专题10.2 排列与组合【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 排列数的化简、计算与证明】 3
【题型2 组合数的化简、计算与证明】 4
【题型3 全排列问题】 4
【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 5
【题型5 相邻问题的排列问题】 6
【题型6 不相邻排列问题】 6
【题型7 组合计数问题】 7
【题型8 定序问题】 7
【题型9 分组分配问题】 8
【题型10 涂色问题】 8
【题型11 排列组合综合】 9
1、排列与组合
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解排列、组合的概念 (2)能利用排列组合解决简单的实际问题 2022年新高考全国I卷：第5题，5分 2022年新高考全国Ⅱ卷：第5题，5分 2023年新高考I卷：第13题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第3题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第7题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第9题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第14题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第4题，5分 从近几年的高考情况来看，排列组合是高考的热点内容，每年高考都有考查，多以选择题、填空题的形式出现，主要考查排列组合的基本方法，特殊元素、相邻与不相邻问题以及分组分配等内容，难度不大；有时会与两个计数原理、概率等知识结合考查，需要灵活求解.
【知识点1 排列与组合】
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m（m≤n,n,m∈）个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合
2．排列数与组合数
(1)排列数定义
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号表示.
(2)组合数
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数，用符号表示.
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)排列数公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.
(2)组合数公式
①连乘表示：
==.
这里，n,m∈，并且mn.
②阶乘表示：=.
规定：=1.
(3)组合数的性质
①性质1：=
②性质2：=+
【知识点2 排列、组合常见问题的分类与解题策略】
1．排列应用问题的分类与解法
(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在
实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的
内部排列.
(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空档中.
(4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二
是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可.
(5)间接法：正面分类太多从反面入手.
(6)多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究.
2．组合问题的分类与解法
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个
关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
3．分组分配问题
(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.
(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则
分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数
原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
【方法技巧与总结】
1．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部。
(9)构造模型.
(10)正难则反，等价转化.
【题型1 排列数的化简、计算与证明】
【例1】（2024·全国·模拟预测）下列数中，与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2024·山东·模拟预测）若集合{是质数}，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（ ）
A． B． C． D．
【题型2 组合数的化简、计算与证明】
【例2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）化简式子：的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·浙江温州·模拟预测），求 的值为 （ ）
A．922 B．923 C．924 D．925
【变式2-3】（2024·山东聊城·三模）设正项数列的前项和满足表示从个不同元素中任取个元素的组合数，则（ ）
A．512 B．1024 C．5120 D．10240
【题型3 全排列问题】
【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）某大楼安装了6个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮1种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这6个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）
A．7205秒 B．7200秒 C．秒 D．7190秒
【变式3-1】（2024·广西河池·模拟预测）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【变式3-2】（2024·浙江台州·二模）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，，三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm 的不同规格长方体的个数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【变式3-3】（2024·辽宁·模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】
【例4】（2024·四川德阳·模拟预测）甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（ ）
A．144 B．192 C．360 D．480
【变式4-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）为弘扬中国优秀传统文化，某市决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则:参赛学生从《红楼梦》、《论语》、《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（ ）种
A．132 B．148 C．156 D．180
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
【变式4-3】（2024·四川南充·三模）某大学开学时选择选修课程，甲、乙、丙、丁、戊5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程，每门选修课程至少有一人选择，甲、乙都不选音乐鉴赏，但能选择其他三门选修课程，丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程，则不同的选择方法有（ ）种．
A．324 B．234 C．216 D．126
【题型5 相邻问题的排列问题】
【例5】（2024·重庆渝中·模拟预测）甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况.
A．18 B．24 C．36 D．48
【变式5-1】（2024·山东滨州·二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ）
A．42种 B．40种 C．36种 D．30种
【变式5-2】（2024·广西贵港·模拟预测）2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（ ）
A．732种 B．2260种 C．4320种 D．8640种
【变式5-3】（2024·湖南岳阳·三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ）
A．96种 B．60种 C．48种 D．36种
【题型6 不相邻排列问题】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ）
A．120种 B．24种 C．36种 D．12种
【变式6-1】（2024·安徽芜湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（ ）种.
