专题6.2 等差数列及其前n项和【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 等差数列的基本量运算】 3
【题型2 等差数列的判定与证明】 5
【题型3 等差数列的性质及应用】 7
【题型4 等差数列的通项公式】 9
【题型5 等差数列前n项和的性质】 11
【题型6 等差数列的前n项和的最值】 12
【题型7 等差数列的简单应用】 14
【题型8 等差数列的奇偶项讨论问题】 16
【题型9 含绝对值的等差数列问题】 20
【题型10 等差数列中的恒成立问题】 23
【题型11 与等差数列有关的新定义、新情景问题】 26
1、等差数列及其前n项和
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义 (2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 (4)体会等差数列与一元函数的关系 2022年全国乙卷（文数）：第13题，5分 2023年新高考I卷：第7题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分 2024年新高考I卷：第19题，17分 2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分 等差数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解.
【知识点1 等差数列的概念】
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.
4．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；
③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.
因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.
5．等差数列的性质
设{}为等差数列，公差为d，则
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.
(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.
(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为
d+d'的等差数列.
(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.
(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.
【知识点2 等差数列的基本运算的解题策略】
1．等差数列的基本运算的两大求解思路：
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【知识点3 等差数列的判定的方法与结论】
1．证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.
2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.
问题的最终判定还是利用定义.
【知识点4 等差数列及其前n项和的性质及应用】
1．项的性质：
在等差数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.
2．和的性质：
在等差数列中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；
(2)S2n-1=(2n-1)an；
(3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
3．求等差数列前n项和的最值的常用方法：
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；
(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.
【方法技巧与总结】
1．已知数列{}的通项公式是= pn+q(其中p，q为常数)，则数列{}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值.
3．等差数列{}的单调性：当d>0时，{}是递增数列；当d<0时，{}是递减数列；当d=0时，{}是常数列.
4．数列{}是等差数列( A, B为常数).
【题型1 等差数列的基本量运算】
【例1】（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【解题思路】设等差数列的公差为，由通项公式写出和，都代入中，化简即可求出.
【解答过程】设等差数列的公差为，则，，
因为，可得，
所以有，解得，
故选：B.
【变式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差数列中，，公差.若数列也是等差数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】依题意可得，即可表示出，根据数列为等差数列得到，解得即可.
【解答过程】依题意 ，则，
则，
又是等差数列，所以，解得或（舍去）.
故选：C.
【变式1-2】（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（ ）
A．11 B．12 C．20 D．22
【解题思路】根据，求出首项与公差的关系，再根据结合等差数列的前项和公式即可得解.
【解答过程】设公差为，
由，得，所以，
由，得
故，
则，
因为，
所以，
化简得，解得或（舍去）.
故选：D.
【变式1-3】（2024·北京·模拟预测）记等差数列的公差为，前项和为，若，且，则该数列的公差为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据下标和性质及等差数列求和公式求出、，即可求出公差.
【解答过程】因为，则，
又，所以，
所以．
故选：B．
【题型2 等差数列的判定与证明】
【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先判断充分性：由已知可得，数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，举例可知数列不一定是等差数列，再判断必要性：数列是等差数列，可得，可得结论.
【解答过程】先判断充分性：，
令，则数列的偶数项成等差数列，
令，则数列的奇数项成等差数列，
但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，
∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件；
再判断必要性：若数列是等差数列，则，
，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件；
综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式2-1】（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列 C．单调递增 D．单调递增
【解题思路】先利用和的关系求出，进而得出，；再逐项判断即可.
【解答过程】依题意可得：，.
因为，
所以当时，，即，解得，
当时，，整理得：，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
从而， .
因为当时，，
当时，.
也适合上式，
所以，故选项A、B错误，选项D正确.
因为，
所以选项C错误.
故选：D.
【变式2-2】（2023·新疆·一模）非零数列满足，且．
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前项和．
【解题思路】（1）对已知条件因式分解可得，根据等差数列定义可证；
（2）利用累乘法求得，然后由裂项相消法可得.
【解答过程】（1）由，
得对于恒成立，
所以，即，
所以，
而，故，
所以数列是以1为公差，为首项的等差数列.
（2）由（1）知，，即，
整理得，
由累乘法得，即，
又，所以，
则，
所以.
