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第1课时 用代入消元法解简单的二元一次方程组
学习目标
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”.
3.在解决问题的过程中学会交流与合作,感受二元一次方程组的实用价值.
自主探索
1.已知方程x-2y=4，先用含x的代数式表示y，再用含y的代数式表示x，并比较哪一种形式比较简单.
2.回顾上一节课的实际问题：
新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm 棉田的采摘，小型采棉机l h完成1hm 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
设租用了大型采棉机x台,小型采棉机y台,我们已经列出了二元一次方程组
如何求出二元一次方程组的解呢？
任务一 用代入法解二元一次方程组
活动1 (1)若设租用大型采棉机x台，请列出一元一次方程.
(2)观察下面两种列方程的方式，你能找出解二元一次方程组的办法吗？
设一个未知数 设两个未知数
大型采棉机数量
小型采棉机数量
方程(组)
问题1 二元一次方程组中的y相当于一元一次方程中的哪一部分？为什么？
问题2 你能把二元一次方程2x+y=8转化成一元一次方程 2x+(6-x)=8吗？方法是什么
问题3 解一元一次方程2x+(6-x)=8，可以得到x的值，你能根据x的值求出y的值吗？尝试一下.
归纳总结：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的 方程.我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用 的式子表示出来，再代入 ，实现 ，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
例1 你能把以下方程写成用含x的式子表示y的形式吗
(1) x+y=3；(2) x-y=3；(3)x+3y=2.
例2 解方程组
据上面方程组的解法，请同学们思考两个问题:
(1)代入消元法解二元一次方程组的基本思路是什么
(2)用代入消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些
归纳总结：
解二元一次方程组的基本思路：“ ”
例3 用代入法解方程组
【即时测评】
1.把二元一次方程3x﹣y＝2改写成含x的式子表示y的形式： ．
2.解方程组
当堂达标
1. 用代入法解方程组较简单的变形是( )
A.先把①变形
B.先把②变形
C.可以先把①变形,也可以先把②变形
D.把①②同时变形
2.将方程2x＋y＝1转化为用含x的式子表示y的形式，正确的是( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝1＋2x C．－y＝2x＋1 D．y－1＝2x
3.用代入法解方程组时，最好是先把 变形为 ，再代入方程 ，求出 的值，然后再求出 的值，最后写方程组的解．
4.把下列方程改写为用含x的代数式表示y的形式.
(1)2x+y=6;(2)5x-y-5=0．
5.解下列方程组:
(1) (2)
参考答案
当堂达标
1.A 2.A 3.x－3y＝8 x＝8＋3y 2x＋4y＝7 y x
4.解：(1)移项，得y=6-2x.
(2)移项，得-y=5-5x,两边同乘以-1，得y=5x-5.
5.解:(1)
由②得x=-2y-2.③
把③代入①,得-4y-4-3y=3.
解这个方程,得y=-1.
把y=-1代入③,得x=0.
∴原方程组的解为
(2)
由②得x=-1-3y.③
把③代入①,得3(-1-3y)-y=7.
解这个方程,得y=-1.
把y=-1代入③,得x=2.
∴原方程组的解为
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第1课时 用代入消元法解简单的二元一次方程组
课标摘录 掌握消元法,能解二元一次方程组.
教学目标 1.会用代入消元法解二元一次方程组. 2.初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”. 3.在解决问题的过程中学会交流与合作,感受二元一次方程组的实用价值.
教学重难点 重点:会用代入法解二元一次方程组. 难点:探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
教学策略 在教学过程中,以探究为主线,通过设置带有启发性和思考性的问题,创设问题情境,引导学生思考、讨论,让学生亲身体验知识的产生过程,激发学生探求知识的欲望,使学生始终处于主动探索问题的积极状态,使获取新知识水到渠成.学生在独立思考问题的同时,学会互相探讨,发挥团队精神,更好地增强学生的合作意识.
