图所示：
设，中点为，
所以
则
又两点在椭圆上，可得，
两式相减可得，整理得
，①.
过点斜率为的直线为.
因为在直线上，故，②
联立①②，解得
所以中点坐标为.
【变式3-1】（2024·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率.
【解题思路】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程.
（2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验.
【解答过程】（1）椭圆的焦点为，故，
由双曲线的渐近线为，故，故，
故双曲线方程为：.
（2）设，的中点为，
因为在直线，故，
而，，故，
故，
由题设可知的中点不为原点，故，所以，
故直线的斜率为.
此时，
由可得，整理得到：，
当即或，
即当或时，直线存在且斜率为1.
【变式3-2】（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
【解题思路】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.
（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.
【解答过程】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．
所以．
又，所以，解得．
所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．
则，．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
【变式3-3】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为，点在C上，且
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l交于两点，且的中点为，求直线l的方程.
【解题思路】（1）由点在抛物线上得A坐标，结合正弦定理得，即可求解；
（2）利用点差法结合中点坐标求解.
【解答过程】（1）过点A作轴于B，易知点
则
所以
在中，由正弦定理得
得
所以
解得，
所以C的标准方程为
（2）当直线l的斜率不存在时，MN 的中点不可能为，故直线l的斜率存在且不为零，
设直线l的斜率为
则,两式相减得，整理得
因为的中点为,所以，所以
所以直线l的方程为，即
【题型4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】
【例4】（2024·河北·模拟预测）已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点．
(1)求的离心率；
(2)设点，求的面积．
【解题思路】（1）由题意，结合题目所给信息以及，，之间的关系，可得椭圆的方程，再根据离心率公式即可求解；
（2）先得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．
【解答过程】（1）由题，，
且在上有，
解得．
故椭圆的标准方程为，
离心率．
（2）因为直线经过，两点，
可得直线的方程为，
联立，
解得或，
所以直线与椭圆的另一交点为，
则，
又点到直线的距离．
故的面积．
【变式4-1】（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.
(1)求双曲线的方程及点的坐标；
(2)过且斜率非负的直线与的左 右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.
【解题思路】（1）利用待定系数法求双曲线方程，利用导数法来求切线方程即可得A点坐标；
（2）先设直线的方程，再利用三点共线，可求出直线过定点，从而把面积问题转化到两定点上去研究，最后发现为实轴两顶点时取到最小值，再去研究另一个圆上动点的最小值.
【解答过程】（1）由题意可知，，即，故的方程为：.
因为在第一象限，不妨设，则可变形为，
则，代入得：，所以切线方程为，
令得,所以点坐标为.
（2）
显然直线的斜率存在且不为，
设，则，
联立方程，整理得：，
，
由三点共线得：，即，
整理得：，
所以，整理得，
满足，所以直线过定点，则且线段垂直于x轴，
令分别表示到的距离，
结合图，显然，仅当为右顶点时两式中等号成立，
所以
，当且仅当时等号成立.
【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）已知点，，，均在抛物线：上，，关于轴对称，直线，关于直线对称，点在直线的上方，直线交轴于点，直线斜率小于2.
(1)求面积的最大值；
(2)记四边形的面积为，的面积为，若，求.
【解题思路】（1）设，则，令可得的坐标，由韦达定理可表示出，从而可求得面积的表达式，结合基本不等式即可求解；
（2）设的面积为， 由题意，由韦达定理以及同理思想可得，由公式可知也可以用表示，进而可以得出关于的方程，解出，结合二倍角公式、平方关系即可求解.
【解答过程】（1）由题意，解得，所以抛物线：，
因为，关于轴对称，直线，关于直线对称，
所以斜率互为相反数，不妨设，
则，
设与轴交于点，而直线交轴于点，
所以，
联立与抛物线：，化简并整理得，
，
设，
则，
设面积为，
则
，等号成立当且仅当，
所以面积的最大值为16；
（2）
由（1）可知，解得，
设点的坐标为，同理可得，
所以，
设的面积为，而四边形的面积为，的面积为，
由题意，所以，
而，
而，所以，即，解得，
由题意轴，且，设，
所以，
所以.
