专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 空间几何体的结构特征】 5
【题型2 空间几何体的表面积】 6
【题型3 空间几何体的体积】 7
【题型4 斜二测画法及其应用】 8
【题型5 最短路径问题】 9
【题型6 空间几何体的截面问题】 9
1、基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
考点要求 真题统计 考情分析
(1)认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运简单物体的结构 (2)知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题 (3)能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图 2023年新高考I卷：第12题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第14题，12分 2023年全国乙卷（理数）：第8题，5分 2024年新高考I卷：第5题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第14题，5分、（理数）：第14题，5分 立体几何是高考的热点内容.空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，难度中等；在复习时，要加强几何体表面积和体积的解题训练.
【知识点1 空间几何体的结构特征】
1．多面体的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D'
结构特征 (1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形.
分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
2．旋转体的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O
结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴
的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
3．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
【知识点2 斜二测画法和展开图的常用结论】
1．斜二测画法的常用结论：
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：.
2．几何体的表面展开图的常用结论：
几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.
【知识点3 简单几何体的表面积与体积】
1．多面体的侧面积、表面积和体积
多面体 图形 侧面积与表面积 体积
棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形，
S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)，
S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高)
棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧=Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高)
棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧=(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
旋转体 图形 侧面积与表面积 体积
圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积
S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，
表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)
球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积
【知识点4 最短路径问题】
1．最短路径问题的解题策略
(1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面.
(2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解.
【知识点5 空间几何体表面积与体积的常见求法】
1．常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
2．求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
【方法技巧与总结】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).
2．直观图与原平面图形面积间的关系：，.
【题型1 空间几何体的结构特征】
【例1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（ ）
A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
【变式1-1】（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【变式1-2】（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【变式1-3】（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有4个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【题型2 空间几何体的表面积】
【例2】（2024·河南濮阳·模拟预测）正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A．8 B．12 C．24 D．48
【变式2-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2024·重庆·模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现．如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 空间几何体的体积】
【例3】（2024·山东菏泽·模拟预测）菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·天津河西·三模）如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5
【变式3-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 斜二测画法及其应用】
【例4】（2024·四川成都·模拟预测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）
A． B． C．24 D．48
【变式4-1】（2024·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24高一下·湖北黄冈·期末）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．8 D．10
【变式4-3】（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴， 轴，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【题型5 最短路径问题】
【例5】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高三下·河北衡水·阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（ ）
A．12 B．13 C． D．15
【变式5-2】（23-24高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式5-3】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A． B．3 C． D．
【题型6 空间几何体的截面问题】
【例6】（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【变式6-2】（2024·海南·模拟预测）当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ）
A． B．2 C． D．4
2．（2024·四川达州·二模）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
3．（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东·二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
5．（2024·河南驻马店·二模）已知某正六棱柱的体积为，其外接球体积为，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·贵州·模拟预测）为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
10．（2024·全国·模拟预测）已知球O是正三棱锥的外接球，，点E在线段上，且．过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）
A．π B． C． D．
11．（2024·山东·模拟预测）如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该四棱台的侧面积为
C．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
D．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点，则其爬行的最短路程为
三、填空题
12．（2024·浙江·三模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为 .
13．（2023·辽宁锦州·模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 ．
14．（2024·新疆·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，到平面的距离为5，与间的距离为10，则这个羡除的体积 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是多少？
16．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图.
(1)画出它的原图形；
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
17．（2024·全国·模拟预测）已知在正四面体中，棱的中点分别为．
(1)若，求的面积；
(2)平面将正四面体划分成两部分，求这两部分的体积之比．
18．（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12．
(1)求圆锥的母线长；
(2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值．
19．（2023·河南安阳·模拟预测）九章算术商功“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．
(1)在下左图中画出阳马和鳖臑不写过程，并用字母表示出来，求阳马和鳖臑的体积比；
(2)若，，在右图中，求三棱锥的高．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 空间几何体的结构特征】 5
【题型2 空间几何体的表面积】 7
【题型3 空间几何体的体积】 9
【题型4 斜二测画法及其应用】 11
【题型5 最短路径问题】 14
【题型6 空间几何体的截面问题】 17
1、基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
考点要求 真题统计 考情分析
(1)认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运简单物体的结构 (2)知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题 (3)能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图 2023年新高考I卷：第12题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第14题，12分 2023年全国乙卷（理数）：第8题，5分 2024年新高考I卷：第5题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第14题，5分、（理数）：第14题，5分 立体几何是高考的热点内容.空间几何体的结构特征与斜二测画法是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考的重点与热点，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，难度中等；在复习时，要加强几何体表面积和体积的解题训练.