情境导入 1.已知方程x-2y=4,先用含x的代数式表示y,再用含y的代数式表示x,并比较哪一种形式比较简单. 2.回顾上一节课的实际问题: 新疆是我国棉花的主要产地之一,近年来,机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机,1 h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1 h完成2 hm2棉田的采摘,小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘,那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台 设租用了大型采棉机x台,小型采棉机y台,我们已经列出了二元一次方程组 如何求出二元一次方程组的解呢 设计意图:第1题为用代入法解二元一次方程组打下基础;第2题回顾所学,顺势引导学生思考二元一次方程组的解答方法,培养自主学习习惯.
新知初探 探究 用代入法解二元一次方程组 活动 (1)若设租用大型采棉机x台,请列出一元一次方程. 2x+(6-x)=8. 追问:二元一次方程组与一元一次方程2x+(6-x)=8有没有关系呢 (2)观察下面两种列方程的方式,你能找出解二元一次方程组的办法吗
设一个未知数设两个未知数大型采棉机数量xx小型采棉机数量6-xy方程(组)2x+(6-x)=8
问题1:二元一次方程组中的y相当于一元一次方程中的哪一部分 为什么 问题2:你能把二元一次方程2x+y=8转化成一元一次方程2x+(6-x)=8吗 方法是什么 师生活动:学生观察一元一次方程与二元一次方程组的特点,独立思考后小组讨论,选学生回答. 追问:把二元一次方程转化成一元一次方程的过程,体现了什么数学思想方法 设计意图:培养学生的自主学习习惯,发展观察总结能力,激发学生学习的自信心. 问题3:解一元一次方程2x+(6-x)=8,可以得到x的值,你能根据x的值求出y的值吗 尝试一下. 师生活动:教师适当引导并鼓励学生独立完成计算.教师对该方法进行总结. 追问1:把x=2代入方程x+y=6,能求出y的值吗 把x=2代入方程2x+y=8,能求出y的值吗 追问2:怎样代入求y的值更简单一些 归纳总结:见课件. 活动 意图说明 (1)通过引导学生将求解二元一次方程组的问题转化为消“二元”为“一元”,调动学生思考问题的积极性,同时提高学生分析问题、解决问题的能力. (2)通过问题罗列及小组讨论,让学生发挥学习的主动性,同时让学生养成学会观察、分析、归纳的好习惯. 追问:上述问题的解决中,我们用含有未知数x的代数式表示y,从而消去未知数y,列出关于x的一元一次方程,那么能不能消去未知数x,列出关于未知数y的一元一次方程呢 尝试一下. 师生活动:教师提出问题后,将学生分成小组讨论,教师深入学生的讨论中,引导学生观察. 设计意图:该环节通过一个二元一次方程组的两种不同消元,让学生对比体会消元法是消去一个未知数,即可以消去x,也可以消去y. 【例1】见课件、导学案. 思考: 把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的式子表示时,为了使计算简便,第一个未知数的系数应该怎样选择 为什么 设计意图:通过练习让学生掌握用一个未知数表示另一个未知数的方法,并体会到未知数的系数要选择为1或-1的,才能使计算简便,为下一步用代入法解二元一次方程组做好铺垫. 【例2】见教材P92例1或课件、导学案. 思考:消去哪个未知数计算比较简便,为什么 师生活动:学生独立思考后可尝试计算,再跟随教师共同作答.教师规范解题格式,总结解答方法.
