专题10.3 二项式定理【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 求二项展开式的特定项】 3
【题型2 求二项展开式的特定项系数】 3
【题型3 两个二项式之积问题】 4
【题型4 三项展开式问题】 4
【题型5 二项式系数和与系数和问题】 4
【题型6 二项式系数的最值问题】 5
【题型7 整除和余数问题】 5
【题型8 近似计算问题】 6
【题型9 证明组合恒等式】 6
【题型10 二项式定理与数列求和】 7
【题型11 杨辉三角】 8
1、二项式定理
考点要求 真题统计 考情分析
(1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2022年新高考全国I卷：第13题，5分 2023年北京卷：第5题，4分 2023年天津卷：第11题，5分 2023年上海卷：第10题，5分 2024年北京卷：第4题，4分 2024年天津卷：第11题，5分 2024年上海卷：第6题，5分 从近几年的高考情况来看，二项式定理是高考的热点内容，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解.
【知识点1 二项式定理】
1．二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,
,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.
③每一项中a和b的幂指数之和为n.
2．二项式系数的性质
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)
增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值
最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大
各二项式
系数的和
【知识点2 展开式中的通项问题】
1．求二项展开式的特定项的解题策略
求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；
求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.
2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略
(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，
但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
【知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题】
1．赋值法
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展
开式的各项系数之和，常用赋值法.
2．系数之和问题的解题策略
若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为
，偶数项系数之和为.
3．展开式的逆用
根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定
理求解.
【知识点4 二项式系数最大项问题】
1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第
和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或.
【方法技巧与总结】
1．.
2．.
【题型1 求二项展开式的特定项】
【例1】（2024·辽宁·模拟预测）的展开式中的常数项为（ ）
A．112 B．56 C． D．
【变式1-1】（2024·辽宁锦州·模拟预测）二项式的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
【变式1-3】（2024·河北廊坊·模拟预测）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A． B． C．20 D．160
【题型2 求二项展开式的特定项系数】
【例2】（2024·北京·模拟预测）在的展开式中，项的系数为（ ）
A． B．20 C． D．40
【变式2-1】（2023·福建泉州·模拟预测）的展开式中，的系数等于（ ）
A． B． C．10 D．45
【变式2-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）展开式中含项的系数为（ ）
A．420 B． C．560 D．
【变式2-3】（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 两个二项式之积问题】
【例3】（2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
【变式3-1】（2024·西藏·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．4 C． D．8
【变式3-2】（2024·吉林长春·模拟预测）的展开式中的系数（ ）
A．28 B．35 C．36 D．56
【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中的系数为448，则该展开式中的系数为（ ）
A．56 B． C．106 D．
【题型4 三项展开式问题】
【例4】（2024·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【变式4-1】（2024·河北沧州·二模）在的展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．20 D．30
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在的展开式中常数项为（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
【题型5 二项式系数和与系数和问题】
【例5】（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．各项的系数和为64
C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为
【变式5-1】（2024·四川乐山·三模）设，则（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【变式5-2】（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（ ）
A．1 B．243 C．64 D．0
【变式5-3】（2024·广东江门·一模）已知，则的值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
【题型6 二项式系数的最值问题】
【例6】（2024·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【变式6-1】（2024·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【变式6-2】（2024·辽宁丹东·二模）在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式6-3】（23-24高三上·河南安阳·阶段练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 整除和余数问题】
【例7】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若能被7整除，则x，n的一组值可能为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式7-1】（2024·湖南怀化·二模）若，则被8整除的余数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式7-3】（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
【题型8 近似计算问题】
【例8】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【变式8-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【变式8-2】（2024·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-3】（2024·江西南昌·一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：
对于任意实数，
当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：
.
用这样的方法，估计的近似值约为（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
【题型9 证明组合恒等式】
【例9】（2024高三·全国·专题练习）
【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）求证：
【变式9-2】（2024高三·全国·专题练习）求证：.
【变式9-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数 ，其中．
(1)若，，求的最大值；
(2)若，求证：．
【题型10 二项式定理与数列求和】
【例10】（2024·江西·模拟预测）设，则（ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
【变式10-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）设，在数列中，，前项和为．
(1)求的通项公式．
(2)在等差数列中，，证明：．
【变式10-3】（2024·山东·模拟预测）设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.