【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）分类讨论与两种情况，利用递推式求得与，从而得证；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【解答过程】（1）因为，
当时，，即，易知，则，
当时，，所以，即，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
所以.
【题型3 等差数列的性质及应用】
【例3】（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．4 B． C． D．
【解题思路】利用下标和性质计算可得.
【解答过程】因为，则，又，则，
解得，
所以.
故选：C.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）在数列中，已知，且，则（ ）
A．256 B．196 C．144 D．96
【解题思路】由已知，为等差数列，所以由等差数列的性质即可得到答案.
【解答过程】由，得，则为等差数列，
又，所以由等差数列的性质知．
故选：D．
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A． B．5 C．5或－5 D．或
【解题思路】根据式子的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质和等差中项公式不断简化式子即可得解.
【解答过程】由题 ，解得，
故选：C.
【变式3-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（ ）
A．4047 B．4046 C．2024 D．4048
【解题思路】分与两种情况，结合等差数列的性质和得到方程，求出.
【解答过程】若，由题意知，
由等差数列的性质知，若，则有，所以，
因为公差，且，所以，所以，
所以．
若，可得，
由等差数列性质知，若，则有，所以，
因为公差，且，所以，所以，
所以．
故选：A.
【题型4 等差数列的通项公式】
【例4】（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且，则
.
【解题思路】依题意可得，即可得到 ，两式作差得到，再求出，即可得到数列表示首项为，公差为的等差数列，即可求出其通项公式.
【解答过程】因为，即，
当时，，又因为，
即，解得或（舍去），
当时，，两式相减，可得，
因为，可得，
又，所以 ，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以．
故答案为：.
【变式4-1】（23-24高二下·广东汕尾·阶段练习）已知数列的前项和（其中为常数，），写出使为等差数列的一个通项公式 2n .
【解题思路】利用可得答案.
【解答过程】时，，
时，，
所以是首项为，公差为2的等差数列，
若为等差数列，则即，
此时.
故答案为：.
【变式4-2】（2024高三·广东·专题练习）已知数列为公差不为零的等差数列，，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前n项和.
【解题思路】本题第（1）题先设等差数列的公差为，然后根据题干可列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列的通项公式；
第（2）题由题干可得.根据递推公式的特点可用累加法计算出数列的通项公式，接着计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和.
【解答过程】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则
，解得，
所以.
（2）依题意，由可得.
则时，
当时，，即也满足上式，
，
，
.
【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列，其中数列是等差数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
【解题思路】（1）由已知，分别令，先由题意建方程组求解，由等差数列求通项，再由关系求通项即可；
（2）利用裂项相消法求和.
【解答过程】（1）因为，
所以，，
由解得，由解得，
又数列是等差数列，
所以的公差，
故数列的通项公式，
所以，
即的通项公式．
（2）由（1）知，
则．
【题型5 等差数列前n项和的性质】
【例5】（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【解题思路】借助等差数列片断和的性质计算即可得.
【解答过程】由数列为等差数列，
故、、、、亦为等差数列，
由，，则，
故，，，
即有，，.
故选：D.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果.
【解答过程】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论）
同理因为为等差数列的前项和，所以可设．
又，所以，即，
整理得，解得．
不妨设，则，则，故，
故选：D．
【变式5-2】（2024·四川乐山·一模）设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【解题思路】根据成等差数列，得到方程，求出答案.
【解答过程】由题意得成等差数列，
即成等差数列，
即，解得.
故选：C.
【变式5-3】（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【解题思路】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.
【解答过程】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
【题型6 等差数列的前n项和的最值】
【例6】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】根据条件，可得数列为递减数列，且，，可判断得解.
【解答过程】在等差数列中，，由，可得，
，，且数列为递减数列，
所以使得前n项的和最大的n值为8.
故选：B.
【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则取最小值时的值为12
B．若，则的最大值为108
C．若，则必有
D．若首项，，则取最小值时的值为9
【解题思路】对于AB，利用等差数列求和公式求出，然后利用二次函数性质求解即可判断；对于C，根据等差数列和的性质，结合等差数列通项性质求和即可判断；对于D，利用求得，利用数列单调性判断的最值即可.
【解答过程】对于A，因为，所以，
所以，
所以当时，取得最小值，正确；
对于B，因为，所以，
所以，
所以当或时，取得最大值为，正确；
对于C，若，则，又，
所以，所以，正确；
对于D，若，则，
又，所以，所以，
所以等差数列为递减数列，所以，
所以取最大值时的值为9，错误.
