专题6.3 等比数列及其前n项和【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 等比数列的基本量运算】 4
【题型2 等比数列的性质及应用】 5
【题型3 等比数列的判定与证明】 6
【题型4 等比数列的通项公式】 9
【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 10
【题型6 等比数列前n项和的性质】 12
【题型7 等比数列的简单应用】 14
【题型8 等比数列的奇偶项讨论问题】 16
【题型9 等差数列与等比数列的综合应用】 19
【题型10 等比数列中的不等式恒成立、有解问题】 23
【题型11 与等比数列有关的新定义、新情景问题】 27
1、等比数列及其前n项和
考点要求 真题统计 考情分析
(1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 (2)掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 (4)体会等比数列与指数函数的关系 2022年新高考全国Ⅱ卷：第17题，10分 2023年新高考Ⅱ卷：第8题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第15题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第5题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分 2024年北京卷：第5题，5分 等比数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等比数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.
【知识点1 等比数列及其前n项和】
1．等比数列的概念
文字
语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号
语言 在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比
递推
关系 或
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.
3．等比数列的通项公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).
4．等比数列的单调性
已知等比数列{}的首项为，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶
数项异号).
5．等比数列的性质
设{}为等比数列，公比为q，则
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列.
(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为
.
(5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.
6．等比数列的前n项和公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为
=.
7．等比数列前n项和的性质
已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：
(1).
(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.
(3)若{}共有2n(n)项，则=q；
若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.
【知识点2 等比数列的基本运算的解题策略】
1．等比数列基本量的运算的求解思路：
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.
【知识点3 等比数列的判定方法】
1．证明数列是等比数列的主要方法：
(1)定义法：（常数）为等比数列；
(2)中项法：为等比数列；
(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.
【知识点4 等比数列及其前n项和的性质及应用】
1．等比数列的性质：
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2．等比数列的单调性与最值问题
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【知识点5 等比数列前n项和的函数特征】
1．Sn与q的关系
(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点；
(2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点.
2．Sn与an的关系
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数.
【方法技巧与总结】
1．等比数列{}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0).
3．设数列{}是等比数列，Sn是其前n项和.
(1).
(2)若，则成等比数列.
(3)若数列{}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则.
【题型1 等比数列的基本量运算】
【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解题思路】利用等比数列的性质求出，再解方程组求出，即可得解.
【解答过程】因为是等比数列，
所以，
则，解得或，
又因为是单调递增的等比数列，
所以，
所以公比.
故选：A.
【变式1-1】（2024·广东广州·三模）等比数列满足，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比及首项，进而可求.
【解答过程】依题意有，
.
故选：B.
【变式1-2】（2024·广东·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比为（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】利用等比数列的求和公式，结合正项等比数列求出最后的结果.
【解答过程】设数列的公比为，显然，则，解得或（舍去）.
故选C.
【变式1-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．1 B．或-1 C． D．或1
【解题思路】根据等比数列基本量的计算即可求解公比，进而可求解.
【解答过程】依题意，，因为 ，
故，
故或
当时，；
当 ；
或1.
故选：D.
【题型2 等比数列的性质及应用】
【例2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列是等比数列，且则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用等比数列的性质求出，再代入求解即可.
【解答过程】因为为等比数列，所以，
因此，即，
所以，
故选：B.
【变式2-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比为，则（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【解题思路】根据题意结合等比数列性质运算求解.
【解答过程】由题意可知，
所以.
故选：D.
【变式2-2】（2024·河南驻马店·二模）设等比数列的前n项之积为Sn，若，，则a11=（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解题思路】根据题意结合等比数列的性质可得，，进而可得，运算求解即可.
【解答过程】因为，，所以，，
解得，，
则，故．
故选：C.
【变式2-3】（2024·四川巴中·模拟预测）在等比数列中，，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【解题思路】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得.
【解答过程】因为，，
所以，解得，
则．
故选：B.
【题型3 等比数列的判定与证明】
【例3】（2024·浙江·三模）已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【解题思路】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】若为等比数列，则，
所以，，
当时，故充分性不成立；
若（，），不妨令，则，又，
所以，即，所以为公比为的等比数列，故必要性成立；
故“为等比数列”是“（，）”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（ ）
A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列
C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列
【解题思路】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果.
