北京三十五中2024-2025学年九年级第二学期2月月考数学试卷(PDF版，无答案)

2025北京三十五中初三 2月月考
数 学
一、单项选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意. 共 16 分，每小题
2 分）
1.下列图形中，是轴对称图形但不．是．中心对称图形的是（ ）.
A． B． C． D．
2.在 2025 年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总
票房便达到 15.81 亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ）.
1.581 109 元 1.581 1010 元 5.27 108 元 5.27 109A. B. C. D. 元
3.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）.
A. a＞b B. a+b＞0 C. ac＞0 D. | a |＞| c |
4.正六边形的每个内角度数为（ ）.
A.60° B.120° C. 135° D.150°
5.用配方法解一元二次方程 x2 8x +10 = 0，下列变形正确的是（ ）.
2 2 2 2
A. (x 8) = 54 B. (x 8) = 6 C. (x 4) = 6 D. (x 4) = 6
6.如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB=65°，则
∠ADC 的度数为（ ）.
A.65° B. 35° C.32.5° D.25°
1 x 4,

7.把不等式组 x +1 中两个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）.
1
2
A． B． C． D．
8．某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30 天）接
待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表.
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游客人数/万人
20 每日接待游客人数 游玩环境
（单位：万人） 评价
15 0≤x＜5 好
5≤x＜10 一般
10
10≤x＜15 拥挤
5 15≤x＜20 严重拥挤
0
1 5 10 15 20 25 30 日期
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（ ）．
① 该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有 4 天；
② 该景区这个月每日接待游客人数的中位数在 5～10 万人之间；
③ 该景区这个月平均每日接待游客人数低于 5 万人；
④ 这个月 1 日至 5 日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么
3
他 “这两天游玩环境评价均为好”的可能性为 .
10
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9.若 x 1 在实数范围内有意义，则实数 x的取值范围是 .
10.分解因式： xy2 2xy + x = .
E
A F
D
a2
3 1 a-3
11.如果 + 3a 2 = 0，那么代数式 ( + ) 的值为 .
a2 9 a +3 a2
12.半径为 6cm，圆心角为 40°的扇形的面积为 cm2． B C
13.如图，在矩形 ABCD中，E 是边 CD的延长线上一点，连接 BE交边 AD 于点 F．若 AB=4，
BC=6，DE=2，则 AF 的长为 ．
14.在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球
2 只，红球 4 只，黑球 3 只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出 1 只球，则取出黑球的概率
是 ．
15.《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大小器
各容几何？”其大意是：今有大容器 5 个，小容器 1 个，总容量为 3 斛；大容器 1 个，小容器
5 个，总容量为 2 斛．问大容器、小容器的容量各是多少？设大容器容量为 x 斛，小容器容量
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为 y 斛，根据题意，可列方程组为 ．（斛：古量器名，容量单位）
16. 某快递公司的快递件分为甲类件和乙类件，快递员送甲类件每件收入 1 元，送乙类件每件
收入 2 元. 累计工作 1 小时，只送甲类件，最多可送 30 件，只送乙类件，最多可送 10 件；累
计工作 2小时，只送甲类件，最多可送 55件，只送乙类件，最多可送 20件；……，经整理形
成统计表如下：
累计工作时长
最多件数 （时） 1 2 3 4 5 6 7 8
种类 （件）
甲类件 30 55 80 100 115 125 135 145
乙类件 10 20 30 40 50 60 70 80
（1）如果快递员一天工作 8 小时，且只送某一类件，那么他一天的最大收入为 元；
（2）如果快递员一天累计送 x 小时甲类件，y 小时乙类件，且 x+y=8，x,y 均为正整数，那么
他一天的最大收入为 元．
三、解答题(本题共 68 分，第 17、18、19 每题各 5 分；第 20、21、22、24、25、26、27 题，
每题各 6 分；第 23 题 4 分；第 28 题 7 分)
17. 计算： 12 2 cos 30 + (3 π)0 + |1 3 | ．
2(x 1) x + 2，