A．186 B．264 C．284 D．336
【变式6-2】（2024·湖北·模拟预测）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ）
A．24种 B．36种 C．42种 D．48种
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，将这7幅作品排成一排挂在同一面墙上，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 组合计数问题】
【例7】（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【变式7-1】（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（ ）
A．560 B．455 C．91 D．55
【变式7-2】（2024·山东日照·模拟预测）设为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是（ ）
A．12 B．21 C．27 D．33
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
【题型8 定序问题】
【例8】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
【变式8-1】（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种
A．72 B．36 C．12 D．6
【变式8-2】（23-24高二下·福建莆田·期末）4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（ ）
A．480 B．360 C．288 D．144
【变式8-3】（2024·河南·三模）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
【题型9 分组分配问题】
【例9】（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（ ）
A．52 B．72 C．76 D．100
【变式9-1】（2024·江西宜春·模拟预测）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有（ ）
A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种
【变式9-2】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中A不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．158 B．162 C．180 D．198
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）某地教体局为了响应银龄教师支教工作，准备从本地区选聘7位退休教师到新疆3所学校任教，要求每所学校至少去1位教师，且每位教师只能去1所学校支教，则不同的分配方案种数为（ ）
A．2142 B．2016 C．1890 D．1806
【题型10 涂色问题】
【例10】（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
【变式10-1】（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（ ）种不同的放置与上色方式
A．11232 B．10483 C．10368 D．5616
【变式10-2】（2024·云南·二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2024·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【题型11 排列组合综合】
【例11】（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望5个袋子中所装奶糖种类各不相同，且每一种奶糖在袋子中出现的总次数均为2，那么不同的方案数为（ ）
A．3000 B．3360 C．1440 D．1560
【变式11-1】（2024·四川南充·模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（ ）
A．18 B．36 C．48 D．32
【变式11-2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束．
(1)一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法
(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法 （要求：解答过程要有必要的说明和步骤）
【变式11-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.
(1)一共有多少不同的分组方案？
(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
一、单选题
1．（2024·福建漳州·模拟预测）（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
2．（2024·江西·模拟预测）某校羽毛球队的4名男生和4名女生分成四组，参加四场混合双打比赛（每名队员只限参加一场比赛），则组队方法的总数为（ ）
A．24 B．288 C．576 D．1152
3．（2024·河南商丘·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ）
A．44种 B．48种 C．72种 D．80种
6．（2024·安徽·一模）树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）
A．20种 B．40种 C．60种 D．80种
7．（2024·四川凉山·三模）某考点在高考期间安排了高一、高二年级各两名同学参与执勤，电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访，则这两名同学来自同一个年级的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·山西晋中·模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法
B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法
C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法
D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法
11．（2024·重庆·模拟预测）如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止．则（ ）
A．甲从到达处的方法有30种
B．甲从经过到达处的方法有9种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人不相遇的概率为
三、填空题
12．（2024·陕西商洛·模拟预测）3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为 .
13．（2024·广东·模拟预测）学校安排甲 乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有这3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 种.（用数字作答）
14．（2024·江西·三模）2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有 种（用数字作答）．
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示）
（2）解不等式：；
16．（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
17．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排：
(1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答）
(2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答）
(3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答）
(4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答）
18．（2024·山西太原·二模）一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
(1)求该款行李箱密码的不同种数；
(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．
19．（2024·江苏南通·二模）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.
(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10.2 排列与组合【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 排列数的化简、计算与证明】 3
【题型2 组合数的化简、计算与证明】 5
【题型3 全排列问题】 6
【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】 8
【题型5 相邻问题的排列问题】 10
【题型6 不相邻排列问题】 11
【题型7 组合计数问题】 13
【题型8 定序问题】 15
【题型9 分组分配问题】 17
【题型10 涂色问题】 19
【题型11 排列组合综合】 22
1、排列与组合
考点要求 真题统计 考情分析
(1)理解排列、组合的概念 (2)能利用排列组合解决简单的实际问题 2022年新高考全国I卷：第5题，5分 2022年新高考全国Ⅱ卷：第5题，5分 2023年新高考I卷：第13题，5分 2023年新高考Ⅱ卷：第3题，5分 2023年全国乙卷（理数）：第7题，5分 2023年全国甲卷（理数）：第9题，5分 2024年新高考Ⅱ卷：第14题，5分 2023年全国甲卷（文数）：第4题，5分 从近几年的高考情况来看，排列组合是高考的热点内容，每年高考都有考查，多以选择题、填空题的形式出现，主要考查排列组合的基本方法，特殊元素、相邻与不相邻问题以及分组分配等内容，难度不大；有时会与两个计数原理、概率等知识结合考查，需要灵活求解.
【知识点1 排列与组合】
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m（m≤n,n,m∈）个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合
2．排列数与组合数
(1)排列数定义
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号表示.
(2)组合数
从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数，用符号表示.
3．排列数、组合数的公式及性质
(1)排列数公式
=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn.
(2)组合数公式
①连乘表示：
==.
这里，n,m∈，并且mn.
②阶乘表示：=.
规定：=1.