故选：D.
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，已知，则取最小值时，（ ）
A．1 B．4 C．5 D．4或5
【解题思路】由题意可得数列的通项公式，找出数列中的非正数项即可得.
【解答过程】由题意可知，解得，
所以，
令，则，解得，
所以取最小值时或．
故选：D．
【变式6-3】（2024·辽宁·二模）设等差数列的前n项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A． B．若，则，使最大
C．若，则，使最大 D．若，则，使最大
【解题思路】根据等差数列的前n项和，得到，可判定A错误；由时，得到，当时，可判定B错误；由，得到，可判定C错误；由，得到，可判定D正确．
【解答过程】因为等差数列的前n项和（d为公差），
所以，点在函数的图像上，
对于A中，因为在函数的图象上，
可得，，，所以无意义，所以A错误；
对于B中，若，则，此时，
当时，不存在，使最大，所以B错误；
对于C中，若，则，有最小值，无最大值，所以C错误；
对于D中，若，则，有最大值，所以D正确．
故选：D.
【题型7 等差数列的简单应用】
【例7】（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码
【解题思路】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可.
【解答过程】设第一个尺码为，公差为，
则，
则，
当时，，
故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为
码，
所有缺货尺码的和为码，
又因为缺货的一个尺寸为码，
则另外一个缺货尺寸码，
故选：C.
【变式7-1】（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
【解题思路】根据题意，构成首项为，公差为的等差数列，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【解答过程】根据题意，被以3除余2，除以5余3的数，构成首项为，公差为的等差数列，
则，
所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为.
故选：B.
【变式7-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【解题思路】利用等差数列求和公式列方程求解.
【解答过程】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第天所得积分为．
假设他连续打卡天，第天中断了，
则他所得积分之和为
，化简得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故选：D.
【变式7-3】（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（ ）
A．754 B．755 C．756 D．757
【解题思路】由题意可得除以三余二且除以五余三的正整数是以为首项，为公差的等差数列，再根据等差数列的前项和公式即可得解.
【解答过程】设除以三余二的正整数为数列，则，
除以五余三的正整数为数列，则，
除以三余二且除以五余三的正整数为数列，
而和的最小公倍数为，
则数列是由数列和的公共项构成的一个数列，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
所以前10个数的和为.
故选：B.
【题型8 等差数列的奇偶项讨论问题】
【例8】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前项和为且．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【解题思路】（1）根据的关系，化为，根据并项法求；
（2）由递推关系可得，据此分为奇数、偶数求通项公式，再合并即可得解.
【解答过程】（1）因为，
所以．
两式相减，得．
所以
；
（2）由（1）知①，
可得②，．
因为，
所以，又，
所以
又由①②得．
所以，即为偶数，
则当，且为奇数时，
，
又符合上式，综合得．
【变式8-1】（2023·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【解题思路】（1）根据的关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解，
(2)数列的前项的和分奇偶求和,先求，
又，，，是首项为2，公差为2的等差数列，再求奇数项和即可.
【解答过程】（1）由得时，
两式相减得,整理得
因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列
在中令解得
所以.
（2）当时
，
又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
故．所以
当时
，
又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
故．所以
当为偶数时, ; 当为奇数时, .
【变式8-2】（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，且满足，，求．
【解题思路】（1）依题意可得，即可得到为等差数列，即可得到，再利用累加法计算可得；
（2）由（1）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得.
【解答过程】（1）因为，所以，
所以数列是公差为的等差数列，其首项为，
于是，
则，，，
，，
所以，
所以；而符合该式，故.
（2）由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，
因此与同号，
因为，所以当时，，此时，
当为奇数时，，
当为偶数时，；
当时，，此时，
当为奇数时，，
当为偶数时，；
综上，当时，；当时，.
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【解题思路】（1）由前项积定义可得，再由等差数列定义即可得出证明，并求得数列的通项公式为；
（2）利用裂项相消法求和，对的奇偶进行分类讨论即可得.
【解答过程】（1）由题意得当时，．
因为，所以，解得以．
当时，，即，因此．
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
可得．
所以．
（2）由题意知
．
当为偶数时，
；
当为奇数时，
．
所以（或）.
