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第10章 二元一次方程组
10.2.2 加减消元
第2课时 用加减消元法解稍微复杂的二元一次方程组及其应用
学习目标
1.熟练地掌握用加减法解二元一次方程组.
2.进一步理解加减消元法所体现出的化归意识.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
1.解二元一次方程组有几种方法？基本思路是什么？
2.用加减法解二元一次方程组时，未知数的系数常具备什么特征？
3.用加减法解二元一次方程组的步骤是什么？
4.观察下列方程组的特点，思考应当如何用加减法进行消元
这个方程组没有同一个未知数的系数是相同或互为相反数的，那么还能用加减法解这个二元一次方程组吗？
观察二元一次方程组
新知初探
贰
新知初探
任务一 用加减消元法解稍微复杂的二元一次方程组
活动1 用加减法解方程组：
问题1 两个方程直接加减是否可以进行消元 为什么
问题2 观察两个方程中y的系数的关系，能否对方程变形，使得两个方程中未知数y的系数相反或相同
方法一 方程①×2，得6x-4y=8.与方程②中的y互为相反数；
用加减法解方程组：
方法二 方程②× ,得 x+2y=9.与方程①中的y互为相反数.
你还有其它方法吗
用加减法解方程组：
解：①×2,得6x-4y=8.③
②+③,得13x=26,x=2.
把x=2 代入①,得3×2-2y=4,y=1.
所以这个方程组的解是
用加减法解方程组：
能用加减法消去未知数x，从而求出方程组的解吗
解：①×7,得21x-14y=28,③
②×3,得21x+12y=54,④
④-③，得26y=26,y=1,
把y=1代入①，得3x-2=4,x=2.
所以这个方程组的解是
(1)当方程组中同一个未知数的系数相同或者相反的时候，直接相减或者相加实现消元;
(2)当方程组中同一个未知数的系数既不相同也不互为相反数时，利用等式的性质对方程适当变形，使得两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等，就可以用加减法求解了.
归纳总结：
即时测评
(2)①×2，得2x+6y=-2,③
②×3,得9x-6y=24,④
③+④即可消去y.
用加减法解方程组：
(1)若要消去未知数x，应该如何变形？
解:(1)①×3,得3x+9y=-3,③
③-②即可消去x.
(2)若要消去未知数y，应该如何变形？
问题1 本题中的相等关系有哪些？
活动2 我国古代数学著作《九章算术》
中记载了这样一道题:今有牛五、羊二、直金十两;牛二、羊五、直金八两.问牛、羊各直金几何
意思是:假设5头牛、2只羊，共值金10两;4头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两
（1）5头牛价格+2只羊价格=10两;
（2）2头牛价格+5只羊价格=8两.
问题2 设每头牛值金x两，每头羊值金y两，你能根据问题1中的相等关系列出二元一次方程组吗？
根据问题中的相等关系，列得方程组
解方程组
问题3 若要消去未知数x,方程应分别做怎样的变化？
①×2,得10x+4y=20.
②×5，得10x+25y=40.
问题4 用加减法解这个二元一次方程组，求出每头牛、每只羊分别值金多少两.
解：
①×2,得10x+4y=20.
②×5，得10x+25y=40.
④-③，得2ly=20,y= ,
把y= 代入①,得x= ,
所以这个方程组的解是
所以每头牛值金 两,每只羊值金 两.
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数.
①变形
两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减
②加减
解消元后的一元一次方程
③求解
把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的方程中
④回代
把两个未知数的值用大括号联立起来
⑤写解
归纳总结
活动3 解方程组:(1) (2)
问题1 用代入法解这两个方程组.
解：(1)由①得，y=1.5-2x,③
把③代入②，得0.8x+0.6(1.5-2x)=1.3,
解得x=-1,
把x=-1代入③,得y=3.5.
所以原方程组的解是
(2)由①得，x=3-2y,③
把③代入②，得3(3-2y)-2y=5,
解得y= ,
把y= 代入③,得x=2.
所以原方程组的解是
解方程组:(1) (2)
问题2 用加减法解这两个方程组.
解:(1)①×0.6,得1.2x+0.6y=0.9,③
②-③,得-0.4x=0.4,x=-1,
把x=-1代入①,得-2+y=1.5,y=3.5.
