专题6.4 数列的通项公式的求法【十二大题型】
【新高考专用】
【题型1 观察法】 3
【题型2 定义法】 4
【题型3 由an与Sn的关系求通项】 5
【题型4 累加法】 5
【题型5 累乘法】 6
【题型6 构造法】 7
【题型7 由等差数列的通项公式求数列通项】 8
【题型8 由等比数列的通项公式求数列通项】 9
【题型9 周期数列的通项问题】 10
【题型10 正负、奇偶讨论型求通项】 11
【题型11 双数列的通项问题】 12
【题型12 特殊数列求通项】 13
1、数列的通项公式的求法
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解数列的通项公式和递推关系 (2)掌握求数列的通项公式的常用方法 2022年新高考全国I卷：第17题，10分 2023年新高考I卷：第20题，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分 2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分 2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分 2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分 数列是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，数列的通项公式的求解是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度不大；有时也会出现在选择题、填空题中，与函数、不等式等综合考查；数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解.
【知识点1 数列的通项公式】
1．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
2．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
【知识点2 数列的通项公式的常见求法】
1．观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.
2．定义法：
已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.
3．公式法：
由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
6．构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.
③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.
④形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7．等差数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
8．等比数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
【题型1 观察法】
【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【变式1-2】（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）数列的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【题型2 定义法】
【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
(1)求的通项公式，并求；
(2)若是由组成，试归纳的一个通项公式．
【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）在数列中，已知，且.
(1)求通项公式.
(2)求证：是递增数列.
【变式2-2】（23-24高三下·新疆·阶段练习）已知是对数函数且图象过点，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若，求m的最小值．
【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）定义数列“从第二项起，若数列的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列为“等平方差数列”，且，．
(1)判断满足条件的数列是否唯一，并说明理由；
(2)求正项数列的通项公式，并判断其单调性．
【题型3 由an与Sn的关系求通项】
【例3】（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·陕西·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．2024 B．2023 C．4047 D．4048
【变式3-3】（2024·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 累加法】
【例4】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高二上·北京·阶段练习）在数列中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2024·云南红河·一模）已知数列满足：，则（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
【变式4-3】（23-24高二上·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是（ ）
A．35 B．70 C．145 D．170
【题型5 累乘法】
【例5】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．n B． C．2n D．
【变式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2024·吉林长春·一模）设数列的前n项和为，且，为常数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 构造法】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【变式6-1】（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式6-2】（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【题型7 由等差数列的通项公式求数列通项】
【例7】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列满足，且点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的恒成立，求实数的最小值．
【变式7-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列前项的乘积，若，求的最大值．
【变式7-3】（2023·河南·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和．
【题型8 由等比数列的通项公式求数列通项】
【例8】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知是公差为1的等差数列.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，是数列的最大项，求正整数k的值.
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足.
(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得对任意的正整数，总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知数列的前项和为，且满足.
(1)当时，求;
(2)若，设，求的通项公式.
【题型9 周期数列的通项问题】
【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，记数列的前n项和为，前n项积为，则（ ）
A．数列是周期数列 B．
C． D．
【变式9-1】（23-24高二下·山东淄博·期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．是周期数列 C． D．
【变式9-2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数，若数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列
C． D．
【变式9-3】（2024·重庆长寿·模拟预测）已知是的前项和，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
【题型10 正负、奇偶讨论型求通项】
【例10】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前项和为且．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【变式10-1】（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
【变式10-2】（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式10-3】（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【题型11 双数列的通项问题】
【例11】（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求使取得最大值时的值.
【变式11-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
【变式11-2】（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【变式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知为等差数列，前项和为，若，；数列满足：，.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的，将中落入区间内项的个数记为.
（i）求；
（ii）记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【题型12 特殊数列求通项】
【例12】（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列的前项和为，且满足.试求:
(1)数列的通项公式;
(2)记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数.
【变式12-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【变式12-2】（2024·山西·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正项数列中，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
一、单选题
1．（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·新疆喀什·模拟预测）若，则（ ）
A．55 B．56 C．45 D．46
3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二·全国·课后作业）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
6．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、多选题
9．（23-24高二·全国·课后作业）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·模拟预测）数列中，若存在最大值，则数列的通项可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：，则该数列的通项可以表示为 .
