专题6.1 数列的概念与简单表示法【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 4
【题型2 累加法求通项公式】 4
【题型3 累乘法求通项公式】 5
【题型4 构造法求通项公式】 6
【题型5 数列的周期性】 6
【题型6 数列的单调性】 6
【题型7 数列的最大（小）项】 7
【题型8 数列中的规律问题】 8
【题型9 数列的恒成立问题】 9
1、数列的概念与简单表示法
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 2021年北京卷：第10题，4分 数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容.
【知识点1 数列的概念与基本知识】
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一
个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
分类标准 名称 含义 举例
按项的
个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n
无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,…
按项的
变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一
项的数列 3,4,5,6,…,n+2
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一
项的数列 -1,-2,-3,…,-n
常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,…
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,…
3．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
优点 缺点
通项
公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难
列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难
图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难
递推
公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便
6．数列的前n项和
数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.
如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做
这个数列的前n项和公式.
=.
【知识点2 数列的通项公式的求解策略】
1．由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
2．由数列的递推关系求通项公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
(3)构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【知识点3 数列的性质有关问题的解题策略】
1．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法.
(2)利用确定最大项，利用确定最小项.
【方法技巧与总结】
1．若数列{}的前n项和为，通项公式为，则=.
2．在数列{}中，若最大，则；若最小，则.
【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】
【例1】（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．2024 B．2023 C．4047 D．4048
【变式1-2】（2024·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【题型2 累加法求通项公式】
【例2】（23-24高二·全国·单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列 中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【变式2-3】（2023·山西·模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 累乘法求通项公式】
【例3】（2024高三下·全国·专题练习）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．n B． C．2n D．
【题型4 构造法求通项公式】
【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【变式4-2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 .
【变式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ．
【题型5 数列的周期性】
【例5】（2024·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式5-2】（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式5-3】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知数列，若 ，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2 024项的和为（ ）
A．0 B．1 C．－5 D．－1
【题型6 数列的单调性】
【例6】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 数列的最大（小）项】
【例7】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项 B．第9项
C．第11项 D．第12项
【变式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）已知数列是递增数列，且，数列的前项和为，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式7-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知数列，下列说法正确的是（ ）
A．有最大项，但没有最小项
B．没有最大项，但有最小项
C．既有最大项，又有最小项
D．既没有最大项，也没有最小项
【题型8 数列中的规律问题】
【例8】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【变式8-1】（2023·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（ ）
A．1012 B．1016 C．1912 D．1916
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【变式8-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【题型9 数列的恒成立问题】
【例9】（23-24高三上·湖北襄阳·期末）数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．15
【变式9-1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ．
【变式9-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
3．（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是（ ）
A．， 都有最小值 B．， 都有最大值
C．， 都无最小值 D．， 都无最大值
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，数列满足，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
10．（2024·福建泉州·模拟预测）数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为递增数列 D．为周期数列
11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列单调递减
B．若对任意，都有，则
C．若，则对任意，都有
D．若的最大项与最小项之和为正数，则
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：，则该数列的通项可以表示为 .
13．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列的前三项依次为的前项和，则 ．
14．（2024·北京·三模）已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
15．（23-24高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项：
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)，2，5，8，11，…；
(3)1，，4，，16，…．
16．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)设，求使数列取得最大值时n的值．
17．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)议，当取得最小值时，求n的取值．
18．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.
19．（2024·湖北荆州·三模）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
(3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题6.1 数列的概念与简单表示法【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 4
【题型2 累加法求通项公式】 6
【题型3 累乘法求通项公式】 8
【题型4 构造法求通项公式】 10
【题型5 数列的周期性】 11
【题型6 数列的单调性】 13
【题型7 数列的最大（小）项】 15
【题型8 数列中的规律问题】 17
【题型9 数列的恒成立问题】 19
1、数列的概念与简单表示法
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) (2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 2021年北京卷：第10题，4分 数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容.