【变式4-3】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆E：（）和圆C：，C经过E的右焦点F，点A，B为E的右顶点和上顶点，原点O到直线AB的距离为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设D，A是椭圆E的左、右顶点，过F的直线l交E于M，N两点（其中M点在x轴上方），求与的面积之比的取值范围.
【解题思路】（1）根据条件，转化为关于的方程组，即可求解；
（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，斜率不存在时，直接计算，斜率存在时，直线的方程与椭圆方程联立，得到韦达定理，并表示三角形的面积比值，利用韦达定理表示面积比值，并求范围.
【解答过程】（1）设椭圆焦距为2c，
由题意可得，有①
又因为直线AB方程为，
所以②
联立①②解得：，，
故椭圆方程为
（2）①当l斜率不存在时，易知；
②当l斜率存在时，设l：（），，
由得，显然，
所以，，
因为，，
所以
因为，
又，
设，则，，解得且，
所以，
综上，的取值范围为.
【题型5 圆锥曲线中的最值问题】
【例5】（2024·新疆·二模）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值．
【解题思路】（1）根据两点间距离最值结合离心率求出，即可得出椭圆方程；
（2）结合向量共线求出参数关系得出轨迹方程，再根据点到直线距离求出最小值.
【解答过程】（1）设，，
则．
又因为，所以，即，
又椭圆的离心率，所以，则，
解得，故的方程为．
（2）设，，，因为，
所以，
若，则，即与重合，与矛盾，
若，则，即与重合，与矛盾，
故，于是，将点代入，
化简得，
同理可得，，
故，为方程的两根，
于是，即，动点在定直线上．
令直线，当与相切时，记，的距离为，则，
联立可得，
由，解得，又，则，
此时，解得，，即切点为，直线，的距离为，
故的最小值为．
【变式5-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2.
(1)求的准线方程；
(2)求的最小值.
【解题思路】（1）将点代入即可求出，则得到准线方程；
（2）设点，计算斜率得到，联立直线与抛物线得到，则得到韦达定理式，代入即可得到，则，再利用二次函数性质即可得到最值.
【解答过程】（1）因为点在：上，
所以，解得.
所以的准线方程为.
（2）由（1）知：，设，.
，同理可得，
所以，即.
联立得，
由得.（*），
，，
所以，
整理得.
所以，
当，时，等号成立，此时，满足（*）式，
故的最小值为.
【变式5-2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，双曲线的顶点恰好是、，且一条渐近线是．
(1)求的方程：
(2)若上任意一点（异于顶点），作直线交于，作直线交于，求的最小值．
【解题思路】（1）利用双曲线渐近线斜率已知，结合顶点坐标的性质，即可求出方程；
（2）设直线的方程为：，利用弦长公式可求出与的关系式，同理再设直线的方程为：，也可求出与的关系式，然后利用这两直线的交点在双曲线上，得到，从而可求的最小值.
【解答过程】（1）由椭圆得：左右焦点分别是，
因为双曲线的顶点恰好是、，设双曲线的方程为：，
所以，
又由一条渐近线是，可得，所以，
即双曲线的方程为：，
（2）
设直线的方程为：，与椭圆联立得：
，
可设，则
则，
同理可设直线的方程为：，与椭圆联立得：
，
可设，则
则，
再由直线的方程为：与直线的方程为：联立解得：
，
由于这两直线交点就是点，则把点的坐标代入双曲线的方程得：
，化简得：，
点（异于顶点），所以，即，
则
，
当且仅当，即时，有最小值.
【变式5-3】（2024·安徽·三模）已知双曲线的离心率为2，动直线与的左 右两支分别交于点，且当时，（为坐标原点）.
(1)求的方程；
(2)若点到的距离为的左 右顶点分别为，记直线的斜率分别为，求的最小值
【解题思路】（1）设的半焦距为，由题意得到，联立方程组得到，结合，列出方程求得的值，即可求解；
（2）由点到的距离为1，得到，联立方程组求得，求得，再由弦长公式，求得，且，求得，再由（1）得到，进而求得其最小值，得到答案.