【知识点1 空间几何体的结构特征】
1．多面体的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D'
结构特征 (1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形.
分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
2．旋转体的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O
结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴
的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
3．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
【知识点2 斜二测画法和展开图的常用结论】
1．斜二测画法的常用结论：
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：.
2．几何体的表面展开图的常用结论：
几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.
【知识点3 简单几何体的表面积与体积】
1．多面体的侧面积、表面积和体积
多面体 图形 侧面积与表面积 体积
棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形，
S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)，
S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高)
棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧=Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高)
棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧=(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
旋转体 图形 侧面积与表面积 体积
圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积
S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高)
圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，
表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)
球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积
【知识点4 最短路径问题】
1．最短路径问题的解题策略
(1)解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面.
(2)方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解.
【知识点5 空间几何体表面积与体积的常见求法】
1．常见的求几何体体积的方法
(1)公式法：直接代入公式求解.
(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
2．求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
【方法技巧与总结】
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).
2．直观图与原平面图形面积间的关系：，.
【题型1 空间几何体的结构特征】
【例1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（ ）
A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
【解题思路】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义分析CD，综合可得答案．
【解答过程】根据题意，依次分析选项：
对于A，如图：
在三棱锥中，有，，
该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误；
对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等，
该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误；
对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确；
对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误．
故选：C．
【变式1-1】（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【解题思路】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D.
【解答过程】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误；
对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误；
对于C，由棱柱的定义知，C正确；
对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误.
故选：C.
【变式1-2】（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【解题思路】设母线长为，根据题意得到，即可求解．
【解答过程】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为．
故选：D.
【变式1-3】（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有4个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
【解题思路】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可.
【解答过程】正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，A错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，B正确，；
有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，C错误；
用一个平面去截棱锥，必须是平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，D错误.
故选：B.
【题型2 空间几何体的表面积】
【例2】（2024·河南濮阳·模拟预测）正四棱台中，上底面边长为2，下底面边长为4，若侧面与底面所成的二面角为60°，则该正四棱台的侧面积为（ ）
A．8 B．12 C．24 D．48
【解题思路】做正四棱台的截面，先求斜高，再求侧面积.
【解答过程】如图：
取棱的中点，作截面，则、为正四棱台的斜高.
在等腰梯形中，易知，，，所以 .
所以四棱台的侧面积为：.
故选：C.
【变式2-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长，进而可求圆锥的侧面积.
【解答过程】设为圆锥高，为圆锥母线长
以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则，
在中，，可得，
且，则，解得，
所以圆锥的侧面积为.
故选：C.
【变式2-2】（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据轨迹的长度求出棱长，利用四棱柱的表面积公式可求答案.
【解答过程】设棱长为，延长，过点作垂直于的延长线于，
由，可得；
由直四棱柱的性质可得，平面，所以；
因为，所以.
在平面内，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆夹在四边形内的部分，即图中圆弧.
因为，所以，
因为点的轨迹长度为，所以，即.
四棱柱的表面积为.
故选：A.
【变式2-3】（2024·重庆·模拟预测）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现．如图，是一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而可求出陀螺的表面积
【解答过程】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为（），
故选：B.
【题型3 空间几何体的体积】
【例3】（2024·山东菏泽·模拟预测）菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐（如图）的高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成（如图），圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据圆台体积公式求解.
【解答过程】根据题意，.
故选：B.
【变式3-1】（2024·天津河西·三模）如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ）
A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5
【解题思路】根据割补法结合棱台的体积公式，即可求得答案.
【解答过程】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V，
则，
因为E，F分别为AB，AC的中点，故,
结合题意可知几何体为棱台，
则，
故,故，
故选：D.
【变式3-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）某圆台的下底面周长是上底面周长的4倍，母线长为10，该圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则由题意可得，再由圆台的侧面积列方程可求出，从而可求出上下底面面积和圆台的高，进而可求出台的体积.
