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第10章 二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
第2课时 用代入消元法解稍微复杂的二元一次方程组及其应用
学习目标
1.熟练地掌握用代入法解二元一次方程组.
2.进一步理解代入消元法所体现出的化归意识.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
问题2 为了使计算简单，选择消去的未知数时系数通常具备什么特征？
系数为1或-1.
用代入法解二元一次方程组：
解：由方程②,得x=13-4y.③
将方程③代入①,得2(13-4y)+3y=16,
解得y=2.
将y=2代入方程③,得x=5.
所以原方程组的解是
问题1 用代入法解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元，化“二元”为“一元”
观察下列二元一次方程组：
这个方程组未知数x,y的系数都不是1或-1，那么如何用代入法解这个二元一次方程组呢？
新知初探
贰
新知初探
任务一 用代入消元法解稍微复杂的二元一次方程组
活动1 用代入法解二元一次方程组：
问题1 观察二元一次方程组中未知数的系数，将哪一个方程变形代入另一个方程相对比较简单？用含哪一个未知数的代数式去表示另一个未知数？为什么？
问题2 你能尝试解出这个二元一次方程组吗
用代入法解二元一次方程组：
解：由①，得x= .③
把③代入②，得9（ ）+7=39.
解这个方程，得y=3,
把y=3代入③，得x=2,
所以这个方程组的解是
问题3 解这个方程组时，可以先消去y吗？试一试，看能不能解出这个二元一次方程组.
解：由①，得y= .③
把③代入②，得9x+7( )=39.
解这个方程，得x=2,
把x=2代入③，得y=3,
所以这个方程组的解是
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1 的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是 1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
即时测评
用代入法解下列方程组：
解：
由①，得x= （15-3y）, ③
把③代入②，得 (15-3y)+5y=30，
解这个方程，得y=15,
把y=15代入③，得x=-15，
所以这个方程组的解是
问题2 设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，你能根据问题1中的相等关系列出二元一次方程组吗？
任务二 用代入法解二元一次方程组的实际应用
活动2 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元;他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元
问题1 本题中的相等关系有哪些？
（1）送120件的报酬+揽 45件的报酬=270元；
（2）送90件的报酬+揽 25件的报酬=185元.
根据相等关系，列得方程组
问题3 你能解这个二元一次方程组，从而求出快递员每送一件和每揽一件的报酬各是多少元吗
解：
由①得，x= .③
把③代入②，得90( )+25y=185,
解这个方程，得y=2,
把y=2代入③,得x=1.5,
所以这个方程组的解是
所以这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
问题4 观察二元一次方程组 中x,y的系数与常数项，你能想到解此方程组更简便一些的方法吗？试试看，谁的方法更简单.
解：根据等式的性质，化简得
由①得，x= .③
把③代入②，得18( )+5y=37,
解这个方程，得y=2,
把y=2代入③,得x=1.5,
所以这个方程组的解是
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)分析所有的已知量、未知量,恰当地设出未知数;
(2)找相等关系,列方程组;
(3)解方程组;
(4)检验解的合理性，写出答案.
归纳总结：
即时测评
某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨）
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
解：设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，
根据题意，得 解得
答：每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨.
当堂达标
叁
当堂达标
1. 用代入法解下列方程组：
解：(1)
由①得x= ,③
把③代入②，得3× +4y=17,解得y=2，
把y=2代入③，得x=3,
所以原方程组的解为
解：(2)由①得y= .③
把③代入②,得5x+3 =19.
解这个方程,得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
则方程组的解为
2.2023年某市免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府投资了200万元，建成40个公共自行车站点，配置800辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车．预计2024年将投资432万元，新建80个公共自行车站点，配置1760辆公共自行车．请问每个站点的造价和每辆公共自行车的配置费分别是多少万元？
解：设每个站点造价x万元，每辆公共自行车的配置费为y万元．
根据题意，得 解得
答：每个站点造价为1万元，每辆公共自行车的配置费为0.2万元．
课堂小结
肆
课堂小结
1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的？
2.消元时应注意哪些问题？
3.用代入消元法解决实际问题的步骤是怎样的？
4.本节课你还有什么收获？还存在什么疑惑？
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
谢
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第2课时 用代入消元法解稍微复杂的二元一次方程组及其应用
学习目标
1.熟练地掌握用代入法解二元一次方程组.