【解答过程】因为数列是等差数列，设其通项公式为，
所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确;
因为数列为等比数列，设其通项公式为，
所以是定值，
所以数列一定是等比数列，选项正确;
因为，所以，
所以数列一定是等差数列，选项正确;
当时，，则不是等比数列，选项错误，
故选：D.
【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）已知数列满足，，则下列是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由数列的递推式，计算前四项，由等比数列的性质可判断；由数列的递推式推得，可判断．
【解答过程】由，，，
可得，即，解得，
又，即，解得，
由，，，，故A错误；
由，，，，故B错误；
由，，，，故C错误；
由，可得，
即为，又，可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．
故选：D.
【变式3-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解题思路】由可得正项数列隔项成等比数列，再由结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【解答过程】因为，所以，
两式相除可得：，
所以，
所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以当，则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
当，则，，
所以数列为公比为的等比数列，
所以“”能推出“数列为等比数列”，
若数列为等比数列，则公比为2，故，
所以“数列为等比数列”能推出“”.
故“”是“数列为等比数列”的充要条件.
故选：C.
【题型4 等比数列的通项公式】
【例4】（2024·全国·一模）等比数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意等比数列的性质可得公比，且由可得，从而可求解.
【解答过程】由题意知数列为等比数列，设公比为，由，得，解得，
因为，即，即，所以，又因为，所以，
所以，故B正确.
故选：B.
【变式4-1】（23-24高三下·青海玉树·阶段练习）已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解.
【解答过程】令可得，又，解得，又，
则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.
故选：B.
【变式4-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为 ．
【解题思路】设等比数列的公比为q，根据等比数列的性质可得，即有，解出的值，即可求出公比，得出通项.
【解答过程】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得，
又，所以有，
由是递增的等比数列，解得，
所以， 即有.
故答案为：.
【变式4-3】（2024·北京·三模）已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式： ．
【解题思路】根据给定条件，可得，公比，再写出数列的一个通项公式即可.
【解答过程】设等比数列的公比为，由，，得，
显然，即，于是，解得，
，满足，，
取，.
故答案为：（答案不唯一，（，））.
【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】
【例5】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解题思路】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.
【解答过程】若，，则数列单调递减，故不能推出数列单调递增；
若单调递增，则，，或，，不能推出，
所以“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【变式5-1】（2024·四川自贡·三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【解题思路】由等比数列及已知，要为递增数列只需在上恒成立，讨论、、，结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.
【解答过程】由题设且，要为递增数列，只需在上恒成立，
当，不论取何值，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足要求；
，总存在，不满足要求；
当，
，则，不满足；
，若，，显然，即，不满足；
，则在上恒成立，满足.
所以为递增数列有且.
所以，“数列为递增数列”是“且”的充分不必要条件.
故选：B.
【变式5-2】（23-24高二下·北京顺义·期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的 ，”是“是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可.
【解答过程】设等比数列的公比为，，
若，则，
当 时，由 得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
当时，由，得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
反之，若是递增数列，则，
所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件．
故选：C．
【变式5-3】（2024·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
【解题思路】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误.
【解答过程】对于A，由题意知：当为偶数时，；
当为奇数时，，，最大；
综上所述：数列的最大项为，A正确；
对于B，当为偶数时，，，最小；
当为奇数时，；
综上所述：数列的最小项为，B正确；
对于C，，，
，
，，，
数列为递增数列，C正确；
对于D，，，
；
，，，又，
，数列为递减数列，D错误.
故选：D.
【题型6 等比数列前n项和的性质】
【例6】（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【解题思路】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解.
【解答过程】设正项等比数列的公比为，
则是首项为，公比为的等比数列，
若，，则，
所以，即，
解得或（舍去）.
故选：C.
【变式6-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【解题思路】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式计算即得.
【解答过程】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为，
则，
由，得，整理得，
由等比数列的公比小于1，得，解得，
所以.
故选：B.
【变式6-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．
【解答过程】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，
得到奇数项为，
偶数项为，整体代入得，
所以前项的和为，解得.
故选：B.
【变式6-3】（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（ ）
A．1 B．4 C．8 D．25
【解题思路】利用等比数列的性质建立方程求解即可.
【解答过程】因为，，所以，
因为是等比数列，所以成等比数列，
所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确.
故选：A.
【题型7 等比数列的简单应用】
【例7】（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解题思路】每天荷花的数量都是前一天的2倍，则荷花朵数为等比数列，利用等比数列的通项公式及求和公式，列出不等式求解即可，注意花蕾有凋谢的情况.