所以原方程组的解是
(2)①+②,得4x=8,x=2,
把x=2代入①，得2+2y=3,y= ,
所以原方程组的解是
怎样解下面的方程组较为简单？
第一个方程组选择哪种方法更简便？第二个方程组选择哪种方法更简便？
我们依据什么来选择更简便的方法？
任务二 选择适当的方法解二元一次方程组
代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同.我们应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法.
适合是什么意思呢？
选用二元一次方程组的解法的策略
1.当方程组中某一个未知数的系数是1(或-1)时，优先考虑代入法.
2.当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减法较简单.
3.当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数都比较复杂时，往往选用加减法.
即时测评
选择你认为简便的方法解答下列问题：
我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题,今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡兔各几何
解:设鸡有x只,兔有y只,根据题意得
解得
所以鸡有23只,兔有12只.
当堂达标
叁
1. 利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是( )
A.要消去y,可以将①×5+②×2
B.要消去x,可以将①×3+②×(-5)
C.要消去y,可以将①×5+②×3
D.要消去x,可以将①×(-5)+②×2
当堂达标
D
2.对于方程组 而言，你能设法让两个方程中x的系数相等吗
你的方法是 ;
若让两个方程中y的系数互为相反数,你的方法是 .
①×3,②×2
①×4,②×3
3.用加减法解下列方程组：
解：(1)
①×2,得2x+4y=-4,③
②+③,得5x=10，解得x=2，
把x=2代入①式，得2+2y=-2，
解得y=-2，
因此原方程组的解为
(2)
①×3-②×2,得y=2,
把y=2代入①,得x=1.
所以原方程组的解为
4.4辆小卡车和5辆大卡车一次共可运货物27吨，6辆小卡车和10辆大卡车 一次可运货物51吨．则小卡车和大卡车每辆每次可以各运货物多少吨？
解：设小卡车每次可以运货x吨，大卡车每辆车每次可以运货y吨，
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小卡车每次可以运货1.5吨，大卡车每辆车每次可以运货4.2吨．
课堂小结
肆
课堂小结
1.本节课学到了哪些知识？
2.还有什么疑惑？
课后作业
基础题：1.课后习题 第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
谢
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第2课时 用加减消元法解稍微复杂的二元一次方程组及其应用
学习目标
1.熟练地掌握用加减法解二元一次方程组.
2.进一步理解加减消元法所体现出的化归意识.
自主探索
1.解二元一次方程组有几种方法？基本思路是什么？
2.用加减法解二元一次方程组时，未知数的系数常具备什么特征？
3.用加减法解二元一次方程组的步骤是什么？
4.观察下列方程组的特点，思考应当如何用加减法进行消元
(1)(2)(3)
观察二元一次方程组这个方程组没有同一个未知数的系数是相同或互为相反数的，那么还能用加减法解这个二元一次方程组吗？
任务一 用加减消元法解稍微复杂的二元一次方程组
活动1 用加减法解方程组：
问题1 两个方程直接加减是否可以进行消元 为什么
问题2 观察两个方程中y的系数的关系，能否对方程变形，使得两个方程中未知数y的系数相反或相同 如果能，该怎样做？写出变形后的方程.
问题3 能用加减法消去未知数x，从而求出方程组的解吗 尝试一下.
归纳总结：
(1)当方程组中同一个未知数的系数 或者 的时候，直接相减或者相加实现消元;
(2)当方程组中同一个未知数的系数既不相同也不互为相反数时，利用 对方程适当变形，使得两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等，就可以用加减法求解了.
【即时测评】
用加减法解方程组：
(1)若要消去未知数x，应该如何变形？
(2)若要消去未知数y，应该如何变形？
活动2 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题:
今有牛五、羊二、直金十两;牛二、羊五、直金八两.问牛、羊各直金几何
意思是:假设5头牛、2只羊，共值金10两;4头牛、5只羊，共值金8两.那么每头牛、每只羊分别值金多少两
问题1 本题中的相等关系有哪些？
问题2 设每头牛值金x两，每头羊值金y两，你能根据问题1中的相等关系列出二元一次方程组吗？
问题3 若要消去未知数x,方程应分别做怎样的变化？
问题4 用加减法解这个二元一次方程组，求出每头牛、每只羊分别值金多少两.
任务二 选择适当的方法解二元一次方程组
活动3 解方程组:(1)(2)
问题1 用代入法解这两个方程组.
问题2 用加减法解这两个方程组.
问题3 比较以上两种解方程组的方法，看一看哪种方法更简便
归纳总结：
解方程组的基本思想是 . 消元法和 消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同.应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法.
