专题10.5 古典概型、概率的基本性质【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 古典概型】 3
【题型2 有放回与无放回问题的概率】 4
【题型3 概率基本性质的应用】 6
【题型4 几何概型】 7
【题型5 古典概型与函数的交汇问题】 10
【题型6 古典概型与向量的交汇问题】 12
【题型7 古典概型与数列的交汇问题】 14
【题型8 古典概型与统计综合】 16
1、古典概型、概率的基本性质
考点要求 真题统计 考情分析
(1)掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率 (2)了解概率的基本性质，能计算简单随机事件的概率 2022年新高考全国I卷：第5题，5分 2023年全国乙卷（文数）：第9题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第4题，5分 2024年新高考I卷：第14题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第4题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第16题，5分 古典概型、概率的基本性质是概率的基础内容，从近几年的高考情况来看，本节是高考的热点内容，主要考查古典概型及其计算、概率的基本性质等，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；在解答题中出现时，往往古典概型会与统计等知识结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，学会灵活求解.
【知识点1 古典概型及其解题策略】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.
4．古典概型与统计结合
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
【知识点2 概率的基本性质】
1．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B).
性质5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）.
2．复杂事件概率的求解策略
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.
【方法技巧与总结】
1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.
【题型1 古典概型】
【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用列举法结合古典概型分析求解.
【解答过程】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，
总共包含， 这10个基本事件，
抽到的2张卡片上的数都是奇数包含其中这3个基本事件，
所以抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为.
故选：D.
【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【解题思路】求出所有的样本点，然后由古典概型的概率公式求解即可.
【解答过程】2个a和3个b随机排成一行的样本空间为:
，共个样本点，
其中2个a不相邻的样本点有，共个，
所以所求概率为：.
故选：C.
【变式1-2】（2024·西藏拉萨·二模）从这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】列举所有的基本事件，再找到满足和为偶数的基本事件，根据概率公式计算即可.
【解答过程】从这5个数字中任取3个，有10种不同的结果：
，
其中取出3个数字的和为大于10的偶数的结果有6个：，
所以所求概率.
故选：D.
【变式1-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】列出所有可能情况种数及对应颜色为一白一黑的情况种数计算即可得.
【解答过程】设这五个球中白球为，红球分别为、，黑球分别为、，
则从袋中任取两球，有、、、、、、、、
、共十种可能，其中一白一黑有、共两种可能，
所以一白一黑的概率．
故选：B.
【题型2 有放回与无放回问题的概率】
【例2】（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由古典概率公式求解．
【解答过程】由于抽取两次是不放回的，且盒子里有2个奇数球，2个偶数球，
则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为：，
故选：D.
【变式2-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用列举法，根据古典概型概率公式即得．
【解答过程】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种结果，
其中数字之和为3的倍数的有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5种结果，
故抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为.
故选：B.
【变式2-2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.
【解答过程】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A，
则事件A共包含以下10种情况：
，
而有放回的连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，
则
故选：D.
【变式2-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．
【解答过程】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有，，，，，，，，，共9种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率；
故选：A．
【题型3 概率基本性质的应用】
【例3】（2024·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.
【解答过程】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，
则，，且.
因为A，B，C两两互斥，
所以.
故选：C.
【变式3-1】（24-25高二上·吉林·阶段练习）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用和事件的概率公式求出，然后利用求解即可.
【解答过程】因为，，所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
【变式3-2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可.
【解答过程】因为，，故，，
因为与为互斥事件，故，
又，
所以有，
故，故.
故选：A.
【变式3-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知，，，四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关则1，4号灯就会亮，只要打开开关则2，3号灯就会亮，只要打开开关则3，4号灯就会亮，只要打开开关则2，4号灯就会亮.开始时，，，，四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开，，，这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据古典概型以及对立事件的概率关系列式计算可得解.
【解答过程】由题意，随意打开A，B，C，D这四个开关中的两个不同的开关，共有种，
其中只有打开开关时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮，
所以2号灯灯亮的概率为.
故选：D.
【题型4 几何概型】
【例4】（2024·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设小正方形边长为1，求出大正方形的边长，以及黑色平行四边形的底和高，再结合几何概型公式求解.