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，， 则该数列的通项公式为 ．
14．（2024·广西南宁·一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
四、解答题
15．（23-24高二上·全国·课后作业）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．
(1)求的通项公式；
(2)88是否是数列中的项？
16．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
17．（2024·陕西榆林·一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
18．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
19．（2024·四川内江·三模）已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题6.4 数列的通项公式的求法【十二大题型】
【新高考专用】
【题型1 观察法】 3
【题型2 定义法】 5
【题型3 由an与Sn的关系求通项】 7
【题型4 累加法】 9
【题型5 累乘法】 11
【题型6 构造法】 13
【题型7 由等差数列的通项公式求数列通项】 16
【题型8 由等比数列的通项公式求数列通项】 18
【题型9 周期数列的通项问题】 21
【题型10 正负、奇偶讨论型求通项】 23
【题型11 双数列的通项问题】 26
【题型12 特殊数列求通项】 30
1、数列的通项公式的求法
考点要求 真题统计 考情分析
(1)了解数列的通项公式和递推关系 (2)掌握求数列的通项公式的常用方法 2022年新高考全国I卷：第17题，10分 2023年新高考I卷：第20题，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分 2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分 2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分 2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分 数列是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，数列的通项公式的求解是高考考查的热点，主要以解答题的形式考查，一般出现在第一小问中，难度不大；有时也会出现在选择题、填空题中，与函数、不等式等综合考查；数列的通项公式的求法多种多样，需要灵活求解.
【知识点1 数列的通项公式】
1．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
2．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
【知识点2 数列的通项公式的常见求法】
1．观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.
2．定义法：
已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项.
3．公式法：
由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
4．累加法：
形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
5．累乘法：
形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
6．构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}.
③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}.
④形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
7．等差数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
8．等比数列的通项公式法：
(1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解；
(2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式.
【题型1 观察法】
【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】观察每项的特点，分别确定项的符号以及每一项的联系，即可找出数列的通项公式.
【解答过程】通过观察这一列数发现，奇数项为正，偶数项为负，
故第项的正负可以用表示；
而，
故数列的通项可为.
故选：D.
【变式1-1】（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【解题思路】根据观察归纳出为奇数，为偶数数，即可求解.
【解答过程】设该数列为，
当为奇数时，
所以为奇数；
当为偶数时，
所以为偶数数；
所以，
故选:B.
【变式1-2】（23-24高二上·山西晋城·阶段练习）数列的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.
【解答过程】选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：不符合题意；
而选项D中的通项公式满足数列，
故选：D.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778 B．779 C．780 D．781
【解题思路】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项.
【解答过程】六边形数从小到大排成一列，形成数列，
依题意，，归纳得，
所以.
故选：C.
【题型2 定义法】
【例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
(1)求的通项公式，并求；
(2)若是由组成，试归纳的一个通项公式．
【解题思路】（1）设，根据题意可得的方程组，求解即可；
（2）写出归纳即可.
【解答过程】（1）设,则，解得，
∴,.
（2）∵为
∴归纳的一个通项公式为.
【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·阶段练习）在数列中，已知，且.
(1)求通项公式.
(2)求证：是递增数列.
【解题思路】（1）根据数列的通项将分别代入可计算出，可求得通项公式；（2）根据递增数列的定义，由即可得出证明.
【解答过程】（1）由，且可得
，解得；
因此.
所以，数列的通项公式为
（2）根据递增数列的定义可知，
，
即，
故是递增数列.
【变式2-2】（23-24高三下·新疆·阶段练习）已知是对数函数且图象过点，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若，求m的最小值．
【解题思路】（1）先求出对数函数的解析式，根据代入求解即可.
（2）根据数列前n项和公式求出，从而得出，再由，即可求出m的最小值．
【解答过程】（1）设对数函数 且，因为图象过点，
所以，解得，所以，
又数列满足，
所以.
（2）由（1）得，
，
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以m的最小值为24.
【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）定义数列“从第二项起，若数列的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列为等平方差数列，d叫作此数列的公平方差．”已知数列为“等平方差数列”，且，．
(1)判断满足条件的数列是否唯一，并说明理由；
(2)求正项数列的通项公式，并判断其单调性．
【解题思路】（1）根据“等平方差数列”的定义求出可得答案；
（2）判断的正负可得答案.
