专题5.4 复数【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 复数的概念】 6
【题型2 复数的四则运算】 7
【题型3 复数的几何意义】 8
【题型4 复数的相等】 9
【题型5 复数的模】 10
【题型6 复数的三角表示】 11
【题型7 复数与方程】 13
1、复数
考点要求 真题统计 考情分析
(1)通过方程的解，认识复数
(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义
(3)掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义 2022年新高考全国I卷：第2题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分 2023年新高考I卷：第2题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第1题，5分 2024年新高考I卷：第2题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第1题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第1题，5分、（理数）：第1题，5分 复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何意义，属于简单题.预测明年高考复数依旧以单选题、填空题形式呈现，比较简单.
【知识点1 复数的概念】
1．复数的概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(3)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
【知识点3 复数的运算】
1．复数的四则运算
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(3)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(4)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
2．复数加法、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【知识点4 复数有关问题的解题策略】
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【方法技巧与总结】
1．(1±i)2=±2i；；.
2．.
3．.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.
【题型1 复数的概念】
【例1】（2024·湖北·模拟预测）已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．i
【分析】直接计算可得，再用虚部的定义即可.
【详解】由于，所以的虚部为.
故选：B.
【变式1-1】（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【分析】根据题意结合复数的相关概念列式求解即可.
【详解】因为，
若复数表示纯虚数，则，解得.
故选：B.
【变式1-2】（2024·吉林白山·一模）复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】根据虚数单位的乘方运算规律将复数化简，即得其虚部.
【详解】由可得：，故的虚部为.
故选:D．
【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1或6 C． D．1
【分析】根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】由题意可得：且，则.
故选：D.
【题型2 复数的四则运算】
【例2】（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据共轭复数和除法法则进行计算，得到答案.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：A．
【变式2-1】（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
【详解】.
故选：D.
【变式2-2】（2024·陕西西安·三模）已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．3 D．
【分析】根据复数代数形式的除法化简，即可判断.
【详解】因为，所以，所以的虚部为．
故选：B.
【变式2-3】（2024·北京·三模）若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】由复数概念求出参数，结合复数四则运算即可求解.
【详解】由是纯虚数可知，所以，
故选：A.
【题型3 复数的几何意义】
【例3】（2024·江西上饶·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据复数的运算法则，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得复数，
复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
【变式3-1】（2024·重庆·二模）若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内
C．第三象限内 D．第四象限内
【分析】根据纯虚数的定义解出，利用复数的几何意义求解．
【详解】复数为纯虚数，，
复数在复平面上的对应点为，位置在第一象限．
故选：A．
【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内三点所对应的复数分别为，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】根据复数的几何意义，利用向量相等即可求解.
【详解】由题意知三点的坐标为，
设复平面内点，则 ，
又四边形是复平面内的平行四边形，则，则，解得，则．
故选:B．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知，（，i为虚数单位）．若，在复平面内对应的点分别为，，点O为原点，且，则（ ）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
【分析】根据复数的几何意义可得，，即可利用向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由题意，得，．因为，
所以，解得．
故选:B．
【题型4 复数的相等】
【例4】（2023·全国·三模）已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【分析】由复数相等的充要条件可得的值.
【详解】因为，所以，
由复数相等的充要条件得，所以.
故选：C.
【变式4-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据条件得出，再根据复数的乘法运算可得出，然后即可求出的值．
【详解】解：，，
，，.
故选：C.
【变式4-2】（2023·内蒙古包头·一模）设，其中a，b是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用复数相等即可求出结果.
【详解】因为，即，
则，即，
故选：B.
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由复数相等可列出方程组求解.
【详解】由题意，
所以，解得，所以.
故选：D.
【题型5 复数的模】
【例5】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数，表示z的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解即得.
【详解】，因此，
所以.
故选：C.
【变式5-1】（2024·河北·模拟预测）若复数，则（ ）
A． B．5 C． D．
【分析】由共轭复数的定义和复数的运算化简，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，所以，
，
所以.
故选：A.
【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知，若为纯虚数，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【分析】先对化简，然后由其为纯虚数，求出，从而可求出.
【详解】，
若为纯虚数，则且，即.
则.
故选：C.
【变式5-3】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知复数，若同时满足和，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】设，根据和求出交点坐标，即可求出，再计算其模即可.
【详解】设，则，，
由和，
所以且，
即且，解得或，
所以、（或、），
则（或），
所以.
故选：C.
【题型6 复数的三角表示】
【例6】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
【变式6-1】（2024·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知，，
由棣莫弗公式，得 ，
所以.
故选：C.
【变式6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解.
【详解】设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，
故选：D.
【变式6-3】（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，
所以
.
故选：B.
