2024-2025学年甘肃省定西市八校高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省定西市八校高二上学期1月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点，，则的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有条路，从乙地到丙地有条路，则从甲地到丙地不同的走法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知数列，，，，，根据该数列的规律，该数列中小于的项有( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
4.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.将个相同的红球和个相同的黑球放入个不同的盒子中，每个盒子中至少放个球，则不同的放法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
7.图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为( )
A. B. C. D.
8.如图，给编号为，，，，的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D. 展开式中所有项的 二项式系数的和为
10.已知等比数列的前项积为，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 的公比为 C. D.
11.已知圆，直线，下列结论正确的是( )
A. 若直线与圆相切，则
B. 若，则圆上到直线的距离为的点恰有个
C. 若圆上存在点，直线上存在点，使得，则的取值范围为
D. 已知，，为圆上异于的一点，若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的准线方程为 ．
13.的展开式中，各项系数的最大值是 ．
14.已知是各项都为正整数的递减数列，若，则的最大值为 ；当取最大值时，的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？
甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
16.本小题分
已知等差数列的公差为，是等比数列，．
求和的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为．
求直线的 方程；
求直线的方程．
18.本小题分
已知数列满足，当时，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
已知是椭圆的一个顶点，点是上一点．
求椭圆的方程．
若过点的直线与椭圆交于，两点异于点，设直线，的斜率分别为，．
(ⅰ)证明：为 定值．
(ⅱ)求的最小值．
参考答案
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15.解：先排丙、丁、戊，有种站法．
再插空排甲、乙．有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有种．
满足条件的站法可分为两类，
第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法．
第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法．
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种．

16.解：设的公比为．
因为，所以，故．
又，所以．
记和的前项和分别为，，则．
又，
，
所以．

17.解：因为边上的高所在直线的方程为，
所以直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
联立，解得，即．
设点关于直线对称的点为，
所以
解得，即．
直线的斜率为，
所以直线的方程为，整理得．

18.解：当时，，
即．
设，则，，
．
所以．
当时，也符合，
所以．
解法一：，
，
得
，
所以．
解法二：．
当为偶数时，．
当为奇数时，．
综上，

19.解：由题可知
解得，，
所以椭圆的方程为．
证明：若直线的斜率为，则直线与椭圆的交点为，矛盾，
故直线的斜率不为，设其方程为，，．
由
消得：，
方程的判别式，
由已知为方程的解，
所以，，
因为，，
所以
，为定值．
，
因为，当且仅当时，取得最小值，
所以的最小值为．

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