【解答过程】设第天水塘中的荷花朵数为，则，
设第天池塘内开放荷花的数量为，则，，
，
当时，，
当时，，
所以荷花的数量在第8天达到最大.
故选：C.
【变式7-1】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】设第三角形的斜边长为，面积为，根据题意分析可知数列是以首项，公比为的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解.
【解答过程】因为，
设第三角形的斜边长为，面积为，
由题意可知：，，，
则，，
可知数列是以首项，公比为的等比数列，
所以所作的所有三角形的面积和为.
故选：D.
【变式7-2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（ ）
A．3937万元 B．3837万元
C．3737万元 D．3637万元
【解题思路】根据配凑法、分组求和法求得正确答案.
【解答过程】设，，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以
则
（万元）.
故选：A.
【变式7-3】（2023·陕西安康·模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，即可求得的值.
【解答过程】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，解得.
故该马第五天行走的里程数为.
故选：D.
【题型8 等比数列的奇偶项讨论问题】
【例8】（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，求得，进而求得的通项公式；
（2）由（1）得到，当为奇数时，；当为偶数时，，结合，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.
【解答过程】（1）解：由，可得，所以，
又由，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
当时，，所以，
又当时，满足上式，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，，
所以
【变式8-1】（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列，
可得，可求的通项公式；
（2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和.
【解答过程】（1）由为“比差等数列”，
得，
从而.
设，则，
所以数列为等差数列.
因为，
所以为常数列，
因此，，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
因此.
（2）当为偶数时，
；
当为奇数时，.
综上，.
【变式8-2】（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，求数列的前项和．
【解题思路】（1）由与的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）求得后，讨论n为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求.
【解答过程】（1）当时，，即，，
所以，同理．
当时，，化简得：
，因为，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因为是等比数列，所以，即，所以．
（2）由（1）知，
所以当为奇数时，
，
，
同理当为偶数时，．
所以.
【变式8-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【解题思路】（1）利用等差中项与等比中项可得数列为等比数列，从而得解；
（2）分为偶数和奇数求数列的前项和.
【解答过程】（1）成等差数列，
，即，而，
为等比数列，
又，得.
（2），
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
.
【题型9 等差数列与等比数列的综合应用】
【例9】（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
【解题思路】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）令，得，两式相减得，又，即得
【解答过程】（1）设公差为d，又成等比数列，
所以，
又，即，解得或，
而时，不满足成等比数列，所以，
所以.
（2）令，
所以，
两式相减有：，
所以数列的前项和为，即，
又，所以，
所以.
【变式9-1】（2024·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【解题思路】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【解答过程】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式；
（2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和.
【解答过程】（1）由题意，
在等差数列中，设公差为,
由，得，则，
又a3＋2，a4，a5－2成等比数列，
∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2，
∴，，
∴数列的通项公式为：．
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，，
在数列中，，
∴，
∴，
，
两式相减得
．
∴.
【变式9-3】（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，
(1)求，的通项公式；
(2)记为的前项和，求证：；
(3)若，求数列的前项和．
【解题思路】（1）由已知条件列出方程组，求解出d，q，根据等比和等差数列的通项公式求解即可；
（2）利用等比数列前项和公式求出，求出，得证；
（3）利用错位相减法和裂项相消法分奇偶项两组求和即可.
【解答过程】（1）解：由已知可得，
，
联立①②，得，解得或，
因为是各项都为正数的等比数列，所以，代入①式可得，
所以，；
（2），
，，
则
，
所以；
（3）
，
令
，
则，
，得
，
令
，
.
【题型10 等比数列中的不等式恒成立、有解问题】
【例10】（2024·广西桂林·三模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．
【解题思路】（1）根据运算即可求解；
（2）由（1）可得，结合错位相减求和法计算可得，将原问题转化为不等式对恒成立，结合一次函数的性质即可求解.
【解答过程】（1）因为，
当时，得，即，①，
当时，②，
由①-②得，，又也满足，
所以．
（2）因为，
所以，，
两式相减得，，
即，则，
故．
由，得，即，
依题意，不等式恒成立，
因为随着n增大而减小，
所以，即的取值范围为．
【变式10-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据与的关系，作差结合等比数列定义即可求得，当时，，作差变形得，利用等差数列定义求通项公式即可；
（2）先利用错位相减法求得，然后把恒成立问题转化为恒成立，按照奇偶性分类讨论，分离参数利用数列单调性求解参数范围.
