江苏省江阴市华士高级中学、成化高级中学、山观高级中学2015-2016学年高二下学期期中联考数学试题（文科）

2015-2016学年度春学期三校期中联考试卷
高二数学（文科）
命题人：沈宏 审核人：徐文忠
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班 ( http: / / www.21cnjy.com )级、学号写在答卷纸的密封线内．试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答卷纸．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．命题“存在”的否定是 ▲ ____.
2．设复数满足(为虚数单位)，则的虚部是 ▲ ．
3．已知集合，集合，，那么集合 ▲ .
4．“”是“关于的一元二次方程有实数解”的 ▲ 条件
（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）
5.函数的定义域为_______▲__________．
6.半径为的圆的面积,周长，若将看作上的变量,则①；对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的结论： ▲ ．
7.函数的值域为 ▲ ．
8.若在定义域上递增的一次函数满足,则 ▲ .
9.已知函数满足，且，则 ▲ ．
10.已知函数，对于任意，当时，恒有，则实数的取值范围是 ▲ ．
11.已知奇函数是上的单调函数，若关于的方程在无实数解，则实数的取值范围是 ▲ ．
12.函数是偶函数，若，则实数的取值范围是　 ▲ ．
13.观察下列等式：
①；
②；
③；
④；
⑤.
可以推测 ▲ ．
14.已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
设实部为正数的复数满足，且在复平面上对应的点在第一、三象限的
角平分线上．
（1）求复数；
（2）若为的共轭复数为纯虚数，求的值．
16. （本小题满分14分）
已知命题：“，使等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．
17.（本小题满分14分）
已知函数是奇函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求证: 是上的增函数；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.（本小题满分16分）
已知函数.
(1)求证：;
(2)①求：； ②求证：中至少有一个不小于.
19.（本小题满分16分）
如图所示的是自动通风设施．该设施的下部是等腰梯形，其中米，高米，米．上部是个半圆，固定点为的中点．是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和平行的伸缩横杆．
（1）设与之间的距离为米，试将三角通风窗的通风面积(平方米)表示成关于的函数；
（2）当与之间的距离为多少米时，三角通风窗的通风面积最大？求出这个最大面积．
20．（本小题满分16分）
已知函数
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）求实数的取值范围，使函数在上恒为增函数;
（3）求函数在的最小值.
2015-2016学年度春学期三校期中联考试卷
高二数学（文科）答案
1． 对于任意的 2． 3 3． 4．必要不充分条件　
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 或 12.
13. 962 14.
15．
解：（1）设因为，所以①………1分
因为在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，
而=，所以即②…4分
由①②联立方程组解得或 …………………………………6分
又因为，所以从而 …………………………………………7分
(2) ………………………………12分
而为纯虚数，所以，所以…………………………………14分
16. 解：（1）∵命题是真命题 ∴在 上有解 ………2分
又,的值域为 ………4分
∴,即 ………5分
（2）当时，则，不合题意 ………7分
当时，则，则 ………10分
当时，则，则 ………13分
综上所述，或 ………14分
17.
解:（Ⅰ）∵是奇函数，且定义域为 ∴∴
…………3分
（Ⅱ）法一:设为区间内的任意两个值，且，
∵
即∴是上的增函数. …………8分
法二:因为恒成立,所以是上的增函数 …………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，是上的增函数，且是奇函数.
∵∴
∴恒成立 …………10分
令在恒小于零
∴解得 …………14分
18.
解(1)证明: 函数在单调递增 ……………………………………1分
要证,只要证…………………………3分
只要证 只要证,此式显然成立
∴ ………………………………6分
(2)①　∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，
f(3)＝3a＋b＋9，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2. ……………………………………10分
②证明　假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于. …………………………………11分
则－∴－1<－2f(2)<1，－1∴－2这与f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾．
∴假设错误，即所证结论成立 …………………………16分
19.
解：(1) 当时，由平面几何知识，得.
∴ …………………………………………4分
当时，
……………………3分
∴ …………………………………………8分
(2) 当时， …………………………………………11分
当时，
>,等号成立的条件为 …………………………………………15分
∴当与之间的距离为米时，通风窗面积最大，最大面积平方米．……………16分
20．
解:（1）当时，，所以是奇函数
当时，且所以既不是奇函数也不是偶函数…………4分
(2)在R上恒为增函数，…5分
∴在上是增函数，且在上是
增函数， ……………………6分
∴ ， ……………………8分
∴． …………………9分
（3）结合图像
当时，
当时，
当时，
当时，
当时， ………………………………14分
综上: ………………………………16分