【知识点1 数列的概念与基本知识】
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一
个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
分类标准 名称 含义 举例
按项的
个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n
无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,…
按项的
变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一
项的数列 3,4,5,6,…,n+2
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一
项的数列 -1,-2,-3,…,-n
常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,…
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,…
3．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
优点 缺点
通项
公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难
列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难
图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难
递推
公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便
6．数列的前n项和
数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.
如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做
这个数列的前n项和公式.
=.
【知识点2 数列的通项公式的求解策略】
1．由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
2．由数列的递推关系求通项公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
(3)构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【知识点3 数列的性质有关问题的解题策略】
1．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法.
(2)利用确定最大项，利用确定最小项.
【方法技巧与总结】
1．若数列{}的前n项和为，通项公式为，则=.
2．在数列{}中，若最大，则；若最小，则.
【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】
【例1】（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由代入即可求得.
【解答过程】，当时，，
当也满足，
所以数列的通项公式为.
故选：D.
【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．2024 B．2023 C．4047 D．4048
【解题思路】利用数列的通项和前n项和公式求解.
【解答过程】解：由题意可得，
当时，；
当时，，
两式相减得，即．
综上所述，
所以，
故选：C．
【变式1-2】（2024·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
由题中等式，可得，再结合时，可得.
【解答过程】当时，有，所以，
当时，由，，
两式相减得，
此时，，也满足，
所以的通项公式为.
故选：B.
【变式1-3】（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【解题思路】由已知和式求出通项的通项，从而得出，再由已知条件，从而求出，类似的往前推，求出即可.
【解答过程】时，
时，
，
故选：D.
【题型2 累加法求通项公式】
【例2】（23-24高二·全国·单元测试）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，利用累加法得出.
【解答过程】由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
故选：B.
【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列 中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
解法一：由结合累加法得出；解法二：由逐项验证即可.
【解答过程】
由 及，得，即.
法一: ，
这个式子累加，得 2 )，即，
又当时，，符合上式，所以 .
法二: 由，得，经逐一验证得正确.
故选：A.
【变式2-2】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【解题思路】由递推公式用累加法公式求出，再求即可.
【解答过程】法一：由题得 ，
所以.
法二：由题，，
所以.
故选：C.
【变式2-3】（2023·山西·模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据已知条件写出递推关系式，运用累加法求得通项公式，赋值可判断A项、B项、D项，分别计算与比较大小可判断B项.
【解答过程】由相邻层球的个数差，可知，，
所以当时，，
将代入得，符合
所以，
对于A项，当时，，故A项错误；
对于B项，当时，，故B项错误；
对于C项，因为，
所以，
，
所以，故C项错误；
对于D项，，故D项正确.
故选：D.
【题型3 累乘法求通项公式】
【例3】（2024高三下·全国·专题练习）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据数列递推式，得，两式相减，可得，利用累乘法，即可得到结论
【解答过程】由于数列中，，前项和，
∴当时，，
两式相减可得：
∴，
所以，
因此，
故选：A.
【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
由，可得，然后利用累乘法可求得结果
【解答过程】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因为，所以，
因为满足上式，所以，
故选：B.
【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由得，两式相减得，把分别代入，用累乘法得，，再验证也成立，即可得到.
【解答过程】由得，
两式相减得: ,
即，即，即，.
所以，，，…，.
相乘得：……，
即，因为，所以，.
当时，，所以.
故选：B.
【变式3-3】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．n B． C．2n D．
【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【解答过程】解：由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，因为，所以，
故选：C．
【题型4 构造法求通项公式】
【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】通过构造等差数列的方法，先求得，进而求得.
【解答过程】由，得，
所以，
所以，两边取倒数得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
.
故选：A.
【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【解题思路】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解.
【解答过程】由，得，于是，则，
两边取对数得，因此，数列是常数列，
则，即，所以，.
故选：B.
【变式4-2】（23-24高一下·上海·期末）数列满足，则数列的通项公式为 .