【解答过程】（1）解：设的半焦距为，
由题意知离心率，可得，
联立方程组，整理得，
其中且，
则，
解得，所以双曲线的方程为.
（2）解：因为点到的距离为1，可得，则.
联立方程组，整理得，
其中，
且，
因为直线与的左 右两支分别交于点，可得，所以，
又因为，故，
且，
因为，故，
由（1）可知，则，
故 ，
又由，故，
即的最小值为.
【题型6 圆锥曲线中的向量问题】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．
(1)求椭圆方程；
(2)求的取值范围．
【解题思路】（1）由题意列出关于，，的方程组，求出，，即可得解.
（2）由向量共线得出的值、直线斜率存在且不为，设直线方程为，联立椭圆方程求出值和韦达定理，利用得出，结合所得韦达定理即可求解.
【解答过程】（1）设椭圆的方程为 ，
由题，解得，，
因此椭圆的方程为即．
（2）由题意可知向量起点相同，终点共线，
又由得，
故，即，即，
显然直线斜率存在且不为，设其方程为，
联立方程，消去，得，所以，
设，，则，，
又由得，即，
因此，从而，，
所以，
整理得，显然，
所以，
解得或．经检验，此时，
因此的取值范围是.
【变式6-1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)当直线过点时，求的取值范围.
【解题思路】（1）由题意可得，解方程即可得出答案；
（2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案.
【解答过程】（1）由题意可得：，解得：，，.
双曲线的方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，，，
此时，，所以，
当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点，
设直线的方程为：，
联立可得：，
当时，，
，，
，
令，则，令， 在，上单调递减，
又，所以，
所以的取值范围为.
【变式6-2】（2024·福建厦门·二模）已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）设点，由题意列出等式，化简即可求得答案；
（2）分别设直线的方程，求出点的坐标，即可得出直线的方程，继而求出H点坐标，从而求出的表达式，结合二次函数知识，即可得结论，并求得最大值.
【解答过程】（1）由题意设点，由于，
故，整理得，
即的轨迹方程为；
（2）由题意知直线的斜率分别为，，且满足，
设直线的方程为，令，则可得，即，
直线，同理求得，
又直线的方程为，
令，得，即，
故
，
当时，取到最大值12，
即存在最大值，最大值为12.
【变式6-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据向量数量积得到关系式，结合离心率以及求解出，则椭圆方程可求；
（2）设出坐标，根据向量共线表示出对应坐标关系，再利用点差法结合已知坐标关系进行化简从而得到关于的表示，根据椭圆的有界性可求的范围.
【解答过程】（1）设点的坐标分别为，
又点的坐标为，且，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则依据得，
整理得，
又，故，
得，
即，
当时，此时，即重合，显然不成立，所以，
所以，即，
又，得，
又，故，且，
故实数的取值范围为.
【题型7 圆锥曲线中的探索性问题】
【例7】（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据渐近线方程和求的值，即可得到双曲线E的方程；
（2）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程.
【解答过程】（1）因为双曲线E的一条渐近线方程为，所以，又，
因此，又，，；
则E的方程为．
（2）假设存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，
设，，中点为，又，
由可知为等腰三角形，，且直线l不与x轴重合，
于是，即，
因此，，（Ⅰ）
点在双曲线上，所以，
①②化简整理得：，，即，可得，（Ⅱ）
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，
解得（舍去），适合题意，则；
由得，
所以直线l的方程为：，即．
【变式7-1】（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点；
(1)求的离心率；
(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；
(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
【解题思路】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；
（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；
（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得，再联立直线与椭圆方程得到关于的表达式，进而化简得到与的关系，由此得解.
【解答过程】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为，
则，则，所以.
（2）依题意，设，则，，故，
则，
所以由二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为.
（3）设，又，
易得，则直线为，即 ，
而，
，
，
联立，消去，得
则，得，
所以，
故
，
所以，
故存在，使得恒成立.
