专题6.5 数列求和【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 公式法】 3
【题型2 错位相减法求和】 5
【题型3 裂项相消法求和】 8
【题型4 分组（并项）法求和】 10
【题型5 倒序相加法求和】 13
【题型6 含有（-1）n的类型求和】 16
【题型7 奇偶项问题求和】 19
【题型8 先放缩再裂项求和】 21
【题型9 新定义、新情景下的数列求和】 25
1、数列求和
考点要求 真题统计 考情分析
(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式 (2)掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法 2023年新高考I卷：第20题，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分 2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分 2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分 2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分 数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列求和往往以解答题的形式考查，难度中等或稍难，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合，与不等式结合时“放缩”思想及方法尤为重要，需要灵活求解. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.
【知识点1 数列求和的几种常用方法】
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
.
②等比数列的前n项和公式：
=.
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5．倒序相加法
如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
【方法技巧与总结】
常用求和公式
(1).
(2).
(3).
(3).
【题型1 公式法】
【例1】（2024·四川达州·二模）等差数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)若为等比数列，，求通项公式.
【解题思路】（1）应用等差数列基本量运算得出，再求；
（2）应用等比数列通项公式基本量运算得出公比，再求通项即可.
【解答过程】（1）设等差数列公差为，.
（2）
数列公比为.
【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列的公差；
(2)求数列的前项和．
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由已知条件列方程求解；
（2）由数列的通项，公式法求前项和.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比数列，
有，解得或．
（2）由（1）因此数列的通项公式为或．
由于或，
由等比数列前项和公式得或．
【变式1-2】（2024·辽宁·一模）已知为数列的前n项和，满足，且成等比数列，当时，．
(1)求证：当时，成等差数列；
(2)求的前n项和．
【解题思路】(1)利用得到和的关系即可证明；
(2)结合(1)中结论得，求出和公比，得到通项公式，从而根据等差和等比数列前n项和公式即可求解．
【解答过程】（1）∵，
∴，，
两式相减，得，
即．
当时，，∴，
∴当时，成等差数列．
（2）由，解得或，
又成等比数列，
∴由(1)得，进而，
而，∴，从而，
∴，
∴．
【变式1-3】（2024·江西赣州·二模）已知数列满足，，，成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)记的前n项和为，证明：.
【解题思路】（1）由，，成等差数列可得：，利用两边同时除以，即可构造为，所以第一问就可以得证并计算通项；
（2）关键是对通项进行放缩成等比数列公式求和并证明，所以想到和，最后就能证明不等式成立.
【解答过程】（1）由，，成等差数列可得：，
因为，可得，所以两边同时除以得：，
上式可化为：
所以数列表示是以为首项，3为公比的等比数列
所以，即
（2）因为
所以
又因为
所以 ，
（当n＝1时等号成立），
综上可知：.
【题型2 错位相减法求和】
【例2】（2024·河南·三模）已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解题思路】（1）根据等差数列通项公式计算得出通项；
（2）应用错位相减法求出数列的和.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得，解得，
所以．
（2）设，
所以，
所以，
两式相减得，，
所以，所以．
【变式2-1】（2024·黑龙江牡丹江·一模）设，若数列的前项和为，且是与的等差中项；
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．
【解题思路】（1）依题意可得，在根据，作差得到，结合等比数列的定义计算可得；
（2）依题意可得，则，再利用错位相减法计算可得.
【解答过程】（1）因为是与的等差中项，可得，
当时，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
即为，
可得数列是首项和公比均为的等比数列，
所以；
（2）若是以为首项，为公差的等差数列，
则，
可得，
数列的前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得．
【变式2-2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据公式求即可.
（2）由（1）知,根据通项公式规律,用错位相减来求即可.
【解答过程】（1）当时,,解出,又,则；
当时,由两式相减得,两边同时除以
即,即,
利用上述等式有,,
因此,即,,
当时,,满足,因此；
（2）由（1）可知,,则,
两边同时乘以得,,
错位相减得,
即
整理得，.
【变式2-3】（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)的前n项和，求证：．
【解题思路】（1）记数列的公差为，数列的公比为，根据已知列方程组求解即可；
（2）根据错位相减法求和，记，判断其单调性即可得证.