(3)组合数的性质
①性质1：=
②性质2：=+
【知识点2 排列、组合常见问题的分类与解题策略】
1．排列应用问题的分类与解法
(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在
实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的
内部排列.
(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空档中.
(4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二
是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可.
(5)间接法：正面分类太多从反面入手.
(6)多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究.
2．组合问题的分类与解法
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个
关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
3．分组分配问题
(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.
(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则
分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数
原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
【方法技巧与总结】
1．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部。
(9)构造模型.
(10)正难则反，等价转化.
【题型1 排列数的化简、计算与证明】
【例1】（2024·全国·模拟预测）下列数中，与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】运用排列数和组合数公式计算即可.
【解答过程】
对于A，；
对于B,
对于C, ，
对于D，，
故选：B.
【变式1-1】（2024·山东·模拟预测）若集合{是质数}，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】解不等式得集合B，然后由交集运算可得.
【解答过程】解析：由题意知：
由得：，所以，
即，
所以．
故选：B.
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用排列数公式化简并求解不等式.
【解答过程】不等式中，，化为，
整理得，解得，因此，
所以不等式的解集是.
故选：A.
【变式1-3】（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解.
【解答过程】因且，表示80个连续正整数的乘积，
其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为，
所以.
故选：A.
【题型2 组合数的化简、计算与证明】
【例2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）化简式子：的结果为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】本题将复杂的组合问题转化为“从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和”模型，等价于“从装有球中取出个球的不同取法数”,即可解决.
【解答过程】表示：
从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球的所有情况取法总数的和.
又从装有球中取出个球的不同取法数.
所以，
所以
故选：C.
【变式2-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据组合数公式可得，结合二项式系数和的性质计算得解.
【解答过程】∵
，其中，
∴
.
故选：B.
【变式2-2】（2024·浙江温州·模拟预测），求 的值为 （ ）
A．922 B．923 C．924 D．925
【解题思路】代入求和公式，算出组合数的值即可.
【解答过程】由题意知
.
故选：B.
【变式2-3】（2024·山东聊城·三模）设正项数列的前项和满足表示从个不同元素中任取个元素的组合数，则（ ）
A．512 B．1024 C．5120 D．10240
【解题思路】根据，利用数列通项和前n项和的关系求解得，结合组合数性质及二项式系数和性质即可求解.
【解答过程】由，当时，，解得，
当时，，则，
整理，
又数列为正项数列，则，所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以.
因为 ，
所以.
故选：C.
【题型3 全排列问题】
【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）某大楼安装了6个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮1种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这6个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）
A．7205秒 B．7200秒 C．秒 D．7190秒
【解题思路】依题意每次闪烁共秒，再利用全排列求出不同的闪烁数，又相邻两个闪烁的时间间隔为秒，即可求出所需时间.
【解答过程】依题意每次闪烁共秒，
所有不同的闪烁为个，相邻两个闪烁的时间间隔为秒，
因此需要的时间至少是秒.
故选：C.
【变式3-1】（2024·广西河池·模拟预测）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排一个人，则不同的安排方法一共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【解题思路】空间站的主体结构包括3个舱，恰好3名宇航员，每个舱安排一个人，正好是全排列问题，求解即可.
【解答过程】甲、乙、丙共3名航天员分别到天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱3个舱开展实验，每个舱安排一个人，
不同的安排方法共有（种）.
故选：D.
【变式3-2】（2024·浙江台州·二模）房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到，，三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm 的不同规格长方体的个数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【解题思路】根据原长方体体积与得到的体积为165cm 长方体的关系，分别对长宽高进行减半，利用分类加法计数原理求解即可.
【解答过程】由题意，，为得到体积为的长方体，
需将原来长方体体积缩小为原来的，
可分三类完成：第一类，长减半3次，宽减半3次、高减半3次，共3种；
第二类，长宽高各减半1次，共1种；
第三类，长宽高减半次的全排列种，
根据分类加法计数原理，共种.
故选：B.
【变式3-3】（2024·辽宁·模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【解题思路】分成恰有2个部门所选的旅游地相同、4个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数.
【解答过程】①恰有2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2个部门取出，有种；
第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有种，
根据分步计数原理可得，方法有种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种．
故选：B.
【题型4 元素（位置）有限制的排列问题】
【例4】（2024·四川德阳·模拟预测）甲乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为（ ）
A．144 B．192 C．360 D．480
【解题思路】分2步进行分析：①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间；②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，由分步计数原理计算即可．
【解答过程】根据题意，分2步进行分析：
①在其他4人中，选出1人，安排在甲乙之间，有种情况；
②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有种排法；
则有种不同的站法．
故选：B.