【解答过程】（1）根据“等平方差数列”的定义，及，，
得，
即，解得．
依题意，得，
所以，
所以满足条件的数列不唯一；
（2）因为，
所以由（1）得，
因为，
所以，所以数列是递增数列．
【题型3 由an与Sn的关系求通项】
【例3】（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由代入即可求得.
【解答过程】，当时，，
当也满足，
所以数列的通项公式为.
故选：D.
【变式3-1】（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可.
【解答过程】当时，；
当时，，
经验证，不符合上式，所以
故选：.
【变式3-2】（2024·陕西·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．2024 B．2023 C．4047 D．4048
【解题思路】利用数列的通项和前n项和公式求解.
【解答过程】解：由题意可得，
当时，；
当时，，
两式相减得，即．
综上所述，
所以，
故选：C．
【变式3-3】（2024·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
由题中等式，可得，再结合时，可得.
【解答过程】当时，有，
所以，
当时，由，，
两式相减得，
此时，，也满足，
所以的通项公式为.
故选：B.
【题型4 累加法】
【例4】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列中，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据数列的递推公式可得，结合累加法，即可求解.
【解答过程】由题意可得，
所以当时，，，，，
上式累加可得，
，
又，所以，
当时，满足上式，
所以.
故选：B.
【变式4-1】（23-24高二上·北京·阶段练习）在数列中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】采用累加法化简可求.
【解答过程】因为，即，
，，，，
累加得：，即.
故选：C.
【变式4-2】（2024·云南红河·一模）已知数列满足：，则（ ）
A．21 B．23 C．25 D．27
【解题思路】
应用累加法求数列通项公式，再求出对应项.
【解答过程】由题设，……，，，
累加可得且，则，
显然也满足上式，所以.
故选：A.
【变式4-3】（23-24高二上·浙江温州·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，下列不是数列的项的是（ ）
A．35 B．70 C．145 D．170
【解题思路】根据已知得出的前几项，进而得出递推公式.根据累加法求得通项公式为.分别令取35，70，145，170，求出的正整数解的情况，即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，，，，，
所以，.
当时，累加法求和如下
，
，
，
，
两边同时相加可得，，
整理可得，.
对于A项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故A项错误；
对于B项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故B项错误；
对于C项，令可得，，解得或（舍去）.
所以，，故C项错误；
对于D项，令可得，，解得（舍去）或（舍去）.
所以，170不是数列的项，故D项正确.
故选：D.
【题型5 累乘法】
【例5】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．n B． C．2n D．
【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法计算可得；
【解答过程】解：由，得，
即，
则，，，…，，
由累乘法可得，因为，所以，
故选：C．
【变式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【解答过程】解：数列满足，，
整理得，，，，
所有的项相乘得：，
整理得：，
故选：A．
【变式5-2】（2024·吉林长春·一模）设数列的前n项和为，且，为常数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由已知可得出，进而可得（），两式作差得
，然后利用累乘法求出即可.
【解答过程】因为为常数列且，所以有，①
当时，，②
①②得：，即，
从而，得，
当时，上式也成立．
故选：B.
【变式5-3】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】令可求得的值，再令，由得，两式作差整理后可得，然后利用累乘法可求得数列的通项公式.
【解答过程】因为数列的前项和为，，，
当时，；
当时，由得，
两式相减得，整理得，
.
故选：A.
【题型6 构造法】
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解题思路】（1）利用和的关系，然后构造一个等比数列求解即可；
（2）利用进行放缩，然后用等比数列的求和公式求解即可.
【解答过程】（1）因为①．
令得，解得．
当时，②，
由①②得，
即
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故，所以．
（2）因为，
当时，，
当时，
．
综上，．
【变式6-1】（2024·陕西西安·一模）已知数列的前项和为，，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得，结合即可求解；
（2）由（1）知，利用分组求和法计算即可求解.
【解答过程】（1）根据题意，，所以，
由于，则是以首项为1，公差为的等差数列，
所以，所以，
当时，.
验证时满足通项公式，故数列的通项公式为.
（2）由（1）知.
设的前项和为，则当为偶数时，
.
当为奇数时，，
设的前项和为，则.