【解答过程】（1）记数列的公差为，数列的公比为，，
由题知，，解得，所以.
由，解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可知，
则，
，
两式相减得，
所以，
记，则，
所以单调递减，所以，且，
所以，即.
【题型3 裂项相消法求和】
【例3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前n项和.
【解题思路】（1）利用等差数列的定义即可证明；
（2）根据（1）问，求出数列的通项公式，从而求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式，最后利用裂项相消求和法求得
【解答过程】（1）证明：令，又，则有
，
又，所以
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知，，
又，所以，
所以，
所以
.
【变式3-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项的和．
【解题思路】（1）先求，再利用“退位法”可求数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法可求.
【解答过程】（1）由是首项与公差均为1的等差数列得
则，当时，，
两式相减得，，
当时，，也满足上式，故数列的通项公式为．
（2）由（1）得，，
所以数列的前2024项的和为：
【变式3-2】（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设，记数列的前项和为，证明:.
【解题思路】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，代入到中即可求解，
（2）利用裂项求和即可求解.
【解答过程】（1）由得，，
点在函数的图象上，
（2）,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则，
.
【变式3-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
(1)求数列的公差；
(2)若，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）设出公差，根据为等差，得到，求出公差；
（2）得到，裂项相消法求和，得到答案.
【解答过程】（1）设数列的公差为d，则．
因为是等差数列，所以为常数．
，
所以，解得
（2）因为，所以．
，
故．
【题型4 分组（并项）法求和】
【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
【解题思路】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式；
（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出.
【解答过程】（1）因为为等差数列，设公差为d，
由，得，即，
由，，成等比数列得，，
化简得，因为，所以．
所以．
综上．
（2）由知，，
又为公比是3的等比数列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
综上.
【变式4-1】（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解题思路】（1）依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得.
【解答过程】（1）因为，，
所以，解得或，
因为，所以，则；
（2）由（1）可得，
所以
.
【变式4-2】（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
【解题思路】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式；
（2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出.
【解答过程】（1）因为为等差数列，且与的等差中项为5，
所以，解得，
因为，
所以，解得，
因为，所以，
所以，
故数列的通项公式为；
（2）由题知，
即
所以
，
故数列的前20项和为.
【变式4-3】（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．
【解题思路】（1）设数列公差，由条件列出方程，求解后运用等差数列基本量运算即得；
（2）求出数列的通项公式，根据其形式结构进行拆项和裂项，利用分组求和法与裂项求和法即可求得.
【解答过程】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，
解得或，当时，；当时，
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知，则
，
所以，
即.
【题型5 倒序相加法求和】
【例5】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
【解题思路】（1）由题意得，再利用可求出，
（2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果.
【解答过程】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，即，
当时，
，
因为满足上式，
所以；
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以
①，
又
②，
①+②，得，
所以.
【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【解题思路】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式.
（2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；.
（3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解.
【解答过程】（1）由数列满足：，
当时，可得，
两式相减，可得，所以，
当，可得，所以，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由数列满足，
则 .
（3）由（2）知，
可得，
则，
两式相加可得，所以.
【变式5-2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求数列的前99项的和的值．
【解题思路】（1）利用数列的前项和，求通项；
（2）根据（1）的结果，利用错位相减法求和；
（3）观察数列的形式，求得，再利用倒序相加法求和.
【解答过程】（1）由 ①
得 ②
①－②得：，
在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有：
（2），
两式相减得：
整理得：
（3），
所以
所以，为定值，则
且，两式相加得，因此.
【变式5-3】（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.
(1)求证为定值；
(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
【解题思路】（1）由函数的解析式得出的表达式，化简后可得为定值；
（2）由于，可得，即，倒序相加可得.
【解答过程】（1）证明：由于函数，
则，
所以.
（2）由（1）可知，，
则，其中为正整数，，
即，且，
所以，其中为正整数，，
且，
，①
变化前项顺序后，可得：，②
①②得：，
因此.
【题型6 含有（-1）n的类型求和】
【例6】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前100项的和.