【题型11 杨辉三角】
【例11】（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-1】（2024·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．第34行中第15个数与第16个数之比为
【变式11-2】（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数.
(1)当时，写出三项式系数，，，，的值；
(2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表；
(3)求的值（用组合数作答）.
【变式11-3】（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家 教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式
(1)求图2中第10行的各数之和；
(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
一、单选题
1．（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（ ）
A．147 B． C．63 D．
2．（2024·河南·模拟预测）的展开式中x的系数为（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
3．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（ ）
A．200 B．180 C．150 D．120
4．（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
5．（2024·陕西西安·模拟预测）在的展开式中，含的项的系数是7，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
7．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，则被10除所得的余数为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是
8．（23-24高二下·云南·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
D．第2020行的第1010个数最大
二、多选题
9．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
10．（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·山西·三模）已知函数，则（ ）
A． B．展开式中，二项式系数的最大值为
C． D．的个位数字是1
三、填空题
12．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 .
13．（2024·四川攀枝花·三模）若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 ．（以数字作答）
14．（2024·福建宁德·三模）中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶，《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”，指出闰年有366天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》，规定一年为365.2425天，和现行公历格里高利历是一样的，但比它早了300多年.现行公历闰年是如下确定的:①能被4整除，但不能被100整除;②能被400整除，满足以上两个条件之一的年份均为闰年，则公元年，距上一个闰年的年数为 .
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项，并指出是第几项；
16．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）设，求：
(1)；
(2)
17．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知的展开式中的所有二项式系数的和为32．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项．
18．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式.
(1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项．
(2)若，求二项式的值被除的余数；
19．（2024高二下·全国·专题练习）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加.
(1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明.
(2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10.3 二项式定理【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 求二项展开式的特定项】 3
【题型2 求二项展开式的特定项系数】 4
【题型3 两个二项式之积问题】 5
【题型4 三项展开式问题】 7
【题型5 二项式系数和与系数和问题】 8
【题型6 二项式系数的最值问题】 10
【题型7 整除和余数问题】 11
【题型8 近似计算问题】 13
【题型9 证明组合恒等式】 14
【题型10 二项式定理与数列求和】 16
【题型11 杨辉三角】 20
1、二项式定理
考点要求 真题统计 考情分析
(1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2022年新高考全国I卷：第13题，5分 2023年北京卷：第5题，4分 2023年天津卷：第11题，5分 2023年上海卷：第10题，5分 2024年北京卷：第4题，4分 2024年天津卷：第11题，5分 2024年上海卷：第6题，5分 从近几年的高考情况来看，二项式定理是高考的热点内容，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解.
【知识点1 二项式定理】
1．二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,
,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.
③每一项中a和b的幂指数之和为n.
2．二项式系数的性质
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)
增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值
最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大
各二项式
系数的和
【知识点2 展开式中的通项问题】
1．求二项展开式的特定项的解题策略
求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；
求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.
2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略
(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，
但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
【知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题】
1．赋值法
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展
开式的各项系数之和，常用赋值法.
2．系数之和问题的解题策略
若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为
，偶数项系数之和为.
3．展开式的逆用
根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定
理求解.
【知识点4 二项式系数最大项问题】
1．二项式系数最大项的确定方法
当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第
和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或.
【方法技巧与总结】
1．.
2．.
【题型1 求二项展开式的特定项】
【例1】（2024·辽宁·模拟预测）的展开式中的常数项为（ ）
A．112 B．56 C． D．
【解题思路】求出的展开式的通项可得答案.
【解答过程】的展开式的通项，
由，得，
所以的展开式中的常数项为．
故选：A.
【变式1-1】（2024·辽宁锦州·模拟预测）二项式的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【解答过程】二项式展开式的通项公式为
.
令，
所以展开式的常数项为
故选：B.
【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
【解题思路】运用二项展开式的通项公式可得、的值，结合有理项的定义赋值求解即可.
【解答过程】展开式的第7项为，
由题意，得，，（），所以，，
则展开式的通项为，，
令，则，所以展开式中的有理项共有3项.
故选：D.
