2024-2025学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.圆的圆心为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
5.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若，则称表达式为阶有限连分数，通常记为：，，，，则：，，，( )
A. B. C. D.
7.点与原点不重合在抛物线上，直线与抛物线的准线交于点，过点且平行于轴的直线交抛物线于点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.图是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线：其中为正数的一部分图若是曲线上的一点，且，过点的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，，其中一条直线的斜率为若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我们称离心率相同的二次曲线相似则二次曲线相似的为( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
10.已知数列满足，且，，是公比为的等比数列，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，，，若，则下列说法正确的有( )
A. 若，则，，成等比数列 B. 若，则，，成等比数列
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆与圆相交于，两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为______．
13.过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程______．
14.设数列的前项和为若数列为各项均为正数的等差数列，，，，成等比数列，其中为正整数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，：为实数，与相交于点．
若过点，求的值；
设直线过定点，求．
16.本小题分
设为数列的前项和，．
求数列的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
已知点的坐标为，，，，且以点为圆心的圆与轴相切．
过点作圆的切线，求的方程；
圆上是否存在点，使得点到，距离之比为若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求的单调区间；
当时，，求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
已知椭圆：，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，．
求直线，在轴上的截距之和；
若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值；
若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：直线：，：，联立，解得，
即点，将点的坐标代入直线的方程：，解得，
即的值为；
令，，可得，
即，所以．
16.解：已知为数列的前项和，，
当时，，
即，
又，
即，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即；
记，
则，
则
．
17.解：已知点的坐标为，，，，且以点为圆心的圆与轴相切，
则点为圆心的圆的方程为，
则圆的圆心为，半径为．
又，
又过点作圆的切线，
当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，
当直线的斜率存在时，不妨设为，
则，
即，
即直线方程为，
即的方程为或；
设点，根据点到，距离之比为．
可得：，
化简得，
由于点在圆上，
即，
所以点的坐标也满足圆的方程，
又对应的两个圆显然外离，
则对应的两个圆无交点，
因此，圆上不存在点满足条件．
18.解：当时，，，
所以，
设，则，
当时，有，
所以在区间上单调递减，
当时，有，所以在区间上单调递增，
所以，即，
所以的增区间为，无减区间；
，
当时，
有，与矛盾；
(ⅱ)当时，
有，所以，所以在单调递增，
故，满足题意；
当时，
设，，
则，
当时，
由，得，所以在上单调递减，
所以，
即，所以在单调递增，
故，满足题意；
当时，
若，则，所以在上单调递增，
所以，
即，所以在单调递减，
故，与矛盾；
综上所述：的取值范围为，；
证明：由知当时，，其中的取值范围为，，
令，得，，
即，
令，则，，，，
所以．
19.解：设两条平行线，的方程分别为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
同理得，
因为四边形为平行四边形，
所以，
即，
解得，
所以，
所以两条平行线，在轴上的截距之和为；
证明：若四边形为菱形，
此时，
所以，
由知，关于原点对称，
所以点与点，点与点关于原点对称，
此时
，
所以，
则直线，之间的距离；
由知，
所以且，
因为，
所以，
设直线的方程为，
联立，
解得，
联立，
解得，
所以，
同理得，
所以，，
即，
此时，
解得，
所以，
则．
故四边形面积的取值范围为
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