2.进一步理解代入消元法所体现出的化归意识.
自主探索
用代入法解二元一次方程组：
问题1 用代入法解二元一次方程组的基本思路是什么？
问题2 为了使计算简单，选择消去的未知数时系数通常具备什么特征？
观察下列二元一次方程组：
这个方程组未知数x,y的系数都不是1或-1，那么如何用代入法解这个二元一次方程组呢？
任务一 用代入消元法解稍微复杂的二元一次方程组
活动1 用代入法解二元一次方程组：
问题1 观察二元一次方程组中未知数的系数，将哪一个方程变形代入另一个方程相对比较简单？用含哪一个未知数的代数式去表示另一个未知数？为什么？
问题2 你能尝试解出这个二元一次方程组吗？
问题3 解这个方程组时，可以先消去y吗？试一试，看能不能解出这个二元一次方程组.
【即时测评】
用代入法解下列方程组：
任务二 用代入法解二元一次方程组的实际应用
活动2 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元;他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元
问题1 本题中的相等关系有哪些？
问题2 设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元，你能根据问题1中的相等关系列出二元一次方程组吗？
问题3 你能解这个二元一次方程组，从而求出快递员每送一件和每揽一件的报酬各是多少元吗
问题4 观察二元一次方程组 中x,y的系数与常数项，你能想到解此方程组更简便一些的方法吗？试试看，谁的方法更简单.
归纳总结：列二元一次方程组解应用题的一般步骤
(1)分析所有的已知量、未知量,恰当地设出 ;
(2)找 关系,列方程组;
(3) ;
(4)检验解的合理性，写出答案.
【即时测评】
某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨）
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
当堂达标
1. 用代入法解下列方程组：
(1) (2)
2.2023年某市免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府投资了200万元，建成40个公共自行车站点，配置800辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车．预计2024年将投资432万元，新建80个公共自行车站点，配置1760辆公共自行车．请问每个站点的造价和每辆公共自行车的配置费分别是多少万元？
参考答案
当堂达标
1.解：(1)
由①得x=,③
把③代入②，得3×+4y=17,解得y=2，
把y=2代入③，得x==3,
所以原方程组的解为
(2)由①得y=x+.③
把③代入②,得5x+3=19.
解这个方程,得x=2.
把x=2代入③,得y=3.
则方程组的解为
2.解：设每个站点造价x万元，每辆公共自行车的配置费为y万元．
根据题意，得
解得
答：每个站点造价为1万元，每辆公共自行车的配置费为0.2万元．
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第2课时 用代入消元法解稍微复杂的二元一次方程组及其应用
课标摘录 1.掌握消元法,能解二元一次方程组. 2.能针对具体问题列出方程.
教学目标 1.使学生熟练地掌握用代入法解二元一次方程组. 2.使学生进一步理解代入消元法所体现出的化归意识.
教学重难点 重点:学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组. 难点:进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现出的化归意识.
教学策略 教学中从回顾用代入法解二元一次方程组的解法步骤入手,顺势引入当未知数的系数不是1或-1时二元一次方程组的解法,探究显得十分自然流畅,引导学生充分思考和体验转化与化归思想,增强学生的观察归纳能力,提高学生的学习能力.
情境导入 用代入法解二元一次方程组: 问题1:用代入法解二元一次方程组的基本思路是什么 问题2:为了使计算简单,选择消去的未知数的系数通常具备什么特征 观察下列二元一次方程组: 这个方程组未知数x,y的系数都不是1或-1,那么如何用代入法解这个二元一次方程组呢 设计意图:通过复习用代入法解二元一次方程组的步骤和基本思路,进一步巩固当未知数的系数为1或-1时解二元一次方程组的步骤和方法,为本节课的学习打下基础,顺势引入本节课的学习内容——未知数的系数不是1或-1时解二元一次方程组的方法.