【变式7-2】（2024·全国·二模）椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A，B，过点的动直线与椭圆相交于P，Q两点，当直线的斜率为1时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线AP与直线的交点为，是否存在定实数，使Q，B，N三点共线 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式和韦达定理，椭圆离心率表达式进行联立，求得，即得椭圆方程；
（2）先由直线与轴垂直时的情况，求出，当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得韦达定理，由特殊情况取时求得点坐标，通过判断是否共线检验是否可得到Q，B，N三点共线完成猜想证明.
【解答过程】（1）
如图，设，当直线的斜率为1时，直线方程为.
联立
消去，得.显然，
则
即.
又离心率则，即.
解得.
椭圆的标准方程为.
（2）由题意知，当直线与轴垂直时，，
则AP的方程为，
令，得，，
由三点共线，可得，，解得
当直线不与轴垂直时，设直线的方程为.
联立消去，得.
，AP的方程为，
令，得，
即共线，故Q，B，N三点共线.
故存在定实数，使Q，B，N三点共线.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点．问：在轴上是否存在定点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据题意，设，求得，得到双曲线的方程可化为，将点在双曲线上，求得，即可求解；
（2）假设存在点，设直线的方程为，联立方程组，求得，化简得到，当，得到（定值），即可求解.
【解答过程】（1）解：由题意，双曲线的离心率为，可得，
设，则，所以，
所以双曲线的方程可化为，
因为点在双曲线上，所以，解得，
所以双曲线的标准方程为．
（2）设，
假设存在点，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则，
且，
因为
，
所以当，即时，（定值），
故存在定点，使直线与的斜率之和为定值0．
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解.
【解答过程】依题意，联立，得，
化解得，
因为直线与椭圆相切，
所以，
化简整理得，所以.
故选：C.
2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，结合“点差法”，即可求解.
【解答过程】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，
可得.
由，两式相减得，
整理得，可得，
即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为.
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ）
A．±1 B． C． D．±2
【解题思路】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可
【解答过程】下图所示为l的斜率大于0的情况．
如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．
设，，则．
而，所以，
l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，
可求得，可求得l斜率为，
同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
故选：D.
4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案.
【解答过程】
因为抛物线的焦点为，准线方程为，
所以，故，
不妨设在第一象限，故，
所以.
故选：C.
5．（2024·河南信阳·三模）已知椭圆，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线和平行的直线，分别交，交于M，N两点，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由题意可得四边形为平行四边形，设，，，根据与的中点相同得，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.
【解答过程】设过点P分别与直线平行的直线为，如图：
设，，，则，，
显然四边形为平行四边形，故与的中点重合，
则，即，
又因P为椭圆上任意一点，所以，即，
即，
而，即，所以当时，.
故选：C.
6．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，由双曲线定义和题目条件，表达出，，，在中，由余弦定理得，则，在中，由余弦定理得，故，设，求出直线与的斜率之积为.
【解答过程】设，则，
由双曲线定义得，，
在中，由余弦定理得
，
解得，
则，，
在中，由余弦定理得
，
解得，则，，
设，则，
将代入得，
则直线与的斜率之积为.
故选：D.
7．（2024·陕西商洛·三模）已知抛物线的焦点为F，过F的直线交E于A，B两点，点P满足，其中O为坐标原点，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D，记，的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设直线的方程为，，，联立抛物线方程结合韦达定理有，同理，从而，同理，结合三角形面积公式即可得解.
【解答过程】根据已知条件作出图形，如图所示
由题意知，又，所以.
显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由，得，显然，所以.
显然直线BD的斜率不为0，设，直线BD的方程为，
由，得，显然，所以，
又，所以，设，同理可得，
.
故选：C.
8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，抛物线E：的焦点为F，过点的直线，与E分别相交于，和C，D两点，直线AD经过点F，当直线AB垂直于x轴时，．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若AD，BC的斜率分别为，，则
D．若的面积为，则的面积为
【解题思路】根据抛物线定义表示，由条件列方程求可得抛物线方程，判断A，设的方程为，利用设而不求法求，判断B，设，利用设而不求法求，根据直线AD经过点F，确定的关系，利用表示，判断C，求出坐标即可判断D.