【解答过程】设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，则，故，
因为该圆台的侧面积为，母线长，
所以，解得，则，
所以圆台上底面的面积为，下底面的面积为，
圆台的高
所以该圆台的体积．
故选：C．
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知轴截面为正三角形的圆锥，被平行于底面的平面所截，截得的上、下两个几何体的表面积分别为，，体积分别为，，若，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】作出圆锥的轴截面，设出大小圆锥的底面圆半径，表示出母线长，利用代入化简得到，计算得到的值.
【解答过程】
如图，作出圆锥的轴截面，设截得的圆锥的底面圆半径为，原圆锥的底面圆半径为．
因为轴截面是正三角形，所以母线长为，原圆锥的母线长为，
则截得的圆台的母线长为．因为，即，解得，
于是， ，所以.
故选：A．
【题型4 斜二测画法及其应用】
【例4】（2024·四川成都·模拟预测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（ ）
A． B． C．24 D．48
【解题思路】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.
【解答过程】由直观图可得如下平面图形：
其中，，，轴，且，
所以.
故选：D.
【变式4-1】（2024·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据斜二测画法的知识确定正确答案.
【解答过程】正三角形的高为，
根据斜二测画法的知识可知，
直观图的面积为.
故选：B.
【变式4-2】（23-24高一下·湖北黄冈·期末）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C．8 D．10
【解题思路】根据斜二测画法的原则进行求解即可.
【解答过程】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故选：D.
【变式4-3】（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴， 轴，则四边形的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【解题思路】结合图形可得，则可得四边形面积，后可得四边形的面积.
【解答过程】设轴与交点为D，因轴，轴，则，
又轴，则四边形为平行四边形，故.
又，结合A′B′⊥x′轴，则，故.
则四边形面积为，
因四边形面积是四边形的面积的倍，
则四边形OABC的面积为.
故选：B.
【题型5 最短路径问题】
【例5】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可.
【解答过程】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，
设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为，
则，所以.
故选：B.
【变式5-1】（23-24高三下·河北衡水·阶段练习）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（ ）
A．12 B．13 C． D．15
【解题思路】由条件将三棱柱的侧面展开，根据两点间距离最短求最小值.
【解答过程】将正三棱柱沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示，
在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.
由已知求得矩形的长等于,宽等于5,由勾股定理.
故选:C.
【变式5-2】（23-24高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解题思路】利用展开方法，以为基准，将和翻折使其与共面，然后利用余弦定理求解.
【解答过程】点M在线段上运动，即动线段在内运动，
动线段在内运动，动线段在内运动，
以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示：
其中翻折至，翻折至，
的周长等于,最小值等于
在四边形，，
由余弦定理可求得，
所以，
故的周长最小值等于，
故选：B.
【变式5-3】（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（ ）
A． B．3 C． D．
【解题思路】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可.
【解答过程】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，
一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为，
设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为，
所以，
在中，由，得，
故选：D.
【题型6 空间几何体的截面问题】
【例6】（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可.
【解答过程】如图，
设球的半径为，线段的中点为，因为，
所以，解得，
设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离，
则，要截面面积最小，则要最小，即要最大，
因为当为点到的距离时最大，此时，又，
所以，
所以，
故截面面积的最小值为．
故选：A.
【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【解题思路】连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，
过点作交于点，连接，即可得到截面图形，从而得解.
【解答过程】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，
过点作交于点，连接，
则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形.
其中因为，，，
所以，则，所以，
又，所以，所以，
则，
显然，则，所以.
故选：C.
【变式6-2】（2024·海南·模拟预测）当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角与飞机的速度、音速满足关系式.若一架飞机以2倍音速沿直线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作出半轴截面，解直角三角形得底面圆半径，进而即可得解.
【解答过程】如图所示：
该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆圆心为，为马赫锥的母线，
由题意，
而是锐角，所以，
又，所以，
该飞机形成的马赫锥在距离顶点处的截面圆面积为.
故选：B.
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）在正方体中，E，F分别为棱，的中点，过直线EF的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意可求得正方体的外接球球心位置，易知当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外接球的半径，当截面与OP垂直时，截面面积最小；分别求出对应的半径大小即可得出结果.