追问1:把③代入①,可以吗 试试看. 追问2:把y=-1代入①,能求出x的值吗 把y=-1代入②能求出x的值吗 哪种代入方法更简单一些 根据上面方程组的解法,请同学们思考两个问题: (1)代入消元法解二元一次方程组的基本思路是什么 (2)用代入消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些 师生活动:由学生分组讨论、总结并请学生代表发言.教师总结概括学生的讨论结果. 归纳总结:见课件. 设计意图:规范解二元一次方程组的具体步骤,培养学生有条理的思维和解题习惯.归纳解方程组的步骤可以帮助学生进一步内化知识——将一般性的问题程序化从而构建解决问题模式以突出重点、提高效率. 【例3】见教材P92例2或课件、导学案. 思考:消去哪个未知数计算比较简便,为什么 师生活动:学生动手,教师启发引导即可.要提醒学生注意解题规范. 设计意图:通过例题,进一步巩固学习当未知数的系数为-1时解二元一次方程组的步骤和方法. 【即时测评】见课件、导学案.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.什么是消元 消元的过程蕴含什么数学思想 2.用代入法解二元一次方程组的步骤是什么 3.本节课你还有哪些收获 存在什么疑惑 设计意图:学生思考后能畅所欲言,及时总结知识点,充分发挥学生的主体意识,培养学生归纳总结的能力.
板书设计 10.2 消元——解二元一次方程组 10.2.1 代入消元法 第1课时 用代入消元法解简单的二元一次方程组 1.消元法 2.代入法 二元一次方程组一元一次方程 【例1】 【例2】 【例3】
教学反思
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第10章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
第1课时 用代入消元法解简单的二元一次方程组
学习目标
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”.
3.在解决问题的过程中学会交流与合作,感受二元一次方程组的实用价值.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
例子
1.已知方程x-2y=4，先用含x的代数式表示y，再用含y的代数式表示x，并比较哪一种形式比较简单.
y= x-2
x=2y+4
2.回顾上一节课的实际问题：
新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8 hm 棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm 棉田的采摘，小型采棉机l h完成1hm 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台
设租用了大型采棉机x台,小型采棉机y台,我们已经列出了二元一次方程组
如何求出二元一次方程组 的解呢？
新知初探
贰
新知初探
任务一 用代入法解二元一次方程组
活动1 (1)若设租用大型采棉机x台，请列出一元一次方程.
2x+(6-x)=8.
设一个未知数 设两个未知数
大型采棉机数量
小型采棉机数量
方程(组)
问题1 二元一次方程组中的y相当于一元一次方程中的哪一部分？为什么？
x
(2)观察下面两种列方程的方式，你能找出解二元一次方程组的办法吗？
6-x
2x+(6-x)=8
x
y
问题2 你能把二元一次方程2x+y=8转化成一元一次方程 2x+(6-x)=8吗？方法是什么
观察:二元一次方程组和一元一次方程有何联系？这对你解二元一次方程组有何启示？
问题3 解一元一次方程2x+(6-x)=8，可以得到x的值，你能根据x的值求出y的值吗？尝试一下.
设一个未知数 设两个未知数
大型采棉机数量
小型采棉机数量
方程(组)
x
6-x
2x+(6-x)=8
x
y
由①，得y = 6－x. ③
将③代入②，得
2x+(6－x)=8.
解得x = 2.
把x = 2代入③，得y = 4.
x+y=6①
2x+y=8②
用二元一次方程组求解
所以原方程组的解为
要点归纳
解二元一次方程组的基本思路：“消元”
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.
范例应用
例1 你能把以下方程写成用含x的式子表示y的形式吗
x+y=3；(2) x-y=3；(3)x+3y=2.
解：(1)y=3-x;(2)y=x-3.(3)y=
范例应用
x－y = 3 ，
3x－8y = 14.
转化
代入
求解
回代
写解
①
②
所以这个方程组的解是
x = 2，
y = －1.
把 y = －1代入③，得 x = 2.
把③代入②，得 3(y + 3)－8y = 14.
解：由①，得 x = y + 3 . ③
注意：检验方程组的解.
例2 解方程组
解这个方程，得 y = －1.
思考：把③代入
①可以得解吗？
消去哪个未知数计算比较简便，为什么？
(1)代入消元法解二元一次方程组的基本思路是什么
消元
(2)用代入消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些
用代入法解二元一次方程组的一般步骤
(1)变：将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
(2)代：用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(3)求：把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值；
(4)写：写出方程组的解.