【解答过程】当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为，所以点A的横坐标为p，所以，又，所以，故A选项错误；
若直线AB的斜率为0，则直线AB与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，
故可设直线AB的方程为，联立化简可得，
方程的判别式，
由已知，为方程的两根，
所以，，，故B选项错误；
设直线CD的方程为，，，联立；
化简可得，方程的判别式，
所以，．，
若直线AD的斜率存在，则，，，
因为直线AD经过点F，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，，所以，选项C正确；
当直线AB垂直于x轴时，易知点，从而，
此时点D在过，两点的直线上，且在抛物线E：上，
从而求出点，从而，从而，故选项D错误．
故选：C.
二、多选题
9．（2024·广东茂名·二模）已知双曲线，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则与仅有一个公共点
B．若，则与仅有一个公共点
C．若与有两个公共点，则
D．若与没有公共点，则
【解题思路】利用直线与双曲线的位置关系，利用方程联立的方程，利用判别式，判断实数根的方法，即可求解.
【解答过程】因为双曲线的方程为，其渐近线方程为，即，
又因为直线过定点，当时，直线与双曲线有且只有一个交点，故A正确；
联立消去得，，
当直线与双曲线相切时，方程只有一个实数根，，且，解得，
所以当时，直线与双曲线有且只有一个交点，故B正确；
若与有两个公共点，则，解得：或，故选C错误；
若与没有公共点，，，D正确.
故选：ABD.
10．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（ ）
A．的轨迹方程为
B．的最小值为1
C．若为坐标原点，则面积的最大值为
D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍
【解题思路】根据求轨迹方程的方法即可求得选项A，结合椭圆的性质即可判断选项B，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求出的面积，利用导数可判断选项C，利用中点坐标公式及直线与直线的关系，即可求出点和点的横坐标，从而判断选项D.
【解答过程】对于选项A，设，因为，，所以，化简得，故A错误；
对于选项B，因为，则，，则，
所以为椭圆的右焦点，则，故B正确；
对于选项C，设的方程 ，代入椭圆方程，得，
设，则，，
所以 ，
令，则 ，
令，则 ，在为增函数，，，
所以，当且仅当时即等号成立，故C正确；
对于选项D，因为，，，
所以，则，
设，则，则，
所以，则点的横坐标是点的横坐标的倍，故D正确.
故选：BCD.
11．（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．直线过定点 B．为定值
C．的最大值为2 D．的最小值为4
【解题思路】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，即可判断A；对照系数结合得到的轨迹方程，计算出，，求出，即可判断B；得到点轨迹的渐近线，即可判断C；先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，即可判断D.
【解答过程】由于，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0，
所以直线方程斜率一定存在，
设直线的方程为，联立得，
，
设，则，
故
，
其中，
故，即，
所以，解得，
下面证明椭圆在处的切线方程为，
理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
故椭圆在点的切线方程为，
在点的切线方程为，
由于点为与的交点，
故，，
所以直线为，
因为直线的方程为，对照系数可得，
又，故，整理得，
又在第一象限，
故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分，
A选项，直线为，所以直线不过定点，故A错误；
B选项，，同理可得，
则，
为定值，故B正确；
C选项，由于，，，故双曲线的一条渐近线为，
设，则，故无最大值，故C错误；
D选项，由于，，，故，
设，则，
则两式联立得，
由得，，
检验，当时，，又，
解得，满足要求，
故的最小值为4，D正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点的直线 与抛物线 交于两点，若 ，则直线 的斜率为 .
【解题思路】设，利用弦长公式求解．
【解答过程】抛物线的焦点，设直线l的方程为：，
联立方程，消去y得，，
设，则，
因为，所以，
即，得，
故答案为：.
13．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线的焦点为为上的两点．若直线的斜率为，且，延长分别交于两点，则四边形的面积为 50 ．
【解题思路】通过抛物线的焦点坐标，直线的斜率和直线的垂直关系，求出对角线；再利用两对角线垂直的四边形面积公式，即可求得.
【解答过程】由题可知，抛物线的焦点坐标为．
因为直线的斜率为，所以直线的方程为，
与抛物线的方程联立，得，所以．
设，则，，
故．
因为，所以，
所以直线的斜率为，直线的方程为，
与抛物线的方程联立，得．所以．
设，则，，
故．
所以四边形的面积为．
故答案为：50.