【解答过程】（1）对于数列，当时，，解得；
当时，，与原式作差可得，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以；
对于数列，当时，，解得，
时，，
与原式作差可得，
因为，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以.
（2）由（1）可知，
所以，
所以，
两式作差可得，
所以，
所以恒成立，化简得.
当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，所以.
综上可得：.
【变式10-2】（2024·湖南·二模）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的都有，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）利用题设条件求得，再利用等比数列的通项公式求得，进而求得；
（2）将问题转化为恒成立，再利用作差法求得的最大值，从而得解.
【解答过程】（1）因为，，，
所以，则，
，则，
因为是各项都为正数的等比数列，所以，即，
所以，则.
（2）因为恒成立，所以恒成立，
设，则，
当时，，则；
当时，，则；
所以，则.
【变式10-3】（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）利用的关系式求解即可；
（2）由题意有，利用分组求和法分别求出，再根据数列的单调性分别求出，即可得解.
【解答过程】（1）由，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以数列是以为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）得，
则，
故，
，
而随的增大而减小，
所以，
随的增大而增大，
所以，
因为对任意的，都有，
所以.
【题型11 与等比数列有关的新定义、新情景问题】
【例11】（2024·全国·模拟预测）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数所得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为，.
(1)若，求的值；
(2)当时，若为等比数列，求正整数；
(3)记，证明：.
【解题思路】（1）根据约数的定义确定约数的个数即可；
（2）结合约数的定义可得，结合等比数列的定义推出，由此确定，
（3）先证明，再证明，结合裂项相消法证明结论.
【解答过程】（1）时，因为，
所以为8的所有正约数，故.
（2）由题意可知.
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以.
因为，所以，因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以可写为，
经检验该关系满足条件，
所以.
（3）由题意知，
所以.
因为，
所以
.
因为，所以.
所以.
【变式11-1】（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列．
(1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值；
(2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和．
(3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式，列出“数列”的式子，变形后得，与无关，即可求解；
（2）由题意确定数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，结合等差和等比数列的前项和公式，即可求解；
（3）首先求解出，可得数列的前项和，并假设存在，通过验证求得，再利用放缩法，证明结论成立.
【解答过程】（1）数列是等比数列，则，，
则，
因为与无关，所以，即；
（2）由题意可知，，而，所以，
是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列中项（含）前共有项，
令，结合，解得：，
故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，
所以数列中前30项的和；
（3）因为数列是“数列”，，，，
则，，得，
所以数列的前项和，
假设存在正整数，使得不等式，对一切都成立，
即
当时，，得，
又为正整数，得
下面证明：对一切都成立，
由于，，
所以，
，
所以存在，使不等式对一切都成立.
【变式11-2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由．
【解题思路】（1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列，从而计算出；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，得到，构造等比数列，求出，从而得到不等式，求出解集；
（3）得到，从而利用累加法求和得到，从而得到结论.
【解答过程】（1），第一次“和扩充”后得到数列，
第二次“和扩充”后得到数列，
；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，
则经第次“和扩充”后增加的项数为，
所以，所以，
其中数列经过1次“和扩充”后，得到，故，
，
故是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，故，
则，即，
又，解得，
（3）因为，
，，
依次类推，，
故
，
若使为等比数列，则或.
【变式11-3】（2024·广东广州·模拟预测）若无穷项数列满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”.
(1)设，，若首项为1的数列为“数列”，求；
(2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和；
(3)设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值.
【解题思路】（1）将，，代入得到周期数列,即可求到的值.
（2）由是等比数列、数列可求出，，，进而求出数列的通项公式及前项和.
（3）找出的通项，设，然后通过求出.
【解答过程】（1）由题意有，，，，则
，，，，，，，，，，…
一般有，，,
所以.
（2）数列是首项为1的等比数列，设其公比为，又为数列，，，
当时，，，.有，
又，，，
于是得，解得，有或，
当时，，， 为数列，
当时，，， 为数列，
当时，则，，构成以为公差的等差数列，即，有，解得，
于是得，，， 为数列，
所以①当，，是大于1的任意正整数，则，；
②当，，，则，.