【变式1-3】（2024·河北廊坊·模拟预测）的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A． B． C．20 D．160
【解题思路】根据二项式系数的性质得，再根据通项公式可求出结果.
【解答过程】因为的展开式中只有第四项的二项式系数最大，
则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则，
则展开式的通项为，
展开式中常数项，必有，即，
所以展开式中常数项为.
故选：A.
【题型2 求二项展开式的特定项系数】
【例2】（2024·北京·模拟预测）在的展开式中，项的系数为（ ）
A． B．20 C． D．40
【解题思路】
由题意写出展开式通项并化简，令，解得，回代展开通项计算即可得解.
【解答过程】在的展开式通项为，
由题意令，解得，所以项的系数为.
故选：D.
【变式2-1】（2023·福建泉州·模拟预测）的展开式中，的系数等于（ ）
A． B． C．10 D．45
【解题思路】由二项式展开式的通项公式即可求出的系数.
【解答过程】的通项为，
令，解得，
所以项的系数为：.
故选：D.
【变式2-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）展开式中含项的系数为（ ）
A．420 B． C．560 D．
【解题思路】由二项展开式的通项公式解出r的值，进而可得项的系数.
【解答过程】由题意知， 的二项展开式的通项公式为，
令，得，故含项的系数为.
故选：D.
【变式2-3】（23-24高二下·海南·期末）的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数.
【解答过程】由，
当，解得，
所以的系数为，
故选：A.
【题型3 两个二项式之积问题】
【例3】（2024·山西长治·模拟预测）的展开式中的系数是（ ）
A．﹣10 B．0 C．10 D．30
【解题思路】根据乘法的分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【解答过程】依题意可知，含的项是
，
所以的系数是.
故选：C.
【变式3-1】（2024·西藏·模拟预测）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．4 C． D．8
【解题思路】根据展开式通项公式得到，的系数分别为，，从而得到的系数为．
【解答过程】在的展开式中，通项公式为，
故，的系数分别为，，
所以在的展开式中，的系数为．
故选：D．
【变式3-2】（2024·吉林长春·模拟预测）的展开式中的系数（ ）
A．28 B．35 C．36 D．56
【解题思路】先求出的展开式的通项，再分别求出展开式中项、项的系数及常数项，即可求得的展开式中项的系数．
【解答过程】根据题意，二项式的展开式的通项，
其中项为，，
项为，，
常数项为，，
所以展开式中项的系数为．
故选：C．
【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知的展开式中的系数为448，则该展开式中的系数为（ ）
A．56 B． C．106 D．
【解题思路】求出二项式的展开式的通项，由给定系数求出，再求出的系数.
【解答过程】依题意，，
二项式的展开式的通项，
于是，解得，
所以的展开式中的系数为.
故选：D.
【题型4 三项展开式问题】
【例4】（2024·新疆喀什·三模）展开式中，的系数为（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【解题思路】分不含项和含有一个项两种情况求解．
【解答过程】展开式中，的项为，
则的系数为30．
故选：．
【变式4-1】（2024·河北沧州·二模）在的展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据条件，利用组合知识，即可求出结果.
【解答过程】相当于6个因式相乘，其中一个因式取，有种取法，
余下5个因式中有2个取，有种取法，最后3个因式中全部取，有种取法，故展开式中的系数为.
故选：A.
【变式4-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．20 D．30
【解题思路】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可.
【解答过程】，
其展开式的通项公式为，
令，则，
而的展开式的通项公式为：
，
令，则的展开式中的系数为:
,
故选：A.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在的展开式中常数项为（ ）
A．721 B．-61 C．181 D．-59
【解题思路】先求出展开式的通项公式 =,其中的展开式的通项公式为 ，令x的幂指数等于0，求得r，k的值，即可求得展开式中的常数项的值.
【解答过程】=的展开式的通项公式为
=，
其中的展开式的通项公式为 ，
当时，，，常数项为；
当时，，，常数项为；
当时，，，常数项为；
故常数项为++.
故选：D.
【题型5 二项式系数和与系数和问题】
【例5】（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．各项的系数和为64
C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为
【解题思路】对于A，由二项式展开式，通过赋值即可得解；对于B，直接赋值即可得解；对于C，由二项式系数的性质即可判断；对于D，由奇数项、偶数项二项式系数的性质即可判断.