【变式4-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）为弘扬中国优秀传统文化，某市决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则:参赛学生从《红楼梦》、《论语》、《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（ ）种
A．132 B．148 C．156 D．180
【解题思路】分选出的4人中含甲和不含甲两种情况，含甲时再分甲单独参加，和其中1名同学共同参加，求出不同的安排方法相加即可.
【解答过程】若选出的4人中含甲，再从剩余4人中选择3人，有种选择，
若比赛时安排甲单独参加《红楼梦》、《史记》的其中一本书的知识竞赛，有种选择，
则剩余的3人参加剩余2本书的知识竞赛，则有种选择，此时共有种选择，
若比赛时安排甲和3名同学中的一名参加《红楼梦》、《史记》中1本书的知识竞赛有种，
余下的2人参与其它两本的知识竞赛，则有种，此时共有种，
故共有种选择，
若选出的4人中不含甲，则选出的4人分为3组，参加比赛，共有种选择，
综上，共有种安排方法.
故选：A.
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
【解题思路】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算.
【解答过程】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，
先排左右两端，有种排法，
再排中间4个位置，有种排法，
所以不同的排法种数为种.
故选：C.
【变式4-3】（2024·四川南充·三模）某大学开学时选择选修课程，甲、乙、丙、丁、戊5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程，每门选修课程至少有一人选择，甲、乙都不选音乐鉴赏，但能选择其他三门选修课程，丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程，则不同的选择方法有（ ）种．
A．324 B．234 C．216 D．126
【解题思路】根据题意，按甲乙是否选择同一门课程分2种情况讨论，由加法原理计算可得结果.
【解答过程】根据题意，分2种情况讨论：
①甲乙选择同一门课程，有种选法，
②甲乙不选择同一门课程，有种选法，
则不同选法总数为种.
故选：D.
【题型5 相邻问题的排列问题】
【例5】（2024·重庆渝中·模拟预测）甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况.
A．18 B．24 C．36 D．48
【解题思路】由题意知将丙和丁看成一个整体，按丙和丁的位置分4种情况讨论，结合分类计数原理计算即可求解.
【解答过程】由题意知，将丙和丁看成一个整体，
分4种情况分析：
①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况；
②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊，
所以甲和乙为第4、5名，有种情况；
③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊，
所以甲和乙为第2、5名，有种情况；
④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊，
所以甲和乙为第2、3名，有种情况；
所以共有种情况.
故选：B.
【变式5-1】（2024·山东滨州·二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ）
A．42种 B．40种 C．36种 D．30种
【解题思路】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解.
【解答过程】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为，
所以不同的安排方案共有（种）.
故选：B.
【变式5-2】（2024·广西贵港·模拟预测）2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（ ）
A．732种 B．2260种 C．4320种 D．8640种
【解题思路】依题意只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中，按照先选人，再排列，相邻问题用捆绑法，最后按照分步乘法计数原理计算可得．
【解答过程】根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中．
先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人，
所选3男选2人相邻，与余下的1男安排在1女的两侧，
排列方法有种，
再确定“2男2女”这一排，2男先排好有，
2女相邻并放在2男之间有种，或2女放在2男成排的两空有种方式，
排列方法有种，
因此，不同的排列方法总数为．
故选：D.
【变式5-3】（2024·湖南岳阳·三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ）
A．96种 B．60种 C．48种 D．36种
【解题思路】根据分步乘法计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求得.
【解答过程】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊.
第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况，
第二步，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法，
第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有种安排方法.
则由分步乘法计数原理，不同的方案共有种.
故选：D.
【题型6 不相邻排列问题】
【例6】（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ）
A．120种 B．24种 C．36种 D．12种
【解题思路】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案.
【解答过程】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择，
3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择，
则同色棋子不相邻的排列方式有种.
故选：D.
【变式6-1】（2024·安徽芜湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（ ）种.
A．186 B．264 C．284 D．336
【解题思路】先考虑A和B不相邻的排法，再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，相减后得到答案.
【解答过程】先考虑A和B不相邻的排法，
将C、D、E、F四个人进行全排列，有种情况，
C、D、E、F四个人之间共有5个空，选择2个排A和B，有种情况，
故有种选择，
再考虑A和B不相邻，且C站两端的情况，
先从两端选择一个位置安排C，有种情况，
再将D、E、F三个人进行全排列，有种情况
最后D、E、F三个人之间共有4个空，选择2个排A和B，有种情况，
故有种情况，
则要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的安排有种情况.
故选：D.
【变式6-2】（2024·湖北·模拟预测）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ）
A．24种 B．36种 C．42种 D．48种
【解题思路】由题意得对红菊花所处位置进行分类，每一类根据分步计数原理可得.