新知初探 探究一 用代入消元法解稍微复杂的二元一次方程组 活动1 用代入法解二元一次方程组: 问题1:观察二元一次方程组中未知数的系数,将哪一个方程变形代入另一个方程相对比较简单 用含哪一个未知数的代数式去表示另一个未知数 为什么 因为方程①中x的系数的绝对值比较小,所以可以考虑在方程①中用含y的代数式去表示x,再代入方程②比较简单. 问题2:你能尝试解出这个二元一次方程组吗 师生活动:学生独立思考后可尝试计算.教师总结解答方法. 问题3:解这个方程组时,可以先消去y吗 试一试,看能不能解出这个二元一次方程组. 追问:若二元一次方程组的x,y的系数都不是1或-1,怎样变形代入较为简单 选取系数的绝对值较小的方程变形,代入另一个方程.
设计意图:探究当未知数的系数不是1或-1时解方程组的方法,进一步规范解二元一次方程的具体步骤,培养学生有条理的思维和解题习惯.培养学生的自主学习习惯,发展观察总结能力,锻炼学生的实践能力,激发学生学习的自信心. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路,熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程. 探究二 用代入法解二元一次方程组的实际应用 活动2 见教材P94例4或课件、导学案. 问题1:本题中的相等关系有哪些 问题2:设这名快递员每送一件的报酬是x元,每揽一件的报酬是y元,你能根据问题1中的相等关系列出二元一次方程组吗 问题3:你能解这个二元一次方程组,从而求出快递员每送一件和每揽一件的报酬各是多少元吗 问题4:观察二元一次方程组中x,y的系数与常数项,你能想到解此方程组更简便一些的方法吗 试试看,谁的方法更简单. 追问:你能总结一下列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤吗 归纳总结:见课件. 探究二 意图说明 (1)进一步熟悉用代入法解二元一次方程组的基本步骤和过程. (2)通过让学生解决实际问题,将新知识融入学生已有的认知结构中,提高学生应用所学知识和技能解决问题的能力,同时为学生提供充分发挥创造力的空间,更大地调动学生的积极性. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:锻炼学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力,巩固学生解二元一次方程组的步骤和方法.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.用代入消元法解二元一次方程组的步骤是怎样的 2.消元时应注意哪些问题 3.用代入消元法解决实际问题的步骤是怎样的 4.本节课你还有什么收获 还存在什么疑惑 设计意图:学生在反思中整理知识、梳理思维,获得成功的体验,积累学习的经验,养成系统整理所学知识的习惯.
板书设计 第2课时 用代入消元法解稍微复杂的二元一次方程组及其应用 1.用代入法解复杂的二元一次方程组 2.代入法的实际应用
教学反思
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第2课时 用代入消元法解复杂的二元一次方程组
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时,可以直接利用代入法求解.
2.若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程,则选择系数为1
(或-1)的方程进行变形比较简单.
3.若方程组中所有方程的未知数的系数都不为1或-1,选系数绝对值较小的方程变形代入另一方程比较简单.
课堂互动
知识点一 用代入消元法解复杂的二元一次方程组
知识点二 用代入法解应用题
例2 某校九年级举行“书香润心灵,阅读促成长”活动.学校要求各班班长根据学生阅读需求,统计需采购的书籍类型和数量,如下表所示.
项目 文学类(本/人) 科普类(本/人)
九(1)班 3 2
九(2)班 4 1
共计(本) 265 110
请你根据以上信息,求九(1)班和九(2)班的人数.
基础题
D
四
2.某班为奖励在校运动会上取得好成绩的同学,花了200元钱购买甲、乙两种奖品共30件,其中甲种奖品每件8元,乙种奖品每件6元.若设
购买甲种奖品x件,乙种奖品y件,则可列方程组为 .
中档题
C
7.根据以下学习素材,完成任务:
学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行农学实践,体验草莓采摘、包装和销售.同学们了解到该农场在包装草莓时,通常会采用精包装和简包装两种包装方式 素材二 精包装 简包装
每盒2千克,每盒售价50元 每盒3千克,每盒售价70元
解决问题 任务 在活动中,学生共卖出了700千克草莓,销售总收入为 17 000元,则精包装和简包装各销售了多少盒 素养题
(2)求(2a+3b)2 024的值.