【解答过程】对于A，的展开式通项为，
当时，常数项为，选项A正确；
对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误；
对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；
对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.
故选：A.
【变式5-1】（2024·四川乐山·三模）设，则（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【解题思路】令求得，令即可求得的值．
【解答过程】由，令，得；
令，得，
所以．
故选：C．
【变式5-2】（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为（ ）
A．1 B．243 C．64 D．0
【解题思路】利用二项展开式表示项系数比项系数多35求出的值，然后令，即求出各项系数之和.
【解答过程】根据二项式的展开式，
当时，的系数为，
当时，的系数为，
因为多项式的项系数比项系数多35，
所以，解得，
所以其各项系数之和，即当时，系数和为0，
故选：D.
【变式5-3】（2024·广东江门·一模）已知，则的值是（ ）
A．680 B． C．1360 D．
【解题思路】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.
【解答过程】令，则，即
令，则，
即，
两式相加可得，
故选：B.
【题型6 二项式系数的最值问题】
【例6】（2024·四川雅安·一模）的展开式中，系数最小的项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【解题思路】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解.
【解答过程】依题意，的展开通项公式为，其系数为，
当为奇数时，才能取得最小值，
又由二项式系数的性质可知，是的最大项，
所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小.
故选：C．
【变式6-1】（2024·江西南昌·三模）若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【解题思路】先利用二项式系数的增减性求出的值，再根据展开式的通项公式求解即可.
【解答过程】因为的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，
所以，解得，
则的展开式通项为 ，
当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，
所以展开式中系数最大时，为偶数，
由展开式通项可知，，，
，，
所以展开式中系数最大的是第三项，
故选：B.
【变式6-2】（2024·辽宁丹东·二模）在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解题思路】根据若n为偶数，则二项式系数最大的是中间一项即第项，若n为奇数，则二项式系数最大的是中间两项，即第项和第项求解.
【解答过程】因为在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，
所以，
解得，
故选：B.
【变式6-3】（23-24高三上·河南安阳·阶段练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值.
【解答过程】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则
∴展开式的通项为
则该展开式中各项系数
若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得
∴系数的最小值为
故选：C.
【题型7 整除和余数问题】
【例7】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若能被7整除，则x，n的一组值可能为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】利用二项式定理得展开式，对选项一一判断即可得出答案.
【解答过程】，
当，时，能被7整除；
当，时，不能被7整除；
当，时，不能被7整除；
当，时，不能被7整除．
故选：A．
【变式7-1】（2024·湖南怀化·二模）若，则被8整除的余数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．
【解答过程】在已知等式中，取得，
取得，
两式相减得，
即，
因为
因为能被8整除，
所以被8整除的余数为5，
即被8整除的余数为5，
故选：B.
【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解题思路】根据给定条件，利用二项式定理变形，求出除以8的余数即可得解.
【解答过程】依题意，
，
显然是8的整数倍，因此除以8的余数是6，
而2021，2022，2023，2024除以8的余数分别为5，6，7，0，
所以的值可以是2022.
故选：B.
【变式7-3】（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
【解题思路】借助二项式的展开式计算即可得.
【解答过程】由
，
故除以的余数为，故除以的余数为，
故年后是马年.
故选：B.
【题型8 近似计算问题】
【例8】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
【解题思路】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案.
【解答过程】存入大额存款元，按照复利计算，
可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
可得，
故选：D.
【变式8-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【解题思路】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可.
【解答过程】存入大额存款10万元，按照复利计算，
每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列，
所以本利和．
故选：B．
【变式8-2】（2024·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据二项式定理即可估算近似值.
【解答过程】由题意可知
故选：C.
【变式8-3】（2024·江西南昌·一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：
对于任意实数，
当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：
.
用这样的方法，估计的近似值约为（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
【解题思路】变形，然后根据题中的方法计算即可.
【解答过程】.
故选：B.
【题型9 证明组合恒等式】
【例9】（2024高三·全国·专题练习）
【解题思路】构造函数，即有由，可得中的系数为：，而展开式中的系数为，即可证明.
