江苏省江阴市华士高级中学、成化高级中学、山观高级中学2015-2016学年高二下学期期中联考数学试题（理科）

2015-2016学年度春学期三校高二期中联考
数学（理科）试题
(总分160分，考试时间120分钟)
命题人：赵超 审题人：徐文忠
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1.复数的共轭复数等于 ▲ .
2.已知，则 ▲ .
3.若虚数的模为，则 ▲ .
4.用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 ▲ .
5.从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各台，则不同的取法共有 ▲ 种. (用数字作答)
6.若实数满足，则的取值集合为 ▲ .
7.半径为的圆的面积,周长，若将看作上的变量,则①；对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的结论： ▲ .
8.甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有 ▲ 种．（用数字作答）
9.在复平面上，复数、、、分别对应点、、、，且为平行四边形，则 ▲ .
10.由数字五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为，则 ▲ .
11.甲、乙、丙三人要在一排个空座上就坐，若要求甲、乙、丙三人每人的两旁都空座，则不同的坐法共有 ▲ 种. （用数字作答）
12.观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
⑤.
可以推测 ▲ .
13.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，个红包中有两个元，两个元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有 ▲ 种.（用数字作答）
14.从装有个球（其中个白球，个黑球）的口袋中取出个球,有种取法.在这种取法中，可分两类：一类是取出的个球全部为白球，有种取法；另一类是取出个黑球、个白球，有种取法，所以有式子：成立.根据上述思想方法化简下列式子：
▲
.
二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．需写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
15. （本小题满分14分）
已知复数为实数)，且是实数．
（1）求复数；（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，试求实数的取值范围．
16. （本小题满分14分）
用()种不同颜色给如图的个区域涂色,要求相邻区域不能用同一种颜色.
(1)当时,图(1)、图(2)各有多少种涂色方案 （要求：列式或简述理由，结果用数字作答）；
(2)若图（3）有种涂色法，求的值．
17. （本小题满分14分）
将个编号为的小球放入个编号为的盒子中．
(1)有多少种放法？
(2)每盒至多一球，有多少种放法？
(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？
(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？
(5)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？
(6)把个不同的小球换成个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）
18. （本小题满分16分）
已知实数
(1)若, 求证:中至少有一个小于;
(2)若, 求证:;
(3)若,求证:.
19. （本小题满分16分）
已知，.
(1)当时，试比较与的大小关系；
(2)猜想与的大小关系，并给出证明．
20. （本小题满分16分）
杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．在杨辉三角中，第行的数记为，第行从左到右的个数分别记为.下图是一个阶杨辉三角：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求第行中从左到右的第个数；
（2）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是∶∶，并 证明你的结论；
（3）在第斜列中，前个数依次为；第斜列中，第个数为，我们发现，事实上，一般地有这样的结论：第斜列中（从右上到左下）前个数之和，一定等于第斜列中第个数．试用含有，的数学式子表示上述结论，并证明．
2015-2016学年度春学期三校高二期中联考
参考答案
一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分．）
1、 2、7 3、 4、5 5、
6、 7、 8、18 9、 10、8
11、60　 12、962 13、18 14、
二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．）
15、解：（1）∵ ………………3分
又 ∵是实数 ∴ ∴ ∴ ………………6分
（2）∵…10分
又 ∵在第四象限
∴ ………………12分
∴ ………………14分
16、解：(1) 图(1)：先选,有6种不同的选法;再选,不能与的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选,与，的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步,只需与的颜色不同即可,有5种不同的选法,共有6×5×4×5=600种不同的方案 ．…………3分
图(2)：先选, 有6种不同的选法;再选,不能与的颜色相同,有5种不同的选法;
、不同色，有4种不同的选法，有3种不同的选法，所以有种；
、同色， 有种不同的选法，所以有种；
所以，共有种不同的方案 ………………8分
(2)前三步与图(1)的方法类似,分别有n,(n－1),(n－2)种不同的选法,最后一步的颜色,不仅与的颜色不同,也不能与的颜色相同,有(n－2)种不同的选法,共有n(n－1)(n－2)(n－2)种不同的方案 ． ………………10分
则 ………………14分
（注：不把分解成，直接猜出，扣；此方程也可用导数（单调法）解，请类似给分）
17、解　(1)有 (种)放法． ………………2分
(2)有 (种)放法． ………………4分
(3)先取个球中的两个“捆”在一起，有种选法，再将四组小球投入五个盒子中的四个盒子，有种投放方法，故共有 (种)放法． ………………6分
(4)有 (种)放法． ………………8分
(5)满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种
第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种
第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种
第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：种
∴ 满足条件的放法数为： 1+10+20=31（种） ………………11分
(6)先从五个盒子中选出四个盒子，再从四个盒子中选出一个盒子放两个球，余下三个盒子各放一个球，由于球相同，所以共有(种)放法． ………………14分
18、证明：(1)假设 都不小于2，则…………………………1分
因为，所以，
即，
这与已知相矛盾，故假设不成立 ………………………………4分
综上中至少有一个小于2. …………………………………5分
(2)∵ ∴ ∴ …………………………………6分
∴ ∴…………………………………8分
∴在上单调增, ∴ ∴…………………………10分
(3)设 ①, 则 ② …………………………11分
∴由①,②联立解得 …………………………13分
∴ 当且仅当时，取等号
∴ …………………………16分
19、解:(1), ,
…………………………………3分
(2)由(1)猜想 ………………… 5分
下面用数学归纳法给出证明．
所证不等式为··…·＞.
①当n＝1时，左式＝，右式＝，
左式＞右式，所以结论成立．………………… 6分
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·＞，……………7分
则当n＝k＋1时， ··…··＞·＝，……… 9分
要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥.……… 11分
即证≥，
由基本不等式知＝≥成立，
故≥成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．.……… 15分
由①②可知，n∈N*时，不等式··…·＞成立．……… 16分
20、解：（1）…………………………………………………………3分
（2） 设 ---------------------4分
由，得，
即， ① ---------------------7分
由，得，
即 ② ---------------------10分
解①②联立方程组得：
即 -------------------12分
（3）……………………………………… 13分
证明：左边
右边 ……………………… 16分