2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 145.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-23 11:50:40 | ||
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文档简介
2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期1月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是( )
A. B. C. D.
2.据报道，从年月日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长米，由辆编组构成，设有个商务座、个一等座、个二等座，最高运行时速达千米，全列定额载客人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线平行，则实数 的 值为( )
A. B. C. D. 或
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6.若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知数列的首项为，且，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线表示圆，则实数的取值范围是
B. 存在实数，使得点在曲线内
C. 若，直线与曲线相交于两点，则线段的长度为
D. 若，则过点且与曲线相切的直线的方程为或
11.若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则( )
A. 点的横坐标为 B.
C. D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，则 ．
13.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
14.如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处切线的方程；
求函数的极值．
16.本小题分
已知公比为正数的等比数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，，为的中点．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为．
求椭圆的方程；
已知，若直线与椭圆相交于两点异于点，求证：直线的斜率之和为．
19.本小题分
若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
判断函数是否是函数在区间上的级控制函数，并说明理由；
若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；
若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
由，
得，
因为，所以，
所以曲线在点处切线的方程为，
即．
令，得或，
当变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
又，所以函数的极小值为，极大值为．
16.解：
设等比数列的公比为，
由，得，即，
所以，解得或舍．
又，所以．
由得，
所以，
所以，
，
两式相减，得
，
所以．
17.解：
分别取 的 中点为，连接，
因为底面是正方形，分别为的中点，所以．
因为侧面是等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
如图所示，以 为 坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则令，则，
所以平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，则．
即点到平面的距离为．
由，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则取，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：
由题意，得，其中，
因为，的面积为，
所以，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
设，由得
所以，即．
因为两点异于点，所以，所以，
又，
所以
，
将代入上式，
得．
所以直线的斜率之和为．
19.解：
函数是函数在区间上的级控制数．
理由如下：因为，且，所以，
所以，即成立，
所以函数是函数在区间上的级控制函数．
由函数是函数在区间上的级控制函数，
得，又，由指数函数性质得在上单调递增，
所以，即恒成立．
令，所以当，且时，恒成立，
故在上恒成立．因为，所以在上恒成立，
则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增，
故，则，由题意得，所以，
综上，可以得到实数 的 取值范围是．
因为函数在区间上存在两个零点，
所以我们不妨设，且，
因为函数是函数在区间上的级控制函数，
所以，
即，
可以得到．
要证，即证，
即证，即证，
令，构造，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即时，，
即成立，所以得证．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是( )
A. B. C. D.
2.据报道，从年月日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长米，由辆编组构成，设有个商务座、个一等座、个二等座，最高运行时速达千米，全列定额载客人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线平行，则实数 的 值为( )
A. B. C. D. 或
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6.若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知数列的首项为，且，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线表示圆，则实数的取值范围是
B. 存在实数，使得点在曲线内
C. 若，直线与曲线相交于两点，则线段的长度为
D. 若，则过点且与曲线相切的直线的方程为或
11.若过点可以作抛物线的两条切线，切点分别是，则称为“阿基米德三角形”已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，以为顶点的“阿基米德三角形”为，则( )
A. 点的横坐标为 B.
C. D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，则 ．
13.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
14.如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处切线的方程；
求函数的极值．
16.本小题分
已知公比为正数的等比数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，，为的中点．
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为．
求椭圆的方程；
已知，若直线与椭圆相交于两点异于点，求证：直线的斜率之和为．
19.本小题分
若对且，函数，满足：，则称函数是函数在区间上的级控制函数．
判断函数是否是函数在区间上的级控制函数，并说明理由；
若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的取值范围；
若函数是函数在区间上的级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求证．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
由，
得，
因为，所以，
所以曲线在点处切线的方程为，
即．
令，得或，
当变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
又，所以函数的极小值为，极大值为．
16.解：
设等比数列的公比为，
由，得，即，
所以，解得或舍．
又，所以．
由得，
所以，
所以，
，
两式相减，得
，
所以．
17.解：
分别取 的 中点为，连接，
因为底面是正方形，分别为的中点，所以．
因为侧面是等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
如图所示，以 为 坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则令，则，
所以平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，则．
即点到平面的距离为．
由，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则取，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：
由题意，得，其中，
因为，的面积为，
所以，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
设，由得
所以，即．
因为两点异于点，所以，所以，
又，
所以
，
将代入上式，
得．
所以直线的斜率之和为．
19.解：
函数是函数在区间上的级控制数．
理由如下：因为，且，所以，
所以，即成立，
所以函数是函数在区间上的级控制函数．
由函数是函数在区间上的级控制函数，
得，又，由指数函数性质得在上单调递增，
所以，即恒成立．
令，所以当，且时，恒成立，
故在上恒成立．因为，所以在上恒成立，
则恒成立，即，由指数函数性质在上单调递增，
故，则，由题意得，所以，
综上，可以得到实数 的 取值范围是．
因为函数在区间上存在两个零点，
所以我们不妨设，且，
因为函数是函数在区间上的级控制函数，
所以，
即，
可以得到．
要证，即证，
即证，即证，
令，构造，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即时，，
即成立，所以得证．
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