【解答过程】记，则，
所以
由于，
所以
所以中的系数为：，
而展开式中的系数为，
所以成立.
【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）求证：
【解题思路】利用恒等式及二项式定理，左右展开后对应项系数相同，利用组合数性质计算即可.
【解答过程】考虑恒等式：，
有
．
左边展开式中的系数为：
，
而右边展开式中项的系数为零．
所以.
即得所证等式．
【变式9-2】（2024高三·全国·专题练习）求证：.
【解题思路】根据，利用二项式定理分别求出等式左右两边含的项的系数即可证明.
【解答过程】证明： ，
当时，展开式中的系数为，
又，
当时，展开式中的系数为，
，
.
【变式9-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数 ，其中．
(1)若，，求的最大值；
(2)若，求证：．
【解题思路】（1）由二项式定理求得，从而求得，然后设最大，解不等式组求解；
（2）用写出等式左边的和式，然后由组合数公式化简变形后再由二项式定理可证．
【解答过程】（1）： ，，
∴，∴．
不妨设为中的最大值，则∴
∴∴或6．
中最大值为．
（2）证明：若，，
．
因为 ，
所以
．
故得证．
【题型10 二项式定理与数列求和】
【例10】（2024·江西·模拟预测）设，则（ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
【解题思路】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得；
【解答过程】解：的展开式的通项为，，
所以.
故选：A.
【变式10-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案.
【解答过程】∵，展开式中的系数为，
∴则
，
故选：B．
【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）设，在数列中，，前项和为．
(1)求的通项公式．
(2)在等差数列中，，证明：．
【解题思路】（1）本题可以通过题中的一般项与前n 项和的关系式，利用公式来推导和的关系，从而得出的通项公式；
（2）先由题意得出的通项公式，再利用错位相减法求出的求和公式，将，，分别代入到和利用二项式定理化简，即可得证结果.
【解答过程】（1）当时，因为，且，所以，解得．
当时，由，得．
两式相减，得．
因为，所以．
又，所以是首项为1，公比为的等比数列．
故的通项公式为．
（2）由已知，得，
所以等差数列的公差，
故的通项公式为．
则，
则．
两式错位相减，得
，
所以．
当时，；
当时，，．
此时．
当时，，
所以 ．
故对任意，都有．
【变式10-3】（2024·山东·模拟预测）设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.
(1)若数列满足，，其前项和为，证明：；
(2)若为奇数，求证：能被整除；
(3)对于整数与，，求证：可整除.
【解题思路】（1）利用等比数列前项和公式，求得，再结合二项式定理以及整除性质②即可得出证明；
（2）由二项展开式可得为奇数时，满足，可得结论；
（3）分别对整数为奇数和偶数进行分类讨论，利用表达式将的表达式化简成含有的式子，再结合（2）中的结论即可证明可整除.
【解答过程】（1）因为，可知数列是以为首项，公比为的等比数列；
所以，
而，且31与9互质；
易知
，
所以；
，
所以；
结合整除性质②可知：；
（2）因为 ，
且为奇数，所以；
因此能被整除.
（3）易知.
当时，，
，
上式中，由（2）知，能被整除，
另一方面，
，
上式中，所以也能被整除，且与互质，
所以能被整除，即能被整除.
类似可证当时，，
，
显然，由（2）知，能被整除；
另一方面，
，
所以能被整除；且与互质.
能被整除.
综上可知能被整除.
【题型11 杨辉三角】
【例11】（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解.
【解答过程】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，
因此，即D正确，ABC错误.
故选：D.
【变式11-1】（2024·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．第34行中第15个数与第16个数之比为
【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错.
【解答过程】第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，
它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确；
第行是二项式的展开式的系数，
故第行中第个数为，第个数为，又，B正确；
“杨辉三角”第行是二项式的展开式的系数，所以，
，C正确；
第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D不正确.
故选：D.
【变式11-2】（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数.
(1)当时，写出三项式系数，，，，的值；
(2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表；
(3)求的值（用组合数作答）.
【解题思路】（1）写出展开式，即可得到相应的系数；
（2）写出（，）的展开式，即可得解；
（3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解.