【解答过程】设小正方形边长为1，可得黑色平行四边形底为，高为；
黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为，即大正方形边长为，
故种子落入黑色平行四边形区域的概率为．
故选：A.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正六边形的顶点是正六边形的对角线的交点.在正六边形内部任取一点，则该点取自正六边形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出的长，再分别求出正六边形和正六边形的面积，再根据几何概型的面积比即可求得结论.
【解答过程】设正六边形的边长为1，在正六边形中，，
则易得，所以，
，
，
所以所求概率为.
故选：C.
【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知 道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出正六边形的面积和内切圆的面积，由几何概型的公式代入即可得出答案.
【解答过程】设正六边形的边长为2，则正六边形的面积为，
而其内切圆的半径，则圆的面积为，
由几何概型得.
故选：C.
【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，圆是正三角形的内切圆，则在内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用等面积法求出正三角形的边长与其内切圆半径的关系，再利用几何概型求解即可.
【解答过程】设正三角形的边长为，内切圆的半径为，
由，
得，所以，
所以，
内切圆得面积，
所以阴影部分得面积为，
所以该点取自阴影部分的概率为.
故选：D.
【题型5 古典概型与函数的交汇问题】
【例5】（2024·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先列出满足函数的图象与轴有交点的基本事件,再找出符合函数为偶函数的基本事件,最后根据古典概型的概率公式计算可得.
【解答过程】解：函数的图象与轴有交点，则，
则满足该条件的有：，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，
共有个满足函数的图象与轴有交点的条件；
函数为偶函数，只需是奇函数，即，所以．
函数为偶函数：有，，共个．
所以则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率．
故选：D．
【变式5-1】（23-24高二上·山东菏泽·开学考试）已知集合，，，则函数有零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先得到共有种情况，再得到符合要求的情况个数，相除得到答案.
【解答过程】中，均有4种选择，共种情况，
当时，无零点，
当时，有零点，
当时，时，有零点，
若，则满足要求，
若，则满足要求，
故共有6种情况，满足要求，
所以函数有零点的概率为.
故选：C.
【变式5-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上是增函数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知、，由二次函数的单调性得出，求出所有的基本事件数，并确定事件“”所包含的事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果.
【解答过程】由题意可知，、，
若函数在上是增函数，则，即.
以代表一个基本事件，所有的基本事件数为个，
满足的基本事件有：、、、、、、、、，共个，
由古典概型的概率公式可知，所求概率为.
故选：B.
【变式5-3】（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先利用对数函数的定义和二次函数的知识求得函数f(x)定义域为R的充分必要条件，进而用列举法求得数组(a,b)的总组数和满足定义域为R的条件的组数，求得所求概率.
【解答过程】由题意知
又因为，
所以数形成的数组有，共36种情况，
其中，
，
共17种情况满足，
所以所求概率
故选：C.
【题型6 古典概型与向量的交汇问题】
【例6】（2024·安徽黄山·一模）从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出组成向量的个数和与向量垂直的向量个数，计算所求的概率值．
【解答过程】解：从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，
可以组成向量的个数是（个；
其中与向量垂直的向量是和，共2个；
故所求的概率为．
故选：B．
【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据古典概型列出向量的所有可能，由与的夹角为锐角找出所有符合题意的向量，即可求得其概率.
【解答过程】向量与向量夹角为锐角等价于且与不同向，
即，且；
易知共有16个，分别是，
，
满足条件的为共4个，
故所求的概率为，
故选：B．
【变式6-2】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出基本事件的个数，然后求解满足向量的个数，结合古典概率的求解公式可求.
【解答过程】解：从集合中随机地取一个数，中随机地取一个数，共有12种取法，
当向量与向量，，故或共2种取法，
则所求概率.
故选：D.
【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案.
【解答过程】由可得，，
所以.
因为为钝角，所以，且不共线，
所以，即，且.
当时，有且，所以可取1，3，4，5，6；
当时，有，可取3，4，5，6；
当时，有，可取5，6；
当，，时，，此时无解.
综上所述，满足条件的有11种可能.
又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，
所以为钝角的概率
故选：D.
【题型7 古典概型与数列的交汇问题】
【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）记数列的前n项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为a，在数集中随机抽取一个数作为b，则满足的概率为( )
A． B． C． D．
【解题思路】将配方，恒成立等价于是的最小值，根据常数函数和二次函数性质，结合古典概型概率计算方法即可求解.