【解题思路】（1）根据作差得到，从而得到，结合等差数列的定义计算可得；
（2）由（1）可得，记，则，利用并项求和法计算可得.
【解答过程】（1）由， ，
两式相减得，即，
因为，所以，即，
故是首项为，公差为的等差数列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
记，则，
.
【变式6-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解题思路】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可；
（2）由，利用分组求和法求解.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，解得，所以或．
又因为，所以，所以，
故，．
（2），
．
【变式6-2】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
【解题思路】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比及首项即可.
（2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得.
【解答过程】（1）设等比数列的公比为，由及，
得，
解得，于是，即，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
【变式6-3】（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解题思路】（1）根据题意，化简得到，得出数列为等差数列，求得，进而求得的通项公式；
（2）由（1）得到，当为奇数时，；当为偶数时，，结合，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.
【解答过程】（1）解：由，可得，所以，
又由，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
当时，，所以，
又当时，满足上式，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可知当为奇数时，；
当为偶数时，，
所以
【题型7 奇偶项问题求和】
【例7】（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题思路】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【解答过程】（1）设的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
【变式7-1】（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且．
(1)证明：是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【解题思路】（1）借助与的关系计算可得，结合等差数列定义即可得；
（2）计算出通项公式后，可得，结合分组求和法，借助等差数列求和公式与等比数列求和公式计算即可得.
【解答过程】（1）当时，，则．
因为，所以当时，，
两式相减得，即，
因为，所以，即，
故是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）知，，所以，
故
.
【变式7-2】（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解题思路】（1）利用递推公式可证得数列是等差数列，可求出数列的通项；利用等比数列的性质，可求出通项；
（2）根据裂项相消和分组求和法求解即可；
【解答过程】（1）由题设，当时或（舍），
由，知，
两式相减得，
（舍）或，即，
∴数列是首项为2，公差为2的等差数列，．
又．
（2）
则
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
所以.
【变式7-3】（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【解题思路】（1）根据等差数列定义可得，利用与之间关系可证得数列通的项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【解答过程】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以，即，
所以，即，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
（2）由（1）知
则
所以数列的前项和为.
【题型8 先放缩再裂项求和】
【例8】（2024·福建厦门·二模）已知数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，证明：.
【解题思路】（1）依题意可得，再两边取倒数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，则，利用放缩法得到，再利用裂项相消法求和即可得证；
【解答过程】解：（1）因为，所以，
因为，所以﹐
所以
所以
又因为.所以是以1为首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，
所以
即，
【变式8-1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，．
（1）求证为等比数列；
（2）求证：．
【解题思路】（1）由已知得，即，可证明是等比数列；
（2）有（1）知，即，合理利用放缩然后利用裂项相消可得证明.
【解答过程】证明：（1）∵数列的前n项和为，，，∴，
∴，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列．
（2）∵是以为首项，以4为公比的等比数列，∴，∴．∴．
，，所以，
当时，
∴
．
综上所述，．
【变式8-2】（23-24高一下·四川眉山·期末）已知数列满足，，令，设数列前n项和为．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设正项数列满足，求证：．
【解题思路】（1）根据等差数列的定义证明；（2）根据裂项相消法计算求解；（3）求出通项公式，然后根据放缩法证明.