【解答过程】（1）因为，
所以，，，，；
（2）因为，
，
，
，
，
所以三项式的（，）次系数的数阵表如下：
（3）
，
其中系数为，
又
而二项式的通项（且），
由，解得，
所以系数为，
由代数式恒成立，
所以.
【变式11-3】（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家 教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式
(1)求图2中第10行的各数之和；
(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据二项式系数的性质求和即可；
（2）根据组合数的性质化简求值即可；
（3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解.
【解答过程】（1）第10行的各数之和为：.
（2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为：
.
（3）存在，理由如下：
设在第行存在连续三项，其中且且，
有且，化简得且，
即，解得，
所以，
故这三个数依次是.
一、单选题
1．（2024·江西·一模）的展开式中的常数项为（ ）
A．147 B． C．63 D．
【解题思路】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得
【解答过程】二项式展开式中项分别为，
所以的展开式中的常数项为．
故选：C.
2．（2024·河南·模拟预测）的展开式中x的系数为（ ）
A．30 B．40 C．70 D．80
【解题思路】利用二项式定理，写出通项公式直接求解即可
【解答过程】展开式的通项，
令即，此时，
展开式的通项，
令，即，此时，
所以展开式中的系数为.
故选：C.
3．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在的展开式中，的系数为（ ）
A．200 B．180 C．150 D．120
【解题思路】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案.
【解答过程】的展开式的二项式通项为，令，则．
的展开式的二项式通项为，
令，可得．
故项的系数为．
故选：D.
4．（2024·湖北·模拟预测）被9除的余数为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．8
【解题思路】化简得出，应用二项式展开式根据整除即可计算求出余数.
【解答过程】
其中是9的整数倍.
故被9除的余数为4.
故选：B.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）在的展开式中，含的项的系数是7，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用多项式乘法法则对式子展开，合并同类项即可得到系数的值.
【解答过程】由题意可知展开式中含的项：
∴,
故选：D.
6．（2024·湖北·模拟预测）若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中的系数为（ ）
A．8 B．28 C．70 D．252
【解题思路】先确定值，再由二项展开式的通项求解项的系数即可.
【解答过程】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项，
即二项式系数中第5个即最大，
所以由二项式系数的性质可知，
展开式中共项，，又，
则二项展开式的通项公式
，.
令，所以的系数为．
故选：D．
7．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，则被10除所得的余数为（ ）
A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是
【解题思路】由题意可得，将其展开式写出后可得，即可得解.
【解答过程】，
由，
故被10除所得的余数为.
故选：C.
8．（23-24高二下·云南·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
D．第2020行的第1010个数最大
【解题思路】对于ABC选项，都可以对照图表与二项式系数的关系，即可得到判断；对于D选项，则需要找到二项式系数的规律分析即可或直接运用二项式系数的性质直接判断，如第2020行的二项式系数是，根据二项式系数的性质最大的是，从而判断是第1011项．
【解答过程】对于：因为，所以，故正确；
对于：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：，其和为；而第9行第8个数字就是36，故B正确；
对于C：依题意：第12行从左到右第2个数为，第12行从左到右第3个数为，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为，故C正确；
对于D：由图可知：第行有个数字，如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故D错误.
故选:D.
二、多选题
9．（2024·山西临汾·三模）在的展开式中（ ）
A．所有奇数项的二项式系数的和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数的和为
【解题思路】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A；二项式系数的最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式，再对赋值，即可确定C；令，可求出所有项的系数的和，从而确定D.
【解答过程】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B, 二项式系数最大为，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；
对于C,，为有理项，可取的值为，所以有理项共有三项，故C错误；
对于D,令，则所有项系数和为，故D错误.
故选：AB.
10．（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用赋值法一一计算可判定A、D选项；利用二项式定理可判定B、C选项.
【解答过程】对于A，令，则，故A正确；
对于D，令，
令，
两式相减得，故D正确；
易知，
而中的常数项为1，含项为，
含项为，含项为，
同理中的常数项为，含项为，
含项为，含项为，
所以，故B错误；
，故C正确.
故选：ACD.
11．（2024·山西·三模）已知函数，则（ ）
A． B．展开式中，二项式系数的最大值为
C． D．的个位数字是1
【解题思路】对于A：根据二项展开式分析求解；对于B：根据二项式系数的性质分析求解；对于C：利用赋值法，令、即可得结果；对于D：因为，结合二项展开式分析求解.
