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第10章 二元一次方程组
*10.4 三元一次方程组的解法
第1课时 三元一次方程组的概念及其解法
学习目标
1.会用加减法或代入法解三元一次方程组.
2.通过对三元一次方程组中未知数特点的观察和分析,明确解三元一次方程组的主要思路是消元，从而促成未知数向已知数的转化,体会化归思想.
3.通过用加减法或代入法解三元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组,培养运算能力.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
解：设负x场，则胜(4x+2)场，平22-x-(4x+2)=(20-5x)场,
根据题意，得3(4x+2)+(20-5x)=47，解得x=3,
4x+2=14,20-5x=5,
所以这支球队胜14场，平5场，负3场.
在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，
积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛
的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
问题1 你能列一元一次方程解决这个实际问题吗？
问题2 你能列二元一次方程组解决这个实际问题吗？
在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，
积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛
的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
解：设负x场，胜y场，则平(22-x-y)场,
根据题意，得
解得
22-x-y=5,
所以这支球队胜14场，平5场，负3场.
思考：如果把这支球队胜、平、负的场数分别用不同的未知数表示，那么又能列出什么样的方程组呢？
新知初探
贰
新知初探
胜的场数+平的场数+负的场数=22场；
胜场得分+平场得分=47分;
胜的场数=负的场数×4+2.
任务一 探究三元一次方程组的概念
活动1 在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
问题1 题目中有哪些未知量？
胜、平、负各自的场数
问题2 题目中有哪些相等关系
问题3 设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y,z，你能根据相等关系列出方程组吗？
(1)胜的场数+平的场数+负的场数=22场
(2)胜场得分+平场得分=47分
(3)胜的场数=负的场数×4+2
用方程表示等量关系.
x + y + z = 22
①
3x+y=47
②
x=4z+2
③
问题4 这个方程组和前面列出的二元一次方程组有什么区别和联系？
二元一次方程组
三元一次方程组
含两个未知数
含未知数的式子都是整式
含三个未知数
含未知数的式子都是整式
含未知数的项的次数都是 1
含未知数的项的次数都是 1
一共有两个方程
一共有三个方程
归纳总结
这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
即时测评
D
解：把方程③代入①，得4z+2+y+z=22,即y+5z=20,
任务二 探究三元一次方程组的解法
活动2 解方程组
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
把方程③代入②，得3(4z+2)+y=47,即y+12z=41,
将y+5z=20和y+12z=41,组成方程组，得
解这个方程组，得
代入①,得x=14.
所以方程组的解为
你能用消去未知数y的方法求出这个方程组的解吗？尝试一下.
活动2 解方程组
解：②-①得2x-z=25,
将2x-z=25与x=4z+2组成方程组
解得 代入①,得y=5.
所以方程组的解为
你能用消去未知数z的方法求出这个方程组的解吗？尝试一下.
活动2 解方程组
解：由①得z=22-x-y,
代入③得x=4(22-x-y)+2,即5x+4y=90,
将5x+4y=90和3x+y=47组成方程组，得
解得 代入①,得z=3.
所以方程组的解为
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
解三元一次方程组：
例1
方程①只含x，z，因此，可以由②③消去y, 得
到一个只含x，z 的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.
分析：
消去哪个未知数较为简便呢？
思考:(1)方程①含有几个未知数 方程①不含有哪个未知数
(2)能通过加减法消去方程②和③的未知数y吗
解三元一次方程组：
例1
②×3+③，得11x+10z＝35. ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
解：
把x=5, z= -2代人②，得
2×5+3y -2 = 9，
所以
因此，这个三元一次方程组的解为
归纳总结:
解三元一次方程组的一般步骤:
(1)观察方程组的系数特点,确定先消哪个未知数.
(2)消元,得到一个二元一次方程组.
(3)解二元一次方程组,求出两个未知数的值.
(4)求出第三个未知数的值,写出方程组的解.
解方程组
解:①+③,得5x+5y=25.④
②+③×2,得5x+7y=31.⑤
④与⑤组成方程组 ⑤-④,得2y=6,
所以y=3.把y=3代入④,得5x+5×3=25,所以x=2.
把 代入①,得3×2+2×3+z=13,
所以z=1.所以,原方程组的解是
即时测评
当堂达标
叁
1. 下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
当堂达标
D
3.三元一次方程组 经“消元”后可得到一个关于x、y的二元一次方程组为 ．
2.解三元一次方程组 时，要使解法较为简便，
应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数
C
4.解方程组：
解:(1) ①+②,得8x-z=18 ④,
②+③,得6x+2z=8 ⑤,
④+⑤× ,得11x=22,解得x=2.