因为，所以
【变式6-2】（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．
【解题思路】（1）由与的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答过程】（1）当时，，解得，
当时，由，可得,
两式相减得，所以，
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，
所以，
数列 的前项和为，
可得，
两式相减得，
所以．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解题思路】（1）借助与的关系消去可得，结合数列性质计算即可得；
（2）借助裂项相消法求和，由即可得.
【解答过程】（1）当时，.
由，则，
则，
化简得，所以，，
所以，，
则为常数列．
因为，所以，
所以；
（2）因为，所以，所以，
所以 ，
由随的增大而减小，故，
故，
即.
【题型7 由等差数列的通项公式求数列通项】
【例7】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列满足，且点在直线上.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列前项和为，求能使对恒成立的（）的最小值.
【解题思路】（1）由题设易得为等差数列，即可求其通项公式；
（2）对数列的通项分析可通过裂项相消法求前项和，将恒成立问题转化为求的最大值或上界问题即得.
【解答过程】（1）点在直线上，得，
所以数列是以首项为，公差为2的等差数列．
故，即．
（2），
所以
即，因 ，故，
故要使对恒成立，需使，即，
又，所以的最小值为5.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意的恒成立，求实数的最小值．
【解题思路】（1）利用退一相减法可得数列为等差数列，进而可得通项公式；
（2）代入，分离参数可得，再设，根据数列的单调性可得最大项及的最小值.
【解答过程】（1）由已知①，
则当时，②，
①②得，
即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，
即不等式对任意的恒成立，
所以，
设，
又，
所以当时，，当时，，
所以当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，
所以，
所以，
即实数的最小值为.
【变式7-2】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列满足，且成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列前项的乘积，若，求的最大值．
【解题思路】（1）利用，和成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差，从而求解.
（2）根据（1）中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.
【解答过程】（1）设的公差为，由，得：；
由成等比数列，得：，即：，整理得：.
由，解得：或.
所以：的通项公式为或.
（2）因为，所以：，
得：当时，；当时，.
从而，
又因为：，所以：的最大值为.
故的最大值为.
【变式7-3】（2023·河南·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）先将题目中的表达式边同时除以可证得是以为首项，为公差的等差数列，由此求出，再结合，即可得出答案；
（2）先求出，再由裂项相消法求解即可.
【解答过程】（1）因为，两边同时除以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时，也满足上式，
所以.
（2）由（1）可得， ，
则
.
【题型8 由等比数列的通项公式求数列通项】
【例8】（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
【解题思路】（1）利用计算，然后构造等比数列求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和，然后观察可证明不等式.
【解答过程】（1）当，由，得，
当时，，
所以，则．
因为，所以，因为，则，
所以是以3为首项、3为公比的等比数列，
则，即；
（2）由（1）知，
，
因为，所以.
【变式8-1】（2024·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知是公差为1的等差数列.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，是数列的最大项，求正整数k的值.
【解题思路】（1）首先根据为等差数列求其通项公式，然后利用与之间的关系得到递推公式，最后构造为等比数列，进而求解数列的通项公式；
（2）首先根据（1）求得，代入求得及，然后通过作差，判断与0的关系，进而得到项之间的大小关系，进而求得最大项.
【解答过程】（1）由题意得，所以，①
所以，②
②－①，得，即，
所以，
又，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
所以，所以.
（2）由（1）知，，所以
解法一：，
当时，，即；当时，，即；
当时，，即.所以，且，
所以数列的最大项为和，故k的值为2或3.
解法二：，
令，解得；令，解得；令，解得.
因为，所以，且，
所以数列的最大项为和，故k的值为2或3.
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足.
(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得对任意的正整数，总成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由已知可得，可得是首项为、公比为－1的等比数列，可求通项公式；
（2）假设成立，由（1）可得 ，化简可得存在正整数，当，时，对任意的正整数，总成立.
【解答过程】（1）由，得，
所以， 又，
故，由递推公式可得,
所以，
所以是首项为、公比为－1的等比数列.
故，即；
（2）由（1）可得，所以
，
假设成立，
则 ，
化简得.
可知当为正偶数，即时，（*）式对任意的正整数总成立.
因此，存在正整数，当，时，对任意的正整数，总成立.
【变式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知数列的前项和为，且满足.
(1)当时，求;
(2)若，设，求的通项公式.
【解题思路】（1）由等差数列定义得出为等差数列，由已知求出公差，结合等差数列求和公式即可得解；
（2）由定义证明数列是等比数列，由此即可得解.