选用二元一次方程组的解法的策略：
1.当方程组中某一个未知数的系数是1(或-1)时，优先考虑代入法.
2.当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减法较简单.
3.当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数都比较复杂时，往往选用加减法.
【即时测评】
选择你认为简便的方法解答下列问题：
我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题,今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡兔各几何
当堂达标
1. 利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( )
A.要消去y,可以将①×5+②×2
B.要消去x,可以将①×3+②×(-5)
C.要消去y,可以将①×5+②×3
D.要消去x,可以将①×(-5)+②×2
2.对于方程组而言，你能设法让两个方程中x的系数相等吗
你的方法是 ;若让两个方程中y的系数互为相反数,你的方法是 .
3.用加减法解下列方程组：
(1) (2)
4.4辆小卡车和5辆大卡车一次共可运货物27吨，6辆小卡车和10辆大卡车 一次可运货物51吨．则小卡车和大卡车每辆每次可以各运货物多少吨？
参考答案
当堂达标
1.D 2.①×3,②×2 ①×4,②×3
3.解：(1)
①×2,得2x+4y=-4,③
②+③,得5x=10，解得x=2，
把x=2代入①式，得2+2y=-2，
解得y=-2，
因此原方程组的解为
(2)
①×3-②×2,得y=2,
把y=2代入①,得x=1.
所以原方程组的解为
4.解：设小卡车每次可以运货x吨，大卡车每辆车每次可以运货y吨，
根据题意，得
解这个方程组，得
答：小卡车每次可以运货1.5吨，大卡车每辆车每次可以运货4.2吨．
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第2课时 用加减消元法解稍微复杂的二元一次方程组及其应用
课标摘录 1.掌握消元法,能解二元一次方程组. 2.能针对具体问题列出方程.
教学目标 1.使学生熟练地掌握用加减法解二元一次方程组. 2.使学生进一步理解加减消元法所体现出的化归意识.
教学重难点 重点:掌握加减消元法解二元一次方程组的依据及一般步骤.能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组. 难点:解二元一次方程组的基本思路——消元,即化“二元”为“一元”的思想.
教学策略 本节课进一步学习二元一次方程组的加减消元法,在具体教学中,教师首先要求学生自主地解决问题,并进行解法的交流,以学生的解法为基础展开后续教学,得出加减消元的基本方法后通过解决实际问题进行巩固,最后再对解方程组的基本思路和主要步骤进行总结.
复习导入 1.解二元一次方程组有几种方法 基本思路是什么 2.用加减法解二元一次方程组时,未知数的系数常具备什么特征 3.用加减法解二元一次方程组的步骤是什么 4.见课件、导学案. 设计意图:通过复习用加减法解二元一次方程组的步骤和基本思路,进一步巩固学习当未知数的系数相同或相反时用加减法解二元一次方程组的步骤和方法,为本节课的学习打下基础,顺势引入本节课的学习内容——未知数不能直接消元时用加减法解二元一次方程组的方法.
新知初探 探究一 用加减消元法解稍微复杂的二元一次方程组 活动1 见课件、导学案. 问题1:两个方程直接加减是否可以进行消元 为什么 问题2:观察两个方程中y的系数的关系,能否对方程变形,使得两个方程中未知数y的系数相反或相同 如果能,该怎样做 写出变形后的方程. 追问1:哪一种方法更简单一些 追问2:你能用加减法解这个二元一次方程组吗 尝试一下. 问题3:能用加减法消去未知数x,从而求出方程组的解吗 尝试一下. 师生活动:学生独立思考后可尝试计算.教师总结解答方法. 追问1:相比较而言,消去哪个未知数比较好呢 说出你的理由. 消去y比较好,因为方程组中未知数y的系数成整倍数关系,只要变形一个方程就可以了,从而使运算简便. 追问2:你能总结一下,用加减法如何对未知数进行消元吗 归纳总结:见课件. 注意:方程组中同一个未知数的系数成倍数关系时,先消去这个未知数;当方程组中同一个未知数的系数不相同、相反或不成倍数时,可以利用等式的性质将方程组中同一个未知数的系数变成相等或相反的数,注意通常化成最小公倍数的时候运算比较简便. 活动1 意图说明 让学生通过探讨,逐步发现可以用加减消元法去解较为复杂的二元一次方程组,也让他们再次体会了消元化归的数学思想.学生在与他人交流的过程中,获得解决问题的方法,且体会到解决问题是有不同策略的,每一个人都应当有自己对问题的理解,并在此基础上形成自己解决问题的基本策略,培养学生的创新精神,同时也突破了本节课的教学难点. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:通过练习,进一步掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法,锻炼学生的新知运用能力和计算能力,提高解题技巧. 活动2 见教材P97例7或课件、导学案. 问题1:本题中的相等关系有哪些 问题2:设每头牛值金x两,每只羊值金y两,你能根据问题1中的相等关系列出二元一次方程组吗 问题3:若要消去未知数x,方程应分别做怎样的变化 问题4:用加减法解这个二元一次方程组,求出每头牛、每只羊分别值金多少两.