【解答过程】红菊花在正中间位置时，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，
即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有；
红菊花在首位或者尾端时，先排好白菊花，产生三个空再对黄菊花分类排即可，
故；
红菊花在第2或者第4位置时，先给首位或者尾端任意放一种，剩下的3盆花位置就确定了，故；
综上，共有种摆放方法.
故选：D.
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，将这7幅作品排成一排挂在同一面墙上，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用排列知识求出7幅作品所有的不同挂法，结合捆绑法，插空法求出美术作品不能挂两端且摄影作品相邻时不同的挂法，利用间接法求出美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的挂法，根据古典概型概率公式求结论.
【解答过程】由题意知这7幅作品所有的不同挂法有种，
美术作品不能挂两端且摄影作品相邻时不同的挂法有种，
美术作品不能挂两端时不同的挂法有种，
则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的不同的挂法有种，
所以事件美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为，
故选：B.
【题型7 组合计数问题】
【例7】（2024·天津和平·二模）为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【解题思路】根据题意，首先选取种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案．
【解答过程】根据题意，分2步进行分析：
首先选取种相同课外读物的选法有种，
再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，
所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种．
故选：B．
【变式7-1】（2024·湖北·模拟预测）不等式，其中是非负整数，则使不等式成立的三元数组有多少组（ ）
A．560 B．455 C．91 D．55
【解题思路】在都加上1，把问题转化成方程有正整数解的问题解决.
【解答过程】设，，，
则不等式有多少组非负整数解的问题，转化为：的正整数解的组数.
因为方程：的解的组数为：；
的解的组数为：；
…
的解的组数为：.
所以原不等式解的组数为： .
故选：B.
【变式7-2】（2024·山东日照·模拟预测）设为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是（ ）
A．12 B．21 C．27 D．33
【解题思路】如图正方体，设直线为直线，可证平面，故所有与垂直的直线在平面内或与平面平行，再结合图象确定与平面平行的平面，最后利用组合数公式计算可得.
【解答过程】如图正方体，设直线为直线，
如下图所示，对应棱上的点为对应棱的中点，连接，
因为四边形为正方形，则，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面，，
同理可证，又，平面，平面，
故所有与垂直的直线在平面内或与平面平行，
易知与平面平行的平面有平面、平面、平面、平面，
所以满足条件的且与对角线垂直的线段共（个）.
故选：C.
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
【解题思路】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可.
【解答过程】若千位数字是5，则百位数字不能是1，故共有（个）；
（①一个四位数为偶数，则其个位上的数字一定是偶数；②组成的四位数要大于5200，则其千位上的数字是5，7或8）
若千位数字是7，则共有（个）；
若千位数字是8，则共有（个）．
故符合条件的四位数共有（个）．
故选：A.
【题型8 定序问题】
【例8】（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
【解题思路】由题意结合相邻问题、定序问题的解法直接计算即可得解.
【解答过程】因为甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，
所以可将甲和乙看作一个整体，共有1种站法，
再与其余三人进行排列，共有种站法.
故选：D.
【变式8-1】（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种
A．72 B．36 C．12 D．6
【解题思路】利用排列数公式，以及顺序一定问题，列式求解.
【解答过程】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定，
所以不同的排序方法有种方法.
故选：C.
【变式8-2】（23-24高二下·福建莆田·期末）4名护士和2名医生站成一排，2名医生顺序固定，则不同的排法种数为（ ）
A．480 B．360 C．288 D．144
【解题思路】先将6个元素作全排列，再除以可得答案.
【解答过程】4名护士和2名医生站成一排，共有种，
又因为2名医生顺序固定，所以不同的排法种数为种.
故选：B.
【变式8-3】（2024·河南·三模）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520 B．5040 C．7560 D．10080
【解题思路】结合全排列的概念即可.
【解答过程】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
先对8盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取，
所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，
故一共有种，
故选：A.
【题型9 分组分配问题】
【例9】（2024·辽宁·模拟预测）现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（ ）
A．52 B．72 C．76 D．100
【解题思路】分类讨论与甲为一组的人数情况，结合分组分配问题的解法即可得解.
【解答过程】若甲1个人一组，则其他两组人数分别为1，3或2，2，
则不同的选择方案有种；
若甲和另外1个人两人一组，则其他两组人数为1，2，
则不同的选择方案有种；
若甲和另外2个人三人一组，则其他两组人数为1，1，
则不同的选择方案有种；
所以共有种选择方案.
故选：D.