【解答过程】（1）因为，所以数列为等差数列，首项为1，公差为2；
（2）由（1）问可知；故；
所以 ．
所以存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，
即存在，使不等式成立，所以；
因为，
当且仅当，即时取得等号；
综上：实数的取值范围是：；
（3）因为，所以，所以，即；
因为；
所以；
∴
；
综上：原不等式得证．
【变式8-3】（2024·广东惠州·一模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，…，构成等比数列，求证：；
(3)记，求证：．
【解题思路】（1）根据题意即可写出的一个值；（首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可）
（2）由题意知，，，，，结合，，…，构成等比数列，可推出是完全平方数，继而可得，由此可知，，…，为，，，，求得即可；
（3）由题意知，，，， ，从而可得，采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论．
【解答过程】（1）（1）当 时，正整数的4个正约数构成等比数列，
如1，2，4，8为8的所有正约数，即；
或1，3，9，27为27的所有正约数，即；
或1，5，25，125为125的所有正约数，即；
（首项为1，公比为质数的等比数列的第四项均可）
（2）由题意可知，，，且，
因为，，…，构成等比数列，不妨设其公比为，
则，所以，
化简得：，所以，
又因为，所以，所以公比，
所以，
又因为，，所以，
又因为，所以；
（3）由题意知，，，， ，
所以，
因为，，，
所以 ，
因为，，所以
所以，即．
【题型9 新定义、新情景下的数列求和】
【例9】（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为，求证：；
(2)若，求其生成数列的前项和．
【解题思路】（1）由“生成数列”的定义证明即可；
（2）由分组求和求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知，
所以，因此，
即是单调递增数列，且，
由“生成数列”的定义可得．
（2）当时，．
，又，
，
当时，．
设数列的前项和为．则．
当时，
又符合上式，所以．
【变式9-1】（2024·重庆·模拟预测）对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“函数”．
(1)试写出“函数” ，并求的值；
(2)若“函数” ，求n的最大值；
(3)记函数，其导函数为，证明：“函数” ．
【解题思路】结合新定义可得，结合等差数列及叠加法可求得；（1）代入即可求解；（2）代入，结合分组求和及应用导数求最值即可（3）由 ，结合导数的运算即可求解.
【解答过程】（1）由定义及．知，
所以是公差为m的等差数列，所以．
因为，所以，
所以，即．
当时，有，
，
……
，
所以，
即．
（1）当时，，
所以“函数” ．
当时，．
（2）当时，，
故“函数”
．
由，得．
令，则，
所以在上单调递增．
因为．所以当时，，所以当时，，
故n的最大值为5．
（3）证明：由题意得
由，得，
所以，所以，
所以.
【变式9-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是斐波那契数列，其数值为： .这一数列以如下递推的方法定义： .数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.
(1)已知数列满足 .判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列的前项和为 ，
（i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立.
【解题思路】（1）由已知可得可得由定义可得结论；
（2）当时，，（i）由已知可得存在正整数使得成立，当时，可求得，当时，可得，方程无解，可得结论；
（ii）法一：当时，易得，计算可得，由（1）可得，，利用错位相减法可得 ，可证结论成立；法二：同法一可得，，两边同乘以，可求得，可证结论.
【解答过程】（1）存在，理由如下：
由已知得，，，
即
对，当正整数时，存在，使得成立，
即数列为“阶可分拆数列”；
（2），
当时，，
当时，，
（i）若数列为“阶可分拆数列”，则存在正整数使得成立，
当时，，即，解得，
当时，，即，
因，所以，又，
故方程无解.
综上所述，符合条件的实数a的值为.
（ii）方法一：
证明：，
当时，，
，
，
由（i）知，所以，
①，
②，
由①-②可得
，
，
，
，
当且时， 成立.
方法二：
证明：，
当时，，
，
，
由（i）知，所以，
①，
②，
③，
由①②③可得
，
，
当且时， 成立.
【变式9-3】（2024·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）．
(1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式；
(2)若阶等差数列的通项公式．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求数列的前项和．
附：．
【解题思路】（1）根据阶等差数列的定义，分别求出一阶差分数列和二阶差分数列，发现二阶差分数列为常熟列，即可得出，即，得到为等差数列，求得，即，然后用累加法即可求解；
（2）（ⅰ）根据阶等差数列的定义，从一阶差分数列、二阶差分数列、三阶差分数列…依次往下求，当出现常数列时为止，即可确定为r的值；（ⅰⅰ）结合二项式定理将转化为了，然后利用裂项相消求和与分组求和的方法即可得解.
【解答过程】（1）数列的一阶差分数列为，
二阶差分数列为，为非零常数列，
所以，即，且，
所以数列是首项为1、公差为4的等差数列，
所以，即，且，
所以当时，
，
当时，，也满足上式，
综上，数列的通项公式为．
（2）（ⅰ），所以，
，
所以，
所以，
所以数列是4阶等差数列，即．
（ⅱ）
，
所以，
又
，
所以
．
一、单选题
1．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意结合等差数列的性质求解即可，或根据题意利用等差数列的通项公式化简，再化简即可.