【解答过程】由已知得，
如果，则，满足，概率为，
如果，则是的最小值，根据二次函数性质可知，a＞0，故，此时概率为，
∴的概率为，
故选：D．
【变式7-1】（23-24高三上·河南许昌·阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由斐波那契数列中偶数出现的周期性求前2021项中偶数的个数，再由古典概型概率求法求概率即可.
【解答过程】由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而，
∴前2021项中有个偶数，故从该数列的前2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为.
故选：B.
【变式7-2】（2024·北京·模拟预测）斐波那契数列因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题中给出的递推公式，求出数列的前12项，然后找出其中是奇数的个数，由古典概型的概率公式求解即可．
【解答过程】解：由题意可知“兔子数列”满足，，
所以该数列前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
其中是奇数的有：1，1，3，5，13，21，55，89，
故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为．
故选：C.
【变式7-3】（2024·江苏·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则（ ）
A．
B．
C．
D．.
【解题思路】由已知得数列的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列的偶数项为，即偶数项为负数，当时， ，由此判断A选项；
将代入，求得；将代入，求得；将代入，求得；将代入，求得，再运用作差比较法，可判断得选项.
【解答过程】解：因为数列的通项公式为，所以数列的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列的偶数项为，即偶数项为负数，
又数列的前项中，任取两项都是正数的概率为，
当时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为，故A正确；
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
将代入，数列的前项中，有个正数，个负数，任取两项都是正数的概率为，
所以，所以，故B正确；
，所以，故C错误；
，
所以，故D错误，
故选：AB.
【题型8 古典概型与统计综合】
【例8】（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率．
【解题思路】（1）根据评分在的游客人数为18和总人数为50得到，利用频率之和为1得到方程，求出；
（2）根据分层抽样的方法得到评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在的情况，求出概率.
【解答过程】（1）由题知，，
，解得．
（2）由题知，抽取的50名游客中满意度评分在的人数为，
满意度评分在的人数为，
抽取的5人中，满意度评分在的人数为2，设为，满意度评分在的人数为3，设为，
从5人中随机抽取2人的不同取法为，，共有10种不同取法，
设“2人中恰有1人的满意度评分在”为事件，
则事件包含的取法为，，共有6种不同取法．
．
【变式8-1】（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．
时长
学生人数 50 100 200 125 25
(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率．
【解题思路】（1）利用频率分布表估算平均数即可得解.
（2）求出两个指定区间内的人数，利用列举法求出概率.
【解答过程】（1）依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数
，
所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49．
（2）抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人，
记内的2人为A，B，记内的4人为，
从这6人中随机选2人的基本事件有：
，共15种，
其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，共9种，
设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，则．
【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
(1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；
②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率.
(2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；
②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长；
【解题思路】（1）利用图形的面积算出对应频率，乘以样本容量40即可得相应频数；先用分层抽样，再用超几何分布概率公式即可求出事件的概率；
（2）由百分位数的定义结合频率分布直方图即可求出；利用第10名就是40名同学的25%，从而可以利用第25百分位数估计其学习时长，
【解答过程】（1）①由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为，
则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为人．
②由图可知，则40名学生中周末的学习时间在的人数为人，
则40名学生中周末的学习时间在的人数为人，
从中用分层抽样抽取6人，即周末的学习时间在的有4人，周末的学习时间在的有2人，再从中选派3人接受检测，
设检测的3人来自同一区间的事件为A，则;
（2）①学习时间在5小时以下的频率为，
学习时间在10小时以下的频率为，
所以25%分位数在区间内，则，
所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时．
②第10名是40名同学的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名同学的学习时长为8.75小时．
【变式8-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数．
参考公式：，（是第组的频率），
参考数据：
【解题思路】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求得抽到的高三学生的人数，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得，结合，求得相应的概率，即可求解.
【解答过程】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，
所以抽取的200名学生的平均成绩．
（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
这7个人中，不是高三学生设为，其中3个高三学生设为，
从7人中抽取2人，共有：，，共有21种抽法，
其中这2人都是高三学生为：，共有3种抽法，
由古典概型得，这2人都是高三学生的概率为．
（3）依题意，由方差的计算公式，可得：
，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为，
因为，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人．
一、单选题
1．（2024·贵州·模拟预测）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析求出所有的基本事件，然后由古典概型的计算公式求解即可.