【题型7 复数与方程】
【例7】（2024·山西阳泉·三模）已知是实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【分析】根据虚根成对原理也是实系数方程的一个复数根，再由韦达定理计算可得.
【详解】因为是实系数方程的一个复数根，
则也是实系数方程的一个复数根，
所以，解得，
所以.
故选：A.
【变式7-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解.
【详解】根据题意可得，
，即，
当，时，，
，
当，时，，
，
综上，.
故选：D.
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（ ）
A．－2 B．2 C． D．－1
【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.
【详解】方法1：由题意知，即，解得.
方法2：根据虚根成对知1－2i也是方程的根，由韦达定理得，所以.
故选:A.
【变式7-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（ ）
A． B． C． D．
【分析】设方程的根为，将其代入方程中的x中，根据复数相等的条件，构造方程组，解出,.则两根知道了，再逐项代入验证即可.
【详解】设方程的根为，
代入方程，,整理得，
故，则，
不妨令，，
对于A：因为，即，故A错误；
对于B：，故B错误.
对于C:,
，
因此，,故C错误.
对于D：,故D正确.
故选:D.
一、单选题
1．（2024·北京大兴·三模）已知为纯虚数，则实数（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，再根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】因为，
又为纯虚数，所以，解得.
故选：D.
2．（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设，根据模长公式列出方程，求出，得到答案.
【详解】设且，则，
因为，所以,解得：，则的虚部为.
故选：C.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数，则（ ）
A． B． C．5 D．10
【分析】根据题意，结合复数模的计算方法，即可求解.
【详解】由复数，可得.
故选：C.
4．（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则求出z，再根据复数的代数表示及其几何意义得出z对应的点，进而求解．
【详解】设，则，
则，即，所以，，
解得，，故，对应的点在第四象限．
故选：D．
5．（2024·浙江·模拟预测）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】根据复数的乘法、减法运算和复数的模计算得到结果.
【详解】由题得，
则，
答选：B.
6．（2024·四川内江·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据复数的四则运算以及复数模的计算公式即可求解.
【详解】因为，
所以，
解得，
所以.
故选：B.
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据复数的除法运算化简复数，由共轭复数的定义即可求解.
【详解】解：由题意，，
则复数的共轭复数.
故选：A.
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【分析】把代入欧拉公式即可。
【详解】.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·江苏无锡·模拟预测）设为复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．“＂是“＂的充分不必要条件
【分析】设，对于A：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于B：根据加法运算结合共轭复数分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的概念结合充分必要条件分析判断.
【详解】设，
对于选项A：因为，
所以，
且，所以，故A正确；
对于选项B：因为，
则，
所以，故B正确；
对于选项C：若，例如，满足，
但，，即，故C错误；
对于选项D：若，则都是实数，且，即充分性不成立；
若，例如，且，
但不是实数，无法比较大小，即必要性不成立；
综上所述：“＂是“＂的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD.
10．（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在直线上，则
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D.
【详解】复数的实部为，虚部为，
复数在复平面内对应的点的坐标为，
对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误；
对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确；
对于C：若在复平面内对应的点在直线上，
所以，解得或，故C错误；
对于D：令，即，不等式组无解，
所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
故选：BD.
11．（2024·浙江舟山·模拟预测）已知复数是关于的方程的两根，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
【分析】依题意求出两根为：，再依次判断选项．
【详解】，则，
不妨设，
则，故A项正确；
，故C项正确；
而，
则 ，
当时，，故B项错误；
当时，，
，，，同理，故D项正确，
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·山东青岛·二模）已知复数满足，则复数 .
【分析】利用复数的除法运算求解.
【详解】易知，所以.
故答案为：.
13．（2024·上海·三模）设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 ．
【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.
【详解】由为纯虚数，得，解得，
所以实数m的值为.
故答案为：.
14．（2024·江苏南通·模拟预测）复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则 25 ．
【分析】根据题意，由向量的减法可得，再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解.
【详解】由题意可知，，
则，所以.
故答案为：25.
四、解答题
15．（2024·甘肃兰州·一模）实数取什么值时，复数是
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【分析】（1）（2）（3）利用复数是实数、虚数、纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】（1）复数是实数，则，解得，
所以当时，复数是实数.
（2）复数是虚数，则，解得，
所以当时，复数是虚数.
（3）复数是纯虚数，则，解得，
所以当时，复数是纯虚数.
16．（2024·河南·模拟预测）已知复数.
(1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；
(2)若，在复平面内对应的点分别为B，C，求（点O为坐标原点）.
【分析】（1）化简得，再根据在复平面内对应的点在第三象限时的实部虚部的正负求解范围即可；
（2）计算，，得到B，C的坐标，再用向量的数量积公式求解即可
【详解】（1）因为，所以.