【变式9-1】（2024·江西宜春·模拟预测）将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有（ ）
A．480种 B．1560种 C．2640种 D．640种
【解题思路】先将6名志愿者分成4组，然后再分配到不同的社区即可．
【解答过程】解：先将6名志愿者分成4组，然后再分配到不同的社区即可，
若志愿者人数依次为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为：种；
若志愿者人数依次为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为：种，
故不同的安排方法共有种．
故选：B．
【变式9-2】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中A不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．158 B．162 C．180 D．198
【解题思路】分A单独去某一个村和A和中的某一个一起去某个村两种情况，结合排列组合知识求出每种情况下分配方法，相加即可.
【解答过程】当A单独去某一个村时，从乙、丙、丁3个村中选择1个安排，有种情况，
剩下的4个人安排到3个村，有种情况，
故有种情况，
当A和中的某一个一起去某个村时，
先从选择1个，再从乙、丙、丁3个村中选择1个安排，有种情况，
再安排另外3个人，每个人去1个村，有种情况，
故有种情况，
综上，共有种情况.
故选：B.
【变式9-3】（2024·全国·模拟预测）某地教体局为了响应银龄教师支教工作，准备从本地区选聘7位退休教师到新疆3所学校任教，要求每所学校至少去1位教师，且每位教师只能去1所学校支教，则不同的分配方案种数为（ ）
A．2142 B．2016 C．1890 D．1806
【解题思路】根据先选后排的原则，先分类讨论分组方式的可能情况，结合排列数、组合数求不同的分组方法种数，再排列即可.
【解答过程】1.第一步，将7位教师分成3组，分组方式有四类：
①第一类为3，2，2，不同的分组方法种数为；
②第二类为4，2，1，不同的分组方法种数为；
③第三类为5，1，1，不同的分组方法种数为；
④第四类为1，3，3，不同的分组方法种数为．
根据分类加法计数原理得不同的分组方法种数为．
2.第二步，将3组教师分配到3所不同学校的分配方法种数为．
根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为.
故选：D．
【题型10 涂色问题】
【例10】（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
【解题思路】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后相加即可求解.
【解答过程】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；
当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为种，
故选：.
【变式10-1】（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（ ）种不同的放置与上色方式
A．11232 B．10483 C．10368 D．5616
【解题思路】进行颜色分配，然后利用分类原理的相加和分步相乘的原理进行分析即可.
【解答过程】①3个1，3个2，0个3如表：
1 2 1
2 1 2
只用两种颜色，并选取两个位置放AB,此时有：种，
②1个1，2个2，3个3如表：
1 3 2
3 2 3
选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在拐角），并选取两个位置放AB,此时有：种，
或
3 1 3
2 3 2
选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在中间），并选取两个位置放AB,此时有：种，
③2个1，2个2，2个3如表：
3 2
2 3
选用三种颜色（2+2+2），并选取两个位置放AB，此时有：种，
或
2 3
2 3
选用三种颜色（2+2+2）,并选取两个位置放AB，此时有：种，
所以不同的放置与上色方式有：
.
故选：C.
【变式10-2】（2024·云南·二模）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】所有的涂色方案分3类，利用排列组合求出涂色方法，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.
【解答过程】所有的涂色方案分3类：
(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为；
(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方法为；
(3)用到五种颜色，涂色方法为；
因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是.
故选：B．
【变式10-3】（2024·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【解题思路】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.
【解答过程】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图五个区域，
有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.
分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，
由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.
若涂一色，
第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若涂一色，与涂一色的方法数相同，
则共有种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.
故选：D.
【题型11 排列组合综合】
【例11】（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望5个袋子中所装奶糖种类各不相同，且每一种奶糖在袋子中出现的总次数均为2，那么不同的方案数为（ ）
A．3000 B．3360 C．1440 D．1560
【解题思路】根据已知先分类讨论再排列得出结果.
【解答过程】依次记四种奶糖为，则每个字母出现2次，先分堆．
若是“”，则其中的“4”必须是，故有1种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能，
所以不同的方案数为种．
故选:A．
【变式11-1】（2024·四川南充·模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（ ）
A．18 B．36 C．48 D．32
【解题思路】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可.
【解答过程】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：，
若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：，
所以不同的选法总数为: .
故选:B．
【变式11-2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束．
(1)一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法
(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法 （要求：解答过程要有必要的说明和步骤）
【解题思路】（1）分两种情形：第一种是4次抽到的全是正品，第二种前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，由分类加法原理计算；
（2）由题意知第二次抽到的必是正品，第4次抽取的是次品，检测结束，或第4次抽取到正品，第五次再抽取一件（不论正品还是次品）都可以结束，由此计算可得．
【解答过程】（1）有以下两种情况：
4次均为正品，共有种；
前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共种；
则共有96种．
（2）由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，
当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法；
当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有种抽法；
若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法；
共120种抽法．
【变式11-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.