1．为什么能替换？
代表了同一个量
二元一次方程组 一元一次方程
消元
2．代入前后的方程组发生了怎样的变化 （代入的作用）
化归思想
代入
范例应用
例3 用代入法解方程组
解:由②，得y=2x-16.
把③代入①，得3x-5(2x-16)=3.③
解这个方程，得x=11.
把x=11代入③，得y=6.
所以这个方程组的解是
消去哪个未知数计算比较简便，为什么？
即时测评
1.把二元一次方程3x﹣y＝2改写成含x的式子表示y的形式： ．
2.解方程组
解: 由②得x=-1-3y,③
把③代入①得3(-1-3y)-y=7.
解得y=-1,把y=-1代入③得x=2.
∴原二元一次方程组的解为
y＝3x﹣2
当堂达标
叁
1. 用代入法解方程组 较简单的变形是( )
A.先把①变形
B.先把②变形
C.可以先把①变形,也可以先把②变形
D.把①②同时变形
当堂达标
A
2.将方程2x＋y＝1转化为用含x的式子表示y的形式，正确的是( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝1＋2x
C．－y＝2x＋1 D．y－1＝2x
A
3.用代入法解方程组 时，最好是先把 变形
为 ，再代入方程 ，求出 的值，然后再
求出 的值，最后写方程组的解．
4.把下列方程改写为用含x的代数式表示y的形式.
(1)2x+y=6;(2)5x-y-5=0．
x－3y＝8
x＝8＋3y
2x＋4y＝7
解：(1)移项，得y=6-2x.
(2)移项，得-y=5-5x,
两边同乘以-1，得y=5x-5.
y
x
5.解下列方程组:
解:(1)
由②得x=-2y-2.③
把③代入①,得-4y-4-3y=3.
解这个方程,得y=-1.
把y=-1代入③,得x=0.
∴原方程组的解为
解：(2)
由②得x=-1-3y.③
把③代入①,得3(-1-3y)-y=7.
解这个方程,得y=-1.
把y=-1代入③,得x=2.
∴原方程组的解为
课堂小结
肆
课堂小结
用一个未知数表示另一个未知数
代入消元
解一元一次方程得到一个未知数的值
求另一个未知数的值
代入法的核心思想是消元
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2(1)，(2)题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2（2），（3）题
谢
谢(共16张PPT)
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
第1课时 用代入消元法解简单的二元一次方程组
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含
表示出来,再代入 ,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种解二元一次方程的方法叫作 ,简称 .
另一个未知数的
式子
另一个方程
代入消元法
代入法
课堂互动
知识点一 用一个未知数表示另一个未知数
解:(1)y=x-3.
(2)y=-5x-1.
例1 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式.
(1)x-y=3; (2)5x+y+1=0.
知识点二 用代入法解简单二元一次方程组例2 用代入法解下列方程组.
基础题
B
1.(教材练习变式)已知二元一次方程2x-3y=4,用含x的代数式表示y,正确的是( )
D
3x+4y=10
中档题
D
6.若(2m-n+2)2与|4m+n+4|互为相反数,则(m+n)2 022= .
7.定义运算“☆”,规定x☆y=ax+by,其中a,b为常数,如果1☆2=5,
2☆1=6,那么3☆3= .
1
11
(2)若点P到y轴的距离为5,求点P的坐标.
素养题
9.(新定义题)对于有理数x,y,定义新运算:x*y=ax+by,x y=ax-by,其中a,b是常数.已知3*2=-1,2 1=4.
(1)求a,b的值;
(2)若x*y+x y=10,求x的值;
解:(2)∵x*y+x y=10,
∴ax+by+ax-by=10.
∴2ax=10.
又∵a=1,
∴x=5.