【解题思路】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得.
【解答过程】数列中，由，得，即，
而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列，
因此，即，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
【变式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ．
【解题思路】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项.
【解答过程】数列中，，当时，，
两式相减得，即，则有，
因此数列是常数列，则，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
【题型5 数列的周期性】
【例5】（2024·辽宁·模拟预测）数列中，，，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【解题思路】根据递推公式代入检验可知数列是以6为周期的周期数列，结合周期性分析求解即可.
【解答过程】因为，，，
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
可知数列是以6为周期的周期数列，
所以.
故选：A.
【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知数列中，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.
【解答过程】由，得
，
，
，
，
，
，
则是以6为周期的周期数列，
所以.
故选：C.
【变式5-2】（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解题思路】用去换中的，得，相加即可得数列的周期，再利用周期性运算得解.
【解答过程】由题意得，用替换式子中的，得，
两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列.
又，，.
所以数列的前2024项和.
故选：A.
【变式5-3】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知数列，若 ，则称数列为“凸数列”．已知数列为“凸数列”，且，，则的前2 024项的和为（ ）
A．0 B．1 C．－5 D．－1
【解题思路】根据，递推出数列是以6为周期的周期数列求解.
【解答过程】解：因为，所以，
，
则数列是以6为周期的周期数列，又，
所以，
故选：D.
【题型6 数列的单调性】
【例6】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可.
【解答过程】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立；
为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立.
所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，则“”是是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】当时，则，
所以，即，所以是递增数列，故充分性成立；
当时，则，所以是递增数列，
所以当数列是递增数列，可以大于，所以必要性不成立，
所以“”是是递增数列的充分不必要条件.
故选：B.
【变式6-2】（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由已知条件推得数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
【解答过程】因为，
所以，
由于，即，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，因为数列是递增数列，可得，
即对任意的正整数都成立．
当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减，
可得，则；
当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增，
可得，则；
综上可得的取值范围是．
故选：B．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意得到是等比数列，利用等比数列的通项公式得到，利用是递减数列列出关于的不等式，进而求出的取值范围.
【解答过程】将整理得，
又，易知当时,，不满足是递减数列，故，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故，因此，
由于是递减数列，故恒成立，得，
化简得，故，
因此，解得，
故选：B．
【题型7 数列的最大（小）项】
【例7】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项 B．第9项
C．第11项 D．第12项
【解题思路】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可.
【解答过程】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立），故，
令，即，
解得，，故，即第九项最大.
故选：B.
【变式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】由题可得，利用数列的增减性可得最值，即求.
【解答过程】∵数列的前项积，
当时，，
当时，，，
时也适合上式，
∴，
∴当时，数列单调递减，且 ，当时，数列单调递减，且 ，
故的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为2.
故选：C.
【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）已知数列是递增数列，且，数列的前项和为，若，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与的差，即可列式计算得解.
【解答过程】数列是递增数列，且，而数列的前10项和为定值，
为使取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与的差最小，
则，，
因此，解得，所以的最大值为7.
故选：C.
【变式7-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知数列，下列说法正确的是（ ）
A．有最大项，但没有最小项
B．没有最大项，但有最小项
C．既有最大项，又有最小项
D．既没有最大项，也没有最小项
【解题思路】分奇偶分别作差，判断奇数项的单调性以及偶数项的单调性，从而得出结果.
【解答过程】当
，
，
当时，，递增；当时，，递减，故最大，
当时，
，
，
当时，，递减；当时，，递增，故最小，
综上，既有最大项，又有最小项.
故选：C.
【题型8 数列中的规律问题】
【例8】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【解题思路】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项.
【解答过程】六边形数从小到大排成一列，形成数列，
依题意，，归纳得，
所以.
故选：C.
【变式8-1】（2023·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（ ）
A．1012 B．1016 C．1912 D．1916
【解题思路】根据题意，给出数列的前几项，观察其规律，得到奇数项和偶数项的通项公式，代入即可求解.