【解答过程】因为，所以，所以．
因为，所以．
另解：设等差数列的公差为，
由，得，
所以，即，得，
所以，
因为，
，
，
，
所以
故选：A．
2．（2024·四川内江·模拟预测）在数列中，已知，，则它的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可得，运用数列的恒等式可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
【解答过程】解：由，
可得，
所以当时，，
又，
所以，
所以．
故选：D．
3．（2024·湖北·模拟预测）已知是各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】由已知得及，代入问题化简计算即可．
【解答过程】由题设易知，公比，设，
从而由得，，
由得，，
则，
故选：D．
4．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
【解题思路】由等比数列的性质可得，由，可得，故有，即可计算.
【解答过程】由数列是公比为q（）的正项等比数列，故，
，故，
即有，
由，则当时，
有，
故，
故 ，
故.
故选：D.
5．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得.
【解答过程】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
记的前n项和为，则.
故选：A.
6．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A． B． C．49 D．149
【解题思路】由与的关系，结合等差数列的通项公式求得，即可得到，再由并项求和法计算可得．
【解答过程】因为，
当时，，
即，
可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，
所以，当时也成立，
所以，
可得数列的前项之和为．
故选：B．
7．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用递推关系求出，再利用裂项相消法求和即可得出答案.
【解答过程】当时，，
当时，
，
，
两式相减可得：，所以，
又时，，所以不满足，
所以，设，数列的前项和，
所以，
设数列的前5项和为：
.
故选：D.
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
【解题思路】根据等差数列的定义求出，再根据新定义对分情况求出，再求和可得答案.
【解答过程】因为，
所以，可得是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，因为数列的各项均为正数，
所以，因为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，
则 .
故选：C.
二、多选题
9．（2023·山东日照·模拟预测）已知数列中，则（ ）
A．的前10项和为
B．的前100项和为100
C．的前项和
D．的最小项为
【解题思路】A.由，利用错位相减法求解判断；B.由，利用幷项求和判断；C.由 ，利用裂项相消法求解判断；D. 由，利用对勾函数的性质求解判断.
【解答过程】A.易知，则 ，
，
，
两式相减得 ，
，
，
，则 ，故错误；
B. 易知，则其前100项和为，故正确；
C. ，故正确；
D. 易知，令，则，当且仅当，即，时，等号成立，而，当时，，当时，，所以的最小项为，故错误；
故选：BC.
10．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先由等差数列的条件求得通项公式，进而求得，，可判断AC，再根据，的正负情况判断BD.
【解答过程】设等差数列的公差为，则，，
，因为是与的等比中项，所以，
即，解得或，又因为，所以，
所以，故A正确；
，
令，则，又因为，所以，此时，
即只有时，且，除此之外，
所以成立，故B正确；
，故C错误；
因为只有时，，除此之外，所以的最小值为，
又时，，所以的最大值为，
所以成立，故D正确.
故选：ABD.
11．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．
C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为
【解题思路】由等差数列的性质和前n项和公式可求出，可判断A；由等差数列的前n项和公式可判断B；由裂项相消法可判断C；由分组求和法可判断D.
【解答过程】对于A，设等差数列的首项和公差为，
所以，化简可得：，
又因为，则，
所以，所以，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，
所以数列的前n项和为，故C错误；
对于D，令，
所以数列的前n项和为：
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则 105 .
【解题思路】根据等比中项的性质得到方程，即可求出公差，再根据等差数列求和公式计算可得.
【解答过程】等差数列中， ，是与的等比中项，设公差为，
所以，即，
解得或（不合题意，舍去）；
所以．
故答案为：．
13．（2024·四川·三模）在数列中，已知，，则数列的前2024项和
．
【解题思路】由，得到，利用累乘法得到数列的通项公式，再用裂项相消，即可求解.
【解答过程】因为，所以，
所以，
因此，
故答案为：.
14．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
【解题思路】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解.