(1)一共有多少不同的分组方案？
(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
【解题思路】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可；
（2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可.
【解答过程】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女，
①若两组都是3女2男，
则先将6女平均分成两组共种方式，
再将4男平均分成两组共种方式，
所以两组都是3女2男的情况有种；
②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种，
所以总情况数为种.
故一共有种不同的分组方案；
（2）总共可分为三种情况，如下：
①若上场且不上场：
先将全排列，共有种方式，
再把捆绑后和全排列共有种方式，
所以上场且不上场共有种不同的排列方式；
②若上场且也上场：
（i）若在1号位，先将全排列，共有种方式，
再从中选两人，有种方式，
则捆绑后和中的两人全排列，有种方式，
所以在1号位共有种不同的方式；
（ii）若在2号位，
再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在2号位或3号位共有种不同的方式；
（iii）若在3号位，
再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在2号位或3号位共有种不同的方式；
（iiii）若在4号位，
将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在4号位共有种不同的方式.
所以上场且也上场共有种不同的方式；
③若中有一人上场且上场：
上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式，
再从中选一人，有种方式，
中的一人和共4人全排列，共种方式，
所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式.
综上所述，共有种排列方式.
一、单选题
1．（2024·福建漳州·模拟预测）（ ）
A．65 B．160 C．165 D．210
【解题思路】根据排列数及组合数公式计算可得.
【解答过程】.
故选：C.
2．（2024·江西·模拟预测）某校羽毛球队的4名男生和4名女生分成四组，参加四场混合双打比赛（每名队员只限参加一场比赛），则组队方法的总数为（ ）
A．24 B．288 C．576 D．1152
【解题思路】根据条件，先将男生分成四组，有1种分法，再将女生分到四组有种分法，再利用分步计数原理，即可求解.
【解答过程】根据题意可知，先将男生平均分成四组有：种方法，
再将女生安排到四组有：种方法，所以组队方法的总数为.
故选：A.
3．（2024·河南商丘·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用组合数公式可得，再求和并结合二项式系数的性质求出，然后赋值即得.
【解答过程】依题意，
，
则
，
所以.
故选：C.
4．（2024·江西新余·模拟预测）甲、乙等5人排成一行，则甲不站在5人正中间位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（ ）种.
A． B． C． D．
【解题思路】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙在最左端的有种，然后加上甲在中间和乙在最左端的有种.
【解答过程】采用间接法，先5人全排有种，去掉甲在中间的有种，乙排最左端的有种，
然后加上甲在中间和乙在最左端的有种，
则共有种排法.
故选：D.
5．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（ ）
A．44种 B．48种 C．72种 D．80种
【解题思路】利用间接法，首先将五个节目全排列，减去独唱类节目相邻，再减去歌舞类节目相邻，最后加上独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻的情况即可.
【解答过程】依题意五个节目全排列有种排法；
若独唱类节目相邻，则有种排法；
若歌舞类节目相邻，则有种排法；
若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有种排法；
综上可得同类节目不相邻的安排方式共有种.
故选：B.
6．（2024·安徽·一模）树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）
A．20种 B．40种 C．60种 D．80种
【解题思路】利用分组分配问题分类讨论一一计算即可.
【解答过程】由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男一组，余下一组；
2女1男一组，余下一组；3女1男一组，余下一组；4女1男一组，余下一组；
所以分配方法为.
故选：C.
7．（2024·四川凉山·三模）某考点在高考期间安排了高一、高二年级各两名同学参与执勤，电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访，则这两名同学来自同一个年级的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分别求出从4名执勤同学中随机抽取2名同学的方法数和两名同学来自同一个年级的方法数即可根据古典概型的概率公式求解.
【解答过程】电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访共有种方法，
由题这两名同学可能同来自高一也可能同来自高二，
所以这两名同学来自同一个年级共有种方法，
所以这两名同学来自同一个年级的概率是.
故选：C.
8．（2024·江西新余·模拟预测）为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A． B． C． D．
【解题思路】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果.
【解答过程】先将丙安排在一所学校，有种分法；
若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法，
剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校），
分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、
（1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校），
共种排法；
若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法，
若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法；
若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组，
分别有、、种排法，故共有：
种排法.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·江苏·模拟预测）若m，n为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.
【解答过程】对A：由组合数性质：可知，A正确；
对B：，故B错误；
对C：，，左右两边不相等，故C错误；
对D： ，故D正确.
故选：AD.
10．（2024·山西晋中·模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法
B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法
C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法
D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法
【解题思路】利用捆绑法解决选项A，利用插空法解决选项BC，利用特殊元素优先法解决选项D.
