北京市西城区德胜中学2024-2025学年九年级下开学考数学试卷(PDF版，无答案)

德胜中学 初三数学开学调研 2025.2
时间：120 分钟 满分：100 分
姓名：________ 分层班级：________
提示：请在答题卡上，写清分层班级和任课教师姓名
一．选择题（共 8 小题）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四
幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图
形的是 ( )
A． B． C． D．
2．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至 2024 年 6 月上旬，上线慕课数量超
过 7.8 万门，学习人次达 1290000000，建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据
1290000000 表示为 ( )
A．1.29 108 B．12.9 108 C．1.29 109 D．129 107
3．在下列各式中，从左到右计算结果正确的是 ( )
A． 8 6 2 B． (x 1)2 x2 x 1 21 C． ( 2)2 2 D． 1
x 1 x 1
4．若实数 x的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是 ( )
A． | x | x B． 0 x 1 3 C． 2 2x 4 D．1 x2 4
5．若某个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
6．一组数据的方差为 s21 ，将这组数据中的每一个数都减去m(m 0)，得到一组新数据，其方
差为 s22 ，则 s
2 2
1 与 s2 的大小关系是 ( )
A． s21 s
2
2 B． s
2
1 s
2 C． s22 1 s
2
2 D．无法确定
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7．在一个不透明的盒子中装有 3 个小球，其中 2 个红球、1 个绿球，除颜色不同外，其它没
有任何差异．小红将小球摇匀，从中随机摸出 2 个小球，恰好是 1 个红球和 1 个绿球的概率
是 ( )
A 1 4． B． C 1 D 2． ．
3 9 2 3
8．如图，正方形 ABCD中，点 E 为CD边上的点（点 E 不与点C 、D 重合），以CE 为边作正方
形CEFG ，连接 AF ，设 AB a ，CE b， AF c ，给出下面三个结论：
① a2 b2 c ； ② 2a c ； ③ 2(a2 b2 ) c2 ；
上述结论中，所有正确结论的序号是 ( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共 8 小题）
9 x．若分式 有意义，则 x的取值范围是 ．
2 x
10．分解因式： xy2 6xy 9x ．
11．能说明“若 a 2 4 ，则 a 2”是假命题的一个反例可以是 ．
12．如图，在 ABCD 中，点 E 在边 AD 上， BA ，CE 的延长线交于点 F ．若 AF 1， AB 2 ，
AE
则 ．
ED
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2 2xy y
2 x y
13．若 2x 2xy 5 0，则代数式 (x ) 的值为 ．
x x2
14．若关于 x的一元二次方程 x2 (m 1)x m 0的两个实数根的差等于 2，则实数m 的值是 ．
15. 埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学
之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地
球周长的设想，如图，点 A和点 B 所在位置是几乎在同一条经
线上的两座城市，两地相距约1600km ，在 A 处有一口垂直于
地面的水井，夏至日中午 12 点太阳光可直射井底，同一时刻
在 B 处竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线
与木棍所在直线的夹角 约为14.4 ，据此可以估算地球的周
长约为 km．
16．学校组织了一次文艺汇演，有四个节目需要彩排，分别是 A、B、C、D。所有演员到
场后节目彩排开始，一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始. 每个节目的演员人数
和彩排时长（单位：分钟）如下：
节目 A B C D
演员人数 8 5 12 3
彩排时长 20 15 25 10
已知每位演员只参演一个节目. 一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到
这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.若节目按“A-B-
C-D”的先后顺序彩排，则节目 D 的演员的候场时间为________分钟；若使这 28 位演员的
候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排.
三．解答题（共 12 小题）
17 1．计算： ( 1)2024 | 3 2 | 12 ( ) 2 ．
2
2(x 1) 5x 4
18．解不等式组： 6x 1 ．
x 1 3
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19． 已知： O为△ ABC 的外接圆， D 是 BC 边上的一点，连接 AD ．
求作： BEC ，使得点 E 在线段 AD 上，且 BEC 2 BAC ．
作法：
① 连接OB ，分别作线段OB ， BC 的垂直平分线 l1 ， l2 ，两直线交于点 P ；
② 以点 P 为圆心， PB 长为半径作圆，交线段 AD 于点 E ；
③ 连接 BE ，CE ．
BEC 就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC ．
点 A， B ，C 在 O上，
1 BAC BOC( )（填推理的依据），
2
点 B ，O ， E ，C 在 P 上，
BEC ．
BEC 2 BAC ．
20．如图，在四边形 ABCD中，点 E 在 BC 上，AE / /CD ， ACB DAC ，EF AB 于点 F ，EG AC
于点G ， EF EG ．
（1）求证：四边形 AECD是平行四边形；
（2）若CD 4， B 45 ， CEG 15 ，求 AB 的长．
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21．列方程或方程组解应用题．
如图 1，正方形 ABCD是一块边长为 30cm的灰色地砖，在
A，B ，C ，D 四个顶点处截去四个全等的等腰直角三角
形后，得到一块八边形地砖．用四块相同的该八边形地砖
和一块黑色正方形地砖拼成如图 2 所示的图案，该图案
的面积为 3000cm2（不考虑接缝），求一块八边形地砖和黑
色正方形地砖的面积.