（3）依题意，，，，数列为“数列”，
则，，，，，，，，，，，…
，，，，是公差为1的等差数列，且,
所以且,
所以数列是以首项为9，公比为2的等比数列，所以,
即,
即,
所以
所以，即，
化简得，代入，等式成立.
因为当时，，所以当，方程无解，
综上所述，满足成立的值为1.
一、单选题
1．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（ ）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
【解题思路】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.
【解答过程】根据等比中项知道，求得，则.
又，则.
故选：A.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（ ）
A．－8 B．－16 C．－32 D．－48
【解题思路】利用等比数列的性质先计算，再根据条件建立方程解公比求值即可.
【解答过程】设的公比为，
则由题意可知，，
化简得或（舍去），
则.
故选：B.
3．（2024·陕西西安·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【解题思路】根据题意结合等比数列性质求得，，即可得结果.
【解答过程】设等比数列的公比为q，可得，
则，
所以．
故选：B.
4．（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由已知条件推得数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
【解答过程】因为，
所以，
由于，即，
可得数列是首项为，公比为的等比数列，
则，因为数列是递增数列，可得，
即对任意的正整数都成立．
当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减，
可得，则；
当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增，
可得，则；
综上可得的取值范围是．
故选：B．
5．（2023·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
【解题思路】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算．
【解答过程】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，
由已知，，
（斗）．
故选：A．
6．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是递增数列
C． D．
【解题思路】特例法排除A，B，C，对于D，根据题意，可得，，且，故，从而可证.
【解答过程】设数列和数列均为常数列，所以排除A，B，C，选D，
对于D，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可知，故，
由，可知，又由，，有，故，
且，
故，即，
所以，故，
所以.
故选：D.
7．（2024·北京西城·二模）已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据等比数列的基本量求得，从而可得公差，由等比数列得前项和公式得，分类讨论，结合数列的单调性即可得求得满足不等式时的取值范围.
【解答过程】因为等比数列，由可得，所以，
则公比，所以，
当为奇数时，恒成立，所以，
又数列为递增数列，所以，，则此时；
当为偶数时，恒成立，所以，
又数列为递增数列，，则此时；
综上，的取值范围是.
故选：D.
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列的前项和为，前项积为，若，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．对任意正整数，
C． D．数列一定是等比数列
【解题思路】利用前项积与通项的关系，可以求出通项公式，进而可以判断A、B、C，对于D只需要利用等比数列的前项和公式即可证明.
【解答过程】由得，各项均为正数，且，
由得，所以选项A是正确的；
由上可知：等比数列的公比，，
所以等比数列是递减数列，由等比数列性质可得：
，所以选项B是正确的；
由，又由，即选项C是错误的；
由，
由，所以选项D是正确的.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·广西·模拟预测）若数列 满足，，且，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若为等比数列，则
【解题思路】根据两式相加减可得，，即可求解ABC，根据前3项以及等比中项可得或，代入验证即可求解D.
【解答过程】对于B，依题意，，则，
而，因此数列是首项为1，公比为3的等比数列，，B错误．
又，因此，结合可得
，，
对于A，，A正确；
对于C，，C正确；
对于D，，，，
由为等比数列，得，解得或，
当时，，显然数列是等比数列，
当时，，显然数列是等比数列，
因此当数列是等比数列时，或，D正确．
故选：ACD．
10．（2024·江西·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．数列是公比为2的等比数列
C．
D．的最大整数的值为8
【解题思路】根据题意，利用等比数列的定义，推断数列等比数列，进而求得数列的通项公式，逐项判定，即可求解.
【解答过程】由题意得，即，
又由，即，
所以数列是首项为2且公比为2的等比数列，所以B正确．
由，即 ，则，所以A正确．
由，又符合上式，则，
即，故C错误．
因为
，
，所以D正确．
故选：ABD.
11．（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若是正项数列，则是单调递增数列
B．一定是等比数列
C．若存在，使对都成立，则是等差数列
D．若，且，，则时取最小值
【解题思路】对于A，由题意易得，，可判断结论；对于B，在时，通过取反例即可排除B；对于C，分析时数列的特征即可判断；对于D，先求出的表示式，通过作商分析的大小关系即得.