【解答过程】选项A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，
则有（种），故A正确；
选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，
先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，
则有（种），故B错误；
选项C，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，
则有（种），故C正确；
选项D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中，
先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，
则有（种），故D正确.
故选：ACD.
11．（2024·重庆·模拟预测）如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止．则（ ）
A．甲从到达处的方法有30种
B．甲从经过到达处的方法有9种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人不相遇的概率为
【解题思路】利用组合计数原理可判断A选项的正误，利用分步乘法计数原理结合组合计数原理可判断B选项的正误，计算出甲、乙经过处的走法种数，利用古典概型的概率公式可判断C选项的正误，计算出甲、乙两人相遇的走法种数，利用古典概型的概率公式及对立事件的概率可判断D选项的正误.
【解答过程】A选项，甲从到达处，需要走步，其中有步向上走，步向右走，
则甲从到达处的方法有种，A选项错误；
B选项，甲经过到达处，可分为两步：
第一步，甲从经过需要走步，其中步向右走，步向上走，方法数为种；
第二步，甲从到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法数为种.
甲经过到达的方法数为种，B选项正确；
C选项，类似B，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，
甲、乙两人在处相遇的方法数为，甲、乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；
D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有1步向右走，后三步只有2步向右走，
乙到处，前三步有1步向下走，后三步只有2步向下走，
所以，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为种；
若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为种；
故甲、乙两人相遇的概率， 由对立事件的概率知，甲、乙两人不相遇的概率为，D选项错误.
故选：BC.
三、填空题
12．（2024·陕西商洛·模拟预测）3名男生和3名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为 360 .
【解题思路】由捆绑法、插空法即可求解.
【解答过程】当恰好2名女生相邻时，有种排法，
当3名女生都不相邻时，有种排法，
则共有种排法.
故答案为：360.
13．（2024·广东·模拟预测）学校安排甲 乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有这3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 150 种.（用数字作答）
【解题思路】先将5名学生分成3组有2、2、1和3、1、1两种分法，然后这3组学生在3个项目全排列，即可得到答案.
【解答过程】依题意，将5名学生分成3组有2、2、1和3、1、1两种分法，
然后安排这3组去3个项目做志愿者，
所以不同的安排方法有种.
故答案为：150.
14．（2024·江西·三模）2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有 30 种（用数字作答）．
【解题思路】分两类，甲、丙两人去同一个村庄与甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，按照分组分配的方法计算可得.
【解答过程】分两类考查：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，共有种分配方法；
第二类，甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，共有种分配方法．
故共有种分配方法．
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示）
（2）解不等式：；
【解题思路】（1）根据组合数性质运算求解；
（2）根据排列数公式运算求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知：
；
（2）因为，可知，且，
整理可得，解得，
且，所以或.
16．（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
【解题思路】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；
（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；
（3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答.
【解答过程】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，
再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
（2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
即可以组成个无重复数字的五位偶数；
（3）计算比21034大的五位数的个数分两类：
万位比2大的五位数个数是，
万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，
由分类加法计数原理得，
所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.
17．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排：
(1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答）
(2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答）
(3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答）
(4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答）
【解题思路】(1)先对女生排列再用插空法可得答案；
(2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果；
(3)根据间接法总的减去对立面可求得结果；
(4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果.
【解答过程】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法；
（2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法；
（3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法，
另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法，
所以两个男生都不和甲相邻的排法有
种；
（4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种，
然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法.
18．（2024·山西太原·二模）一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
(1)求该款行李箱密码的不同种数；
(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．
【解题思路】（1）分只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次和两个数字各出现两次且另一个数字出现一次讨论即可；
（2）首先得到X的取值为1，2，3，分别写出其概率，再利用均值公式即可得到答案.
【解答过程】（1）当密码中只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次时，
其不同种数为，
当密码中有两个数字各出现两次且另一个数字出现一次时，
其不同种数为，
∴该款行李箱密码的不同种数为．
（2）由题意得X所有可能的取值为1，2，3，
，
，
，
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴X的数学期望．
19．（2024·江苏南通·二模）某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.
(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？
(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？
【解题思路】（1）法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；
（2）考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.
【解答过程】（1）法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为；
再选出副队长，方法数也是，故共有方法数为（种）.
方法二 先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为（种）；
若甲任队长，方法数为，故甲不担任队长的选法种数为（种）
答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.
（2）①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为；
第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为，
故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：.
②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为，
第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为，
第三次传球，甲将球传给老师，其概率为，
这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为，
所以，前三次传球中满足题意的概率为：.
答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是.
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