【解答过程】（1）当时，有，
即，所以为等差数列，
因为，所以，
所以.
（2）由已知，，
所以，即，
且，所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以.
【题型9 周期数列的通项问题】
【例9】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，记数列的前n项和为，前n项积为，则（ ）
A．数列是周期数列 B．
C． D．
【解题思路】先将递推关系式进行转化，得到，由，计算得到，，，，的值，观察可得为周期数列，且周期为4，即可判断选项A；根据周期数列的性质，即可判断选项B，C，D.
【解答过程】选项A：易知，由，得，
又，计算得，，，，
因此为周期数列，且周期为4，A正确.
选项B：由A知，，B正确,
选项C，D：由周期性，得，
，则，故C错误，D正确.
故选：ABD.
【变式9-1】（23-24高二下·山东淄博·期中）数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．是周期数列 C． D．
【解题思路】依次取即可验证A项和B项的正确与否，再根据周期性可判断C项是否正确，最后根据周期性和分组求和法可判断D项是否正确.
【解答过程】由题意，数列满足，，
当n=1时，；当n=2时，；
当n=3时，；当n=4时，；
当n=5时，；当n=6时，，，
归纳可得数列构成以4为周期的周期数列，所以A正确，B正确；
又由，所以C正确；
因为，所以，所以D错误．
故选：ABC．
【变式9-2】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数，若数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．该数列是周期数列且周期为3 B．该数列不是周期数列
C． D．
【解题思路】根据函数的解析式，求出数列的前面的项，找到数列的项出现的规律，即可判断A，B；结合数列的项的规律求出，即可判断C，D.
【解答过程】由题意知，故；；
；；；
；……
∴数列从开始每3项，即重复出现，
但前2项和后面项并不重复，故数列并不是周期数列，A错误，B正确．
，
，C正确，D错误．
故选：BC．
【变式9-3】（2024·重庆长寿·模拟预测）已知是的前项和，，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
【解题思路】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误.
【解答过程】因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，D选项正确；
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误.
故选：AC.
【题型10 正负、奇偶讨论型求通项】
【例10】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列的前项和为且．
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式．
【解题思路】（1）根据的关系，化为，根据并项法求；
（2）由递推关系可得，据此分为奇数、偶数求通项公式，再合并即可得解.
【解答过程】（1）因为，
所以．
两式相减，得．
所以
；
（2）由（1）知①，
可得②，．
因为，
所以，又，
所以
又由①②得．
所以，即为偶数，
则当，且为奇数时，
，
又符合上式，综合得．
【变式10-1】（2024·河北沧州·三模）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
【解题思路】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解；
（2）对进行不等式放缩，即可证明不等式.
【解答过程】（1），，，
，两式相除，得，
当，时，，，即；
当，时，，，即，
综上所述，数列的通项公式为；
（2），
，
又，
.
【变式10-2】（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，求得，进而求得的通项公式；
（2）由（1）得到，当为奇数时，；当为偶数时，，结合，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.
【解答过程】（1）解：由，可得，所以，
又由，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
当时，，所以，
又当时，满足上式，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，，
所以
【变式10-3】（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）利用“比差等数列”的定义可得，令，则为常数列，
可得，可求的通项公式；
（2）分为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前项和.
【解答过程】（1）由为“比差等数列”，
得，
从而.
设，则，
所以数列为等差数列.
因为，
所以为常数列，
因此，，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，
因此.
（2）当为偶数时，
；
当为奇数时，.
综上，.
【题型11 双数列的通项问题】
【例11】（2024·重庆九龙坡·三模）已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求使取得最大值时的值.
【解题思路】（1）根据等差数列的通项及前项和公式求出首项与公差，即可求出数列的通项公式，再求出数列的首项与公比，即可得的通项公式；
（2）先求出的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
设等比数列的公比为，
则，解得，
所以；
（2）由（1）得，
则，
，
当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，取得最大值.
【变式11-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
【解题思路】（1）对，两边同时取对数，对分类讨论即可求出，由等差数列定义即可求出；
（2）令，解出即可得解.
【解答过程】（1），，
当时，，
当时，，即，
而，满足上式，
所以数列的通项公式为；
若数列满足，（，），
则，
从而数列的通项公式为；
（2）令，解得，这表明，
从而只能，
所以，
所以数列的通项公式为.