18. 解不等式组： x +1
x.
2
19. 如图，在△ABC 中，∠CAB=∠CBA，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E.
求证：AD=BE．
A
E
B C
D
2
20．关于 x 的一元二次方程 x + 2x (n 1) = 0有两个不相等的实数根．
（1）求 n 的取值范围；
（2）若 n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
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21．如图，在△ABC 中， ACB = 90 ，D 为 AB 边上一点，连接 CD，E 为 CD 中点，连接 BE
并延长至点 F，使得 EF＝EB，连接 DF 交 AC 于点 G，连接 CF．
（1）求证：四边形 DBCF 是平行四边形；
（2）若 A = 30 ， BC = 4，CF = 6 ，求 CD 的长.
F C
E
G
A D B
22. 下面是某同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程．
已知：如图 1，⊙O．
求作：正方形 ABCD，使正方形 ABCD 内接于⊙O．
O
作法：如图 2，
① 过点 O 作直线 AC，交⊙O 于点 A 和 C； 图 1
② 作线段 AC 的垂直平分线 MN，交⊙O 于点 B 和 D；
③ 顺次连接 AB，BC，CD 和 DA；
则正方形 ABCD 就是所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明： ∵ AC 是⊙O 的直径，
∴ ∠ABC =∠ADC = °， A O C
又∵点 B 在线段 AC 的垂直平分线上，
图 2
∴ AB = BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA = °．
同理 ∠DAC = 45°．
∴ ∠BAD = ∠BAC +∠DAC = 45° + 45° = 90°．
∴ ∠DAB = ∠ABC = ∠ADC = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形（ ）（填依据），
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是正方形．
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23. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字
0，1，2 记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数 1212 记为 (1212) ，由3
(1212) =1 33 + 2 32 +1 31 + 2 30 = 50，可得 (1212) 是十进制数 50． 3 3
（1）将 (201)3转换为十进制数，结果是_______；
（2）对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论：
①如果这个数的末位数字能被 2 整除，那么这个数就能被 2 整除；
②如果这个数的所有数位上的数字之和能被 2 整除，那么这个数就能被 2 整除．
从中选出正确结论，并以四位的三进制数 (abcd ) 为例，说明该结论正确的道理． 3
24.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y = 2x + b经过点 A（1，m），B（ 1， 1）．
（1）求 b 和 m 的值；
（2）将点 B向右平移到 y轴上，得到点 C，设点 B关于原点的对称点为 D，记线段 BC与
AD 组成的图形为 G．
① 直接写出点 C，D 的坐标；
k
② 若双曲线 y = 与图形 G 恰有一个公共点，结合函数图象，求 k 的取值范围．
x
25.如图，在 Rt△OAB 中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，C 为 OB 边的中点，⊙O 经过点 C，BD
与⊙O 相切于点 D．
（1）求证：AB 与⊙O 相切；
（2）若 AB=2，求 AD 的长．
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26.如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成 135 的墙角(墙足够长)，另外两边
由总长为 30 m 的篱笆围成．
（1）苗圃的面积 y（单位：m2）是 BC的长 x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并
写出自变量 x 的取值范围；
（2）判断苗圃的面积能否达到 160 m2 ，并说明理由．
D
C
A B
27.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1+a，y1)，B(b，y2)是抛物线 y = ax
2 2ax (a 0)上不重合的
两点.
（1）当 a=1， y1 = y2时，求 b 的值；
（2）若对于 2 b 3，都有 y1 y2 ，求 a 的取值范围.
28.已知△ABE，将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 a (0°落在直线 BE 上．
（1）①依题意补全图 1；
②若 FC 垂直 BE，直接写出 a 的值；
（2）如图 2，过 B 作 AC 的平行线 BD，与 FE 的延长线交于点 D，FE 交 AC 于点 G，取
FD 的中点 M 和 BC 的中点 N，写出线段 MN 与 FG 的数量关系，并证明．
图 1 图 2
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