将x=2代入④得z=-2,
将x=2,z=-2代入③得y=-1.
所以原方程组的解是
(2)①+②×2，得3x+8y=13,④
①×2+③，得4x+3y=25,⑤
④×4-⑤×3，得23y=-23,
解得，y=-1,
将y=-1代入④，得x=7,
将x=7，y=-1代入①，得z=3,
所以原方程组的解是
课堂小结
肆
课堂小结
解三元一次方程组的基本思路仍是消元，是将复杂问
题简单化的一种方法．其目的是利用代入法或加减法消去
一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方
程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．其基
本过程为：三元
二元
一元．
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1（1）（2）题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第1（2）（3）题
谢
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第1课时 三元一次方程组的概念及其解法
学习目标
1.会用加减法或代入法解三元一次方程组.
2.通过对三元一次方程组中未知数特点的观察和分析,明确解三元一次方程组的主要思路是消元，从而促成未知数向已知数的转化,体会化归思想.
3.通过用加减法或代入法解三元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组,培养运算能力.
自主探索
1.（1）什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？
(2)解二元一次方程组有哪几种方法 解二元一次方程组的基本思路是什么
2.在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场
问题1 你能列一元一次方程解决这个实际问题吗？
问题2 你能列二元一次方程组解决这个实际问题吗？
思考：如果把这支球队胜、平、负的场数分别用不同的未知数表示，那么又能列出什么样的方程组呢？
任务一 探究三元一次方程组的概念
活动1 问题1 题目中有哪些未知量？
问题2 题目中有哪些相等关系
问题3 设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y,z，你能根据相等关系列出方程组吗？
问题4 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
归纳总结：
这个方程组含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，含有未知数的项的次数都是 ，一共有 个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
【即时测评】
下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
任务二 探究三元一次方程组的解法
活动2 解方程组
思考 怎样解三元一次方程组呢 我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么,能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数,把它们化成二元一次方程组或一元一次方程再求解呢 尝试一下.
归纳总结：
解三元一次方程组的基本思路仍然是“ ”——把“三元”化为“ ”,再化为“ ”.
例1 解三元一次方程组
思考:(1)方程①含有几个未知数 方程①不含有哪个未知数
(2)能通过加减法消去方程②和③的未知数y吗
归纳总结
解三元一次方程组的一般步骤:
(1)观察方程组的系数特点,确定先消哪个未知数.
(2)消元,得到一个二元一次方程组.
(3)解二元一次方程组,求出两个未知数的值.
(4)求出第三个未知数的值,写出方程组的解.
【即时测评】
解方程组
当堂达标
1. 下列方程组中，不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2.解三元一次方程组时，要使解法较为简便，应（ ）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消去常数
3.三元一次方程组 经“消元”后可得到一个关于x、y的二元一次方程组为 ．
4.解方程组：
(1) (2)
参考答案
当堂达标
1.D 2.C 3.
4.解:(1)
①+②,得8x-z=18 ④,
②+③,得6x+2z=8 ⑤,
④+⑤×,得11x=22,解得x=2.
将x=2代入④得z=-2,
将x=2,z=-2代入③得y=-1.
所以原方程组的解是
(2)
①+②×2，得3x+8y=13,④
①×2+③，得4x+3y=25,⑤
④×4-⑤×3，得23y=-23,
解得，y=-1,
将y=-1代入④，得x=7,
将x=7，y=-1代入①，得z=3,
所以原方程组的解是
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第1课时 三元一次方程组的概念及其解法
课标摘录 *能解简单的三元一次方程组
教学目标 1.会用加减法或代入法解三元一次方程组. 2.通过对三元一次方程组中未知数特点的观察和分析,明确解三元一次方程组的主要思路是消元,从而促成未知数向已知数转化,体会化归思想. 3.通过用加减法或代入法解三元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组,培养运算能力.
教学重难点 重点:用加减法或代入法解三元一次方程组. 难点:探索用加减法或代入法将三元转化为二元的消元过程.
教学策略 教学时首先回顾二元一次方程组的解法,通过实际生活情景引入新课,让学生理解三元一次方程组的概念,再通过类比二元一次方程组的求解思路,得到解三元一次方程组的思路,让学生进一步体会化未知为已知的化归思想——通过“消元”将“三元”化为“二元”,把新问题化归成已经会解决的问题.
