2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 118.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-23 11:51:38 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二上学期1月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
6.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
7.设，是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，且，则的面积等于( )
A. B. C. D.
8.已知直线恒过抛物线：的焦点，且与交于点，，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线，，的斜率分别为，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：的焦点为，点，是抛物线上不同两点，下列说法正确的是( )
A. 若中点的横坐标为，则的最大值为
B. 若中点的纵坐标为，则直线的倾斜角为
C. 设，则的最小值为
D. 若，则直线过定点
10.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆，，则为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离为( )
A. B. C. D.
12.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线与上任意两点最小距离为 ．
14.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为 ．
15.双曲线过点且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程 ．
16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
等比数列中，已知，．
求数列的通项公式；
若，分别为等差数列的第项和第项，试求数列的通项公式及前项和．
18.本小题分
已知数列满足，
求证：数列为等差数列
求数列的通项公式与最大值．
19.本小题分
的顶点的垂心三条高交点为．
求顶点的坐标；
求的外接圆方程．
20.本小题分
设抛物线：，为的焦点，过的直线与相交于，两点．
设的斜率为，求的值；
求证：是一个定值．
21.本小题分
已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，．
求数列和的通项公式；
已知，记若恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立．
求甲学校两场比赛后获得冠军的概率
用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：设的公比为，由已知得，解得，
；
由得，，则，．
设的公差为，则，解得
从而，
所以数列的前项和．
18.证明：
常数，
所以数列是以为公差的等差数列．
解：由，得数列的首项是，
所以，即．
当时，由反比例函数的性质知单调递减，
所以，
又，，所以数列的最大值是．
19.解：设，
由题意得，，
所以，解得
所以顶点的坐标为；
设的外接圆方程为，
则，解得
所以的外接圆方程为．
20.解：直线的斜率为且过点，
直线的方程为，
设，，
联立，
消去得，，
，，
．
证明：设直线的方程为，联立，
消去得，
，，
设，，
则，，
．
是一个定值．
21.解：设数列的公比为，
由，得，
由，得，
所以，即，
解得舍去，或，
所以，
因为，所以，
由，得，得，
当时，
，
当时，，所以，
由得
，
所以
，
由恒成立，得，得恒成立，
令，
则
，
当时，，
当时，，
当时，，所以，
所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
22.解：甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜．
则甲获胜的概率为；
所有可能取值为，，，，，．
，
，
，
，
，
，
．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，中，为边上的中线，为的中点，若，则实数对( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
6.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
7.设，是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，且，则的面积等于( )
A. B. C. D.
8.已知直线恒过抛物线：的焦点，且与交于点，，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线，，的斜率分别为，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线：的焦点为，点，是抛物线上不同两点，下列说法正确的是( )
A. 若中点的横坐标为，则的最大值为
B. 若中点的纵坐标为，则直线的倾斜角为
C. 设，则的最小值为
D. 若，则直线过定点
10.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆，，则为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离为( )
A. B. C. D.
12.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线与上任意两点最小距离为 ．
14.若椭圆的弦中点坐标为，则直线的斜率为 ．
15.双曲线过点且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程 ．
16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
等比数列中，已知，．
求数列的通项公式；
若，分别为等差数列的第项和第项，试求数列的通项公式及前项和．
18.本小题分
已知数列满足，
求证：数列为等差数列
求数列的通项公式与最大值．
19.本小题分
的顶点的垂心三条高交点为．
求顶点的坐标；
求的外接圆方程．
20.本小题分
设抛物线：，为的焦点，过的直线与相交于，两点．
设的斜率为，求的值；
求证：是一个定值．
21.本小题分
已知数列是正项等比数列，且，，若数列满足，．
求数列和的通项公式；
已知，记若恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立．
求甲学校两场比赛后获得冠军的概率
用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：设的公比为，由已知得，解得，
；
由得，，则，．
设的公差为，则，解得
从而，
所以数列的前项和．
18.证明：
常数，
所以数列是以为公差的等差数列．
解：由，得数列的首项是，
所以，即．
当时，由反比例函数的性质知单调递减，
所以，
又，，所以数列的最大值是．
19.解：设，
由题意得，，
所以，解得
所以顶点的坐标为；
设的外接圆方程为，
则，解得
所以的外接圆方程为．
20.解：直线的斜率为且过点，
直线的方程为，
设，，
联立，
消去得，，
，，
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证明：设直线的方程为，联立，
消去得，
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设，，
则，，
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是一个定值．
21.解：设数列的公比为，
由，得，
由，得，
所以，即，
解得舍去，或，
所以，
因为，所以，
由，得，得，
当时，
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当时，，所以，
由得
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由恒成立，得，得恒成立，
令，
则
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当时，，
当时，，
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所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
22.解：甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜．
则甲获胜的概率为；
所有可能取值为，，，，，．
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