【解答过程】如图，正方体的外接球球心在其中心点处，设该正方体的棱长为，
则外接球的半径，
要使过直线EF的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段EF的中点，
连接OE，OF，OP，则，
，
所以，
此时截面圆的半径．
显然当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外接球的半径；
所以．
故选：D．
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，其中是的中点，且轴， 轴， ，那么（ ）
A． B．2 C． D．4
【解题思路】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.
【解答过程】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，
其中，，，
原平面图形的面积为.
故选：D．
2．（2024·四川达州·二模）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
【解题思路】根据点在、以及三个特殊位置时，截面图形的形状，选出正确选项.
【解答过程】B选项，当点与重合时，
取中点，因为是中点，则，且，
连接，则四边形为平行四边形，
又因为，所以平行四边形为矩形，故排除B选项；
C选项，当点与重合时，
取中点，因为是的中点，所以，
连接，截面四边形为梯形，故排除C选项；
D选项，当点为中点时，
因为是中点，所以且，
连接，则四边形是平行四边形，
又因为，，
因为是正方体，所以，所以，
所以平行四边形是菱形，故排除D选项；
不管点在什么位置，都不可能是三角形.
故选：A.
3．（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解.
【解答过程】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为，
由题意可得：，解得，
所以该圆台的高为.
故选：C.
4．（2024·山东·二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【解题思路】由圆锥的三视图结合条件可得.
【解答过程】由圆锥的三视图可知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥.
故选：D．
5．（2024·河南驻马店·二模）已知某正六棱柱的体积为，其外接球体积为，若该六棱柱的高为整数，则其表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正六棱柱的体积及外接球的体积列方程求解得出边长及高最后求出表面积即可.
【解答过程】设该正六棱柱的底面边长为，高为，其外接球的半径为，易知，则①，
且②，
联立①②，因为，解得，
所以正六棱柱的表面积.
故选：D.
6．（2024·四川资阳·二模）已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据球的体积公式，结合球的截面的性质进行求解即可.
【解答过程】设球O的半径为R，则，解得.
因为点A到球心O的距离为3，
所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为，
则所求截面面积的最小值为.
故选：C.
7．（2024·贵州·模拟预测）为了美化广场环境，县政府计划定购一批石墩．已知这批石墩可以看作是一个圆台和一个圆柱拼接而成，其轴截面如下图所示，其中，，则该石墩的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】过点作于，根据条件，求出圆台的高，再利用圆台与圆柱的体积公式，即可求出结果.
【解答过程】如图，过点作于，
因为，，所以，，
所以圆台的体积为，
又圆柱的体积为，
所以该石墩的体积为，
故选：D.
8．（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得.
【解答过程】
设的中点为，连接（不与点重合），，，，
所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图，
在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，
在中利用余弦定理可得，
所以的周长的最小值为．
故选：B．
二、多选题
9．（2024·河南郑州·模拟预测）下列说法中，错误的为（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥．
【解题思路】对于A，根据棱锥的定义分析判断，对于B，根据棱台的定义分析判断，对于C，根据正三棱锥的定义分析判断，对于D，根据正六棱锥的定义分析判断.
【解答过程】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥，
而有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所以A错误，
对于B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点，所以B错误，
对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误，
对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确，
故选：ABC.
10．（2024·全国·模拟预测）已知球O是正三棱锥的外接球，，点E在线段上，且．过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）
A．π B． C． D．
【解题思路】首先根据几何关系确定外接球的半径，再根据点的位置，求，即可确定球心到平面距离的范围，即可求解.