22．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx b(k 0) 的图象由函数 y 2x 的图象平移得到，
且经过点 (1,1) ．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）当 x 2时，对于 x的每一个值，函数 y mx 2(m 0) 的值小于一次函数 y kx b(k 0) 的
值，直接写出m 的取值范围．
23．某校甲、乙两个班级各有 23 名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班
级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位： cm) ，数据整理
如下：
a．甲班 23 名学生的身高：
163，163，164，165，165，166，166，166，166，167，167，168，169，169，170，171，
171，172，173，173，174，179，180．
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b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：
班级 平均数 中位数 众数
甲 169 m n
乙 169 170 167
（1）写出表中m ， n的值；
（2）在甲班的 23 名学生中，高于平均身高的人数为 p1，在乙班的 23 名学生中，高于平均身
高的人数为 p2 ，则 p1 p2 （填“ ”“ ”或“ ” )；
（3）若每班只能有 20 人参加入场式队列表演，首先要求这 20 人与原来 23 人的身高平均数
相同，其次要求这 20 人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的 3 名学生的身高分别为 cm ．
24．如图，在 ABC 中， AB AC ，分别过点 A，C 作 AB，BC 的垂线，交于点 D．连接 BD，
过点 A 作 AE BD于点 E ，交 BC 的延长线于点 F ．
（1）求证：AF=BF；
（2）当 BE 4， AD 5 时，求线段 EF 的长及 ABC 的外接圆的半径长．
A
D
E
B C F
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25．某科技展览馆在周末开放时，统计了参观者到达展览馆检票口的情况，如果把参观
者到达检票口的累计人数 y（y 为整数，单位：人）和时间 x（x 为整数，单位：分钟）
的数据点（x,y）标记到坐标系中，用光滑的曲线连数据
点，y 可近似看作 x 的二次函数，其图象经过原点，且
顶点坐标为 (30, 900)，0≤x≤30. 若展览馆入口处有一个
自动检票机，每分钟可处理 40 张票.
（1）求 y 与 x 之间的函数解析式；
（2）展览馆入口处排队等待检票的参观者人数最多时有多少人？
（3）检票开始后的第 4 分钟开始，为了减少排队等候时间，展览馆在入口处临时开放了
一个自动检票机. 若新自动检票机每分钟可处理 12 张票，则新机器投入使用多长时间
后，展览馆检票处不再出现排队等待的情况（直接写出结果）.
26．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ax2 4amx am2 4．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若对于该抛物线上的三个点 A(m 2, y1)， B(2m 1, y2 )，C(2m 2, y3 )，总有 y2 y3 y1，求
实数m 的取值范围．
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27. 在 Rt ABC 中， C 90 , B (0 45 )，点 P 是线段 BC 上一点，将线段 PC 绕点 P
顺时针旋转 2 得到线段 PD，点 D 落在 Rt ABC 内部，连接 AD，CD.
（1）补全图形；
（2）过点 D 作 DM//AB 交 BC 于点 M，求证：点 P 为 CM 中点；
（3）作点 D 关于直线 BC 的对称点 E，连接 AE，过点 E 作 EF AE ，交直线 BC 于点 F，写
出线段 BF 与 CP 的数量关系，并证明.
A
B
C P
A
B
C P
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28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对图形 M 和图形 N，点 P 是图形 M 上一点，点 Q 为
图形 N 上任意一点，若存在一点 Q 使得 P，Q 两点之间距离有最小值，记为 d. 当点
P 在图形 M 上运动时，d 也随之变化，在变化过程中，若 d 存在最小值和最大值，分别
d d
记为 dmin 和 dmax ，则定义图形 M 和图形 N 的距离为 [M , N ]
min max .
2
已知点 A（0,4），点 B（3,0）， O 的半径为 1.
（1） [ O, 点A]=_______； [ O, 线段AB] =______;
（2）若 S的半径为 r， S 与 O 没有公共点，若 [ S， O]=2，则 r 的取值范围是：
________；
（3）已知点 E 在⊙O 上，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 F，直接写出 [线段EF，x轴]
的取值范围.
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