情境导入 1.(1)什么叫二元一次方程 什么叫二元一次方程组 (2)解二元一次方程组有哪几种方法 解二元一次方程组的基本思路是什么 代入消元法和加减消元法.消元,化“二元”为“一元”. 2.见教材P107问题或课件、导学案. 问题1:你能列一元一次方程解决这个实际问题吗 问题2:你能列二元一次方程组解决这个实际问题吗 思考:如果把这支球队胜、平、负的场数分别用不同的未知数表示,那么又能列出什么样的方程组呢 设计意图:首先通过回顾复习二元一次方程组的相关知识,为三元一次方程组的学习做好准备.再通过创设问题情境,引起学生兴趣,分别用一元一次方程和二元一次方程组解决问题,让学生比较其不同,为下面三元一次方程组的解法作铺垫.再自然过渡到设三个未知数,从而顺势引入新课,使学生了解本节课要解决的问题.
新知初探 探究一 三元一次方程组的概念 活动1 见教材P107问题或课件、导学案. 问题1:题目中有哪些未知量 问题2:题目中有哪些相等关系 问题3:设这个球队胜、平、负的场数分别为x,y,z,你能根据相等关系列出方程组吗 问题4:这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系 追问:你能类比二元一次方程组的定义,给这个方程组下一个定义吗 归纳总结:见课件. 追问1:含有未知数的项的次数是1与未知数的次数是1是同一种说法吗 追问2:组成方程组的每个方程里都一定都含有三个未知数吗
【即时测评】见课件、导学案. 归纳总结:判断三元一次方程组的关键: ①共含有三个未知数;②含有未知数的式子都是整式;③含有未知数的项的次数都是1;④一共有三个方程. 探究一 意图说明 把实际问题转化为数学问题,让学生通过思考相等关系及题目中的已知量和未知量,引入含三个未知数的方程,类比二元一次方程组的概念,得到三元一次方程组的概念,从而培养学生的归纳总结能力,锻炼学生的抽象能力和自主探究能力. 探究二 三元一次方程组的解法 活动2 见课件、导学案. 思考:怎样解三元一次方程组呢 我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数,把它们化成二元一次方程组或一元一次方程再求解呢 尝试一下. 师生活动:学生交流解法,碰撞思维火花,学会从多种角度考虑问题.教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 追问1:你能用消去未知数y的方法求出这个方程组的解吗 尝试一下. 追问2:你能用消去未知数z的方法求出这个方程组的解吗 议一议:上述不同的解法有什么共同之处 与二元一次方程组的解法有什么联系 解三元一次方程组的思路是什么 学生活动:思考完以后,同桌相互交流自己的想法,培养学生的合作能力. 归纳总结:见课件. 探究意图说明 (1)类比二元一次方程组的解法,师生共同分析,得到三元一次方程组的解法,由学生独立尝试写出解答过程,结合板演规范并梳理解题步骤,让学生明确解三元一次方程组的基本思想是“消元”. (2)体会三元一次方程组的不同解法之间的异同,增强思维的灵活性. 【例1】见教材P108例1或课件、导学案. 思考: (1)方程①含有几个未知数 方程①不含有哪个未知数 (2)能通过加减法消去方程②和③的未知数y吗 追问1:本题能消掉未知数x或未知数z吗 应该怎样计算 追问2:根据以上解题过程,你能总结一下解三元一次方程组的一般步骤吗 归纳总结:见课件. 设计意图:通过例题进一步巩固学生对解三元一次方程组方法的掌握,培养学生的化归思想. 【即时测评】见课件、导学案.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 (1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 (2)本节课还有哪些疑惑 请同学们说一说. 设计意图:注重课堂小结,激发学生参与课堂总结的主动性,为每一个学生的发展与表现创造机会.
板书设计 *10.4 三元一次方程组的解法 第1课时 三元一次方程组的概念及其解法 1.三元一次方程组的概念 2.三元一次方程组的解法 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程
教学反思
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*10.4 三元一次方程组的解法
第1课时 三元一次方程组的解法
预习导学
课堂互动
基础题
预习导学
1.一个方程组含有 个未知数,且含有未知数的式子都是
,含有未知数的项的次数都是 ,一共有三个方程,像这样的方程组叫作三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路
通过“代入”或“加减”进行消元,把“ ”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解 方程组,进而再转化为解
方程.
三
整式
1
三元
二元一次
一元一次
课堂互动
知识点一 三元一次方程组的概念
例1 下列方程组中,属于三元一次方程组的是( )
C
知识点二 三元一次方程组的解法
基础题
A
6