【解答过程】设等差数列的公差为．由，得①，
由得②，
联立①②，，解得，
所以．
则，
所以
．
故答案为：.
四、解答题
15．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
【解题思路】(1)根据题意及，整理可得，即可得证；
(2)根据(1)中可求出分类讨论求出的通项公式，再根据等比数列前n项和可求得.
【解答过程】（1）因为，又，
所以，整理得．
由题意得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故，
即．
（2）由（1）可，
当时，，
当时，，
所以，
.
当，代入满足公式，
综上，.
16．（2024·四川内江·三模）已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【解题思路】（1）由已知结合等比数列的性质求解等差数列的首项，即可求解，由得，两式相减得，再验证，最后利用等比数列的定义求解即可.
（2）利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答过程】（1）依题意，设等差数列的首项为，因为，，成等比数列，
所以，又，即，解得，
故，
由已知，故，
两式相减，得，
又，解得，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.
（2）由（1）得，
故，
则，
两式相减得
，
故.
17．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前10项和.
【解题思路】（1）先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式；
（2）先根据第（1）题的结果计算出的表达式，进一步计算出数列的通项公式并进行转化，最后运用裂项相消法即可计算出数列的前10项和.
【解答过程】（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
.
（2）由（1）可得，，
则 ，
数列的前10项和为：
.
18．（2024·山东聊城·二模）已知数列满足为常数，若为等差数列，且．
(1)求的值及的通项公式；
(2)求的前项和．
【解题思路】（1）设等差数列的公差为，结合等差数列的性质可得方程组，解出即可得；
（2）由题意可得，借助分组求和法计算即可得解.
【解答过程】（1）由题意知，
因为，所以,
设等差数列的公差为，则，
解得，所以，
所以的值为的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以
．
所以的前项和．
19．（2024·天津河北·二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记，求证：.
【解题思路】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出；
（2）利用错位相减法求出；
（3）利用放缩法求和可得答案.
【解答过程】（1）由题意，
，
又是和的等比中项，得，
又，解得，
；
（2），
设，
则，
将以上两式相减得
，
；
（3）
，
，
.
结论得证.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题6.5 数列求和【九大题型】
【新高考专用】
【题型1 公式法】 3
【题型2 错位相减法求和】 4
【题型3 裂项相消法求和】 5
【题型4 分组（并项）法求和】 6
【题型5 倒序相加法求和】 7
【题型6 含有（-1）n的类型求和】 8
【题型7 奇偶项问题求和】 9
【题型8 先放缩再裂项求和】 11
【题型9 新定义、新情景下的数列求和】 12
1、数列求和
考点要求 真题统计 考情分析
(1)熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式 (2)掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法 2023年新高考I卷：第20题，12分 2023年新高考Ⅱ卷：第18题，12分 2023年全国甲卷（理数）：第17题，12分 2024年新高考Ⅱ卷：第12题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第17题，12分 2024年全国甲卷（理数）：第18题，12分 数列是高考的热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列求和往往以解答题的形式考查，难度中等或稍难，往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合，与不等式结合时“放缩”思想及方法尤为重要，需要灵活求解. 去年高考压轴题中出现数列的新定义、新情景题，综合性强，难度大，需要灵活求解.
【知识点1 数列求和的几种常用方法】
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.
①等差数列的前n项和公式：
.
②等比数列的前n项和公式：
=.
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
5．倒序相加法
如果一个数列{}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
【方法技巧与总结】
常用求和公式
(1).
(2).
(3).
(3).
【题型1 公式法】
【例1】（2024·四川达州·二模）等差数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)若为等比数列，，求通项公式.
【变式1-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列的公差；
(2)求数列的前项和．
【变式1-2】（2024·辽宁·一模）已知为数列的前n项和，满足，且成等比数列，当时，．
(1)求证：当时，成等差数列；
(2)求的前n项和．
【变式1-3】（2024·江西赣州·二模）已知数列满足，，，成等差数列.
(1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)记的前n项和为，证明：.
【题型2 错位相减法求和】
【例2】（2024·河南·三模）已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【变式2-1】（2024·黑龙江牡丹江·一模）设，若数列的前项和为，且是与的等差中项；
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．
【变式2-2】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式；
(2)若,求数列的前项和.