【变式11-2】（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
【解题思路】（1）根据等差数列定义可求得数列的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求出.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，
∵，，
∴，
∴.
∴.
设等比数列的公比为，
若选条件①，，
由，且，
得，
∴，解得.
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
故.
若选条件②，，
令，得，
∴公比，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列.
从而.
（2）因为，
所以，
两式相减，得，
即，
所以.
【变式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知为等差数列，前项和为，若，；数列满足：，.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的，将中落入区间内项的个数记为.
（i）求；
（ii）记，的前项和记为，是否存在，，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）的通项通过基本量法求解，的通项通过令，两式作商求解.
（2）（i）求出即可得出答案；
（ii）根据题意求出和的关系，在利用取值范围求出和.
【解答过程】（1），
所以，
①
当时，则②
①②得：，所以是公差为的等差数列，
当时有：，所以
（2）（i）
因为，所以，所以
（ii），把代入得：，
所以，，
所以
因为，，所以，
当时，（舍去），当时，（舍去），
当时，，所以存在，.
【题型12 特殊数列求通项】
【例12】（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列的前项和为，且满足.试求:
(1)数列的通项公式;
(2)记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数.
【解题思路】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用裂项求和求出，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答过程】（1）因为，
当时，，
当时，，
因为，
两式相减得，，
因为，所以，
所以，均为等差数列，，．
所以；
（2）由题意得，，
所以，
因为，
所以，
解得．所以满足条件的最小整数为9．
【变式12-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据公式求即可.
（2）由（1）知,根据通项公式规律,用错位相减来求即可.
【解答过程】（1）当时,,解出,又,则；
当时,由两式相减得,两边同时除以
即,即,
利用上述等式有,,
因此,即,,
当时,,满足,因此；
（2）由（1）可知,,则,
两边同时乘以得,,
错位相减得,
即
整理得，.
【变式12-2】（2024·山西·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解题思路】（1）首先利用作差法得到，再由作差可得；
（2）由（1）知，再利用分组求和法及裂项相消法计算可得.
【解答过程】（1）因为，
当时有，
两式相减得，所以，
当时，，所以，此时仍然成立，
所以，
当时，，
又也满足，
所以.
（2）由（1）知
，
所以.
【变式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正项数列中，已知，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
【解题思路】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等差数列，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）知，结合二项式定理，得到，再结合，结合等比数列的求和公式，即可得证.
【解答过程】（1）解：由，可得，
即，
因为，所以，
所以数列是首项为，公差为0的等差数列，
又因为，所以，所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，
则，当时，取等号，
因为，
所以，
所以．
一、单选题
1．（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用排除法，取特值检验即可.
【解答过程】对于选项A：因为，故A错误；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：检验可知对均成立，故D正确；
故选：D.
2．（2024·新疆喀什·模拟预测）若，则（ ）
A．55 B．56 C．45 D．46
【解题思路】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案.
【解答过程】由，
得，，
，，，
累加得，
，
当时，上式成立，
则，
所以.
故选：D.
3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
由，可得，然后利用累乘法可求得结果
【解答过程】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因为，所以，
因为满足上式，所以，
故选：B.
4．（23-24高二·全国·课后作业）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】依题意可得，即可得到是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；
【解答过程】解：∵，∴，
由，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，即．
故选：A.
5．（2024·广东茂名·一模）已知为正项数列的前项的乘积，且，则（ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【解题思路】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解.
【解答过程】由，得，于是，则，
两边取对数得，因此，数列是常数列，
则，即，所以，.
故选：B.
6．（2024·浙江·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据递推关系可证明为等差数列，即可求解.
【解答过程】，
所以，，所以为等差数列，且公差为1，首项为1，
故，即，
故选：B.
7．（2024·海南·模拟预测）已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用等差中项的性质及等比数列基本量的计算求通项公式即可.
【解答过程】设的公比为q，
则依题意有，
解方程得或（舍去），所以 .
故选：C.
8．（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）已知数列满足，，则的通项为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解题思路】先把，利用累加法和裂项相消法可求答案.
【解答过程】因为，所以，
则当，时，，
将个式子相加可得，
因为，则，
当时，符合上式，
所以，，，
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高二·全国·课后作业）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题设条件求得，从而判断AB；利用作差法，结合递推关系可得，进一步可得数列的通项公式，从而判断CD.