【解答过程】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，
每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红2，白红1），
则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1），
所以由古典概型的公式得概率为：.
故选：A.
2．（2024·陕西西安·一模）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】首先将5个1和2个0随机排成一行，求出总的排放方法，再利用插空法求出2个0相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算即可.
【解答过程】将5个1和2个0随机排成一行，总的排放方法有种，
要使2个0相邻，利用插空法，5个1有6个位置可以放两个0，
故排放方法有种，
所以所求概率为，
故选：D.
3．（2024·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
【解题思路】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案.
【解答过程】由题意，事件为：两个点数都为奇数，
由概率指的是事件的对立事件的概率，
则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
4．（2024·四川乐山·三模）在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用，可求有两个零点的的范围，进而可求概率.
【解答过程】因为函数存在两个不同零点，
所以有两个不同的根，
所以，解得或，
在区间上任取一个整数，共有16种取法，
能使使函数存在两个不同零点的取法有13种，
所以使函数存在两个不同零点的概率为.
故选：C.
5．（2024·四川内江·三模）口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【解答过程】记两个标有数字的小球分别为、，两个标有数字的小球分别为、，
两个标有数字的小球分别为、，
从中任取两个小球可能结果有，，，，，，，，
，，，，，，共种情况，
其中满足两个小球上的数字之和大于的有，，，，共种情况，
所以两个小球上的数字之和大于的概率.
故选：A.
6．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解．
【解答过程】当时，，得（舍），
当时，，得，
当时，，得（舍），
，
从1，2，3，5，4中任取2个数结果:
共10种，
符合题意，共4种，
所以概率为．
故选：A．
7．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到个面有颜色的小正方体的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
【解答过程】一共有个小正方体，
其中个面有颜色的小正方体有个，（每条棱上有个）
所以恰好抽到个面有颜色的小正方体的概率为.
故选：C.
8．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分第一次从袋中摸出个白球，一次从袋中摸出个黑球两种情况可求解.
【解答过程】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为，
若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为，
故两次摸到的小球颜色不同的概率为.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·甘肃武威·模拟预测）某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．
其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（ ）
A．该公司四个季度的销售额先增长再下降
B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为
C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为
D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为
【解题思路】根据题意和饼状图，可求出第一、二、三、四季度销售额，按照试验“任选两个季度的销售额”列举出所有的基本事件，分别就各选项中的事件，利用古典概型概率公式求解即得.
【解答过程】对于A项，由题意可得第一、二、三、四季度销售额分别为100万、200万、400万、300万元，故A正确；
对于B项，任选的两个季度的销售额，可以为，，，，，，其6种情况，
这两个季度的销售额均大于250万的只有一种情况，则概率为，故B正确；
对于C项，这两个季度销售额的和大于500万的有，共2种情况，故概率为，即C错误；
对于D项，这两个季度销售额差的绝对值小于250万的有 共5种情况，故概率为，即D错误．
故选：AB.
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（ ）
A． B．事件B与事件C是互斥事件
C． D．
【解题思路】由已知先列举出事件A，B，C包含的基本事件，然后结合互斥事件的概念及古典概率公式检验各选项即可判断.
【解答过程】解：由题意可得，事件A包含的取球颜色为{(红，红)，(绿，绿)}，
事件B包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)}，事件C包含的取球颜色为{(红，红) ，(红，绿)}，
则，选项A错误；
，选项B错误；
事件AB包含的取球颜色为{(红，红)}，
，选项C正确；
事件B+C包含的取球颜色为{(红，红) ，(绿，红)，(红，绿)}，
，选项D正确.
故选：CD.
11．（2024·广东梅州·一模）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】画出树状图，结合图形及古典概型逐项分析判断.
【解答过程】画出树状图，结合图形
结合树状图可知：，
对于选项A：可知，故A正确；
对于选项B： 均有，故B正确；
对于选项C：因为，不经过数字5的路线有9条，所以，故C正确；
对于选项D：因为，所以，故D错误；
故选：ABC.
三、填空题
12．（2024·重庆·模拟预测）袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ．
【解题思路】根据对立事件的概率之间的关系，求概率.
【解答过程】记“甲、乙、丙三人都抽到蓝色球”为事件A，“甲、乙、丙三人至少有一人抽到红色球”为事件B，则事件为对立事件.