因为复数在复平面内对应的点在第三象限，
所以解得，即实数m的取值范围是.
（2）由题可知，，
则点，，，.
因此.
17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
【分析】（1）先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果；
（2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解.
【详解】（1）∵为纯虚数，
∴，，解得.
∴，则.
（2），
复数在复平面对应的点在第一象限，
∴，，解得.
∴实数的取值范围是.
18．（2024·上海·模拟预测）已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
【分析】（1）由题意，从而，由复数的运算可得，根据判别式得出的范围，从而得出答案.
（2）将平方，将韦达定理代入，结合判别式得出的范围，可得答案.
【详解】由题意知，，则，，
（1），
因为，所以，故的取值范围是.
（2）
因为，所以，
所以.
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．
【分析】（1）根据欧拉公式直接可得解；
（2）由欧拉公式可证明，并得到，这即得结果；
（3）根据单位根的概念，代入化简即可.
【详解】（1）由欧拉公式有
.
（2）由于，，故，
而当时，有.
故的最大值是.
（3）由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）.
所以.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题5.4 复数【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 复数的概念】 6
【题型2 复数的四则运算】 6
【题型3 复数的几何意义】 7
【题型4 复数的相等】 7
【题型5 复数的模】 7
【题型6 复数的三角表示】 8
【题型7 复数与方程】 9
1、复数
考点要求 真题统计 考情分析
(1)通过方程的解，认识复数
(2)理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义
(3)掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义 2022年新高考全国I卷：第2题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分 2023年新高考I卷：第2题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第1题，5分 2024年新高考I卷：第2题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第1题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第1题，5分、（理数）：第1题，5分 复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何意义，属于简单题.预测明年高考复数依旧以单选题、填空题形式呈现，比较简单.
【知识点1 复数的概念】
1．复数的概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(2)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(3)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
【知识点3 复数的运算】
1．复数的四则运算
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(3)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(4)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
2．复数加法、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差
-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).
这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【知识点4 复数有关问题的解题策略】
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【方法技巧与总结】
1．(1±i)2=±2i；；.
2．.
3．.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r为半径的圆.
【题型1 复数的概念】
【例1】（2024·湖北·模拟预测）已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．i
【变式1-1】（2024·宁夏银川·一模）已知复数表示纯虚数，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【变式1-2】（2024·吉林白山·一模）复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．1或6 C． D．1
【题型2 复数的四则运算】
【例2】（2024·西藏·模拟预测）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·陕西西安·三模）已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式2-3】（2024·北京·三模）若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
【题型3 复数的几何意义】
【例3】（2024·江西上饶·模拟预测）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式3-1】（2024·重庆·二模）若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（ ）
A．第一象限内 B．第二象限内
C．第三象限内 D．第四象限内
【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内三点所对应的复数分别为，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知，（，i为虚数单位）．若，在复平面内对应的点分别为，，点O为原点，且，则（ ）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
【题型4 复数的相等】
【例4】（2023·全国·三模）已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式4-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式4-2】（2023·内蒙古包头·一模）设，其中a，b是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知为虚数单位，为实数，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型5 复数的模】
【例5】（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知复数，表示z的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2024·河北·模拟预测）若复数，则（ ）
A． B．5 C． D．
【变式5-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知，若为纯虚数，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【变式5-3】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知复数，若同时满足和，则为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【题型6 复数的三角表示】
【例6】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式6-1】（2024·广东·模拟预测）棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2023·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
【题型7 复数与方程】
【例7】（2024·山西阳泉·三模）已知是实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【变式7-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式7-2】（2024·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（ ）
A．－2 B．2 C． D．－1
【变式7-3】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·北京大兴·三模）已知为纯虚数，则实数（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）若复数，则（ ）
A． B． C．5 D．10
4．（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024·浙江·模拟预测）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．（2024·四川内江·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知复数满足，则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（ ）
A． B．0 C．1 D．
二、多选题
9．（2024·江苏无锡·模拟预测）设为复数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．“＂是“＂的充分不必要条件
10．（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在直线上，则
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
11．（2024·浙江舟山·模拟预测）已知复数是关于的方程的两根，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
三、填空题
12．（2024·山东青岛·二模）已知复数满足，则复数 .
13．（2024·上海·三模）设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 ．
14．（2024·江苏南通·模拟预测）复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则 ．
四、解答题
15．（2024·甘肃兰州·一模）实数取什么值时，复数是
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
16．（2024·河南·模拟预测）已知复数.
(1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围；
(2)若，在复平面内对应的点分别为B，C，求（点O为坐标原点）.
17．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
18．（2024·上海·模拟预测）已知关于的方程的虚数根为、.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
19．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．
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