【解答过程】观察此数列，偶数项为，可得此时满足，
奇数项为，可得，
所以，，则，
所以.
故选：C.
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【解题思路】由给定的勾股弦数组序列中，，，得，由 ，得.
【解答过程】因为，所以．
在给定的勾股弦数组序列中，，所以．
易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为，
所以，
故“弦”的通项公式为 ．
所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于．
故选：C．
【变式8-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【解题思路】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.
【解答过程】设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，
依题意可得，且有，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
①；
又，，
故有，
∴为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列，
②；
由①②相加减得：
，；
所以．
故选：C．
【题型9 数列的恒成立问题】
【例9】（23-24高三上·湖北襄阳·期末）数列中，，若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．15
【解题思路】
先将条件变形得到，进而构造常数数列求出的通项公式，代入，通过参变分离，求最值即可.
【解答过程】由已知，
两边同时除以可得
，
即，
即，
则数列为常数数列，
所以，
所以，
又恒成立，
即恒成立，
因为，，
所以，
所以
又
所以要恒成立，有，所以.
故选：A.
【变式9-1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，求得，，结合，且恒成立，得到或，且，列出不等式组，即可求得的取值范围.
【解答过程】由数列的前项和为，
当时，可得，
又由当时，，适合上式，
所以数列通项公式为，
由数列满足且，可得，
即，
各式相加可得，
又由，所以，所以，
因为，且恒成立，
当，，，符合题意；
当，则满足且且，即，解得；
综上，实数的取值范围为.
故选：D.
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）设数列的前n项和为，且．若对恒成立，则的取值范围为 ．
【解题思路】由与的关系，可求得，进而求出与的值，当时，可得两个等差数列的通项公式，由相邻两项间的大小关系，即可求得的取值范围.
【解答过程】法一：因为，当时，，两式相减得，则，两式相减得．
当时，，则；当时，，则．
则．
要使对恒成立，则即解得，
所以的取值范围为.
法二：，当时，，
两式相减得，则，
两式相减得，所以数列都是以2为公差的递增数列，
要使对恒成立，只需而，
则解得,
所以的取值范围为.
故答案为：.
【变式9-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列的通项公式为.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【解题思路】将恒成立，转化为恒成立，令，求得其最大项即可.
【解答过程】解：由，得，
所以.
设，
则.
设，则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得，即在上单调递减，
又，，，
所以当时，，即，
所以.
当时，，即，所以.
综上，，所以，即，
所以的取值范围为.
故答案为：.
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）若数列的前项和，则等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解题思路】根据与关系求解即可.
【解答过程】.
故选：C.
2．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
【解题思路】根据题意，得到数列的偶数项的通项公式为，即可求解.
【解答过程】由题意，大衍数列的偶数项为，
可得该数列的偶数项的通项公式为，
所以此数列的第30项为.
故选：C.
3．（2024·天津南开·二模）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由递增数列定义可得，代入计算即可得解.
【解答过程】由题意可得恒成立，即，
即，又，，故.
故选：A.
4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，得，从而，再利用累乘法求解.
【解答过程】解：由，得，
所以，
所以，即①．
又因为②，
①②两式相乘，得．
故选：A．
5．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（ ）
（参考数据：，，）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解题思路】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果.
【解答过程】设，则，
因为，
可知数列为递增数列，
且，
，
可知，所以.
故选：C.
6．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是（ ）
A．， 都有最小值 B．， 都有最大值
C．， 都无最小值 D．， 都无最大值
【解题思路】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案．
【解答过程】因为，所以当时，且单调递减；
当时，，且单调递减，故当时，为最小值；
又因为当时，；当时，，故可得最小，
综上可知，都有最小值．
故选：A.
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数，数列满足，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据函数解析式判断函数奇偶性，判断函数的单调性，根据已知的条件推得数列的周期，从而计算的出结果；
【解答过程】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数，且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故选：B.