14．（2024·宁夏银川·三模）已知曲线，，，P为C上异于A，B的一点，直线与直线交于M，直线与直线交于点N，则有以下四种说法：
①存在两个定点，使得P到这两个定点的距离之和为定值
②直线与直线的斜率之差的最小值为
③的最小值为
④当直线的斜率大于时，大于
其中正确命题的序号为 ①②③ .
【解题思路】由曲线方程得出为椭圆的上半部分，根据椭圆定义判断①；对于②，设坐标，表示出直线与直线的斜率之差，利用基本不等式求得最小值；对于③④，表示出直线和的方程，与的坐标，利用距离公式以及基本不等式和函数单调性求得.
【解答过程】由，得（），
则表示椭圆的上半部分，
对于①，根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为定值，故①正确；
对于②，设，则，
设，则，，
所以直线与直线的斜率之差为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线与直线的斜率之差的最小值为，故②正确；
对于③，直线的方程为，则的坐标为，
直线的方程为，则的坐标为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故③正确；
对于④，设函数（），
由对勾函数的性质可得在上为增函数，
所以，
因为，故④错误．
故答案为：①②③.
四、解答题
15．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
【解题思路】（1）将点代入双曲线方程即可求解；
（2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果.
【解答过程】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；
又因为点在双曲线上，所以，解得：，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设，
由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，
联立，消去可得：，
所以，，
所以.
16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过且不垂直于坐标轴的直线交于两点，点为的中点，记的面积为的面积为，求的取值范围.
【解题思路】（1）利用离心率公式以及点在椭圆上即可求解；
（2）解法一：设，利用三角形的面积公式，将面积之比表示为点的纵坐标之比，利用韦达定理可求出的纵坐标之比的取值范围，从而可求解；
解法二：设，将面积之比表示为点A,B的纵坐标之比，利用韦达定理可求出A,B的纵坐标之比的取值范围，即可求解.
【解答过程】（1）因为，所以，
因为点在椭圆上，所以.
即，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）
解法一：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设，则，
设，则，
，
由得，，
即，
因为，所以，所以，
所以，
令且，
则，解得，且，
所以，所以的取值范围为.
解法二：
由（1）得，依题意设，
由消去，得，
设，则，
所以，
设，则，
，
令且，
则代入可得，
消去得：，
因为，所以，
所以，解得，且，
所以，所以的取值范围为.
17．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解.
【解答过程】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则，
∴点F的坐标为，∴，
∴．抛物线C的方程为．
（2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点，
设直线AB的方程为（），，，
由，得，
∴，，，
∵，∴，
∴
，
∴或（舍去），
当时，点M的坐标为，满足，，
∴存在定点．
18．（2024·河南郑州·模拟预测）设抛物线的焦点为，是上一点且，直线经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)①若与相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若与在第一象限内的两个不同交点为，且关于原点的对称点为，证明：直线的倾斜角之和为．
【解题思路】（1）由化简得，再根据定义得，代入即可的抛物线方程；
（2）①设切点坐标为，通过导数求出切线方程，将点代入即可；②设直线的方程为，，，联立得，，然后计算即可.
【解答过程】（1）因为，
所以，
所以，
所以，
又P是C上一点，
所以，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）①设切点坐标为，
因为，所以，切线的斜率为，
所以切线方程为，
将代入上式，得，
所以，
所以切点坐标为．
②由①得，直线的斜率都存在，
要证：直线的倾斜角之和为，
只要证明：直线的斜率之和为．
设直线的方程为，，，,
则，，
由得，
所以，，，即，
所以，
即直线的倾斜角之和为．
19．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．
(1)求的方程．
(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求面积的最大值．
【解题思路】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得.
（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值.
【解答过程】（1）令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得，
由三角形面积为，得，则，，
所以的方程是.
（2）（i）由（1）知，点，设直线的方程为，设，
由消去x得：，
则，
直线与的斜率分别为，，
于是
，整理得，解得或，
当时，直线过点，不符合题意，因此，
直线：恒过定点.
（ii）由（i）知，，
则，
因此的面积
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
