2024-2025学年北师大版九年级数学下册 1.1 锐角三角函数（1） 正切 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
北师大版九年级数学下册课件
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
课时1 正切
1.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中
物体的倾斜程度、坡度（坡比）等.（重点）
3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计
算.（难点）
学习目标
新课导入
生活中的梯子
梯子是我们日常生活中常见的物体.
新课导入
思考
实例1:如图①②，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？
图①
图②
新课导入
思考
实例2:如图③④，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
梯子的铅直高度与其水平距离的比相同时，梯子就一样陡.
比值大的梯子陡.
你能设法验证这个结论吗？
图③
图④
新课讲解
知识点1 正切的定义
如图,B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.
A
B1
C2
C1
B2
B
C
C
B
新课讲解
(1) Rt AB1C1和Rt AB2C2有什么关系？
(2) 有什么关系
(3)如果改变B2在梯子AB上的位置呢？由此你能得出什么结论
A
B1
C2
C1
B2
B
C
C
B
新课讲解
改变点B2的位置， 的值始终不变，等于
正切的定义：
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A，即tan A＝
结论
新课讲解
定义的几点说明：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角.
2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1.
3） tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序）.
4）tanA不表示“tan”乘以“A ”.
5） tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关
新课讲解
知识点2 正切的应用
如图,梯子AB的倾斜程度与tanA有怎样的关系
B
C
1.当梯子与地面所成的角为锐角A时，tanA＝
tanA的值越大，梯子越陡．
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．
2.当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与
倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
新课讲解
知识点3 坡度和坡角
1.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。
2.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切。
3.坡度越大,坡面越陡。
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
100m
60m
┌
α
i
课堂小结
正切
正切的概念
正切与坡度(角)的关系
当堂小练
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是(　　)
A. B．3 C. D．
3、 一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么它的两个锐角的正切值(　　)
A．都没有变化 　　 B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
D
A
拓展与延伸
如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.
若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，顶宽是3 m，路基高是
4 m，则路基的下底宽是(　　)
A．7 m B．9 m C．12 m D．15 m
D
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的　 _
与　 　的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ 　.
　邻边　
正切的定义
　对边
注意：当锐角A变化时，tan A的值也随之变化.
1.(1)如图1，tan A＝ 　，tan B＝ 　.
图1　　 图2
(2)(北师9下P4改编、人教9下P65改编)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tan α等于( )
A B.2 C D
A
tan A的值越　 　，梯子越陡(如图).
正切的性质
　大　
A B C D
2.(北师9下P2改编)如图，下面四个梯子最陡的是( )
B
(1)正切在日常生活中的应用很广泛，例如：建筑、工程技术等.正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.
(2)坡度的定义：如图，坡面的　 　与 的比称为坡度(或坡比，用字母i表示)，i＝tan α＝ 　.
水平宽度
坡度
　铅直高度　
.(新题速递)冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界.如图，已知某滑雪坡道AB的坡度是1∶3，坡道的水平宽度是30米，则高BC为　 　米.
　10　
A.tan α的值越大，梯子越缓
B.tan α的值越小，梯子越陡
C.tan α的值越大，梯子越陡
D.梯子的陡缓程度与α的正切值无关
5.【例2】如图，梯子(长度不变)和地面所成的锐角为α.关于α的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是
( )
C
A.12 m B.4 m
C.5 m D.6 m
6.【例3】某河堤横断面如图，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为( )
A
7.【例4】(北师9下P3改编)如图，方方和圆圆分别将两根木棒AB，CD斜靠在墙AE上，其中AB＝10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm.你能判断谁的木棒更陡吗？并说明理由.
解：圆圆的木棒CD更陡.理由如下：
在Rt△ABE中，AE＝＝8(cm)，
∴tan∠ABE＝
在Rt△CDE中，CE＝＝4 (cm)，
∴tan∠CDE＝＝2 ＜2 ，即tan∠CDE＞tan∠ABE，
∴圆圆的木棒CD更陡.
8.(北师9下P3改编)如图是甲、乙两个自动扶梯，　 　自动扶梯比较陡(填“甲”或“乙”).
　乙　
A.36 m B.24 m C.12 m D.6 m
9.如图，一座公路桥离地面高度AC为6 m，引桥AB的水平宽度BC为24 m，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1∶6，则BD的长是( )
C
请完成本课课后对应习题
布置作业
THANKS