【解答过程】如图，作平面，是等边的中心，O是正三棱锥外接球的球心，点在上，连结，
连结交于点，，
设该球半径为，则．
由可得，
在中，,解得，
因为，，所以，所以，
在中，,所以，
设球心O到过点E的截面圆的距离为d,可知，
截面圆半径，
所以截面圆的面积的取值范围为，
故选：BCD．
11．（2024·山东·模拟预测）如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略不计，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．该四棱台的侧面积为
C．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面
D．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点，则其爬行的最短路程为
【解题思路】由勾股定理即可判断A，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B，做出轴截面图形代入计算，即可判断C，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D
【解答过程】
对于A，由题意可得，故A错误；
对于B，梯形的高为，
所以梯形的面积为，
梯形的高为，
所以梯形的面积为，
故该四棱台的侧面积为，故B正确；
对于C，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，
球恰好与面、面、面均相切，
过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，
较长的底边上的底角的正切值为，则，
由于互补，故，
则，所以（负值舍），从而球的半径为，
所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C错误；
对于D，将平面与平面展开至同一平面，
如图（2），则，
将平面与平面展开至同一平面，如图（3），
则，
所以最短路程为，故D正确．
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·浙江·三模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为 3 .
【解题思路】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可.
【解答过程】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ，
设母线长为，高为.
则，解得.
如图所示圆台的轴截面，
在中，，
由勾股定理得：圆台的高.
故答案为：3.
13．（2023·辽宁锦州·模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图如图所示，，，，轴，，为的三等分点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 ．
【解题思路】先由直观图还原梯形，再利用斜二测画法的性质求得其边与高，从而判断得该梯形为等腰梯形，进而利用圆台与圆锥的体积公式求解即可.
【解答过程】在直观图中，，所以在还原图中，，如图，
在直观图中，，为的三等分点，
所以在还原图中，，D为OA的三等分点，
又在直观图中，轴，
所以在还原图中，轴，则，
所以，则，
故，，所以四边形OABC是等腰梯形，
所以四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，
即．
故答案为：.
14．（2024·新疆·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体．如图所示，四边形，，均为等腰梯形，，，，，到平面的距离为5，与间的距离为10，则这个羡除的体积 200 ．
【解题思路】先连线再根据棱锥体积公式计算组合体体积即可.
【解答过程】
连接
.
故答案为：200.
四、解答题
15．（23-24高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是多少？
【解题思路】分别将矩形绕着展开到，将矩形绕着展开到，将矩形绕着展开到，依次计算,再取其最小值即得.
【解答过程】
依题意，长方体的表面有三种展开形式：
如图1，把矩形绕着展开到，与共面时，，
如图2，把矩形绕着展开到，与共面时，，
如图3，把矩形绕着展开到，与共面时，，
因，故小虫爬行的最短路程是.
16．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图.
(1)画出它的原图形；
(2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积.
【解题思路】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得；
（2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积.
【解答过程】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即，
在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点作轴，并使，
连接，，则即为原来的图形，如图②所示：
（2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高，
且，
在直观图中作于点，
则的面积，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原图形中边上的高为，原图形的面积为.
17．（2024·全国·模拟预测）已知在正四面体中，棱的中点分别为．
(1)若，求的面积；
(2)平面将正四面体划分成两部分，求这两部分的体积之比．
【解题思路】（1）利用三角形中位线及勾股定理计算即可；
（2）利用割补法、等体积法、相似的性质计算即可.
【解答过程】（1）
如图所示，由三角形中位线得，
则，
由勾股定理，在边上的高为，
所以.
（2）
如图所示取中点，连接，
显然平面截正四面体形成的其中一部分可由四个四面体：，组成，
易知正四面体与正四面体相似，故，
由题意及中位线性质可知，
且，
所以四面体：，的体积均相等，故，
所以两部分的体积之比为1．
18．（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12．
(1)求圆锥的母线长；
(2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值．
【解题思路】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长；
（2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值.
【解答过程】（1）因为轴截面的面积为，解得，
所以圆锥的母线长为.
（2）取的中点，连接，则，
可得，则，
当且仅当，等号成立，此时，
所以截面面积的最大值.
19．（2023·河南安阳·模拟预测）九章算术商功“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．
(1)在下左图中画出阳马和鳖臑不写过程，并用字母表示出来，求阳马和鳖臑的体积比；
(2)若，，在右图中，求三棱锥的高．
【解题思路】（1）根据题意作图即可，根据棱锥的体积公式即可求得答案；
（2）根据等体积法，计算，结合即可求得答案.
【解答过程】（1）
依题意阳马是四棱锥，
设，，，
则，
鳖臑是三棱锥，
则，
所以阳马和鳖臑的体积比为2．
（2）由题意得，
故，
则，设三棱锥的高为h，
即，
所以．
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