【变式2-3】（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)的前n项和，求证：．
【题型3 裂项相消法求和】
【例3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求的前n项和.
【变式3-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）记为数列的前n项和，是首项与公差均为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前2024项的和．
【变式3-2】（2024·福建龙岩·三模）若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设，记数列的前项和为，证明:.
【变式3-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且也是等差数列．
(1)求数列的公差；
(2)若，求数列的前n项和．
【题型4 分组（并项）法求和】
【例4】（2024·浙江·模拟预测）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和．
【变式4-1】（2024·山西·三模）已知等差数列的公差，前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式4-2】（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前20项和.
【变式4-3】（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．
【题型5 倒序相加法求和】
【例5】（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前2024项和.
【变式5-1】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【变式5-2】（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求数列的前99项的和的值．
【变式5-3】（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.
(1)求证为定值；
(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
【题型6 含有（-1）n的类型求和】
【例6】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，对任意，有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前100项的和.
【变式6-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式6-2】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
【变式6-3】（2024·陕西安康·模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【题型7 奇偶项问题求和】
【例7】（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式7-1】（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且．
(1)证明：是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【变式7-2】（2024·福建泉州·二模）已知数列和的各项均为正，且，是公比3的等比数列．数列的前n项和满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式7-3】（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
【题型8 先放缩再裂项求和】
【例8】（2024·福建厦门·二模）已知数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，证明：.
【变式8-1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，．
（1）求证为等比数列；
（2）求证：．
【变式8-2】（23-24高一下·四川眉山·期末）已知数列满足，，令，设数列前n项和为．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设正项数列满足，求证：．
【变式8-3】（2024·广东惠州·一模）约数，又称因数．它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，记为，，…，，（）．
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若，，…，构成等比数列，求证：；
(3)记，求证：．
【题型9 新定义、新情景下的数列求和】
【例9】（2024·陕西·三模）数列的前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令，并将数列称为的“生成数列”．
(1)设数列的“生成数列”为，求证：；
(2)若，求其生成数列的前项和．
【变式9-1】（2024·重庆·模拟预测）对于数列，定义，满足，记，称为由数列生成的“函数”．
(1)试写出“函数” ，并求的值；
(2)若“函数” ，求n的最大值；
(3)记函数，其导函数为，证明：“函数” ．
【变式9-2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列是斐波那契数列，其数值为： .这一数列以如下递推的方法定义： .数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.
(1)已知数列满足 .判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列的前项和为 ，
（i）若数列为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列满足，，其前项和为.证明：当且时，成立.
【变式9-3】（2024·江西·模拟预测）我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究，即“垛积术”．对于数列，①，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，②，称该数列②为数列①的一阶差分数列，其中；对于数列②，从第二项起，每一项与它前面相邻一项的差构成数列，③，称该数列③为数列①的二阶差分数列，其中按照上述办法，第次得到数列，④，则称数列④为数列①的阶差分数列，其中，若数列的阶差分数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列（或高阶等差数列）．
(1)若高阶等差数列为，求数列的通项公式；
(2)若阶等差数列的通项公式．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求数列的前项和．
附：．
一、单选题
1．（2024·新疆·二模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川内江·模拟预测）在数列中，已知，，则它的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北·模拟预测）已知是各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
5．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A． B． C．49 D．149
7．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．615 B．620 C．625 D．630
二、多选题
9．（2023·山东日照·模拟预测）已知数列中，则（ ）
A．的前10项和为
B．的前100项和为100
C．的前项和
D．的最小项为
10．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．
C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为
三、填空题
12．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则 .
13．（2024·四川·三模）在数列中，已知，，则数列的前2024项和
．
14．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ．
四、解答题
15．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
16．（2024·四川内江·三模）已知等差数列的公差为4，且，，成等比数列，数列的前n项和为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
17．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前10项和.
18．（2024·山东聊城·二模）已知数列满足为常数，若为等差数列，且．
(1)求的值及的通项公式；
(2)求的前项和．
19．（2024·天津河北·二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记，求证：.
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