【解答过程】对于AB，因为数列满足，，
所以当时，，此时，故A正确，B错误；
对于CD，当时，，
两式相减，得，整理得，
又，，即当时，不满足上式，
所以是从第二项起首项为的常数列，
故当时，，则，
综上，，故C错误，D正确.
故选：AD．
10．（2024·全国·模拟预测）数列中，若存在最大值，则数列的通项可以是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据数列的单调性和正负变号的位置并结合的性质逐项分析即可.
【解答过程】对A，若，则，无最大值，所以A错误；
对B，若，则，，，，
所以当时，，又，，
所以当时，有最大值，所以B正确；
对C，若，则单调递减，
又，，，所以当时，有最大值，所以C正确；
对D，若，则，，，，所以当时，，
又，所以当或2时，有最大值，所以D正确．
故选：BCD．
11．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列满足，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．
【解题思路】根据递推公式分别求出和可判断A；将两边同时取倒数后配方，再适当放缩可得到，即可判断B；根据，再利用累加法可判断C；根据，再利用累乘法可求出即可判断D.
【解答过程】 ，，易知，，
对于A， ，，故A正确；
对于B， ， ，
，两边开方得，故B错误；
对于C，由B知，，即，
当时，
，
， ，
即，当且仅当时等号成立，
，故C正确；
对于D，由C知，，即，当且仅当时等号成立，
当时，
，
，故D错误.
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：，则该数列的通项可以表示为 （答案不唯一） .
【解题思路】观察数列前几项的特征，写出数列的一个通项即可.
【解答过程】因为，，，
，，，，
所以该数列的通项可以表示为.
故答案为：（答案不唯一）.
13．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，， 则该数列的通项公式为 ．
【解题思路】根据条件，得到，由等比数列的定义得到，再通过变形得到数列是以为首项，3为公差的等差数列，即可求出结果.
【解答过程】当时，，
又，所以数列是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，等式两边同时除以，得，
又，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，
所以，得到，
故答案为：.
14．（2024·广西南宁·一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【解题思路】对已知递推关系的等式两边同时除以，利用累加法，结合裂项求和法即可求得结果.
【解答过程】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二上·全国·课后作业）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．
(1)求的通项公式；
(2)88是否是数列中的项？
【解题思路】（1）将，代入到通项公式中，联立成方程组，求解出参数p，q，从而得出通项公式；
（2）令，解出的值，若为正整数，则是数列中的项；若不是正整数，则不是数列中的项.
【解答过程】（1）解：因为，，通项公式，
所以，
解得，，
所以；
（2）令，
解得，
因为，
所以88不是数列中的项.
16．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解题思路】（1）利用数列的和与项的关系构造①，② 两式，相减即得数列的通项；
（2）求出，将其裂项后，进行求和，消去中间项即得.
【解答过程】（1）当时，．依题意，①
当时，②．
①－②得，
所以．因时，该式也成立，
故的通项公式为．
（2）由（1）知，由可得
则 ．
17．（2024·陕西榆林·一模）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解题思路】
（1）利用和之间的关系式可得，再利用累乘即可求得的通项公式；
（2）写出数列的通项公式利用裂项求和即可得出结果.
【解答过程】（1）当时，，解得.
当时，由，得，
两式相减得，即，
利用累乘可得，
即，因为，所以；
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知，裂项可得，
则.
所以数列的前项和.
18．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【解题思路】（1）由是与的等差中项,可得，化简得，可得，作差可得，则可得的通项公式；
（2）由（1）得，，分组求，可得，可得，即可得证.
【解答过程】（1）由题意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是与的等差中项，得当时，
，解得，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
故.
（2）由（1）得，则
，
所以
，
所以，
所以.
19．（2024·四川内江·三模）已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【解题思路】（1）由已知结合等比数列的性质求解等差数列的首项，即可求解，由得，两式相减得，再验证，最后利用等比数列的定义求解即可.
（2）利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答过程】（1）依题意，设等差数列的首项为，因为，，成等比数列，
所以，又，即，解得，
故，
由已知，故，
两式相减，得，
又，解得，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
（2）由（1）得，
故，
则，
两式相减得
，
故.
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