【题型9 含绝对值的等差数列问题】
【例9】（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
【解题思路】（1）根据题意，求得，结合，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合，即可求解.
【解答过程】（1）解：由数列的前n项和，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，
即，解得，所以，
当时，，
当时，（符合上式），
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
且当且时，可得；当且时，可得，
所以数列的前15项和：．
【变式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解题思路】（1）根据给定条件，利用等比中项的意义、等差数列前n项和公式求解作答.
（2）令，判断数列的单调性，确定正数项、负数项，再结合等差数列前n项和公式分段求和作答.
【解答过程】（1）因为成等比数列，则有，
即，而，解得，则，
所以的通项公式是．
（2）由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值，
设的前项和为，则，
若， ，
若，
，
所以.
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，分别选择①②③，求得公差的值，结合等差数列的通项公式和前项和公式，即可求解；
（2）由（1）中的通项公式，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，且．
选择①：（1）因为，所以，解得．
所以，则，
利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，
因为，所以当或6时，.
选择②：因为，可得，
因为，所以，此时，所以，
因为，所以单调递增，且当时，．
所以当或11时，最小，此时.
选择③：因为，所以，即，所以，
所以，则，
利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，
因为，所以当或6时，.
（2）解：若选择①或③：由（1）知，当时，，
所以
.
若选择②：由（1）知，且当时，，且，
所以
.
【变式9-3】（2024·广东·模拟预测）已知数列与为等差数列，，，前项和为．
(1)求出与的通项公式；
(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）由等差数列通项公式及通项公式，可求出与的通项公式.
（2）根据第一小问求得的与的通项公式，结合题意，可得出的限制条件，由条件写出符合题意的通项公式.
【解答过程】（1）∵等差数列前项和公式为，前项和为，
∴，，解得：，公差，则，
又∵，，∴的公差为，则.
综上所述：，.
（2）由题意可知，需满足，
当时，，即，，，
当时，，，
若，，则，，，，解得：，符合题意；
若，，则，，，，解得：，符合题意；
若，，则，，，，解得：，符合题意；
若，，则，，，，解得：，符合题意；
综上所述：存在数列，为，，，.
【题型10 等差数列中的恒成立问题】
【例10】（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；
（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．
【解答过程】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得，
解得，则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，
又恒成立，则恒成立，
设，则，
当时，，即；
当时，，则，则；
则，故，
故实数λ的取值范围为．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且是以2为公差的等差数列．
(1)若，求证：是等比数列；
(2)对任意，都有成立，求的取值范围．
【解题思路】（1）先写出数列的通项公式，然后利用计算，利用待定系数法构造等比数列求解即可；
（2）设，将恒成立转化为，即证明单调递增，设，计算恒成立，转化为最值问题求解即可.
【解答过程】（1）因为是以2为公差的等差数列，且，
所以①．
所以②，
由②-①，得．所以．
因为，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得当时，，
当时，适合上式，所以．
因为对任意，都有成立，
不妨设，则，所以．所以单调递增．
设，
则，
所以，即．
因为单调递减，所以．所以．
综上所述，的取值范围是．
【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知为各项均为正数的数列的前项和,.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.
【解题思路】（1）先求得的值，然后利用与的关系推出数列为等差数列，由此求得的通项公式；
（2）首先结合（1）求的表达式，然后用裂项法求得，再根据数列的单调性求得的最大值．
【解答过程】（1）当时，由题设得，即，又，解得.
由知：.
两式相减得：，即.
由于，可得，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以.
（2）由得：
.
因为，
所以，则数列是递增数列，
所以，故实数的最大值是.
【变式10-3】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且.
(1)求证：为等差数列，并分别求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.
【解题思路】（1）利用已知关系可得，代入，化简可证为等差数列，从而求得，的通项公式；
（2）由（1）得，利用裂项相消可得，利用数列的单调性求出，解不等式即可求出正实数的取值范围.
【解答过程】（1）由题意知：当时，，代入得，
所以.
由，得，
所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，，
当时，，
当时，也符合上式，所以.
（2）由（1）得，
所以
.
显然单调递增，所以.
由题意得，即，
又，所以的取值范围为.
【题型11 与等差数列有关的新定义、新情景问题】
【例11】（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值
②若，且，求的最小值.