【解答过程】对于选项A：的展开式的通项为，
令，可得，
所以，故A错误；
对于选项B：因为为偶数，可知二项式系数的最大值为，故B正确；
对于选项C：令，可得；
令，可得；
所以，故C错误；
对于选项D：因为，
且的展开式的通项为，
可知当，均为20的倍数，即个位数为0，
当时，，所以的个位数字是1，故D正确；
故选：BD.
三、填空题
12．（2024·河北保定·三模）在的展开式中，常数项为75，则 .
【解题思路】写出二项展开式的通项公式，进而可求出结果.
【解答过程】的展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为，又，解得.
故答案为：.
13．（2024·四川攀枝花·三模）若的展开式中的系数为，则展开式中所有项的二项式系数之和为 32 ．（以数字作答）
【解题思路】直接利用二项式的展开式求出结果．
【解答过程】根据的展开式的通项公式为，
当r＝3时，，解得；
故所有项的二项式系数之和为．
故答案为：32．
14．（2024·福建宁德·三模）中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶，《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”，指出闰年有366天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》，规定一年为365.2425天，和现行公历格里高利历是一样的，但比它早了300多年.现行公历闰年是如下确定的:①能被4整除，但不能被100整除;②能被400整除，满足以上两个条件之一的年份均为闰年，则公元年，距上一个闰年的年数为 5 .
【解题思路】借助二项式的展开式计算可得能整除、，不能整除，故公元年不是闰年，而能整除，但不能整除，故公元年是闰年.
【解答过程】
，
则能整除，即能整除，
，
则能整除，
又
，
故不能整除，
故公元年不是闰年，
则能整除，但不能整除，故公元年是闰年，
则公元年，距上一个闰年的年数为.
故答案为：.
四、解答题
15．（2024高三·全国·专题练习）已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.
(1)求的值；
(2)求展开式中的常数项，并指出是第几项；
【解题思路】（1）由二项式系数之比列式求解即可；
（2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解．
【解答过程】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
∴，即，由，解得；
（2）展开式的通项为
，
令，解得，
∴，
∴常数项为60，为第5项.
16．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）设，求：
(1)；
(2)
【解题思路】（1）先代入得，进而分别代入和后两式相加可得，从而可得的值.
（2）根据（1）可得，由通项公式可知，当 r 为偶数时，对应系数为正；当 r 为奇数时，对应系数为负，从而得的值.
【解答过程】（1）取 ,得到 ；
取 得到 ，
取得到 ，
两式相加得到 ，
所以 .
（2）根据（1）知： .
展开式的通项为： ，
故当 r 为偶数时，对应系数为正；当 r 为奇数时，对应系数为负，
故
.
17．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知的展开式中的所有二项式系数的和为32．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项．
【解题思路】（1）首先根据二项式系数和的公式求，再代入二项式系数最大公式，即可求解；
（2）根据通项公式，求有理项.
【解答过程】（1）易知：的展开式的所有二项式系数和为
由题意有，解得. 展开式共6项，二项式系数最大的项为第3项和第4项，
即，；
（2）二项式展开式的通项为，
当时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为．
18．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式.
(1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项．
(2)若，求二项式的值被除的余数；
【解题思路】（1）利用二项式系数和公式先求，再利用展开式通项公式列不等式组计算即可；
（2）将变形为，利用二项式定理计算即可.
【解答过程】（1）由题意可知，
则的展开通项公式为，
假设展开式中系数最大的项为第项，
则，
即，解得，所以，
展开式中系数最大的项为第6项，
即；
（2）因为时，
，
记，显然能被9整除，
所以二项式的值被除的余数为.
19．（2024高二下·全国·专题练习）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加.
(1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明.
(2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）写出，利用组合公式进行证明；
（2）在第n行存在连续三项，，，得到方程组，求出，，得到答案.
【解答过程】（1）观察得到．
利用组合相关公式证明如下：，
故原式得证.
（2）存在，理由如下：
设在第n行存在连续三项，，，其中且，且，
有且，化简得且，
即，解得，，
故三个数依次是45，120，210.
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