【解答过程】对于A，设数列的公比为，由可得，，
因，则得，解得或，
因是正项数列，故，，故是单调递增数列，即A正确；
对于B，由上分析知，或，
当时，，
此时，若为偶数，则都是0，故不符合，即B错误；
对于C，若，则是递增数列，
此时不存在，使对都成立；
若时，易得，故存在，使得对都成立，
此时为常数列，故是公差为0的等差数列，故C正确；
对于D，因，，故由上分析知，
则，
由，
当时，，故，数列递减，且；
当时，，故，数列递增，且；
则当时，取最小值，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024·四川雅安·三模）等比数列中，每项均为正数，且，则 4 .
【解题思路】根据等比数列性质和对数运算求解即可.
【解答过程】由题意得.
故答案为：4.
13．（2024·湖北襄阳·二模）已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则 557 .
【解题思路】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，求得，，由题意可得的前20项中，有5项为的前5项，15项为的前15项，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答过程】设等差数列的公差为和等比数列的公比为，
由，，，，可得，，
解得，，
则，，
由，
由和中无公共项，可得的前20项中，有5项为的前5项，15项为的前15项，
则．
故答案为：557．
14．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ①②④ ．
①存在等差数列，使得是的“M数列”
②存在等比数列，使得是的“M数列”
③存在等差数列，使得是的“M数列”
④存在等比数列，使得是的“M数列”
【解题思路】对于①取分析判断，对于②④取分析判断，对于③，根据题意结合等差数列的性质分析判断.
【解答过程】对于①：例如，则为等差数列，可得，则，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立，
所以是的“数列”，故①正确；
对于②，例如，则为等比数列，可得，则，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立 ，
所以是的“数列”，故②正确；
对于③，假设存在等差数列，使得是的“数列”，
设等差数列的公差为，
因为为严格增数列，则，
又因为为严格增数列，所以，即当时，恒成立，
取，满足，可知必存在，使得成立，
又因为为严格增数列，
所以对任意正整数，则有，即，
对任意正整数，则有，即，
故当时，不存在正整数，使得，故③不成立；
对于④，例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，可得，
所以，，
故、均为严格增数列，
取，则，即恒成立，
所以是的“数列”，故④正确.
故答案为：①②④.
四、解答题
15．（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，求数列的前100项和．
【解题思路】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，再求出通项公式.
（2）利用（1）的结论求出，再利用分组求和法计算即得.
【解答过程】（1）数列中，，当时，，两式相减得，
而，解得，所以是首项为2，公比为5的等比数列，
通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以
．
16．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去.
(1)求操作1次后桶中的水量；
(2)求操作次后桶中的水量；
(3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，）
【解题思路】（1）根据题意列式计算；
（2）根据题意，得到，，然后用数列知识求解；
（3）由（2）可得，列式运算得解.
【解答过程】（1）记桶中的水量为，桶中的水量为，，
所以.
（2）根据题意可得：，，
所以，所以，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
，所以.
（3），，
令，得，两边取对数，
得，
所以至少经过5次操作，才能使桶中的水量与桶中的水量之差小于.
17．（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
∵，，
∴，
∴.
∴.
设等比数列的公比为，
若选条件①，，
由，且，
得，
∴，解得.
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
若选条件②，，
令，得，
∴公比，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
从而.
（2）因为，
所以，
两式相减，得，
即，
所以.
18．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解；
（2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和；
（3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解．
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，又，，，
由， ，又，，，
，，
即，．
（2）当为奇数时，，
记，则有
，
，
得：
，
，
，
当为偶数时，，
记，
，
．
（3）由与恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
设，
，
单调递增，
又，
，
．
19．（2024·重庆开州·模拟预测）设有穷数列的项数为，若正整数满足： ，则称为数列的“点”．
(1)若，求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
(3)若，数列的“点”的个数为，证明：．
【解题思路】（1）由通项公式写出数列的各项，根据数列的“点”定义确定结论；
（2）利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，解不等式可得的范围，再对所得结果加以验证即可，
（3）先证明若，则，结论成立，再证明若存在，使得，则数列存在“点”， 数列的 “点” 由小到大依次为，结合关系完成证明.
【解答过程】（1）因为
所以，
所以数列 的 “ 点” 为 3，5 ，
（2）依题意，，
因为数列存在 “点”，
所以存在 ，使得 ，
所以，
即.
因为，所以，所以，
又随的增大而增大，
所以当时，取最大值，
所以，又，所以.
当时，有，
所以数列存在 “点”，
所以的取值范围为，
（3）①若，则数列不存在 “点”，即.