【解题思路】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；
（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果
【解答过程】（1）因为数列是项数为7的“对称数列”，所以，
又因为成等差数列，其公差，…
所以数列的7项依次为1，3，5，7，5，3，1；
（2）①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，
可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列，
故
，
所以当时，取得最大值；
②因为即，
所以即，
于是，
因为数列是“对称数列”，
所以
，
因为，故，
解得或，所以，
当，，…，构成公差为的等差数列时，满足，
且，此时，所以的最小值为2025.
【变式11-1】（2024·福建南平·二模）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列.
(1)若，，，求的值；
(2)已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值；
(3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：.
【解题思路】（1）依题意可得，从而求出；
（2）依题意，即可得到，再结合等差数列通项公式得到，再根据对应系数相等得到方程组，解得即可；
（3）依题意可得，再利用裂项相消法计算可得.
【解答过程】（1）依题意，又，所以.
（2）法一：由知对任意 都有，
即，
所以，
所以，
所以，
因为，，所以，即.
法二：当时由得，
所以，
即，
令，，
则，
因为，，所以，，
即，，
当时都有
，
所以，成立.
（3）由已知，，…，，
所以，
所以
，
即.
【变式11-2】（2024·江苏南京·二模）已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
【解题思路】（1）依次求出，再根据“X数列”定义进行判断即可.
（2）由先求出数列通项公式，再依据“X数列”定义进行推算证明即可，接着由“余项数列”的定义公式进行计算即可.
（3）先探究得出“余项数列”公差情况，再讨论时推出矛盾得到，接着探究时若得出矛盾，从而得出，进而得出即可进一步推出.
【解答过程】（1）由题，
所以有，，
故根据“X数列”的定义不是“X数列”.
（2）因为，
所以当时，；
当时，；
则不满足，所以，
令，即，
则当时，有，；
当时，有；故即，
则对每一个，有且仅有一个且，使得，
综上，对任意，有且仅有一个，使得，
所以为“X数列”，
由上，，
即的“余项数列”通项公式为，.
（3）因为是正项数列，所以单调递增，
所以，故，
因为，且为“X数列”，
所以，故由得，
的“余项数列”为等差数列，故其公差，
因为，所以，
若，则当时，，与矛盾，
故，所以，，即，
对于，若，则，与正项数列矛盾，
所以，故，
所以，故，
所以，
又，
所以，.
【变式11-3】（2024·贵州·三模）差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；
(2)设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由；
(3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.
【解题思路】（1）根据“绝对差异数列”和“累差不变数列”的定义判断即可；
（2）分别求出数列的通项，再根据等差数列的定义即可得出结论；
（3）根据等差数列的性质以及新定义求解出，运用基本不等式求解出的范围，从而得出的最值.
【解答过程】（1）对于数列，
可得：一阶差分数列为，不满足，
所以不是“绝对差异数列”，
二阶分差数列为，满足，
所以是“累差不变数列”；
（2）因为，
所以，所以，
因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
因为，
所以数列数列是首项为，公差为的等差数列；
（3）由题意得，
对，都有，
所以，
所以，
所以，所以数列是等差数列，
设数列的公差为，则，
当时，，与矛盾；
当时，当时，，
与数列的各项均为正数矛盾，故，
，
则，
，
因为，所以，
所以，
则当时，不等式恒成立，
另一方面，当时，令，
则，
，
则
，
因为，
所以当时，，
即有，与恒成立矛盾.
综上所述，实数的最大值为.
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据等差数列通项公式直接求解即可.
【解答过程】设等差数列的公差为，因为，且，
所以，所以.
故选：A.
2．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意结合等差数列的性质求解即可，或根据题意利用等差数列的通项公式化简，再化简即可.
【解答过程】因为，所以，所以．
因为，所以．
另解：设等差数列的公差为，
由，得，
所以，即，得，
所以，
因为，
，
，
，
所以
故选：A．
3．（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【解题思路】由数列的递推式，分别令，结合等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案．
【解答过程】设等差数列公差为，∵，
∴当时，，解得，
∴，
当时， ，
∴，
∴．
故选：D．
4．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【解题思路】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.
【解答过程】因为数列均为等差数列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故选：A．
5．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
【解题思路】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，根据题意结合等差数列的通项求出其通项公式，进而可得出答案.