因为，所以，即至少有一人抽到红色球的概率为．
故答案为：.
13．（2024·江苏·模拟预测）某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为 ．
【解题思路】先根据捆绑法和分步计数乘法原理求得总分法的种数，再结合古典概型概率公式即可求解.
【解答过程】先将4名同学中的2名同学看作一组，选法有种，另外两组各1人，分配到三个社区，
则总分法有种，
其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有种，
则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为．
故答案为：.
14．（2024·四川自贡·二模）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则 .
【解题思路】通过计算三个半圆的面积，表示阴影部分的面积，利用几何概型的概率计算公式即可得出答案.
【解答过程】解：阴影部分面积为：
由图可知：，所以
则，
因为在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，
所以，
，即，则
解得： ，因为，
所以.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个与Ⅰ同心的圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ的概率分别为，及．求不命中靶的概率．
【解题思路】利用概率的加法公式和对立事件的概率公式即可求解.
【解答过程】设射手命中圆面I为事件，命中圆环Ⅱ为事件，命中圆环Ⅲ为事件，不中靶为事件，
则，，，且、、两两互斥，
所以射手中靶的概率为．
因为中靶和不中靶是对立事件，
所以不命中靶的概率.
16．（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲 乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲 乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲 乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.
(1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；
(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.
【解题思路】（1）列举法列出前三个问题回答的甲乙所有得分情况，利用古典概型即可求解；
（2）分别求出甲同学连续回答了三次问题且获胜的三种情况的概率，再用概率的加法公式求解即可.
【解答过程】（1）设“甲回答问题且得分”为事件，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题且得分”为事件，“乙回答问题但对方得分”为事件.
记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件.
前三个问题回答的情况有8种：，
其中事件只包含了1种情况，即，
所以，
即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为.
（2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件.
由（1）可得，.
即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为.
17．（2024·陕西榆林·二模）甲 乙参加一次有奖竞猜活动，活动有两个方案.方案一：从装有编号为的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，若抽取的小球的编号均为偶数，则获奖.方案二：电脑可以从内随机生成一个随机的实数，参赛者点击一下即可获得电脑生成的随机数，若，则获奖.已知甲选用了方案二参赛，乙选用了方案一参赛.
(1)求甲获奖的概率.
(2)试问甲 乙两人谁获奖的概率更大？说明你的理由.
【解题思路】
（1）根据题意，由几何概型的概率计算公式，即可得到结果；
（2）根据题意，计算甲获奖的概率与乙比较，即可得到结果.
【解答过程】（1）由，得，
所以由几何概型可知，甲获奖的概率为.
（2）从装有编号为的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，
所有的抽取情况为，
，共15种情况，
其中，均为偶数的有3种，所以乙获奖的概率为.
因为，所以甲获奖的概率更大.
18．（2024·全国·模拟预测）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI 不低于4
拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵
某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：
(1)从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；
(2)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI低的概率.
【解题思路】（1）应用古典概型计算即可；
（2）应用列举法及古典概型计算即可.
【解答过程】（1）根据统计数据可得2024年元旦及其前后7天中，共有3天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”，
若7天中任取1天，则这天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.
（2）根据统计数据得2024年元旦及其前后7天中，交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数共有3天，记作A，B，C，其余4天记作a，b，c，d，
从7天中任取2天含有的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个；
其中都比2023年同日TPI低包含的基本事件有，，，，，，共6个，
故所求概率为.
19．（2024·陕西商洛·模拟预测）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这500名学生健康指数的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现从体质健康指数在区间和内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率.
【解题思路】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解.
（2）先分层抽样求出区间和内的抽取的学生人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可.
【解答过程】（1）由频率分布直方图平均数计算公式得.