由得，，所以，
②若存在，使得. 下证数列有 “点”.
证明: 若，则2是数列的 “点”;
若，因为存在，使得，
所以设数列中第1个小于的项为，
则，所以是数列的第1个 “点”.
综上，数列存在 “点”.
不妨设数列的 “点” 由小到大依次为，
则是中第1个小于的项，
故，因为 ，
所以，所以，所以
所以
所以.
综上，，得证.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题6.3 等比数列及其前n项和【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 等比数列的基本量运算】 4
【题型2 等比数列的性质及应用】 5
【题型3 等比数列的判定与证明】 5
【题型4 等比数列的通项公式】 5
【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 6
【题型6 等比数列前n项和的性质】 6
【题型7 等比数列的简单应用】 7
【题型8 等比数列的奇偶项讨论问题】 8
【题型9 等差数列与等比数列的综合应用】 9
【题型10 等比数列中的不等式恒成立、有解问题】 10
【题型11 与等比数列有关的新定义、新情景问题】 11
1、等比数列及其前n项和
考点要求 真题统计 考情分析
(1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义 (2)掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系 (3)能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 (4)体会等比数列与指数函数的关系 2022年新高考全国Ⅱ卷：第17题，10分 2023年新高考Ⅱ卷：第8题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第15题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第5题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分 2024年北京卷：第5题，5分 等比数列是高考的热点内容，属于高考的常考内容之一.从近几年的高考情况来看，等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定是高考考查的热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；等比数列的证明、求和及综合应用是高考考查的重点，一般出现在解答题中，难度中等. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.
【知识点1 等比数列及其前n项和】
1．等比数列的概念
文字
语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号
语言 在数列{}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{}为等比数列，常数q称为等比数列的公比
递推
关系 或
2．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=.
3．等比数列的通项公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0).
4．等比数列的单调性
已知等比数列{}的首项为，公比为q，则
(1)当或时，等比数列{}为递增数列；
(2)当或时，等比数列{}为递减数列；
(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶
数项异号).
5．等比数列的性质
设{}为等比数列，公比为q，则
(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，则.
(2)若m,n,p(m,n,p)成等差数列，则成等比数列.
(3)数列{}(为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
数列{}是公比为的等比数列；
若数列{}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列.
(4)在数列{}中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为
.
(5)在数列{}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为(或)的等比数列.
(6)若数列{}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列.
6．等比数列的前n项和公式
若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为
=.
7．等比数列前n项和的性质
已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：
(1).
(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.
(3)若{}共有2n(n)项，则=q；
若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.
【知识点2 等比数列的基本运算的解题策略】
1．等比数列基本量的运算的求解思路：
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.
【知识点3 等比数列的判定方法】
1．证明数列是等比数列的主要方法：
(1)定义法：（常数）为等比数列；
(2)中项法：为等比数列；
(3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列；
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2．在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证.
【知识点4 等比数列及其前n项和的性质及应用】
1．等比数列的性质：
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2．等比数列的单调性与最值问题
涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.
【知识点5 等比数列前n项和的函数特征】
1．Sn与q的关系
(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点；
(2)当公比q=1时，等比数列的前n项和公式是，则数列{Sn}的图象是函数图象上的一群孤立的点.
2．Sn与an的关系
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数.
【方法技巧与总结】
1．等比数列{}的通项公式可以写成，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{}的前n项和Sn可以写成(A≠0，q≠1,0).
3．设数列{}是等比数列，Sn是其前n项和.
(1).
(2)若，则成等比数列.
(3)若数列{}的项数为2n，则；若项数为2n+1，则.