【解答过程】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，
则既是3的倍数，也是4的倍数，
故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列，
所以，
令，即，且，解得，
且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167．
故选:A.
6．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案.
【解答过程】设的公差为，因为，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以当时，取得最小值.
故选：D.
7．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【解答过程】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B.
8．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解题思路】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围.
【解答过程】因为，时，，
时，，
所以，，，
因为为等差数列，所以，，
从而，，
所以，即，
则当时，恒成立，
，解得或，
只有选项A符合题意，
故选：A.
二、多选题
9．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A． B．当时，
C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为6
【解题思路】对A，根据等差数列通项公式求解即可；对B，分析的公差再求解即可；对C，由B中通项公式判断即可；对D，根据题意判断当时即可.
【解答过程】对A，，故A正确；
对B，当时，公差，此时，故B正确；
对C，当时，此时，，即是数列中的项，故C错误；
对D，当时，，又，故D正确.
故选：ABD.
10．（2024·河北衡水·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（ ）
A．若，使的最大的值为
B．是的最小值
C．
D．
【解题思路】由题设可推得，对于A，由，推断即得，对于B，利用A结论，举反例可排除B，对于C，D两项，采用作差法，利用和等差数列的基本量运算即可判断.
【解答过程】由题意，，因，则（*），
对于A，因，则，由（*）知，
故使的最大的值为，即A正确；
对于B，若，由A项知，，
即数列的前项都是正数项，第项起都是负数项，
即此时是的最大值，即B错误；
对于C，由
，
因，，
故上式的值为0，即，故C正确；
对于D，由
，
由C分析知，且，
故上式的值也为0，即，故D正确.
故选：ACD.
11．（2024·重庆·模拟预测）设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（ ）
A．若是等方差数列，则是等差数列
B．数列为等方差数列
C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项
D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得
【解题思路】对于B：代入定义计算即可判断；根据题意结合等差数列的定义分析判断A；借助题目条件，借助放缩将等式转换为不等式后结合数列的函数性质分析判断C；由题意将表示出来后，使用放缩技巧，通过放缩法结合裂项相消法求和以表示出与有关不等式即可判断D.
【解答过程】对于选项B：若时，则，，
则不为定值，
所以数列不是等方差数列，故B错误；
对于选项ACD：若是等方差数列，则为常数，
所以数列是以为首项，公差为d的等差数列，故A正确；
可得，
当时，则总存在正整数，使，
与矛盾，故恒成立，，
有，，
即，，有，
则，
由随的增大而增大，
故总存在正整数使，即数列中存在小于1的项，故C正确；
由，故，
则
，
可得
，
由随n的增大而增大，且时，，
故对任意的，总存在正整数n使，
即总存在正整数n，使得，D正确；
故选：ACD．
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，，，则其公差 2 .
【解题思路】依题意列出等式，即可求解公差.
【解答过程】由，得，故，
所以.
故答案为：2.
13．（2024·江苏宿迁·三模）表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和为 ．
【解题思路】先求出数列的通项公式，再求数列的前10项的和.
【解答过程】由，可得，解得，
又，得，解得，
所以数列的公差为，，
又，
，同理，，，，，
所以数列的前10项的和为.
故答案为：.
14．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
【解题思路】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解.
【解答过程】设等差数列的公差为．由，得①，
由得②，
联立①②，，解得，
所以．
则，
所以
．
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，，且当时，，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的值.
【解题思路】（1）由题意可得，两边同时除以（），得，从而得证；
（2）利用（1）中结论求得，再分类讨论与两种情况，求得与，从而得解.
【解答过程】（1）因为，所以，则，
因为，易知，所以，
又，所以数列是首项与公差都为2的等差数列；
（2）由（1）得，则，
当时，；
当时，，
所以，
所以.
16．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若数列满足，，求的前n项和．
【解题思路】（1）根据数列递推公式进行合理变形得出，利用等差数列的定义可判断并求得数列的通项公式；
（2）依题求得，利用裂项相消法即可求得.
【解答过程】（1）由，可得，
即，即，
故数列是等差数列，其首项为，公差为1，
则，解得；
（2）由可得 ，
则 .
17．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)记是数列的前项和，证明: .
【解题思路】（1）设，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；
（2）直接求出，再用裂项法即可.
【解答过程】（1）设，则由已知有，.
将第一个等式展开化简可得，故由知.