8．（2024·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据条件先求解出的通项公式，A：根据的通项公式结合指数函数的单调性进行判断；B：根据的结果进行判断；C：根据的通项公式结合的表达式进行分类讨论再判断；D：判断的单调性，然后分析的取值范围.
【解答过程】当时，，
当时，，
所以不满足的情况，
所以，
对于A：当时，由指数函数单调性可知：，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，故B错误；
对于C：当时，，满足；
当时，，不满足，
故不恒成立，故C错误；
对于D：当时，，满足；
当时，由指数函数的单调性可知为递减数列，此时，
且恒成立，所以，也满足；
所以，故D正确；
故选：D.
二、多选题
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
【解题思路】根据递推公式分别求出和可判断A；将两边同时取倒数后配方，再适当放缩可得到，即可判断B；根据，再利用累加法可判断C；根据，再利用累乘法可求出即可判断D.
【解答过程】 ，，易知，，
对于A， ，，故A正确；
对于B， ， ，
，两边开方得，故B错误；
对于C，由B知，，即，
当时，
，
， ，
即，当且仅当时等号成立，
，故C正确；
对于D，由C知，，即，当且仅当时等号成立，
当时，
，
，故D错误.
故选：BD.
10．（2024·福建泉州·模拟预测）数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为递增数列 D．为周期数列
【解题思路】根据题意，分别求得，，，得到数列构成以4为周期的周期数列，逐项判定，即可求解．
【解答过程】解：由题意，数列满足， ，
当时，，当时，，A错误；
当时，；
若为奇数，则，为偶数，，为奇数，
则，，，；
若为偶数，则，为奇数，，为偶数，
则，，，.
所以数列是以4为周期的周期数列.
故 ，B正确：
又由，故递增，C正确；
由上述讨论可知，的项为1，，1，，故是周期数列，D正确．
故选：BCD．
11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则数列单调递减
B．若对任意，都有，则
C．若，则对任意，都有
D．若的最大项与最小项之和为正数，则
【解题思路】对于选项A，求出，再作差判断两式分母的大小关系判断即可；对于选项B，求解，再分为奇数与偶数的情况讨论即可；对于选项C，分为奇数与偶数的情况讨论，进而求和分析是否为0即可；对于选项D，先将条件转化为：到距离最小的正奇数到的距离大于到距离最小的正偶数到的距离，再分情况讨论即可.
【解答过程】对于选项A，由条件知，，而，
结合，知，所以，
所以，即数列单调递减，故A正确；
对于选项B，首先有.
若，则当n为偶数时，，从而必成立；
而当n为奇数且时，由，知，，从而，即，这意味着.
所以只要，就一定有恒成立，所以由恒成立不可能得到，故B错误；
对于选项C，显然当同为奇数或同为偶数时，必有同号，故；
而当的奇偶性不同时，为奇数，此时不妨设分别是奇数和偶数，则
，
因为，故为偶数，而为奇数，所以，
所以，故C正确；
对于选项D，首先显然的是，最大项必定是某个第偶数项，最小项必定是某个第奇数项.
当为偶数时，要让最大，即要让最小；
而当为奇数时，要让最小，即要让最小.
设和分别是到距离最小的正偶数和正奇数，则条件相当于.
而，故条件等价于，即.
这表明，条件等价于，到距离最小的正奇数到的距离，大于到距离最小的正偶数到的距离.
若，则到距离最小的正奇数和正偶数分别是1和2，而由可知，不符合条件；
若，是正奇数，则到距离最小的正奇数到的距离为0，不可能大于到距离最小的正偶数到的距离，不符合条件；
若，且不是正奇数，设到的距离最近的正偶数为，则.
此时到距离最小的正偶数到的距离为，从而到距离最小的正奇数到的距离大于，进一步知任意正奇数到的距离都大于.
从而，，这意味着，，所以.
综上，，，故D正确．
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：，则该数列的通项可以表示为 （答案不唯一） .