师生活动:让各组同学互相合作、交流、探讨,找出题目中的等量关系,进一步列方程组并解之.教师巡视指导,对个别学生加以点拨.学生完成后,由一名组长进行讲解.教师根据学生的讲解适当进行点评.提醒学生要把x,y的值代入所列方程组检验.最后让学生结合课本明确具体解题过程. 追问1:你能总结用加减法解二元一次方程组的步骤吗 归纳总结:见课件. 追问2:用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么 活动2 意图说明 进一步熟悉用加减法解二元一次方程组的基本步骤和过程,通过让学生解决实际问题,将新知识融入学生已有的认知结构中,提高学生运用所学知识和技能解决问题的能力,发展抽象能力和推理能力,初步培养模型意识和观念. 探究二 选择适当的方法解二元一次方程组 活动3 见教材P98思考(1)或课件、导学案. 问题1:用代入法解这两个方程组. 问题2:用加减法解这两个方程组. 问题3:比较以上两种解方程组的方法,看一看哪种方法更简便 师生活动:小组之间互相交流,写出解答过程,并请一些同学谈谈自己的看法,教师展示两种解题方法让学生们进行比较. 归纳总结:见课件. 追问:当二元一次方程组具备什么特点时选择代入法比较好 具备什么特点时选择加减法比较好 探究二 意图说明 通过对比两种方法,使学生更清晰地掌握代入法和加减法解二元一次方程组的步骤,并自主发现相对简便的方法,体会到两种方法各自的优越性. 【即时测评】见课件、导学案.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.本节课学到了哪些知识 2.还有什么疑惑 设计意图:通过学习自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的总结,让学生养成“反思”的好习惯,并培养学生语言表述能力.
板书设计 第2课时 用加减消元法解稍微复杂的二元一次方程组及其应用 1.用加减法解二元一次方程组 2.加减法与代入法的区别
教学反思
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第2课时 用加减消元法解复杂的二元一次方程组
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数既不互为相反数也不相等时,可利用等式的性质将它们化成 ,再把这两个方程的两边分别 ,就能消去一个未知数,得到一个一元一次方程,解方程得到这个未知数的值,再将这个未知数的值代入其中一个相对简单的方程中,求出另一个未知数的值,则该方程组得解.
互为相反数或相等
相加或相减
课堂互动
知识点一 用加减法解复杂的二元一次方程组
知识点二 列方程组解决简单的实际问题
例2 为纪念爱国诗人屈原,人们有了端午节吃粽子的习俗.某超市为了促销,购买粽子达20个及以上时实行优惠,下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位:个)和付款金额(单位:元):
根据上表,求豆沙粽和肉粽优惠后的单价.
项目 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额
小欢妈妈 20 30 270
小乐妈妈 30 20 230
基础题
D
C
3.(教材练习变式)植树节这天,20名同学共种了52棵树苗,其中男同学每人种3棵树苗,女同学每人种2棵树苗,则男同学有 名,女同学有 名.
12
8
5.(2024 安徽)乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业.某村部分返乡青年承包了一些田地,采用新技术种植A,B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表:
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投
入资金(万元)
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共60万元,问A,B这两种农作物的种植面积各多少公顷
中档题
D
C
素养题
9.(新定义题)我们规定,关于x,y的二元一次方程ax+by=c,若满足a+b=c,则称这个方程为“幸福”方程.例如:方程2x+3y=5,其中a=2,b=3,c=5,满足a+b=c,则方程2x+3y=5是“幸福”方程,把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组.
根据上述规定回答下列问题.
(1)方程3x+5y=8 “幸福”方程(选填“是”或“不是”);
(2)若关于x,y的二元一次方程kx+(k-1)y=9是“幸福”方程,则k的值为 ;
解:(1)是 (2)5