再代入第二个等式可得，解得，从而.
故的通项公式是.
（2）由于，
故
.
18．（2024·全国·模拟预测）数列的前项和为，，且.
(1)证明：为等差数列；
(2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）根据即可代入化简得，由等差数列的定义即可求解，
（2）根据可得的表达式，进而将问题转化为，构造，利用作差法确定数列的单调性，即可求解最值得解.
【解答过程】（1）当时，，则，
化简得，又，
所以，又，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得，则，
故
则，
由，得，则，
令，
则，所以数列单调递增，
又，故，所以实数的取值范围是.
19．（2024·江西南昌·三模）给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为
(1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由；
(2)设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值；
(3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”．
【解题思路】（1）根据“H数列”定义判断即可.
（2）由等差数列和“H数列”的定义得到公差的等式关系即可求解.
（3）由等差数列的定义与求和公式，进行分情况讨论，即可证明是“H数列”.
【解答过程】（1）因为，当时，，
当时，也成立，
所以，
对任意m，且，，
是“H数列”.
（2）因为 ，，，
所以，所以，
由已知得也为数列中的项，
令，即，
所以，所以d为6的正因数，
故d的所有可能值为1，2，3，6.
（3）设数列的公差为d，所以存在，对任意，，即，
当时，则，故，此时数列为“H数列”；
当时，，取，则，所以，，
当时，均为正整数，符合题意，
当时，均为正整数，符合题意，
所以，，
设，，，即，
所以任意m，且，，
显然，所以为数列中的项，
是“H数列”.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题6.2 等差数列及其前n项和【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 等差数列的基本量运算】 3
【题型2 等差数列的判定与证明】 4
【题型3 等差数列的性质及应用】 5
【题型4 等差数列的通项公式】 5
【题型5 等差数列前n项和的性质】 6
【题型6 等差数列的前n项和的最值】 6
【题型7 等差数列的简单应用】 7
【题型8 等差数列的奇偶项讨论问题】 8
【题型9 含绝对值的等差数列问题】 9
【题型10 等差数列中的恒成立问题】 10
【题型11 与等差数列有关的新定义、新情景问题】 11
1、等差数列及其前n项和
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义 (2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 (4)体会等差数列与一元函数的关系 2022年全国乙卷（文数）：第13题，5分 2023年新高考I卷：第7题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分 2024年新高考I卷：第19题，17分 2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分 等差数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等差数列的基本量计算和基本性质、等差数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等差数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，难度较大，需要灵活求解.
【知识点1 等差数列的概念】
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.
2．等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有
2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.
3．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为=+(n-1)d，其中为首项，d为公差.
4．等差数列的单调性
由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.
①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；
②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；
③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.
因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.
5．等差数列的性质
设{}为等差数列，公差为d，则
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.
(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.
(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+ (,为常数)是公差为
d+d'的等差数列.
(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.
(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.
【知识点2 等差数列的基本运算的解题策略】
1．等差数列的基本运算的两大求解思路：
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
【知识点3 等差数列的判定的方法与结论】
1．证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值.
(2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.
2．判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列.
问题的最终判定还是利用定义.
【知识点4 等差数列及其前n项和的性质及应用】
1．项的性质：
在等差数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq.
2．和的性质：
在等差数列中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；
(2)S2n-1=(2n-1)an；
(3)依次k项和成等差数列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
3．求等差数列前n项和的最值的常用方法：
(1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；
(2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
(3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值.
【方法技巧与总结】
1．已知数列{}的通项公式是= pn+q(其中p，q为常数)，则数列{}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{}中，a1>0， d<0，则Sn存在最大值；若a1<0， d>0，则Sn存在最小值.
3．等差数列{}的单调性：当d>0时，{}是递增数列；当d<0时，{}是递减数列；当d=0时，{}是常数列.
4．数列{}是等差数列( A, B为常数).