【解题思路】观察数列前几项的特征，写出数列的一个通项即可.
【解答过程】因为，，，
，，，，
所以该数列的通项可以表示为.
故答案为：（答案不唯一）.
13．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列的前三项依次为的前项和，则 2024 ．
【解题思路】根据题意列方程得到，然后根据求即可.
【解答过程】由题意知，，，
解得，，，
所以，.
故答案为：2024.
14．（2024·北京·三模）已知数列的前n项和为且，给出下列四个结论：①长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形：②；③；④.其中所有正确结论的序号是 ② .
【解题思路】①:先确定最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到，再进一步通过放缩判断；③④求出，然后举例排除.
【解答过程】对于①：，则，
则，即，
假设长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形，
则为斜边，所以，
所以，所以或，与矛盾，故①错误；
对于②：，当且仅当等号成立，
所以，所以，
所以，②正确；
对于③：由已知，此时，所以不成立，③错误；
对于④：由已知，此时，所以不成立，④错误.
故答案为：②.
四、解答题
15．（23-24高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列的一个递推关系，并求出各个数列的第7项：
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)，2，5，8，11，…；
(3)1，，4，，16，…．
【解题思路】找出数列的规律，由此求得递推关系，从而求得第项.
【解答过程】（1）因为：，，
，，
所以，即．
从而．
（2）因为，
所以3，即．
从而．
（3）因为，
所以 ．即．
从而．
16．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列满足．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)设，求使数列取得最大值时n的值．
【解题思路】（1）根据递推关系得到前三项，猜想通项并利用新数列的关系加以证明；
（2）写出数列的通项公式，利用，可求n的取值范围.
【解答过程】（1）由题意得，，猜想，
式子可化为，
因为，所以，
因此数列的通项公式为，得证．
（2）由得，，所以，
若，当且仅当成立，则，
当时，，
当时，，
故时，取最大值.
17．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)议，当取得最小值时，求n的取值．
【解题思路】（1）由数列中与的关系即可求解；
（2）分n为奇数和n为偶数时求出的表达式，观察其单调性即可得的最小值，从而求出n的取值.
【解答过程】（1）因为，
当时，，
所以，
又时，不满足上式，
故数列的通项公式为.
（2）当n为奇数时，，
当，时，
因为单调递增，∴，
综上，当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
因为单调递增，∴．
综上所述，当取得最小值时，n的取值为1，2，3．
18．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由前项和与通项的关系可求通项，要注意讨论的情况；
（2）先求出的通项公式，代入求得，根据递增数列的定义写出不等式关系，再将不等式恒成立问题转化为最值问题进行求解.
【解答过程】（1）因为，所以当时，，
当时，，所以，即.
（易错：利用公式时，容易忽略的情况）
当时，得；当时，得.
当时，，
所以通项公式为.
（2），，
.
数列是递增数列，
，即，化简得，
对任意的恒成立，由函数性质知是递增数列，最小项是，
，（关键：将不等式恒成立问题转化为最值问题进行求解）
的取值范围是.
19．（2024·湖北荆州·三模）对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列和是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)设（1）中数列前项和为，试问是否存在，使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.
(3)若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据周期数列的定义进行判断即可；
（2）由（1）可知，是周期为的数列，得到数列，求出，通过讨论得到的取值范围；
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，推导出数列是周期为的周期数列，进一步得到数列的周期为，推断出，而该方程无解，所以，不存在非零常数，使得是周期数列.
【解答过程】（1）均是周期数列，理由如下：
因为，
所以数列是周期数列，其周期为1，
因为，
所以.则，所以，
所以数列是周期数列，其周期为6；
（2）由（1）可知，是周期为的数列，
计算数列为：，
故，
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故；
当时，，故；
综上所述：存在，且.
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，
所以，即，
所以，，即，
所以，，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为 ，即，
因为，
所以，，，
所以数列的周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以，不存在非零常数，使得是周期数列.
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