【题型1 等比数列的基本量运算】
【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式1-1】（2024·广东广州·三模）等比数列满足，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式1-2】（2024·广东·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．1 B．或-1 C． D．或1
【题型2 等比数列的性质及应用】
【例2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列是等比数列，且则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【变式2-1】（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比为，则（ ）
A．20 B．24 C．28 D．32
【变式2-2】（2024·河南驻马店·二模）设等比数列的前n项之积为Sn，若，，则a11=（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式2-3】（2024·四川巴中·模拟预测）在等比数列中，，，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【题型3 等比数列的判定与证明】
【例3】（2024·浙江·三模）已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
【变式3-1】（2024·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（ ）
A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列
C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列
【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）已知数列满足，，则下列是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【题型4 等比数列的通项公式】
【例4】（2024·全国·一模）等比数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高三下·青海玉树·阶段练习）已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为 ．
【变式4-3】（2024·北京·三模）已知等比数列满足：（），请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式： ．
【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】
【例5】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【变式5-1】（2024·四川自贡·三模）等比数列公比为，若，则“数列为递增数列”是“且”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【变式5-2】（23-24高二下·北京顺义·期中）数列是等比数列，则对于“对于任意的 ，”是“是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【变式5-3】（2024·上海闵行·二模）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述不正确的是（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最小项为
C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列
【题型6 等比数列前n项和的性质】
【例6】（2024·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【变式6-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【变式6-2】（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-3】（2024·江苏·三模）设等比数列的前项和为，则（ ）
A．1 B．4 C．8 D．25
【题型7 等比数列的简单应用】
【例7】（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式7-1】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一个三角形的斜边与第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2023年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为（参考数据：）（ ）
A．3937万元 B．3837万元
C．3737万元 D．3637万元
【变式7-3】（2023·陕西安康·模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
【题型8 等比数列的奇偶项讨论问题】
【例8】（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式8-1】（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式8-2】（2024·云南昆明·三模）正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，求数列的前项和．
【变式8-3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知在正项数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【题型9 等差数列与等比数列的综合应用】
【例9】（2024·四川绵阳·三模）已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
【变式9-1】（2024·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式9-3】（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，
(1)求，的通项公式；
(2)记为的前项和，求证：；
(3)若，求数列的前项和．
【题型10 等比数列中的不等式恒成立、有解问题】
【例10】（2024·广西桂林·三模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围．
【变式10-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，且满足.数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，求的取值范围.
【变式10-2】（2024·湖南·二模）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的都有，求实数的取值范围.
【变式10-3】（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
【题型11 与等比数列有关的新定义、新情景问题】
【例11】（2024·全国·模拟预测）约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数所得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为，.
(1)若，求的值；
(2)当时，若为等比数列，求正整数；
(3)记，证明：.
【变式11-1】（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为数列．
(1)若一个公比为的等比数列为“数列”，求的值；
(2)若是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前30项的和．
(3)若一个“数列"满足，设数列的前项和为．是否存在正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式11-2】（2025·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由．
【变式11-3】（2024·广东广州·模拟预测）若无穷项数列满足（，，为常数，且），则称数列为“数列”.
(1)设，，若首项为1的数列为“数列”，求；
(2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式及前项和；
(3)设，，若首项为1的数列为“数列”，记数列的前项和为，求所有满足的值.
一、单选题
1．（2024·山东淄博·二模）已知等比数列则（ ）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（ ）
A．－8 B．－16 C．－32 D．－48
3．（2024·陕西西安·三模）已知是等比数列的前n项和，，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗 B．斗
C．斗 D．斗
6．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是递增数列
C． D．
7．（2024·北京西城·二模）已知是无穷等比数列，其前项和为，．若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列的前项和为，前项积为，若，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．对任意正整数，
C． D．数列一定是等比数列
二、多选题
9．（2024·广西·模拟预测）若数列 满足，，且，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若为等比数列，则
10．（2024·江西·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．数列是公比为2的等比数列
C．
D．的最大整数的值为8
11．（2024·湖南益阳·三模）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法正确的有（ ）
A．若是正项数列，则是单调递增数列
B．一定是等比数列
C．若存在，使对都成立，则是等差数列
D．若，且，，则时取最小值
三、填空题
12．（2024·四川雅安·三模）等比数列中，每项均为正数，且，则 .
13．（2024·湖北襄阳·二模）已知等差数列和等比数列满足，，，.数列和中的所有项分别构成集合、，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，数列的前项和为，则 .
14．（2024·北京通州·三模）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列结论中正确的是 ．
①存在等差数列，使得是的“M数列”
②存在等比数列，使得是的“M数列”
③存在等差数列，使得是的“M数列”
④存在等比数列，使得是的“M数列”
四、解答题
15．（2024·辽宁·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)设，求数列的前100项和．
16．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去.
(1)求操作1次后桶中的水量；
(2)求操作次后桶中的水量；
(3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，）
17．（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
18．（2024·天津·二模）设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，.
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．（2024·重庆开州·模拟预测）设有穷数列的项数为，若正整数满足： ，则称为数列的“点”．
(1)若，求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
(3)若，数列的“点”的个数为，证明：．
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