【题型1 等差数列的基本量运算】
【例1】（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列满足，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
【变式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差数列中，，公差.若数列也是等差数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，若时，，则等于（ ）
A．11 B．12 C．20 D．22
【变式1-3】（2024·北京·模拟预测）记等差数列的公差为，前项和为，若，且，则该数列的公差为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型2 等差数列的判定与证明】
【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】（2024·安徽阜阳·模拟预测）设正数数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等差数列 B．是等差数列 C．单调递增 D．单调递增
【变式2-2】（2023·新疆·一模）非零数列满足，且．
(1)设，证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前项和．
【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【题型3 等差数列的性质及应用】
【例3】（2024·山西运城·三模）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．4 B． C． D．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）在数列中，已知，且，则（ ）
A．256 B．196 C．144 D．96
【变式3-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（ ）
A． B．5 C．5或－5 D．或
【变式3-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（ ）
A．4047 B．4046 C．2024 D．4048
【题型4 等差数列的通项公式】
【例4】（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且，则
.
【变式4-1】（23-24高二下·广东汕尾·阶段练习）已知数列的前项和（其中为常数，），写出使为等差数列的一个通项公式 .
【变式4-2】（2024高三·广东·专题练习）已知数列为公差不为零的等差数列，，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，求数列的前n项和.
【变式4-3】（2024高三·全国·专题练习）已知数列，其中数列是等差数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
【题型5 等差数列前n项和的性质】
【例5】（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·四川乐山·一模）设等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
【变式5-3】（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【题型6 等差数列的前n项和的最值】
【例6】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式6-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则取最小值时的值为12
B．若，则的最大值为108
C．若，则必有
D．若首项，，则取最小值时的值为9
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，已知，则取最小值时，（ ）
A．1 B．4 C．5 D．4或5
【变式6-3】（2024·辽宁·二模）设等差数列的前n项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A． B．若，则，使最大
C．若，则，使最大 D．若，则，使最大
【题型7 等差数列的简单应用】
【例7】（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码
【变式7-1】（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
【变式7-2】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【变式7-3】（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（ ）
A．754 B．755 C．756 D．757
【题型8 等差数列的奇偶项讨论问题】
【例8】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前项和为且．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【变式8-1】（2023·山东威海·一模）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【变式8-2】（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，且满足，，求．
【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项积为．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【题型9 含绝对值的等差数列问题】
【例9】（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
【变式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
【变式9-3】（2024·广东·模拟预测）已知数列与为等差数列，，，前项和为．
(1)求出与的通项公式；
(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．
【题型10 等差数列中的恒成立问题】
【例10】（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若恒成立，求实数λ的取值范围．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且是以2为公差的等差数列．
(1)若，求证：是等比数列；
(2)对任意，都有成立，求的取值范围．
【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知为各项均为正数的数列的前项和,.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.
【变式10-3】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且.
(1)求证：为等差数列，并分别求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.
【题型11 与等差数列有关的新定义、新情景问题】
【例11】（2024·黑龙江·三模）如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值
②若，且，求的最小值.
【变式11-1】（2024·福建南平·二模）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列.
(1)若，，，求的值；
(2)已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值；
(3)若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：.
【变式11-2】（2024·江苏南京·二模）已知数列的前n项和为．若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：．
【变式11-3】（2024·贵州·三模）差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；
(2)设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由；
(3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列满足，且，则首项（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2024·河北衡水·三模）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
6．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
9．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A． B．当时，
C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为6
10．（2024·河北衡水·模拟预测）已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（ ）
A．若，使的最大的值为
B．是的最小值
C．
D．
11．（2024·重庆·模拟预测）设是各项为正的无穷数列，若对于，（d：为非零常数），则称数列为等方差数列．那么（ ）
A．若是等方差数列，则是等差数列
B．数列为等方差数列
C．若是等方差数列，则数列中存在小于1的项
D．若是等方差数列，则存在正整数n，使得
三、填空题
12．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，，，则其公差 .
13．（2024·江苏宿迁·三模）表示不小于x的最小整数，例如，．已知等差数列的前n项和为，且，．记，则数列的前10项的和为 ．
14．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
四、解答题
15．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，，且当时，，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的值.
16．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足，．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若数列满足，，求的前n项和．
17．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)记是数列的前项和，证明: .
18．（2024·全国·模拟预测）数列的前项和为，，且.
(1)证明：为等差数列；
(2)对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024·江西南昌·三模）给定数列，若对任意m，且，是中的项，则称为“H数列”．设数列的前n项和为
(1)若，试判断数列是否为“H数列”，并说明理由；
(2)设既是等差数列又是“H数列”，且，，，求公差d的所有可能值；
(3)设是等差数列，且对任意，是中的项，求证：是“H数列”．
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