（2）区间和内两组学生分别有人，人，
故按照分层抽样抽得区间内的学生人数为4，分别设为，，，，
区间内的学生人数为1，设为，
这5人中选出3人，所有情况有，，，，，，，，，，共有10种情况，
其中选出的恰有2人体质健康指数在区间内有，，，，，共6种情况，
故这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10.5 古典概型、概率的基本性质【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 古典概型】 3
【题型2 有放回与无放回问题的概率】 3
【题型3 概率基本性质的应用】 4
【题型4 几何概型】 4
【题型5 古典概型与函数的交汇问题】 6
【题型6 古典概型与向量的交汇问题】 6
【题型7 古典概型与数列的交汇问题】 7
【题型8 古典概型与统计综合】 8
1、古典概型、概率的基本性质
考点要求 真题统计 考情分析
(1)掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率 (2)了解概率的基本性质，能计算简单随机事件的概率 2022年新高考全国I卷：第5题，5分 2023年全国乙卷（文数）：第9题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第4题，5分 2024年新高考I卷：第14题，5分 2024年全国甲卷（文数）：第4题，5分 2024年全国甲卷（理数）：第16题，5分 古典概型、概率的基本性质是概率的基础内容，从近几年的高考情况来看，本节是高考的热点内容，主要考查古典概型及其计算、概率的基本性质等，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；在解答题中出现时，往往古典概型会与统计等知识结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，学会灵活求解.
【知识点1 古典概型及其解题策略】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.
4．古典概型与统计结合
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
【知识点2 概率的基本性质】
1．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B).
性质5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）.
2．复杂事件概率的求解策略
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.
【方法技巧与总结】
1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.
【题型1 古典概型】
【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【变式1-2】（2024·西藏拉萨·二模）从这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 有放回与无放回问题的概率】
【例2】（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 概率基本性质的应用】
【例3】（2024·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（24-25高二上·吉林·阶段练习）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知，，，四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关则1，4号灯就会亮，只要打开开关则2，3号灯就会亮，只要打开开关则3，4号灯就会亮，只要打开开关则2，4号灯就会亮.开始时，，，，四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开，，，这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 几何概型】
【例4】（2024·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正六边形的顶点是正六边形的对角线的交点.在正六边形内部任取一点，则该点取自正六边形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知 道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，圆是正三角形的内切圆，则在内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 古典概型与函数的交汇问题】
【例5】（2024·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高二上·山东菏泽·开学考试）已知集合，，，则函数有零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上是增函数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型6 古典概型与向量的交汇问题】
【例6】（2024·安徽黄山·一模）从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知，若向量，则向量与向量夹角为锐角的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 古典概型与数列的交汇问题】
【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）记数列的前n项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为a，在数集中随机抽取一个数作为b，则满足的概率为( )
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24高三上·河南许昌·阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是，其中，.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2024·北京·模拟预测）斐波那契数列因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·江苏·一模）若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则（ ）
A．
B．
C．
D．.
【题型8 古典概型与统计综合】
【例8】（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18．
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率．
【变式8-1】（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．
时长
学生人数 50 100 200 125 25
(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率．
【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
(1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；
②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率.
(2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；
②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长；
【变式8-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．
(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数．
参考公式：，（是第组的频率），
参考数据：
一、单选题
1．（2024·贵州·模拟预测）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·一模）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A．两个点数都是偶数 B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数 D．至多有一个点数是奇数
4．（2024·四川乐山·三模）在区间上任取一个整数，则使函数存在两个不同零点的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川内江·三模）口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到个面有颜色的小正方体的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·甘肃武威·模拟预测）某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．
其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（ ）
A．该公司四个季度的销售额先增长再下降
B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为
C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为
D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（ ）
A． B．事件B与事件C是互斥事件
C． D．
11．（2024·广东梅州·一模）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·重庆·模拟预测）袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ．
13．（2024·江苏·模拟预测）某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为 ．
14．（2024·四川自贡·二模）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为，，，半径分别为，，（其中），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为，则 .
四、解答题
15．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个与Ⅰ同心的圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ的概率分别为，及．求不命中靶的概率．
16．（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲 乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲 乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲 乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.
(1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；
(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.
17．（2024·陕西榆林·二模）甲 乙参加一次有奖竞猜活动，活动有两个方案.方案一：从装有编号为的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，若抽取的小球的编号均为偶数，则获奖.方案二：电脑可以从内随机生成一个随机的实数，参赛者点击一下即可获得电脑生成的随机数，若，则获奖.已知甲选用了方案二参赛，乙选用了方案一参赛.
(1)求甲获奖的概率.
(2)试问甲 乙两人谁获奖的概率更大？说明你的理由.
18．（2024·全国·模拟预测）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：
TPI 不低于4
拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵
某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：
(1)从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；
(2)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI低的概率.
19．（2024·陕西商洛·模拟预测）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这500名学生健康指数的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现从体质健康指数在区间和内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间内的概率.
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